Математическая модель реактора идеального смешения и его численное решение

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АЛИШЕРА НАВОИ

МЕХАНИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ»

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ

РАБОТА

для получения степени бакалавра по направлению образования

«5480100 - Прикладная математика и информатика»

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ»

Болкибоева Отабека

Допущено к защите:

Декан факультета: проф. Солеев А.

Заведующий кафедрой: доц. Абдирашидов А.

Научный руководитель: доц. Амридинов С.

Самарканд - 2014

A.Navoiy nomidagi SamDU mexanika-matematika fakulteti “Hisoblash usullari” kafedrasining 2014 yil « 4 » iyundagi majlisi bayonnomasidan

KO'CHIRMA

Qatnashdilar: Kafedra a'zolari, magistrant va bakalavr talabalar.

Kun tartibi:

1. Bakalavr bitiruv malakaviy ishining dastlabki himoyasi.

Eshitildi: Majlisni kafedra mudiri dots. A.Abdirashidov olib bordi, kun tartibi bilan tanishtirdi va bakalavr talabalarga so'z berildi.

Talaba : Bolqiboyev Otabek Shuxratovich

Mavzu: «Ideal aralashtiradigan reaktorning matematik modeli va uni sonli usullar bilan yechish».

Ma'ruzachiga quyidagi savollar berildi:

· Matematik model deb nimaga aytiladi?

· Sonli yaqinlashish nima?

· Taqribiy usul deb nimani tushunamiz?

Ma'ruzachi savollarga qoniqarli javob berdi.

Taqrizchi: TATU samarqand filiali dekani dotsent A. Qarshiyev nomzodi tavsiya etildi.

Taklif ovozga qo'yildi va bir ovozdan tasdiqlandi.

Qaror qilindi:

1. “Hisoblash usullari” kafedrasida talaba Bolqiboyev Otabek Shuxratovich tomonidan bajarilgan «Ideal aralashtiradigan reaktorning matematik modeli va uni sonli usullar bilan yechish» mavzusidagi bakalavr bitiruv malakaviy ishining dastlabki himoyasi yaxshi deb topilsin.

2. “Hisoblash usullari” kafedrasida talaba Bolqiboyev Otabek Shuxratovich tomonidan bajarilgan «Ideal aralashtiradigan reaktorning matematik modeli va uni sonli usullar bilan yechish» mavzusidagi bakalavr bitiruv malakaviy ishiga taqrizchi etib, TATU samarqand filiali dekani dotsent A. Qarshiyev nomzodi tavsiya etilsin.

3. “Hisoblash usullari” kafedrasida talaba Bolqiboyev Otabek Shuxratovich tomonidan bajarilgan «Ideal aralashtiradigan reaktorning matematik modeli va uni sonli usullar bilan yechish» mavzusidagi bakalavr bitiruv malakaviy ishi Yakuniy Davlat Nazorati Komissiyasiga himoya uchun taqdim qilinsin.

Ko'chirma asliga to'g'ri

Kotiba: G.M.To'ychiyeva

ОТЗЫВ

на выпускную квалификационную работу студента 4 курса Механико-математического факультета Болкибоева Отабека на тему: «Математическая модель реактора идеального смешения и его численное решение»

Данная выпускная квалификационная работа состоит из введения, 4-х параграфов, выводов, программы и списка литературы.

Во введении приводятся химические реакторы и их разновидности, и основные функции реакторов.

В первом параграфе приводятся виды реакторов и их основные функции. Кроме этого приводятся основные типы химических реакторов. В качестве примера приводится реактор идеального смешения периодического действия и реактор идеального вытеснения.

Во втором параграфе рассмотрен реактор идеального перемешивания, который сводится к решению ОДУ, где в качестве численного метода используется метод Эйлера и Рунге-Кутта. Сделан сравнительный анализ точного и приближенного решения и сделан вывод о том, что видоизмененная формула Эйлера на каждом шагу интегрирования дает заниженные результаты, а формула Эйлера наименее устойчива при увеличении шага интегрирования.

В третьем параграфе приводится математическая модель реактора идеального вытеснения и его численное решение.

В качестве примера рассматривается стационарный режим работы реакторов, который описывается системой обыкновенного дифференциального уравнения.

Система ОДУ при начальных условиях решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка с некоторыми изменениями.

В 4-ом параграфе рассматривается математическая модель реактора идеального смешения. Здесь тоже система ОДУ решается методом Эйлера и Рунге-Кутта и дается сравнительный анализ этих методов.

Все приведенные примеры доведены до числа.

Составлен универсальный алгоритм и программа расчёта, работающая при произвольных исходных данных.

Выпускная квалификационная работа О. Болкибоева отвечает всем требованиям, предъявленным к выпускным квалификационным работам и при успешной защите заслуживает высокой оценки.

Научный руководитель,

доцент кафедры

«Вычисленные методы» С. Амридинов

РЕЦЕНЗИЯ

на выпускную квалификационную работу студента 4 курса Механико-математического факультета Болкибоева Отабека на тему: «Математическая модель реактора идеального смешения и его численное решение»

Данная выпускная квалификационная работа посвящена изучению математических моделей реакторов. Были изучены вопросы, связанные с теорией реакторов и их применением в химической промышленности.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, 4-х параграфов, выводов, программы и списка литературы.

Во введении приводятся химические реакторы и их разновидности, и основные функции реакторов.

В первом параграфе приводятся виды реакторов и их основные функции. Кроме этого, приводятся основные типы химических реакторов.

Во втором параграфе рассмотрен реактор идеального перемешивания, который сводится к решению ОДУ, где используется метод Эйлера и Рунге-Кутта.

В третьем параграфе приводится математическая модель реактора идеального вытеснения и его математическая модель, реактора идеального вытеснения, и его численное решение.

В 4-ом параграфе рассматривается математическая модель реактора идеального смешения. Здесь тоже система ОДУ решается методом Эйлера и Рунге-Кутта и дается сравнительный анализ этих методов.

Все приведенные примеры доведены до числа.

Составлен универсальный алгоритм и программа расчёта, работающая при произвольных исходных данных.

В ходе выполнения выпускной квалификационный работы выпускнику пришлось изучать специальную литературу, касающуюся теории реакторов и их математических моделей.

Выпускная квалификационная работа О. Болкибоева содержательна, отвечает всем требованиям, предъявленным к выпускным работам и при успешной защите заслуживает высокой оценки.

Рецензент: Кафедра

«Информационных технологии»

доц. И. Аминов

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

§-1. ВИДЫ РЕАКТОРОВ И ИХ ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ

§-2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРОВ И ЕЕ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

§-3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

§-4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО

СМЕШЕНИЯ И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ВЫВОДЫ

ПРОГРАММА

СПИСОК-ЛИТЕРАТУРЫ

реактор вытеснение идеальный уравнение

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития химии и химических технологий химик - исследователь и химик - технолог встречаются в своей практической деятельности с разнообразными явлениями, описание которых требует использования достаточно сложных математических моделей. Применение этих моделей в практических расчётах требует обычно больших объёмов вычислений, что в значительной степени снижает их ценность при ручных способах счёта. В этой связи средства вычислительной техники позволяют, с одной стороны, снять расчётные ограничения, обусловленные сложностью вычислений, а с другой - дают возможность более оперативно обрабатывать их в форме моделей, наиболее полно отражающих сущность рассматриваемых явлений. Область вычислительной математики тесно связана с областью химии и химической технологии. На основе опыта решения различных химических и технологических задач всё больше расширяется область применения вычислительной математики.

Постановка задачи. Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестандартных процессов, а также процессов с распределяющими параметрами.

Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон её изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость.

Данная выпускная квалификационная работа посвящена решению вышеуказанных задач.

Актуальность темы. На современном этапе развития химии и химической технологии химик - исследователь и химик - технолог встречаются в своей практической деятельности с разнообразными явлениями, описание, которых требует использования достаточно сложных математических зависимостей. Одна из них-сведение задачи химии и химических технологий к решению дифференциальных уравнений и их системы.

В частности, математические модели нестационарных режимов тарельчатой рецификационной колонны сводится к решению системы дифференциальных уравнений.

Цели и задачи работы. Разработка оптимального алгоритма решения системы дифференциальных уравнений на компьютере и составление универсального алгоритма и пакета прикладных программ для решения задач химии и химических технологий. Получение результатов расчёта и сравнение с экспериментальными данными.

Методы исследования. В качестве метода исследования выбран метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта с двойным шагом, метод Мильна.

На все эти методы составлены универсальные алгоритмы и универсальные программы и они реализованы на ЭВМ.

Научная ценность работы. Подобраны оптимальные методы решения, составлен единый алгоритм, блок-схема и универсальная программа, работающая при произвольных исходных данных.

Составленные программы апробированы на конкретных примерах из области химии и химических технологий. Полученные результаты сравнены с экспериментальными данными.

Практическая ценность работы. Составленный единый алгоритм, блок-схема и программы можно использовать при решении практических задач, а полученные результаты можно использовать на производстве в области химических технологий.

Содержанные работы. В данной выпускной квалификационной работе разрабатывается оптимальный алгоритм решения дифференциальных уравнений несколькими методами.

Приводится сравнительный анализ применяемых методов с учётом автоматического выбора оптимального метода. Полученные результаты сравнивается с экспериментальными данными, и они совпадают с тремя знаками точности.

Аннотация. Разрабатывается оптимальный алгоритм решения дифференциальных уравнений и универсальные программы, работающие при произвольных исходных данных из области химии и химических технологий.

§-1. ВИДЫ РЕАКТОРОВ И ИХ ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ

РЕАКТОРЫ ХИМИЧЕСКИЕ (от лат. Re - приставка, означающая обратное действие, и actor - приводящий в действие, действующий), промышленные аппараты для осуществления химических реакций. Конструкция и режим работы химических реакторов определяются типом реакции, фазовым состоянием реагентов, характером протекания процесса во времени (периодический, непрерывный, с изменяющейся активностью катализатора), режимом движения реакций среды (периодический, полупроточный, с рециклом), тепловым режимом работы (адиабатический, изотермический, с теплообменом), типом теплообмена, видом теплоносителя. По типу конструкции реакторы химические подразделяют на емкостные, колонные, трубчатые (рис. 1).

Емкостные реакторы химически-полые аппараты, часто снабженные перемешивающим устройством. Перемешивание газо-жидкостных систем может производиться барботированием газообразного реагента. Теплообмен осуществляется путем частичного испарения жидкого компонента реакции смеси. К реакторам этого типа относят также аппараты с неподвижным или псевдоожиженным слоем (одним или несколькими) катализатора. В многослойных реакторах теплообмен осуществляется смешением потоков реагентов или в теплообменных элементах аппарата. В емкостных реакторов проводят непрерывные, периодичные и полупериодичные процессы.

Рис. 1 Основные типы хим. реакторов: а-проточный емкостный реактор с мешалкой и теплообменной рубашкой; б - многослойный каталитической реактор с промежуточными и теплообменными элементами; в-колонный реактор с насадкой для двухфазного процесса; г-трубчатый реактор; И-исходные в-ва; П- продукты реакции; Т - теплоноситель; К - катализатор; Н-насадка; ТЭ теплообменные элементы.

Колонные реакторы химические могут быть пустотелыми либо заполненными катализатором или насадкой. Для улучшения межфазного массообмена применяют диспергирование с помощью разбрызгивателей, барботеров, мех. воздействия (вибрация тарельчатой насадки, пульсация потоков фаз) или насадки, обеспечивающей высокоскоростное пленочное движение фаз, реакторы химические данного типа используют в основы для проведения непрерывных процессов в двух- или трехфазных системах. Трубчатые реакторы химические применяют часто для каталитической реакций с теплообменом в реакции зоне через стенки трубок и для осуществления высокотемпературных процессов газификации. При одновременном скоростном движении несколько фаз в таких реакторах достигается максимум, интенсивный межфазный массообмен. Специфическими особенностями отличаются Р. х. для электрохимических, плазмохимических и радиационно-химических процессов.

При расчете химические реакторы определяют необходимые для достижения заданной производительности и эффективном процесса объем аппарата, скорость потока, повышенность теплообмена, гидравлическое сопротивление, режим работы, конструктивные параметры (уточняются на основании аэродинамичных испытаний). Расчет выполняют на основе данных по термодинамике и кинетике реакций, скорости тепло- и массообмена с учетом структуры потоков в аппаратах. Наиболее полный расчет, проводимый методом моделирования с использованием ЭВМ, включает определение полей температуры и концентрации, оптимизации режима, схемы теплообмена и циркуляции, а также, наряду с выбором способа управления, анализ устойчивости режима.

Динамические режимы химических реакторов характеризуются изменением во времени параметров, определяющих состояние процесса (концентрация, температура, давление и др.). В динамические режиме всегда функционирует реактор периодическая действия, в котором ход процесса изменяется от момента загрузки сырья до выгрузки готового продукта. Реактор непрерывного действия должен работать в стационарном, неизменном во времени режиме. Однако из-за неизбежных внешних возмущений, например изменения состава сырья, условий отвода или подвода теплоты, возникают отклонения от стационарного режима. Они м. б. незначительными и существенными, приводящими к заметным изменениям качества продукта, производительности реактора и даже к авариям. Динамические режимы реакторов непрерывного действия исследуют с помощью их математических моделей в виде дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных.

Динамические режимы непрерывно действующего реактора идеального смешения, в котором протекает экзотермическая реакция первого порядка, описываются безразмерной системой уравнений, составленной на основе материального (1) и теплового (2) балансов:

(1)

(2)

где х, у -переменные, пропорциональные соотв. концентрации реагирующего в-ва и т-ре в реакторе; х₀, -те же переменные для потока на входе реактора; у_т - переменная, пропорциональная т-ре окружающей среды; л-константа, пропорциональная расходу потока на входе реактора, л- константа, пропорциональная коэффициент теплопередачи и площади повышенное™ теплообмена с окружающей средой; т-время.

Стационарные режимы реактора определяются условием dx/dт = dу/dт = 0. Решение уравнений (1), (2) при этом дает значения x_s и y_s для стационарного состояния. В зависимости от параметров реактора стационарных состояний м. б. одно или три; в общем случае их всегда нечетное число.

Динамические режимы исследуют с помощью фазовой плоскости х, у. Решения системы (1), (2) являются функциями времени х(т), у(т) и начальных условий. Каждому мгновенному состоянию реактора (рис. 2) в момент т_к соответствует на плоскости х, у некоторая точка М, наз. изображающей. При изменении т эта точка будет двигаться по фазовой плоскости; траектория точки наз. фазовой. Вся совокупность траекторий, отвечающих различным начальным условиям, представляет собой фазовый портрет системы, который однозначно отражает динамические режимы.

Стационарное состояние реактора изображено на фазовых портретах спец. точками (А, В, С). Направление изменения режима реактора указывается стрелками. Если траектория стремится к стационарному состоянию, то оно устойчиво, а режим реактора работоспособен. Если траектория выходит из стационарного состояния, то оно неустойчиво. Исследование устойчивости стационарных состояний - одна из главных задач изучения динамические режимов.

На рис. 2 представлены фазовые портреты системы, отражающие интересные динамические режимы функционирования хим. реакторов. Портрет а соответствует режиму с единств, устойчивым стационарным состоянием А, при отклонении от которого переменные х и у стремятся в него вернуться. Спиральный характер траекторий на портрете б означает, что режим приближения к единств, стационарному состоянию А является колебательным затухающим.

Траектории на портрете в, отвечающие неустойчивому стационарному состоянию А, уходят от него и стремятся к замкнутой траектории Г, наз. предельным циклом. Движение изображающей точки по Г означает незатухающие колебания х и у. Исследование таких режимов (автоколебаний)-еще одна задача изучения динамические режимов. Портрет г соответствует режиму с тремя стационарными состояниями, одно из которых неустойчиво. Принципиально возможен случай, когда все стационарные состояния неустойчивы. При этом они охватываются предельным циклом. Изучение динамических режимов позволяет решать проблемы оптимического конструирования и автоматизации химических реакторов

Рис. 2. Фазовые портреты хим. реакторов: а-устойчивый режим с монотонным приближением к единств, стационарному состоянию А; б-устойчивый режим с колебат. приближением к состоянию А; в-автоколебат. режим, от стационарного состояния А режим переходит на предельный цикл Г; г-случай трех стационарных состояний, из к-рых

А и С устойчивы, В-неустойчиво.

Реактор идеального смешения периодического действия (РИСПД). Кастрюля с борщом, стоящая на огне, - пример химического реактора идеального смешения периодического действия. Хороший повар знает, сколько времени варить борщ, чтобы он был вкусным. Одна из важнейших характеристик процесса - время пребывания реакционной смеси в реакторе, которое должно быть согласовано с кинетикой основной химической реакции. Если время меньше необходимого, будет мал выход продукта. Если время пребывания слишком велико, могут пойти нежелательные побочные реакции. Предположим, что интересующий нас целевой продукт является промежуточным в серии последовательных реакций. Например, получим монохлорбензол, используя в качестве исходных реагентов бензол и хлор. Схематически реакцию можно представить в виде

В этом случае количество монохлорбензола (целевой продукт) проходит через максимум от времени, и время пребывания должно соответствовать этому максимуму.

Вторая важная характеристика такого реактора - эффективность смешения. В промышленности существуют различные методы смешения реагентов и перемешивания реакционной смеси. Чаще всего для этих целей используют вращающиеся мешалки различной конфигурации. Каждый реактор со своим перемешивающим устройством можно охарактеризовать некоторым средним временем смешения tсм. Измерить tсм можно следующим образом. В какое-то место реактора вводится окрашенное вещество (индикатор). Затем, отбирая пробы в разных точках, определяют, за какое время весь объем реактора станет равномерно окрашенным. Реактор идеального смешения - это такой реактор, в котором выполняется условие

tcm ! txum,

где txum - характерное время химической реакции. При этом концентрации всех веществ в любой момент времени будут одинаковы во всех точках реактора.

В некоторых случаях в реактор сначала вводится часть реагентов, а затем постепенно добавляется наиболее реакционноспособный реагент. Так, при получении хлорбензола в реактор с бензолом медленно вводится газообразный хлор. Если при этом также выполняется условие (1), то реактор носит название реактора идеального смешения полупериодического действия. Заметим, что в этом случае особенно важно, что критерием идеальности смешения является соотношение времени смешения и времени химической реакции, а не времени пребывания, которое может значительно превышать время химической реакции.

Реактор идеального вытеснения (РИВ). Химическую реакцию можно проводить в трубчатом реакторе, при этом предварительно перемешанные реагенты вводятся с одной стороны реактора, а конечная смесь выводится с другой. Такой реактор называется реактором идеального вытеснения. Если нет перемешивания вдоль реактора и линейная скорость перемещения реакционной массы вдоль реактора и постоянна; реагирующая смесь как бы (или на самом деле) вытесняется поршнем. Тогда время пребывания реагирующей смеси в реакторе длиной L равно L / и и одинаково для любой ее части. Такой реактор работает в непрерывном режиме, а каждый элемент реакционной смеси проходит такой же путь, что и в РИСПД. Поэтому описание работы обоих реакторов полностью идентично, причем параметр L / и для РИВ просто соответствует времени реакции для РИСПД. Один из вариантов получения полиэтилена является примером промышленного процесса с РИВ.

Реактор идеального смешения непрерывного действия (РИСНД). Схема РИСНД приведена на рис. 1. В реактор непрерывно вводятся реагенты, а реакционная смесь, содержащая продукты и исходные вещества, интенсивно перемешивается и постоянно выводится из реактора. Среднее время пребывания реакционной смеси в таком реакторе равно V / W, где V - объем реактора, a W - суммарная объемная скорость подачи всех реагентов.

В отличие от рассмотренных РИСПД и РИВ в РИСНД существует широкое распределение по временам пребывания, то есть одни молекулы, попав в реактор, находятся в нем длительное время, а другие быстро его покидают. Концентрации всех веществ в этом реакторе постоянны.

Интересно проиллюстрировать различие реакторов на примере так называемой живущей полимеризации. В раствор с мономером вводится инициатор, к которому последовательно присоединяются молекулы мономера, образуя полимерную цепь. Если такую реакцию проводить в РИСПД, в РИВ или обычной лабораторной колбе с мешалкой, то все макромолекулы будут иметь практически одну и ту же длину (молекулярную массу). Если тот же самый процесс проводить в РИСНД, то полимерный продукт будет состоять из набора молекул различной молекулярной массы. Другими словами, структура и свойства полимера зависят от того, в каком реакторе он получен.

Условие идеальности смешения для РИСНД то же, что и для реактора идеального смешения периодического действия (1). Существенное значение для производительности реактора и особенно для качества продукта имеют тепловой режим работы реактора, температура и температурные поля в нем.

§-2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРОВ И ЕЁ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми переменными, неизвестными функциями и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестационарных процессов, а также процессов с распределенными параметрами. Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон ее изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость. Аналогично для определения числа степеней разделения в процессе периодической ректификации необходимо определить состав кубового остатка и дистиллята как функции степени отгона. Это можно осуществить путем решения системы дифференциальных уравнений материального и теплого балансов.

Дифференциальные уравнения являются основным математическим аппаратом при исследовании динамических свойств объектов, в частности переходных процессов.

Например, математическое описание нестационарных процессов, происходящих в ректификационной колонне, основывается на уравнениях материального и теплового балансов, являющихся количественным выражением закона сохранения. Однако в отличие от анализа статических свойств объекта здесь закон сохранения массы и энергии как равенство входных и выходных потоков не сохраняется. При протекании процесса происходит накопление массы и энергии, т.е.

ВХОД-ВЫХОД=НАКОПЛЕНИЕ

Математическое описание динамики ректификационной колонны содержит: уравнение материального и теплого балансов; уравнения, описывающие механизм взаимодействия между паровой и жидкой фазами на отдельных тарелках; уравнения для описания фазового равновесия.

При решении ряда практических задач можно допустить, что мольные потоки пара и жидкости по высоте секций колонны постоянны, тем самым исключить рассмотрение теплового баланса, а также принять постоянство коэффициентов относительной летучести компонентов. Дальнейшим упрощением является принятие концепции теоретической тарелки, т.е. пар, покидающий тарелку, находится в равновесии с жидкостью. Исходя из принятых допущений математическое описание ректификационной колонны представляет систему дифференциальных уравнений, записанных для каждой тарелки.

Для произвольной тарелки (рис.1) дифференциальное уравнение записанное для компонента j, имеет вид

(1)

где H_L - задержка жидкости на тарелке; H_v - задержка пара на тарелке; L, V - количества жидкости и пара соответственно.

Система (1) в общем виде неразрешима обычными способами. Для её решения необходимо воспользоваться приближенными методами.

х



Решением дифференциального уравнения является некоторая функциональная зависимость, которая в простейших случаях может быть получена аналитически, а в более сложных - численными методами в виде таблицы значений независимой переменной соответствующих значений функции.

Если неизвестные функции рассматриваются как функции одной независимой переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными, в противном случае - уравнениями с частными производными. Порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

(2) Функцию будем рассматривать заданной в некоторой области изменения ее аргументов причем переменные х, у можно рассматривать как декартовы координаты произвольной точки А области определения G (рис.2).

Дифференциальное уравнение (2) устанавливает в каждой точке А связь между координатами и производной от функции у в этой точке. Таким образом, для любой точки области G по уравнению (2) можно вычислить

производную, т.е. тангенс угла наклона кривой . Выбирая достаточно большое число точек в области G и вычисляя в каждой точке угол наклона, можно затем соединить точки, имеющие один и тот же угол наклона, можно затем соединить точки, имеющие один и тот же угол наклона, некоторыми кривыми, которые называются изоклинами дифференциального уравнения. Любая функция , у которой в каждой точке области G производная определяет направление, совпадающее с направлением, задаваемым для изоклины, проходящей через эту точку (рис.2, кривая ), является решением уравнения (2). На этом свойстве изоклин основаны некоторые графоаналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений. Число кривых решения, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с полем направлений изоклин, вообще говоря, бесконечно, что непосредственно следует из рис.2.

Для того чтобы выбрать из бесконечного числа решений единственное, необходимо зафиксировать некоторую начальную точку, через которую должно проходить решение. Это эквивалентно заданию дополнительного условия, накладываемого на решение дифференциального уравнения и называемого начальным условием.

Наряду с одним дифференциальным уравнением во многих теоретических и практических задачах используются также и системы дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет столько уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций, причем все неизвестные функции являются функциями одной независимой переменной. Для систем уравнений в частных производных число независимых переменных больше единицы, но число уравнений также равно числу неизвестных функций. При решении дифференциальных уравнений системы имеют важное значение, поскольку любое уравнение порядка выше первого может быть путем замены переменных преобразовано в систему уравнений первого порядка. Действительно, если имеется уравнение

(3)

то, полагая его можно записать в виде системы уравнений

или, воспользовавшись матричными обозначениями,

(4)

где и - вектор-функции.

Решением уравнения (4) будет вектор-функция у, определяющая некоторую линию в n+1 -мерном пространстве, в котором начальное условие изображается как точка.

Методы решения одного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием часто можно распространить и на системы уравнений первого порядка, а следовательно, на уравнения более высокого порядка.

В качестве примера рассмотрим сравнительную оценку различных формул интегрирования на простейшем примере. Пусть в сосуд объемом V, заполненный жидкостью состава х₀, с постоянной скоростью F подается жидкость состава x_F и с такой же скоростью выводится жидкость из сосуда. Полагая, что жидкость в сосуде идеально перемешивается, найти зависимость концентрации на выходе сосуда, используя формулы Эйлера и Рунге-Кутта.

Уравнения материального баланса сосуда имеет вид

(5)

Так как скорость ввода питания равна скорости вывода, то и

таким образом, уравнение, описывающее изменение концентрации в сосуде, имеет вид

(6)

и интегрируется с начальным условием

FX_F

Решением уравнения (6) является выражение

Уравнение (6) решено методом Эйлера и Рунге-Кутта для интервала времени , в качестве исходных данных принята:

Из сравнение точного и приближенных решений можно заметить, что формула Эйлера на каждом шаге интегрирования дает завышенное значение функции, в то время как видоизмененные формулы Эйлера-заниженные; формулы Эйлера наименее устойчивы при увеличении шага интегрирования - в них колебательность решения проявляется уже при Н=7, а формулы Рунге-Кутта-при Н= 15.

Формулы Рунге-Кутта четвертого порядка получили наибольшее распространение в практике интегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительных машин. Однако даже при относительно высокой точности их применение связано со значительным объемом вычислений, особенно если правые части уравнений являются сложными выражениями. Основным недостатком этих формул является то, что приходится вычислять три-четыре значения функции и усреднять на каждом шаге интегрирования. Прогноз решения осуществляется исходя из информации лишь в данной точке, и совсем не используется информация о решении в предыдущих точках. В прикладных задачах, например, связанных с нестационарными процессами, решения часто представляют собой монотонные функции, приближающиеся к стационарному состоянию, причем значительные изменения тангенса угла наклона интегральной кривой наблюдаются только на начальном участке интегрирования. Поэтому для вычисления значения интегральной кривой в последующей точке иногда целесообразно аппроксимировать решение, используя информацию о нем в предыдущих точках, т.е. его предысторию.

§-3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Реактор идеального вытеснения представляет собой объект с распределенными параметрами. Поэтому математическое описание его нестационарных режимов представляется системой дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей изменение концентраций реагентов и температуры как по длине реактора, так и во времени.

Стационарный режим работы реактора описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, определяющими изменение концентраций реагентов и температуры по длине:

(1)

(2)

где S_b - площадь сечения зоны реакции, - длина зоны реакции, 1 - расстояния от начала зоны реакции.

При использовании уравнения (1), (2) для описания реактора идеального вытеснения предполагаются справедливыми следующие допущения: смесь идеально перемешивается; продольное перемешивание отсутствует; теплоемкость не изменяется; теплопроводность смеси в направлении движения потока можно пренебречь; поверхность теплообмена равномерно распределена по длине зоны реакции; количество планирующей смеси не изменяется.

Для решения уравнения (1), (2) или для математического описания конкретных процессов необходимо иметь соответствующие выражения дляскоростей образования реагентов в рассматриваемом процессе , а также выражение для суммарного теплового эффекта реакции Q_r.

Общее выражение для скоростей образования реагентов в произвольной химической реакции может быть получено при использовании понятия «скорости стадии сложной реакции». При этом под скоростью j-й стадии понимается величина

(3)

определяемая для элементарной стадии реакции

(4)

где - стехиометрический коэффициент j-гo реагента, являющегося

продуктом данной стадии; - стехиометрический коэффициент k-го

реагента, являющегося исходным в данной стадии; - скорость образования i-гo реагента на данной стадии; - скорость образования k-го реагента, являющаяся отрицательной величиной, поскольку этот реагент на данной стадии расходуется.

А,

Например, для химической реакции

А₄ Можно рассмотреть следующие элементарные стадии:

(6)

Любую химическую реакцию можно описать матрицей стехиометрических коэффициентов [N], число строк которой равно числу реагентов, участвующих в реакции, а число столбцов равно числу стадий реакции. Элемент N_kj матрицы при этом определяется как стехиометрический коэффициент k-го реагента на j-й стадии, причем этому коэффициенту приписывается знак минус, если k-й реагент является исходным, и знак плюс, если он образуется на данной стадии.

Например, для химической реакции (5) матрица стехиометрических коэффициентов имеет вид

(7)

Если для каждой стадии сложной реакции известны зависимости скорости от концентраций реагентов и температуры, то с использованием матричных обозначений можно записать следующее соотношение:

Здесь - вектор скоростей образования реагентов в сложной реакции

а г - вектор скоростей стадий реакции

Например, для реакции (5) можно получать

(8)

Откуда следует, что

(9)

С использованием понятия скорости стадии суммарный тепловой эффект сложной химической реакции может быть выражен как

(10)

где - тепловой эффект j-й стадии, отнесенный к 1 моль продукта реакции этой стадии; - стехиометрический коэффициент образующегося на j-й стадии продукта реакции; s - общее число стадий сложной реакции.

Система уравнений (1) и (2) должна интегрироваться при начальных условиях

(11)

Система уравнений (1), (2) при начальных условиях (3) решена методом Рунге-Кутта четвертого порядка с некоторыми изменениями.

Формальными параметрами процедуры Р1 являются: X, У - начальные условия, EPS - точность интегрирования, XFIN - конечное значение интервала интегрирования, N - число уравнений системы.

0,8

0,6

0,4

0,2

0,1

1,0

0,5

Рис.4

Изотермического реактора для реакций

В качестве исходных данных

§-4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО

СМЕШЕНИЯ И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Математическая модель реактора идеального смешения описывается системой дифференциальных уравнений, определяющей изменение концентрации реагентов и температуры в зоне реакции по времени

(12)

где V_r - объем реагирующей смеси;

- концентрации i-гo компонента в исходной смеси и в зоне реакции;

Т⁽⁰⁾,Т_Х - температуры исходной смеси и теплоносителя;

t - время.

Здесь, как и раньше, предполагаются справедливыми следующие допущения:

- реагирующая смесь идеально перемешана в зоне реакции, т.е. температура и концентрации компонентов одинаковы во всех точках зоны;

- теплоемкость реагирующей смеси не изменяется в процессе химической реакции;

- теплосъем осуществляется теплоносителем, температура которого постоянна;

- тепловой емкостью материала, из которого изготовлен реактор, можно пренебречь по сравнению с тепловой емкостью реагирующей массы, находящейся в реакторе;

- количество реагирующей смеси на выходе реактора равно количеству исходной смеси, подаваемой в реактор, т.е. при принятом способе выражения величины потока V, и не изменяется в процессе реакции. Совместное решение системы уравнений (12) с учетом этих допущений определяет поведение реактора идеального смешения в нестационарных режимах.

В нестационарных режимах производную по времени считать равной нулю и система имеет вид

(13)

решение которой позволяет найти значения концентрации реагентов и температуры в реакторе при заданных значениях входных концентраций , температуры исходной смеси и температуры теплоносителя Т_х. С использованием векторного соотношения можно представить в векторной форме систему уравнений (12), которая запишется как

(12-а)

или для стационарных условий

(14)

В общем случае зависимость скоростей стадий сложной реакции от концентраций реагентов и температуры нелинейно. По этой причине системы уравнений математического описания реактора идеального смешения также являются нелинейными, и их решение, как правило, требует применения соответствующих численных методов. Программа решения системы уравнений (13) произвольный размерности для изотермического реактора идеального смешение при заданных концентрациях приведена в приложении.

В качества исходных данных принять:

VR=2; V=l; К=6; М=4 (число стадии реакции); KR=(1,0; 2,0; 3,0; 4,0); EPS=0,01; DELC=0,001.

ВЫВОДЫ

Во введении приводится развитие химии и химической технологии тесно связанные с применением численных методов.

В выпускной квалификационной работе освещается постановка задачи, актуальность темы, цели и задачи работы, методы исследования, научная ценность работы, практическая ценность работы и содержание работы.

В § 1 параграфе приводится основные виды реакторов и их основные функции. В качестве примера приводится составление математической модели реактора идеального смещения периодического действия, которая сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Во § 2 параграфе приводится сравнительный анализ численных методов решения ОДУ и автоматически выбирается оптимальный алгоритм того или иного численного метода применяемого задач химии и химической технологии.

В § 3 параграфе рассматривается применение разработанного оптимального алгоритма к решению математической модели реактора идеального вытеснение или другого вида реактора.

В § 1 параграфе приводится применение оптимального алгоритма численного решения математической модели реактора идеального смещения.

Все полученные результаты на компьютере сравнивается с экспериментальными данными, полученными в лабораторных условиях.

Следует отметить, что полученные результаты существенно облегчают трудоёмкость проводимых исследований в лабораторных условиях, рассматриваемые оптимальные алгоритмы, блок-схемы и программы представляют научный интерес для специалистов в области химии и химических технологий.

ПРОГРАММА

program Progl; {$APPTYPE CONSOLE} uses

SysUtils;

label

A, finp;

const

n=3; m=2;

type

arrl = array [l..n] ofreal;

arr2 = array [l..m] of real;

arr3 = array [l..n,l.jn] of real;

arr4 = array [1 ..5] of real;

var

p, ss, i, j: integer,

x, xfin, eps, hs, hout, xout, sb, v, h, outl: real;

prim: boolean;

y, z, yfin: arrl;

q:arr3;

kn arr2;

F: integer,

t, kl, k2, k3, k4, xO, xf:: real;

Yl: Array [0..200] of real;

Function XX(t:real): real;

Begin

XX:= exp(-F*t/V)*(xO-xf)+xf;

end;

function ST(a:real; k:integer):real;

var

i:integer;

begin

a:=l;

for i:=l to к do

a:=a*a;

ST:=a;

end;

procedure pl024(x:real; y,z:arrl; n:integer);

var

ij, m: integer,

r:arr2;

begin

for j:=l to m do

begin

rЈj]:=kr;

for i:=l to n do

begin

if q[i,j]<0 then r[j] :=r[j]*y[i]*abs(q[i,j])

end;

end;

for i:=l to n do

begin

z[i]:=0;

for to m do

z*

end;

end;

procedure step(x, xh, h:real; y, yh:arrl);

var

j,k : integer;

w : arrl;

a : arr4;

begin

a[l]:= 0.5*h;

a[2]:= 0.5*h;

a[5]:= 0.5*h;

a[3]:=h;

a[4]:=h;

xh:=h;

for k:=4 to n do

begin

yh[k]:= y[k];

w[k]:=y[k];

end;

for j:=l to 4 do

begin

pl024(xh, w, z, n);

xh:= x+a [j];

for k:=l to n do

begin

yh[k] :=yh[k]+a[j+l]*z[k]/3;

w[k]:=y[k]+a[j]*z[k];

end;

end;

end;

procedure p502(x, xfin:real; y, yfm:arrl; nn:integer; prim:boolean);

label

labl,

//lab2,

lab3,

fin;

var

xl, x2, x3, u:real;

yl, y2, y3:arrl;

к: integer;

begin

labl: If ((x+2.01 *h-xfin)>0) and (h>0) then

begin

hs:=h;

outl:=l;

h:= (xfin-x)/2;

end;

step(x, xl,h, y, yl);

//lab2:

step(x, x2, h, y, y2);

step(x2, x2, h, y2, y3); for k:=l to n do

begin

if (abs(yl[k])<eps) or (abs(y3[k])<eps)

then

u:=abs(y 1 [k]-y3 [k])/eps

else

u:=abs(y2[k]-y3[к])/уЗ[к] ;

if u>eps then goto lab3;

end;

x:=x3;

if outl=l then goto fin;

for k:=l to n do

y[k]:=y3[k];

if ss=5 then

begin

ss:=0;

h:=2*h;

end;

ss:=ss+l;

goto labl;

lab3: h:=0.5*h;

outl:=0;

xl:=x2;

for k:=l to n do

yl[k]:=y2[k];

// goto lab2;

fin: for k:=l to n do

yfin[k]:=y[3];

end; {ofp502}

procedure Runge;

label 1, 2;

type

arrl = array [l..n] of real;

arr2 = array [1..10] of real;

аггЗ = array [l..m, l..n] of real;

arr4 = array [1..2] of real;

arr5 - array [l..m] of real;

var

xe, xa : arrl;

akc : arr2;

xn, p : arr4;

x,y,r,xl,yl:arr3;

tau, eps, t, a, al, b, bl, Ь2, c, cl, si, ep, fil, h, ak, akr, epsl, fi2: real;

i, j, к, kn, 1, nn, il, i2: integer;

begin

writeln ('Элементы массива XE:');

for i:=l to n do

read(xe[i]);

writeln('AKC o'zgaruvchisini boshqaruvchi massivni kiriting:');

for i:=l to 10 do read(akc[i]);

tau:=akc[4];

eps:=akc[5];

t:=akc[6];

for j:=l to m do

begin

xn[j]:=0;

for i:=l to n do

begin

x [j,i] :=xn[j];

у [ j,i] :=xn[j];

end;

end;

h := 1/n;

al:=(2*h-sqr(h)*akc[3])/(2*sqr(h)*h*akc[3]);

bl := (2 *tau+sqr(h)* akc [3 ])/(tau* sqr(h)*h* akc [3 ]); cl:= (2 *h+sqr(h)* akc [3 ] )/(2 * sqr(h) * h* akc [3 ]); b2:=2*h/tau;

k:=0;

ep:= sqr(eps);

k:=k+l;

if (abs(ep)<eps) then goto 1;

ep:=0;

for j:=l to m do

begin

if (xD,l]<=0) then c:=xn[j]/x[j,l]; p[l]:=(l+h*akc[3]*c)/(l+h*akc[3]);

kn:= n-1;

ak:=5.2;

if (t<803) then ak:=st (10, round (65-2530*((1 /t)-( 1/787))));

if (t<773) then ak:=st (10, round (525-3750*((l/t)-(l/763)))); akr:=st((4905.5/t)-4.6455, 10);

a: =xe [3];

//b:=xe[4];

sl:=(b-a*x[j,l]/2)/(l-a*x[j,l]/2)*(l-x[j,l])/(l-25*x[j,l])*sqr(l-x[j,l])*

*(l-a*x[j,l]/2)/sqr(akr*(l-x[j,l]))/(b-a*x[j,l]/2);

end;

sl:=sl*ak*t/273;

for j:=l to m do

for i:=l to n do

begin

fil:=(x[j,l]/tau)-akc[7]*(x[j,i]-y[i,i])*akc[8]/akc[9]*sl;

l:=i+l;

p[l]:=al/(bl-cl*p[i];

r[j,l]=:=(cl*r[j,i]+fil)/(bl-cl*p[i]);

end;

for j:=l to m do

begin

xl[j,n]:=l;

if r[j,n]<>0 then x 1 [j,n]:=(r[j,n]/1 )-p[2];

for i:=l to kn do

begin

il:=n-l;

i2:=il+l;

xlD,il]:=p[2]*xl[),2]+r[j,2];

epsl :=xl[j,il]-x[j,il];

if abs(ep)<abs(epsl) then ep:=epsl;

p[l]:=0;

if y[j,l]<>0 then p[l]:=xn[j]/y[j,l];

end;

end;

for j:=l to m do

begin

for i:=l to n do

begin

fi2:=(2*h*y[j,l]/tau)+2*h*akc[7]*(x[i,i]-y[j,i])*akc[8]/(l-akc[8]);

l:=i+l;

p[l]:=l/(p[i]-b2);

r[j,l]:=(rU,i]+fi2)/(b2-p[i]);

end;

if r[j,n]<>0 then

begin

yl[j,n]:=r[j,n]/(l-p[2]);

i 1 :=n-1;

i2:=il+l;

у 1 [j,il] :=p [2]*y1[j,2]+r [j,2];

eps l:=yl[j,il]-y[j,il];

if (abs(ep)<abs(epsl)) then ep:=epsl;

end;

end;

for j:=l to m do

for i:=l to n do

begin

x[j,i]:=xl[j,i];

у[j,i]:=у1[j,i];

end;

goto 2;

1: for j:=l to m do

xn[j] :=akc[8] *x[j ,n]+( 1 -akc[8] *y [j ,n]);

xa[2]:=t;

xa[l]:=xe[l]*(l-xe[3]*xn[l]/2);

xa[3]:=xe[3]*(l-xn[l])/(l-xe[3]*xn[l]/2);

//xa[4]:=(xe[4]-5*xe[3]*xn[l])/(l-xe[3]*xn[: //xa[5]:=(xe[5]+xe[3]*xn[l])/(l-xe[3]*xn[l] ;

//xa[6] := 1 -(xa[3]+xa[4]+xa[5]);

Writeln ('Результат элементы массива:');

for i:=l to n do

writeln(xa[i]);

end;

begin

if prim

then

begin

h:=xfm-x;

ss:0);

end

else

begin

h:=hs;

outl:=0;

end;

Reset(input,'input.txt');

Rewrite(output, 'ddd.txt');

readln(hout, eps, x, xfin, sb, v);

Readln(xO, F, xf, V);

Prim;=true;

xout:=x;

A: xout:=xout+hout;

if xout<xfin then p502(x, xfin, y, yfin, n, prim)

else goto finp;

for p:=l to n do y[p]:=yfin[p];

prim:=false;

x:=xout;

Goto A;

finp:

y[l]:=1.0;

writeln (' Y ')

for i:=l to n do

writeln(y[i]:5:3);

for i:=l to 2 do

begin

q[i,i]:=-l;

q[i+l,i]:=l;

kr[i]:=l;

end;

writeln (' Q ')

for i:=l to n do

begin

for j :=1 to m do

write (q[i,j]:5:3/ ');

writeln;

end;

writeln (' KR ')

for i:=l to m do

writeln(kr[i]:5:3);

//Reset(input,'inputs.txt');

//Rewrite(output, 'output3.txt')

h:=5;

yl[0]:=0;

writeln;

writeln(' Результаты функции Y:' );

for i:=l to 8 do

begin

t:=i*h;

kl:=h*XX(t);

k2:=h*XX(t+h/2);

k3 :=h*XX(t+h/2);

k4:=h*XX(t+h);

yl[i]:=yl[i-l]+(l/6)*(kl+2*k2+2*k3+k4);

writeln('y[',i,' ]=', yl[i]:0:4);

end;

end.

Предварительные результаты:

Y

1.000

0.000

0.000

------------------------~ Q----------------------

-1.000 0.000

1.000 -1.000

0.000 1.000

KR

1.000

1.000

Input 1;

0.1	0.01	0	1	1	0.5
0	1	0.9	5
23	6	98	1	45	3	5
2	34	75	1	0.001	12	2	45	8 34

Output 1:

Результаты функции Y:

у[1]=3.4532

у[2]=7.5681

у[3]=11.9264

у[4]=16.3743

у[5]=20.8551

у[6]=25.3481

у[7]=29.8455 у[8]=34.3445

Input2:

0.1	0.0001		0	1	1	0.5
3	1	5	5
23	7	98	1	45	2	5
2	34	75	1	0.01	12	2 45 2	34

Output2:

Результаты функции Y: у[1]=22.6738

у[2]=46.8180

у[3]=71.5032

у[4]=96.3874

у[5]=121.3448

у[6]=146.3291

у[7]=171.3233

у[8]=196.3212

Input3:

0.1 0.0001 0 2 2 0.5 1163

23 7 98 1 45 2 5

2 34 75 1 0.000001 12 2 45 2 34

Output3:

Результаты функции Y: у[1]=27.696293 у[2]=57.261179 у[3]=87.178997 у[4]=117.163475 у[5]=147.160543 у[6]=177.159989 у[7]=207.159885 у[8]=237.159865

ЛИТЕРАТУРА

1. Кафаров В.В. и др. "Программирование и вычислительные методы в химии и химические технологии". М: «Наука», 1972.

2. Бояринов А.И., Кафаров В.В. "Методы оптимизации в химической технологии". М: «Химия», 1969.

3. Исроилов М.И. «Хисоблаш усуллари»

4. Е.А.Жоголев, Н.П.Перифонов. «Курс программирования». М., 1971

5. Денбиг К.Г. «Теория химических реакторов». М.: Наука, 1968.

6. Крамере X., Вестертеп К. «Химические реакторы». М.: Химия, 1967.

7. Кончева, Марон. «Вычислительная математика в примерах и задачах».

8.Батунер M., Позин М.Э. "Математические методы в химической технологии".

Размещено на Allbest.ru