Вычислительное моделирование начальной стадии кариеса зубов: геометрическое моделирование зуба

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычислительное моделирование начальной стадии кариеса зубов: геометрическое моделирование зуба

О.С. Гилева, М.А. Муравьева

академия им. ак. Е.А. Вагнера

Н.И. Симакина, А.К. Соколов, В.Н. Терпугов

Пермский государственный национальный

исследовательский университет

Первым этапом вычислительного моделирования кариеса зуба является создание его адекватной геометрической модели. Описан алгоритм трехмерного геометрического моделирования человеческого зуба, в котором учтена сложная геометрия эмали, пульпы, дентина и цемента. Геометрическая модель построена на основе данных 3D-сканирования удаленного зуба и экспертных статистических данных о внутреннем строении зубов человека. Для обработки данных 3D-сканирования использованы как стандартные средства работы с трехмерной графикой, так и собственный программный код, в котором реализован алгоритм построения трехмерных геометрических моделей сложных неоднородных слоистых конструкций. Дальнейшая обработка модели выполнена в пакете ANSYS, которым предусмотрена триангуляция, выбор/задание физической модели, задание внешних воздействий и собственно вычислительное моделирование.

Ключевые слова: вычислительное моделирование; начальная стадия кариеса; метод конечных элементов (МКЭ); 3D-сканирование; геометрическое моделирование; ICON-технология; пакет ANSYS.

O.S. Gileva, M.A. Muravyeva, N.I. Simakina, A.K. Sokolov, V.N. Terpugov

Mathematical modeling of the initial and evolved stages of tooth decay: geometric modeling

The initial stage of realization of computational modeling of caries tooth is the creation of the adequacy of a geometric model. This paper describes an algorithm of three-dimensional geometric modeling of human teeth, taking into account the complex geometry of enamel, pulp, dentine and cement. The geometric model is constructed on the basis of the data of 3D-scanning of the remote tooth and expert statistical data on the internal structure of human teeth. For data processing 3D-scanning are used as the standard means for work with three-dimensional graphics, and own program code that implements an algorithm for constructing three-dimensional geometrical models of complex inhomogeneous layered structures. Further processing of the model is performed in ANSYS, where is triangulation, select/job of a physical model, the task of external influences and the actual computational simulation.

Key words: computational modeling; initial stages of caries; finite element method (FEM); geometric modeling; ICON-technology; ANSYS.

Введение

Эффективное рациональное и атравматичное лечение начального кариеса зубов или кариеса в стадии пятна является актуальной проблемой современной профилактической и консервативной стоматологии. Одна из самых эффективных современных методик лечения раннего кариеса основана на использовании ICON-технологии [1], которая состоит в инфильтрации в пораженную область светоотверждаемого полимера без иссечения какого-либо объема твердых тканей зуба. Такая технология сертифицирована во многих странах, в том числе в России, и получает все более широкое распространение в практической стоматологии.

Распространению ICON-технологии способствуют данные экспериментальных исследований. Однако в литературе отсутствует научное описание полимеризации начального кариеса: технология применяется относительно недавно, и данных наблюдений накоплено недостаточно, поскольку экспериментальные медицинские наблюдения дальнейшего развития раннего кариеса, залеченного по ICON-технологии, фактически "отложены". Методики исследования in vivo, когда для создания и изучения кариесогенной ситуации в полости рта организуются массовые наблюдения за пациентами или используются животные (крысы), являются достаточно трудоемкими и дорогостоящими.

В этой ситуации вычислительное моделирование, основанное на создании и программной реализации различных математических моделей применяемой технологии, призвано дать медикам эффективный инструментарий для анализа интересующих их процессов. Используемые при этом математические модели верифицируются исходя из данных, полученных в физико-механических экспериментах над удаленными зубами человека - исследованиях in vitro. Вычислительное моделирование позволит эффективно дополнить трудоемкие и длительные натурные эксперименты и ускорить исследования в области лечения раннего кариеса по ICON-технологии, что даст возможность улучшить и оптимизировать данный метод лечения.

Алгоритм геометрического построения трехмерной модели зуба

Любая биологическая система, несмотря на кажущуюся простоту, скрывает множество компонентов и сложнопереплетенных механизмов взаимодействия [2, 3]. На рис. 1 показана распространенная модель строения зуба, включающая эмаль, дентин, цемент и пульповую камеру.

Эмаль зуба - твердая, резистентная к изнашиванию минерализованная ткань, покрывающая анатомическую коронку зуба, - располагается поверх дентина. Она защищает более мягкий подлежащий дентин и пульпу зуба от воздействия внешних раздражителей. Толщина слоя эмали в различных отделах коронки неодинакова: от 1,62-1,7 мм на жевательной поверхности до 0,01 мм в области шейки зуба.

Дентин - твердая ткань зуба, состоящая из основного вещества, пропитанного солями кальция и пронизанного дентинными канальцами и коллагеновыми волокнами.

Используемые здесь и далее внешняя геометрия (рис. 2) и внутренняя структура зуба соответствуют зубу среднестатистического здорового человека в возрасте от 20 лет.

Рис. 2. Передний фронтальный зуб (вид с трех сторон)

На рис. 3 приведена расчетная схема фронтального (переднего) зуба в виде неоднородного тела, состоящего из эмали, цемента, дентина и пульпы, построение которой необходимо автоматизировать.

Рис. 3. Расчетная схема зуба

Данная схема зуба может быть использована, например, в следующих расчетах:

· расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) зуба до его лечения по ICON-технологии и после полимеризации кариесного пятна, с целью определения прочностных характеристик зуба;

· компьютерное моделирование процесса деминерализации эмали зуба;

· решение задачи инфильтрации ICON-вещества в пористую среду для моделирования процесса полимеризации;

· другие задачи, связанные и не связанные с ICON-технологией.

Все перечисленные задачи предполагается решать методом конечных элементов в пакете ANSYS, с помощью имеющихся в этом пакете или внедренных в него "своих" математических моделей. Однако геометрическое моделирование в ANSYS - первый этап вычислительного моделирования - вызывает большие трудности, поскольку пространственная модель зуба имеет сложную внешнюю геометрию и в ней должна учитываться сложная геометрия внутреннего строения.

1. Построить геометрическую модель эмали, дентина, цемента и пульпы, используя геометрические примитивы, т.е. провести геометрическое моделирование "сверху вниз", оказывается невозможно.

2. Для проведения геометрического моделирования "снизу вверх" необходимо иметь наборы ключевых точек, достаточно точно описывающих геометрию внешнего и внутреннего строений зуба. Создавать такие трехмерные объекты средствами ANSYS также весьма затруднительно.

Далее описан алгоритм геометрического построения трехмерной модели зуба с использованием 3D-сканера, программных средств трехмерной графики RAPID FORM, 3D-MAX и blender, а также собственной программы построения дентина, пульпы и цемента.

Пусть K_i^j(x,y,z) - наборы ключевых точек, достаточно точно описывающих геометрию внешнего и внутреннего строения зуба, i =1,2,…,n_j, где n_j - количество ключевых точек для описания соответственно внешних поверхностей эмали (j=1), дентина (j=2), пульпы (j=3) и цемента (j=4).

Для геометрического моделирования внешней поверхности зуба (т.е. эмали) был использован 3D-сканер Roland LPX-600 - бесконтактный лазерный сканер, который позволяет оцифровывать объекты шириной до 203 мм и высотой до 304 мм.

Он поддерживает два метода скани-рования: плоскостной и ротационный. При сканировании зуба был применен ротациион-ный метод с максимальной точностью 0.2 мм.

Для устранения дефектов сканирования ("сгладить" контур, удалить попавшие в "кадр" "посторонние" предметы, доработать участки, недоступные для сканирования и т.п.) использовались программы работы с трехмерной графикой 3D-MAX и blender [3].

Результат обработки (финальный вариант модели) представлен на рис. 4. Данные модели были приведены к виду, пригодному для геометрического модели-рования: удалена вся лишняя информация и оставлены только координаты вершин. Приведение данных было осуществлено посредством сохранения модели в формате PLY [4] - текстового представления с возможностью выбора данных для выходного файла.

Рис. 4. Передний фронтальный зуб в результате сканирования

Сканирование фронтального зуба длилось около 65 минут. В результате сканирования получен набор ключевых точек K_i¹ (x,y,z), описывающих внешнюю поверхность эмали.

Перейдем к построению внутренней геометрии, для чего используем среднестатистические данные о человеке в возрасте от 20 лет [3]. В дальнейшем эти данные предполагается уточнять на основе экспериментов.

Для построения трехмерной модели зуба в пакете ANSYS по имеющейся информации создан специальный алгоритм. Суть его состоит в следующем:

1) строятся k меридиональных сечений зуба. Для примера рассмотрим построение только одного сечения, например в плоскости XOY(рис. 5а);

2) задаем ключевые точки на внешней и внутренней границах эмали, дентина, пульпы и цемента (рис. 5б);

аб

Рис. 5. Геометрическое моделирование: а - строение депульпированного зуба; б - ключевые точки

3) по заданным точкам осуществляем сплайн-интерполяцию и определяем кусочно-непрерывные функции f_i(y) (i=1,2,3,4), описывающие соответственно границы эмали, дентина, пульпы и цемента (рис. 6а);

кариес зуб геометрическая модель

а б

Рис. 6. Геометрическое моделирование: а - создание ключевых точек в сечении; б - разбивка на слои

4) сплайны f_i(y) разбиваются вдоль оси ОY на N частей (с заданным шагом). Получается конечное множество точек f_i(y_j) (i=1,…,4, j=1,…,N+1);

5) шаги 2-4 осуществим для остальных (k-1)-го сечений зуба. В результате имеем набор узловых точек f_i^k(y_j) (рис. 5а) для каждого сечения зуба (k - номер сечения);

6) перейдем к построению поверхностей эмали, дентина, цемента и пульпы методом "снизу вверх". Рассмотрим, например, построение внешней поверхности эмали. Остальные поверхности строятся аналогично. Пусть для эмали i=1. Построение выполняется по слоям (рис. 6б). Всего имеется N слоев. В данном примере N=120.

а) по трем точкам (f₁^k(y_j), f₁^k+1(y_j), f₁^k+2(y_j)) строится дуга в сечении с координатой y=y_j (нижняя дуга (рис. 7а)),

б) аналогично строится дуга по трем точкам (f₁^k(y_j+1), f₁^k+1(y_j+1), f₁^k+2(y_j+1)) для y=y_j+1 (верхняя дуга (рис. 7а)),

в) по полученным дугам строится поверхность (рис. 7а). Повторно последние действия N раз (j=1,…,N), получим набор поверхностей для построения эмали;

7) склеиваем поверхности и строим объем эмали (рис. 7б).

а б

Рис. 7. Построение поверхностей

Аналогично моделируются объемы дентина, пульпы и цемента.

Для учета неоднородной внутренней структуры зуба геометрическое моделирование осуществляется изнутри в четыре этапа.

1) сначала создается самый нижний слой - пульпа (рис. 8а);

2) поверх пульпы формируется слой дентина (рис. 8б);

3) поверх дентина снизу строится слой цемента (рис. 9а);

4) поверх дентина и цемента строится слой зубной эмали (рис. 9б).

а б

Рис. 8. Построение объемов: а - пульпа, б - дентин

Таким образом, верхняя граница каждого слоя начиная со второго будет являться нижней границей для нового слоя.

 а б

Рис. 9. Построение объемов: а - цемент, б - эмаль

Данный алгоритм позволяет строить трехмерные геометрические модели не только зубов, но и любых достаточно сложных, неоднородных слоистых конструкций.

Геометрическая модель зуба, построенная в пакете ANSYS, может быть экспортирована в формат name.iges, и при необходимости ее можно импортировать в другие пакеты (например ABAQUS, COMSOL и др.).

Разбивка полученных областей на конечные элементы

В качестве конечного элемента примем элемент Solid 92 (рис. 10), в котором десять узлов: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R - и три степени свободы: UX, UY, UZ. Данный элемент поддерживает импорт начального напряжения, разбухание, утолщение, упругость, пластичность, "рождение и смерть" элементов и др.

Рис. 10. Вид конечного элемента Solid 92

Для разбивки модели зуба применяется нерегулярная конечно-элементная сетка (рис.11), так как в области эмали и особенно в области возможного кариозного повреждения, где возникает наибольшее напряжение, необходима более густая конечно-элементная сетка.

Рис. 11. Конечно-элементная сетка зуба

Как показали предварительные расчеты, конечно-элементная модель может быть использованы для вычислительного моделирования и анализа как напряженно-деформированного состояния зуба, так и других физико-механических состояний.

Заключение

Разработанный алгоритм позволяет проводить пространственное геометрическое моделирование слоистых конструкций сложной геометрической формы, например, таких, как человеческий зуб. Дальнейшее применение полученной геометрической модели связано с определением физико-математических моделей, которые будут использованы для имеющихся сред: эмали, дентина, цемента и пульпы. Эти модели могут быть различными, что существенно расширяет методологические возможности изучения микроструктуры и минерального обмена в твердых тканях зуба, как в норме, так и при различных патологических состояниях.

Список литературы

1. Лечение кариеса с помощью Icon. URL: http://www.dentals.ru›technologies/icon/ (дата обращения: 17.04.2012).

2. Боровский Е.В., Леонтьев В.К. Биология полости рта. М.: Медицина. 1991. 304 с.

3. Гемонов В.В., Лаврова Э.Н., Фалин Л.И. Развитие и строение органов ротовой полости и зубов: учеб. пособие для студентов стомат. вузов (факультетов). М., 2002. 256 с.

4. PLY file format. URL: http://en.wikipedia.org/wiki/PLY(file format) (дата обращения: 15.04.2012).

5. Программа трехмерного моделирования Blender. URL: http://www.blender.org/ (дата обращения: 15.04.2012).

Размещено на Allbest.ru