Перестановки и подстановки, группа подстановок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ФЕРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет

Математика-информатика

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Перестановки и подстановки, группа подстановок»

студента II курса 20.06 (р)(А) группы

направления «математики»

Юсуфжанов Маъруфа

Руководитель: доцент кафедры

Шерматов А.А

Фергана 2021



Содержание

Введение

ГЛАВА 1. Перестановки

1.1. Основные понятия и теоремы

1.2. Транспозиция перестановки

ГЛАВА 2. Глава 2. Подстановки и операции над ними

2.1 Подстановки

2.2 Циклические подстановки

2.3 Умножение подстановок

2.4 Разложение подстановок в произведение циклов с непересекающимися орбитами

Заключение

Использованные литературы



Введение

В комбинаторике перестаномвка -- это упорядоченный набор чисел  обычно трактуемый как биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки.

В теории групп под перестановкой (подстановкой) произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя.

Как синоним слову «перестановка» в этом смысле некоторые авторы используют слово подстановка. (Другие авторы подстановкой называют наглядный способ записи перестановки. Более существенное отличие состоит в том, что подстановка -- это непосредственно функция, а перестановка -- результат применения этой функции к элементам последовательности.)

Термин «перестановка» возник потому, что сначала брались объекты, каким-то образом расставленные, а другие способы упорядочения требовали переставить эти объекты.

Перестановкой называются наборы состоящие из одного и того же количества элементов, отличающихся только порядком следования элементов. симметрический циклический умножение

В дальнейшем нам будут нужны некоторые свойства взаимно однозначных отображений конечного множества на себя. Такие отображения называются подстановками. Название объясняется такой интерпретацией отображения: каждый элемент остается на месте либо вместо него подставляется другой элемент того же множества. Множество всех подстановок «-элементного множества {а[,...,а_п} обозначается S_n = S_n(a,..., а_п).



Глава 1. Перестановки

1.1. Основные понятия и теоремы

Определение 1.1. Всякое расположение чисел 1, 2, ... , n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел. Другими словами, под перестановками чисел принято понимать всевозможные способы, которыми эти числа можно выстроить в ряд.

Можно подсчитать число таких способов. Одно число можно выстроить в ряд одним способом. Два числа - двумя способами: 1, 2 и 2, 1. Числа 1, 2, 3 можно выстроить в ряд следующими способами:

1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1.

Всего их шесть. Действительно, на первом месте могут стоять только числа 1, 2 и 3, а два остальных числа в каждом из трех возможных случаев можно выстроить в ряд двумя способами. Аналогичный принцип позволяет подсчитать число перестановок из четырех чисел: 1, 2, 3 и 4. Любое из чисел 1, 2, 3 и 4 может стоять на первом месте, а число всех перестановок трех остальных элементов есть 6:

1 2 3 4	2 1 3 4	3 1 2 4	4 1 2 3
1 2 4 3	2 1 4 3	3 1 4 2	4 1 3 2
1 3 2 4	2 3 1 4	3 2 1 4	4 2 1 3
1 3 4 2	2 3 4 1	3 2 4 1	4 2 3 1
1 4 2 3	2 4 1 3	3 4 1 2	4 3 1 2
1 4 3 2	2 4 3 1	3 4 2 1	4 3 2 1 .

Число перестановок из четырех элементов равно 4·6=24, т.е. умножаем число перестановок из трех элементов (всего их 6) на 4. Шесть перестановок из трех чисел мы получим, умножив число перестановок из двух чисел (всего их 2) на 3. Таким образом, число перестановок из четырех элементов можно представить в виде 24=4·3·2·1. Можно показать, что число перестановок из пяти чисел равно 5·4·3·2·1=120.

Теорема 1.1. Число различных перестановок из n чисел равно произведению 1·2·3· ...·n, обозначаемому n! (читается: "эн факториал").

Доказательство. Действительно, общий вид перестановки из n символов есть i₁, i₂, ... , i_n, где каждое из i_s есть одно из чисел 1, 2, ... , n, причем ни одно из этих чисел не встречается дважды. В качестве i₁ можно взять любое из чисел 1, 2, ... , n; это дает n различных возможностей. Если, однако, i₁ уже выбрано, то в качестве i₂ можно взять лишь одно из оставшихся n-1 чисел, т.е. число различных способов выбора пары символов i₁, i₂ равно произведению n(n-1). Если, уже выбраны i₁ и i₂, то в качестве i₃ можно взять лишь одно из оставшихся n-2 чисел, т.е. число различных способов выбора тройки символов i₁, i₂, i₃ равно произведению n(n-1)(n-2) и т.д. Аналогично, если выбраны числа i₁, i₂, i₃, ..., i_n-2, то в качестве i_n-1 можно взять лишь одно из оставшихся двух чисел, а возможность выбора для i_n остается одна. Таким образом, число различных способов, которыми можно выбрать символы i₁, i₂, … , i_n равно произведению n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·...·2·1=1·2·3· ...·(n-2)·(n-1)·n=n! Теорема доказана.

Определение 1.2. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию, если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j.

Определение 1.3. Перестановка называется четной, если ее числа составляют четное число инверсий, и нечетной - в противоположном случае.

Например, перестановка 4, 5, 1, 3, 6, 2 четная, так как число инверсий в ней равно 8. Перестановка 1, 2, ... , n будет четной при любом n, так как число инверсий в ней равно нулю.

1.2. Транспозиция перестановки

Определение 1.4. Преобразование в перестановке, при котором мы поменяем местами какие-либо два символа (необязательно стоящие рядом), а все остальные символы оставим на месте, называется транспозицией.

Всего n(n-1)!=n! перестановок. Этим путем можно перебрать все n! перестановок из n символов. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что от любой перестановки из n символов можно перейти к любой другой перестановке из тех же символов при помощи нескольких транспозиций.

Теорема 1.1. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала случай, когда транспонируемые символы i и j стоят рядом, то есть перестановка имеет вид

... , i, j, ... ,

где многоточия заменяют те символы, которые не затрагиваются транспозицией. Транспозиция превращает нашу перестановку в перестановку

..., j, i, ... , причем, понятно, в обеих перестановках каждый из символов i, j составляет одни и те же инверсии с символами, остающимися на месте. Если символы i и j раньше не составляли инверсии, то в новой перестановке появляется одна новая инверсия, т.е. число инверсий увеличивается на единицу. Если же i и j раньше составляли инверсию, то теперь она пропадает, т.е. число инверсий на единицу уменьшается. В обоих случаях четность перестановки меняется.

Пусть теперь между транспонируемыми символами i и j расположены s

(s>0) символов, т.е. перестановка имеет вид

... i, k₁, k₂, ... , k_s, j,...

Транспозицию символов i, j можно получить в результате последовательного выполнения 2s+1 транспозиций соседних элементов. А именно, это будут транспозиции, переставляющие символы i и k₁, затем i (уже стоящее на месте символа k₁) и k₂ и так далее, пока i не займет место символа k_s. За этими s транспозициями следует транспозиция, перемещающая символы i и j, а затем s транспозиций символа j со всеми k, после чего j занимает место символа i, а символы k возвращаются на свои старые места. Таким образом, мы нечетное число раз меняли четность перестановки, а поэтому перестановки

... , i, k₁, k₂, ... , k_s, j, ... и ..., j, k₁, k₂, ... , k_s, i, ... имеют противоположные четности. Теорема доказана.

Из теорем 1.2 и 1.3 вытекает, что при n ?2 число четных перестановок из n символов равно числу нечетных, то есть равно n! . Определим новое понятие, понятие подстановки n-й степени.



Глава 2. Подстановки и операции над ними

2.1 Подстановки

Определение 1. Произвольное взаимно однозначное отображение множества первых ?? натуральных чисел называется подстановкой m -го порядка.

Замечание 1. Часто подстановки называют перестановками.

Обычно подстановку  изображают следующим образом: , что задает образы всех элементов: ,  и так далее. Также используют запись .

Пример 1. Подстановку  можно записать также в виде , так как в обоих случаях мы имеем отображение , , .

Определение 2. Элемент  подстановки называется действительно перемещаемым, если .

Пример 2. В подстановке  два действительно перемещаемых символа: 1 и 3.

Операция умножения на подстановках определяется как композиция отображений, причем знак композиции  обычно опускают

.

При такой записи различные подстановки отличаются друг от друга только перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число подстановок n-ой степени равно числу перестановок из n символов, то есть равно n!

При всех записях подстановки A четности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны.

Определению четности подстановки можно дать другие формы.

Определение 1.6. Подстановка A будет четной, если общее число инверсий в двух строках четно, и нечетной в противном случае.

Предложение 1. Четность подстановки не зависит от способа разложения подстановки в произведение транспозиций.

Предложение 2. Для двух подстановок  и  четность их произведения равна произведению четностей:

.

Доказательство.

Предложение 3. Пусть  -- цикл длины . Тогда его четность равна .

Доказательство.

Определение 1.7. Пусть  -- разложение подстановки в произведение независимых циклов длин . Число  называется декрементом - подстановки .

Предложение 4. Пусть  -- разложение подстановки в произведение независимых циклов длин . Тогда четность подстановки  вычисляется по формуле

.

Доказательство.

Пример 1. Любая транспозиция -- это нечетная подстановка. Подстановка из примера 4 нечетная, так как декремент  -- нечетное число.

Пример 2. Любая подстановка, в разложении которой на независимые циклы все циклы имеют нечетные длины , четна, так как ее декремент -- это сумма  четных чисел .

Определение 1.7. Результат последовательного выполнения двух взаимно однозначных отображений множества 1, 2, ... , n на себя снова будет, некоторым взаимно однозначным отображением этого множества на себя, то есть подстановкой n-й степени, называемой произведением первой из заданных подстановок (первое отображение) на вторую.

Пример 1. Рассмотрим симметрическую группу третьей степени - группу всех взаимно однозначных отображений множества, состоящего из трех элементов а, b, с, -- например, это могут быть числа 1, 2, 3, на себя. Так как из трех элементов можно составить всего шесть различных перестановок:

то и число различных подстановок для них равно шести. Обозначать их удобно следующим образом:

где, например,  такое отображение множества 1, 2, 3 «а себя, при котором  (1 отображается в 2), и . Подстановки, отличающиеся только порядком следования столбцов, например,



не считаются различными. Умножение подстановок -- это их последовательное выполнение (сначала правого множителя, а затем -- левого), поэтому, например,

ибо в правом множителе , в левом , следовательно, в произведении , и т.д. Единицей при этом умножении служит тождественная подстановка  и для каждой подстановки имеется обратная ей:

Для того чтобы получить подстановку, обратную данной, надо лишь поменять местами ее строки:

Группу  можно представить такой таблицей Кэли:

Группа  некоммутативна, так как, например,

(таблица Кэли этой группы не симметрична относительно главной диагонали).

Мы подробно рассмотрели группу подстановок из трех элементов; обратимся теперь к общему случаю. Подстановку из n элементов -- например, чисел 1,2,…,n -- можно обозначить символом

показывающим, что 1 переходит в  здесь 2- в , и т.д.; здесь -- это те же числа 1,2,…,n но расположенные, вообще говоря, в каком-то другом порядке. Расположение столбцов в этой записи не играет роли и, например,

Число подстановок из n элементов равно, очевидно, n!.

Перемножаются подстановки в общем случае так же, как подстановки из трех элементов. Так, например,

(Сначала выполняется правая подстановка, а потом левая: здесь 1-4, а затем 4-1; далее, 2-3, а затем 3-4; и т. д.) Умножение подстановок ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Подстановка

играет роль единицы и называется тождественной подстановкой. У каждой подстановки имеется обратная:

Группа подстановок из n элементов {симметрическая группа n-й степени) имеет, очевидно, порядок n!.

Определение 1.8. Обратной для подстановки A называется подстановка той же степени A-¹ такая, что AA-¹=A-¹A=E.

Так для подстановки обратной служит подстановка. Если нам нужно решить уравнения в подстановках: а) AX=B; б) XA=B; в) AXB=C, то мы поступим таким образом: 1) в случае а) умножим обе части уравнения AX=B слева (в виду не коммутативности умножения) на A-¹, получим, A-¹(AX)=A-¹B, а так как умножение подстановок ассоциативно, то (A- ¹A)X=A-¹B, EX=A-¹B, X=A-¹B - решение уравнения AX=B; 2) в случае б) XA=B, (XA)A-¹=BA-¹, X(AA-¹)=BA-¹, X=BA-¹; 3) в случае в) AXB=C, A-¹(AXB)=A-¹C,

XB=A-¹C, (XB)B-¹=(A-¹C)B-¹, X(BB-¹)=A-¹CB-¹, X=A-¹CB-¹.

Теорема 1.2. При всех разложениях подстановки в произведение транспозиций четность числа этих транспозиций будет одна и та же, причем она совпадает с четностью самой подстановки.

Доказательство. Эта теорема будет доказана, если мы покажем, что произведение любых k транспозиций есть подстановка, четность которой совпадает с четностью k. Это утверждение доказываем по методу математической индукции. При k=1 это верно, так как всякая транспозиция есть нечетная подстановка. Пусть наше утверждение уже доказано для случая k-1 множителей. Тогда его справедливость для k множителей вытекает из того, что числа k-1 и k имеют противоположные четности, а умножение подстановки (в данном случае - произведение первых k-1 множителей - мы предположили, что это подстановка, четность которой совпадает с четностью числа k-1) на транспозицию равносильно выполнению этой транспозиции в нижней строке подстановки, то есть, меняет ее четность. Теорема доказана.

Согласно этой теореме, определить четность подстановки можно разложением подстановки в произведение транспозиций - их число определяет четность подстановки.

Рассмотрим подробнее один из способов разложения подстановки в произведение транспозиций. Он заключается в следующем: сначала разложим подстановку в произведение циклов, а затем каждый цикл разложим в произведение транспозиций. Для этого приведем новые определения и факты.

2.2 Циклические подстановки

Определение 1.9. Циклической подстановкой или циклом называется такая подстановка, что при повторении ее достаточное число раз, всякий из действительно перемещаемых ею символов может быть переведен в любой другой из этих символов. Такова, например, подстановка восьмой степени

Она действительно перемещает символы 2, 3, 6 и 8, причем переводит

символ 2 в 8, символ 8 в 3, символ 3 в 6, а символ 6 снова в 2.

Для циклов употребляется следующая запись: действительно переставляемые символы записываются в круглых скобках друг за другом в том порядке, в каком они друг в друга переходят при повторении подстановки; начинается запись с любого из действительно перемещаемых символов, а последний символ считается переходящим в первый. Так, для указанного выше примера эта запись имеет вид (2836).

Число символов, действительно перемещаемых циклом, называется длиной цикла.

Два цикла n-й степени называются независимыми, если они не имеют общих действительно переставляемых символов. Понятно, что при перемножении независимых циклов порядок расположения множителей не влияет на результат.

Всякая подстановка может быть единственным способом разложена в произведение независимых циклов.

Практически разложение осуществляется следующим образом: начинаем с любого из действительно перемещаемых символов и выписываем за ними те символы, в которые он переходит при повторении подстановки, пока не вернемся к исходному символу. После этого "закрытия" цикла начинаем с одного из оставшихся действительно перемещаемых символов, получаем второй цикл и так далее. Например,

Обратно, для всякой подстановки, заданной разложением в независимые циклы, можно найти запись в обычной форме (при условии, что степень этой подстановки известна). Например,если известно, что степень этой подстановки есть 7.

Циклическая подстановка длины k при возведении в kстепень дает тождественную подстановку E.

Пусть дана подстановка n-й степени и пусть s есть число независимых циклов в ее разложении плюс число символов, оставляемых ею на месте.

Если множество N конечно и содержит п чисел, то множество S всех подстановок п-й степени также конечно и содержит п! элементов. Такая группа называется симметрической группой порядка п! (порядок группы определяется числом ее элементов).

Полгруппы симметрических групп называют группами подстановок. К ним относятся единичная группа, содержащая только нейтральный элемент (тождественную подстановку), и сама симметрическая группа. Однако, кроме этих тривиальных групп, имеется много подгрупп симметрической группы, являющихся группами подстановок. В частности, группу образует множество всех четных подстановок (знакопеременная группа). Множество всех подстановок переводящих какой-либо элемент в себя, также является группой.

Подгруппами симметрических групп исчерпываются по существу все конечные группы. Имеет место следующая теорема.

теорема Кэли. всякая конечная группа порядка п изоморфна некоторой группе подстановок п-й степени ее элементов.

Доказательство. Пусть множество с определенным на нем законом композиции T образует группу и - фиксированный элемент из G. Определим отображение, ставящее каждому элементу из G элемент , следующим образом:

T , i = 1, 2, ... .... п.

Это отображение взаимно-однозначно, так как при любом соотношение T имеет единственное решение T , т.к. каждый элемент группы имеет единственный симметричный ему . Таким образом, взаимно-однозначное отображение на множестве G можно представить подстановкой п объектов , которая соответствует элементу , т. е.

В этой подстановке нижняя перестановка - это строка матрицы композиции для элемента . Принимая k = 1, 2, ..., n, получаем п подстановок, соответствующих п элементам группы G. Нейтральному элементу отвечает тождественная подстановка е, симметричному элементу - симметричная подстановка .

Так как групповая операция T по определению ассоциативна, то

T T = T (T) = .

С другой стороны,

T T = (T ) T = T = .

Отсюда , т. е. элементу T соответствует композиция отображения  и , а значит, и композиция соответствующих им подстановок. Таким образом, множество подстановок образует группу порядка п, которая однозначно представляет группу G.

Например, группе третьего порядка с групповой операцией, заданной таблицей

соответствует группа подстановок , где

; ; .



Нейтральным элементом этой группы относительно определенного закона композиции является , а подстановки и - взаимно симметричные элементы (проверить самостоятельно). Если элементы исходной группы пронумеровать и заменить соответствующими им числами, то

; ; .

Эта группа подстановок является подгруппой симметрической группы, которая, кроме указанных подстановок содержит подстановки

; ; .

каждая из которых обратна самой себе. Ясно, что при большом п для представления конечной группы п-го порядка используется лишь ничтожная часть перестановок симметрической группы.

2.3. Умножение подстановок

Определение. Произведением первой подстановки на вторую называют последовательное выполнение двух подстановок n-й степени, приводящее к некоторой вполне определенной третьей подстановке n-й степени.

так, если даны подстановки четвертой степени

то

Действительно, при подстановке А символ 1 переходит в 3, но при В символ 3 переходит в 4, поэтому при АВ символ 1 переходит в 4, и т. д.

Можно перемножить лишь подстановки одинаковой степени. Умножение подстановки n-й степени при n ? 3некоммутативно. Действительно, для рассмотренных выше подстановок А и В произведение ВА имеет вид

т. е. подстановка ВА отлична от подстановки АВ. Такие примеры можно подобрать для всех n при n ? 3, хотя для некоторых пар подстановок закон коммутативности случайно может выполняться.

Умножение подстановок ассоциативно, т. е. можно говорить о произведении любого конечного числа подстановок n-й степени, взятых (ввиду некоммутативности) в определенном порядке. В самом деле, пусть даны подстановки А, В и С и пусть символ i₁, 1 ? i₁ ? n, переходит при подстановке А в символ i₂, i₂ при подстановке В переходит в символ i₃, а последний при подстановке С - в символ i₄. Тогда при подстановке АВ символ i₁ переходит в i₃, при подстановке ВС символ i₂ переходит в i₄, а поэтому как при (АВ)С, так и при А(ВС) символ i₁ ,будет переходить в символ i₄.

Очевидно, что произведение любой подстановки А на тождественную подстановку Е, а также произведение Е на А, равно А:

АЕ=ЕА=А

Назовем, наконец, обратной для подстановки А такую подстановку А^-1 той же степени, что

АА^-1 = А^-1А = Е

Легко видеть, что обратной подстановкой для подстановки

служит подстановка

получающаяся из А переменой мест верхней и нижней строк.

Пример 5.

Найти подстановку, обратную данной

Решение.

Подстановка А^-1, обратная подстановке А будет иметь вид

приведем её к каноническому виду



Пример 6.

Найти порядок указанного элемента в группе S_n, n=5

Решение:

Наконец, получили тождественную подстановку Е

Ответ: 6

2.3. Разложение подстановок в произведение циклов с непересекающимися орбитами

Орбитой цикла (i₁ i₂ ... i_r) назовем множество {i₁,...,i_r} .

Если  - подстановка символов {1,2,...,n} и , , то рассмотрим последовательность

(орбиту элемента a ). Из конечности множества {1,2,...,n} следует, что найдутся такие натуральные числа t и s, t<s, что . В группе S_n рассмотрим . Применяя  к этому равенству, получим , r=s-t>0. Рассмотрим самое маленькое такое натуральное число r (со свойством , при этом все r элементов  различны). Итак, получили цикл  длины r. Выбирая элемент b вне этого цикла (если r<n ), получаем цикл  длины r', при этом орбиты этих циклов не пересекаются. Продолжим этот процесс. Заметим, что циклы с непересекающимися орбитами перестановочны. Единственность этого разложения следует из инвариантности определения орбиты. Итак, получаем следующее утверждение.

Теорема 5.3.1. Каждая подстановка  разлагается (и притом единственным образом) в произведение циклов с непересекающимися орбитами (поэтому эти циклы перестановочны друг с другом).

Замечание 5.3.2.

1. В практических задачах удобно начинать с a=1, затем число b выбирать как наименьшее число, не вошедшее в ,и т. д.

2. Как правило, циклы длины 1 (т. е. неподвижные элементы) опускают в записи циклового разложения подстановки.

Упражнение 5.3.3.

1. Пусть . Подстановка  называется подстановкой, сопряженной с подстановкой  (с помощью подстановки  ). Проверьте, что отношение сопряженности является отношением эквивалентности. Соответствующее разбиение множества S_n на классы эквивалентных подстановок называется разбиением на классы сопряженных элементов .

2. Доказать, что подстановки  сопряжены тогда и только тогда, когда  и  имеют одинаковое цикловое разложение (т. е. одинаковое число циклов каждой длины в своих разложениях в произведение циклов с непересекающимися орбитами).

Указания

.

Если  - цикл длины r, то .



Заключение

Выполняя эту курсовую работу я узнала, то что не знала. Поглубже изучил эту тему я много узнала о перестановках и подстановках, как вычислить четность или нечетность или знак перестановки, о циклических подстановок, как оно решается, или каким способом. Уделяя важное внимание на под темы этого работу глубже понял важные места и роль перестановок нашей жизни. Умножение подстановок ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Рассмотрим подробнее один из способов разложения подстановки в произведение транспозиций. Он заключается в следующем: сначала разложим подстановку в произведение циклов, а затем каждый цикл разложим в произведение транспозиций. Все четные подстановки симметрической группы образуют в ней подгруппу. Порядок этой подгруппы равен, очевидно, . Она называется знакопеременной подгруппой симметрической группы и обозначается символом .



Список литературы

1. Апатенок Р.Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Высшая. школа, 1986. - 272 с.

2. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Алгебра и геометрия : Линейная алгебра. Аналитическая геометрия: - Харкив: ХТУРЕ, 2000. - 388 с. .

3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. - М.: Высш. шк., 1986. - 304с. .

4. Тевящев А.Д., Литвин О.Г. Высшая математика. Загальний курс: Сборник задач та вправ. - Х.:Рубикон, 1999. - 320 с. .

6. Барковский В.В., Барковская Н.В. Математика для экономистов. Высшая математика. - К.: Национальная академия управления, 1999. - 399 с

Размещено на Allbest.ru