Расчет эффективного времени замораживания при криохирургии рака легкого на основе моделирования по методу Годунова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет эффективного времени замораживания при криохирургии рака легкого на основе моделирования по методу Годунова

Т.Г. Котова,

В.И. Коченов,

С.Н. Цыбусов,

Д.Ю. Мадай,

А.В. Гурин

Представлены результаты моделирования криохирургии рака легкого с использованием численных решений уравнения энтальпии по методу Годунова. С целью совершенствования процедуры криодеструкции были успешно выполнены расчеты эффективного времени замораживания с учетом процесса изменения шарика льда, покрывающего участок опухоли. Геометрические параметры преобразования шарика льда получены путем расчетов распределения температуры и положения границ раздела в биологической ткани. Математические процедуры криохирургии описываются уравнениями теплопроводности в твердой и жидкой фазах. Численные результаты для одномерного случая проверены сравнением с точным решением. При двумерном моделировании эффективное время криовоздействия, которое соответствует времени замораживания всех участков раковой опухоли, получено путем расчета площади формирования шариков льда, покрывающей весь участок опухоли. Результаты позволяют устанавливать эффективное время криохирургической процедуры при раке легкого. Знание распределения температуры и положения границы раздела в биологической ткани дает возможность криохирургу завершить процедуру в определенном интервале времени, чтобы свести к минимуму повреждение здоровой ткани и максимально разрушить участок раковых клеток. Использование моделирования позволяет более эффективно и качественно выполнять планирование криохирургического воздействия при раке легкого.

Стандартным методом лечения немелкоклеточного рака легких I и II стадии и операбельных форм IIIА-IIIВ стадии является хирургический в объеме лоб-, билоб- или пневмонэктомии с ипсилатеральной медиастинальной лимфодиссекцией. В настоящее время в операбельных случаях изучается эффективность проведения как неоадъювантной, так и адъювантной химиотерапии. В неоперабельных случаях методом выбора считается проведение лучевой терапии. В IV стадии таким методом выбора служит паллиативная химиотерапия. Лечение мелкоклеточного рака легких заключается в различных комбинациях химио- и лучевой терапии. Хирургический метод рассматривается как компонент комплексного лечения у пациентов с I и II стадией заболевания [1].

Трудности криохирургии связаны с необходимостью сведения к минимуму повреждения здоровой ткани, что обусловило активные исследования процесса замораживания в ходе криохирургической процедуры с помощью компьютерного моделирования. R. Wan и соавт. [3] продемонстрировали процесс изменения шарика льда в ходе криохирургической процедуры, используя модель его анализа методом конечных элементов. Аналогичный численный метод был также использован в работе [4] для моделирования криохирургии предстательной железы с рассмотрением аспектов термического стресса. Кроме того, M.R. Rossi и соавт. [5, 6] разработали эффективный численный метод автоматизированного планирования для криохирургии. Другие примеры моделирования в криохирургии можно найти в работах J. Shi и G. Zhao [7, 8]. Однако во всех этих моделях не учитывалось эффективное время замораживания, несмотря на то, что фактор времени является важным моментом для достижения успеха в процедурах криохирургии. Криохирургия является одним из хирургических методов, при котором для разрушения раковых клеток применяют экстремально низкие температуры. В последние годы разработаны криохирургические процедуры для лечения сложных форм рака, таких как рак мозга, легких, молочной железы, предстательной железы, почек и печени. Воздействие на опухолевые клетки при использовании экстремально низких температур (жидкий азот с температурой -196°C) осуществляется посредством криозонда. Вследствие низких температур на участке вокруг криозонда формируется шарик льда, который непрерывно замораживает раковые клетки. В результате криовоздействия биологическая ткань разделяется на две области: область твердого вещества и жидкости. Замороженные раковые клетки повреждаются, если их температура ниже -30°C [2]. Цель данной процедуры заключается в том, чтобы нанести максимальный ущерб клеткам злокачественной опухоли при минимальном ущербе для окружающей здоровой ткани.

Цель исследования -- определить эффективное время замораживания при криохирургии рака легкого путем моделирования положения границы раздела, полученной от распределения температур, с помощью исследования процесса изменения шарика льда.

Процессы криохирургии математически моделируются в виде уравнений теплопроводности в твердой и жидкой фазах, где граница раздела между двумя фазами подчиняется условию Стефана. В частности, уравнение теплопроводности в жидкой фазе представлено уравнением Пеннеса для переноса биотепла [9-11]. Вследствие сложности решения уравнения переформулированы в виде уравнений энергии (энтальпии). Преимущество использования формулировки расчета энтальпии состоит в том, что основные уравнения остаются неизменными, независимо от того, к какой фазе они применяются -- жидкой или твердой, поэтому для их решения можно легко применять стандартные численные схемы, такие как метод Годунова [12, 13].

Математический аппарат моделирования

Исследуемая область Щ является участком ткани, занятой здоровыми и раковыми клетками, которые исходно находятся в жидкой фазе. Когда начинается замораживание раковых клеток, происходит смена фазы с жидкого состояния на твердое. Пусть Щ_S и Щ_L являются областью твердой и жидкой фазы соответственно, а Г -- четкая и плавная граница раздела, отделяющая области твердого и жидкого состояния. Предположим, что T(x,t) -- температура в положении и времени t. В замороженной области (твердая фаза) уравнение теплопроводности может быть выражено следующим образом:

где с_S, c_S и k_S -- плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность замороженной ткани соответственно.

Однако в незамороженной области (жидкая фаза) вследствие перфузии крови и процесса метаболизма уравнение теплопроводности можно записать в виде уравнения переноса биотепла, т.е.

где с_L, c_L и k_L -- плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность незамороженной ткани соответственно; щ_b, с_b, c_b и T_b -- перфузия, плотность, удельная теплоемкость и температура крови соответственно, Q_m -- метаболическое тепловыделение. Аналитические исследования переноса биотепла описаны в литературе [12, 13]. В данном исследовании принято, что с_S=с_L=с, поэтому в процессе замораживания не происходит расширения объема.

Условие положения границы раздела соответствует условию Стефана:

где L -- скрытая теплота, н_n и n -- нормальная составляющая скорости и исходящий блок, перпендикулярный Г, соответственно.

Кроме того, температура на поверхности раздела может быть записана в следующем виде:

где T_m -- температура таяния.

Реализация метода Годунова

Поскольку положение границы раздела не известно и должно быть определено для каждого случая, численное решение уравнений (1)-(4) является непрямым. Методика решения такой задачи будет заключаться в преобразовании уравнения теплопроводности областей твердого и жидкого состояния в уравнение энергии (энтальпии). В такой энтальпийной форме границу между твердой и жидкой фазами учитывать не обязательно, так что можно легко применить численную схему в терминах сохранения энергии, т.е. метод Годунова. криовоздействие опухоль замораживание

Предположим, что E(x,t) обозначает энтальпию на единицу площади в положении x и момент времени t, тогда сумма явного и скрытого тепла составит:

где T(x,t)<T_m и T(x,t)>T_m -- температуры твердой и жидкой фазы соответственно.

Пусть 0?x?l₁, 0?y?l₂ -- двумерная область биологической ткани, в данном случае l₁=l₂=0,4 м. Область [0, l₁], [0, l₂] разделена на подинтервалы M₁ и M₂ соответственно. Таким образом, мы получаем контрольные объемы M₁ и M₂. Внутренний участок V_i,j=[x_i-1/2, x_i+1/2]Ч[y_i-1/2, y_i+1/2] определяется как контрольный объем, где x_i-1/2 является узлом между x_i-1 и x_i. Сохранение энергии в каждом контрольном объеме V_i,j может быть выражено в виде

где E(x,t) -- энтальпия на единицу площади; -qn -- поток тепла в участок V_i,j через его границу ?V_i,j, n -- исходящий блок, перпендикулярный ?V_i,j.

Явная схема в двумерной области (6) на основе метода Годунова будет представлена как

Распределение температуры в раковых клетках и здоровых тканях получено из уравнения (5), где значения энтальпии в каждом контрольном объеме V_i,j рассчитываются с помощью уравнения (7).

Верификация модели для одномерного случая

Точные решения уравнений (1)-(4) доступны для полубесконечных одномерных случаев, но без учета перфузии крови и метаболического теплообразования. Структура одномерных задач криохирургии может быть описана следующим образом. Предположим, что 0<x<? ?-- полубесконечная область, которая первоначально находится в жидкой фазе при температуреT_L>T_m. При х=0 температура поддерживается на уровне T_S<T_m, так что замораживание начнется в направлении от левого к правому краю области при 0<x<Г(t), а Г<x<? -- области твердой и жидкой фазы соответственно. Точными решениями данной задачи являются:

Термин erf обозначает интеграл вероятности ошибок, а параметр л находят решением трансцендентного уравнения:

Метод Годунова для одномерного случая представлен уравнением (7), но без двух последних членов в правой части. Численное решение температуры получено с использованием уравнения (5), при этом положение поверхности раздела в момент времени tⁿаппроксимируется:

Здесь m представляет собой индекс, при котором контрольный объем V_m содержит границу раздела, а л_m -- жидкая фракция, которая может быть выражена как:

На рис. 1 и 2 показано распределение температуры и положение границы раздела, которые вычислены с использованием метода Годунова, и сравнение их с точным решением [см. (7)-(12)].

Рисунки наглядно демонстрируют, что численная схема Годунова практически полностью совпадает с точным решением. Средняя ошибка распределения температуры и положение границы раздела (с привлечением физических свойств, см. таблицу) при Дx=0,1/320 равны 1,76 и 0,013% соответственно.

Численное моделирование криохирургии рака легкого

Имитационные модели предназначены для того, чтобы помочь хирургу определить длительность проведения процедуры криохирургии рака легких, поскольку, как уже указывалось, фактор времени в этом случае чрезвычайно важен: он позволяет снизить риск повреждения здоровых тканей от замораживания. Покажем на примере произвольно выбранных геометрической формы и местоположения раковой опухоли в левом легком человека, как происходит расчет эффективного времени замораживания (рис. 3).

Экстремально низкая температура (-196°С) подается через криозонд к раковым клеткам, которые исходно находятся в жидкой фазе при температуре 37°С. По мере понижения температуры ткани вокруг криозонда формируется шарик льда, который затем распространяется кнаружи от криозонда в раковые клетки и окружает их. К определенному моменту времени шарик льда покрывает все целевые участки. Считается, что эффективное время замораживания -- это время, за которое все целевые участки, содержащие раковые клетки, будут заморожены.

Для того чтобы определить эффективное время замораживания, необходимо рассчитать площадь замороженных раковых клеток и здоровой ткани с учетом процесса изменения шарика льда. В моделировании процесса изменения геометрической формы шарика льда, покрывающего участок с опухолью, используются физические свойства, приведенные в таблице.

На рис. 4 показан процесс изменения шарика льда с процентным соотношением площади замороженных раковых клеток (FC) и замороженной здоровой ткани (FH) на исследованном участке (см. рис. 1).

Первоначально площадь участка раковой опухоли и левого легкого составляла 0,001899 и 0,035359 м² соответственно. К моменту времени t=14,11 с шарик льда охватывает 26,11% площади раковых клеток и 0,18% площади здоровой ткани. Полное покрытие участка раковых клеток достигается к моменту времени t=522,24 спри площади покрытия замороженной здоровой ткани 4,06%. Следовательно, процедуру криохирургии следует остановить в момент времени t=522,24 с, чтобы предотвратить рост повреждения здоровых тканей.

Для регистрации температуры на схеме были выбраны шесть точек внутри и за пределами участка рака легкого (рис. 5).

Можно заметить, что точка 1, расположенная достаточно близко к криозонду, достигла заморозки в течение менее 7 с, тогда как точкам 2 и 3 для замерзания потребовалось 84 с. Через 522,24 с после начала процесса замораживание было завершено; температура в точках 1, 2 и 3 составила -140, -103 и -67°С соответственно. Таким образом, раковые клетки вокруг этих трех точек были повреждены. В точке 4 произошло нежелательное замораживание здоровой ткани к моменту 331 с, и к концу времени экспозиции температура составила ?19°С. Кроме того, можно отметить, что через 522,24 с в точках 5 и 6 замораживания не произошло. Это соответствует целям криохирургии: данные точки находятся за пределами участка раковой опухоли и поэтому не должны подвергаться заморозке.

Таким образом, первые три точки повреждены, а последние три точки имеют нормальную температуру здорового человека. Динамика температуры в этих шести точках представлена на рис. 6.

На рис. 7 показано распределение температуры в ходе процедуры криохирургии для нескольких моментов времени. При t=522,24 с практически все участки раковой опухоли имели температуру ниже -50°С, в результате чего все опухолевые клетки внутри этих участков были повреждены. Отчетливо видно положение границы раздела, повторяющей геометрическую форму шарика льда.

Таким образом, в данной работе с целью исследования эффективного времени замораживания при проведении процедуры криохирургии рака легкого были успешно выполнены его расчеты с учетом процесса изменения шарика льда, покрывающего участок опухоли. Геометрические параметры преобразования шарика льда получены путем изучения распределения температуры и положения границ раздела в биологической ткани.

Установленное эффективное время процедуры криохирургии составило 8 мин 42 с. Это означает, что в аналогичных случаях рака легкого криохирургу следует завершить процедуру на данном интервале времени, чтобы предотвратить повреждение здоровой ткани. Знание распределения температуры и положения границы раздела в биологической ткани позволит свести к минимуму повреждение здоровой ткани и максимально разрушить опухоль.

Заключение. Расчет эффективного времени замораживания и моделирование процедуры криохирургии на его основе позволяют более эффективно и качественно выполнять планирование криохирургического воздействия при раке легкого.

Финансирование исследования и конфликт интересов. Исследование не финансировалось какими-либо источниками, и конфликты интересов, связанные с данным исследованием, отсутствует.

Литература

1. Справочник по онкологии. Под. ред. Моисеенко В.М. СПб.; 2008.

2. Kumar S., Katiyar V.K. Numerical study on phase change heat transfer during combined hyperthermia and cryosurgical treatment of lung cancer. Int J ofApplMathandMech 2007, 3(3): 1-17.

3. Wan R., Liu Z., Muldrew K., Rewcastle J. A finite element model for ice ball evolution in a multi-probe cryosurgery. ComputMethodsBiomechBiomedEngin 2003; 6(3): 197-208, http://dx.doi.org/10.1080/1025584031000151185.

4. Yang B., Wan R.G., Muldrew K.B., Donnelly B.J. A finite element model for cryosurgery with coupled phase change and thermal stress aspects. Finite Elem Anal Des 2008; 44(5): 288-297, http://dx.doi.org/10.1016/j.finel.2007.11.014.

5. Rossi M.R., Tanaka D., Shimada K., Rabin Y. An efficient numerical technique for bioheat simulations and its application to computerized cryosurgery planning. Comput Methods Programs Biomed 2007; 85(1): 41-50, http://dx.doi.org/10.1016/j.cmpb.2006.09.014.

6. Rossi M.R., Tanaka D., Shimada K., Rabin Y. Computerized planning of cryosurgery using bubble packing: an experimental validation on a phantom material. International Journal of Heat and Mass Transfer 2008; 51(23-24): 5671-5678, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2008.04.045.

7. Shi J., Chen Z., Shi M. Simulation of heat transfer of biological tissue during cryosurgery based on vascular trees. AppliedThermalEngineering 2009; 29(8-9): 1792-1798, http://dx.doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2008.08.014.

8. Zhao G., Zhang H.-F., Guo X.-J., Luo D.-W., Gao D.-Y. Effect of blood flow and metabolism on multidimensional heat transfer during cryosurgery. MedEngPhys; 2007; 29(2): 205-215, http://dx.doi.org/10.1016/j.medengphy.2006.03.005.

9. Shih T.-C., Yuan P., Lin W.-L., Kou H.-S. Analytical analysis of the Pennesbioheat transfer equation with sinusoidal heat flux condition on skin surface. MedEngPhys 2007; 29(9): 946-953, http://dx.doi.org/10.1016/j.medengphy.2006.10.008.

10. Chua K.J., Chou S.K., Ho J.C. An analytical study on the thermal effects of cryosurgery on selective cell destruction. J Biomech 2007; 40(1): 100-116, http://dx.doi.org/10.1016/j.jbiomech.2005.11.005.

11. Deng Z.-S., Liu J. Analytical study on bioheat transfer problems with spatial or transient heating on skin surface or inside biological bodies. J BiomechEng 2002; 124(6): 638-649, http://dx.doi.org/10.1115/1.1516810.

12. Chua K.J., Chou S.K., Ho J.C. An analytical study on the thermal effects of cryosurgery on selective cell destruction. J Biomech 2007; 40(1): 100-116, http://dx.doi.org/10.1016/j.jbiomech.2005.11.005.

13. Voller V.R., Shadabi L. Enthalpy methods for tracking a phase change boundary in two dimensions. International Communications in Heat and Mass Transfer 1984; 11(3): 239-249, http://dx.doi.org/10.1016/0735-1933(84)90040-x.

Размещено на Allbest.ru