Про комутант неперіодичних неабелевих груп із щільною системою неперіодичних неабелевих підгруп

Размещено на http://allbest.ru

Про комутант неперіодичних неабелевих груп із щільною системою неперіодичних неабелевих підгруп

Скасків Лілія Василівна кандидат фізико-математичних наук, доцент,

доцент кафедри кібернетики та прикладної математики

Лаговський Володимир Вікторович

кандидат економічних наук, доцент,

завідувач кафедри кібернетики та прикладної математики,

м. Ірпінь

Анотація

Будь-яка група може бути в тій чи іншій мірі описана за допомогою її підгруп. Будова будь-якої групи в значній мірі залежить від впливу на неї систем підгруп з певними властивостями.

Можна виділити наступні важливі фактори, які в певному сенсі характеризують структуру групи: наявність тієї чи іншої системи підгруп, розміри цієї системи, взаємодія підгруп, що належать до цієї системи, з іншими підгрупами тощо.

При цьому одні системи підгрупи мають істотний вплив на структуру групи, інші - менш значний.

Зокрема, з класичних робіт Р. Дедекінда [1] та Р. Бера [2], у яких описані дедекіндові групи, почалося вивчення довільних груп G, у яких деяка система підгруп Ј групи G задовольняє умову нормальності.

Цей напрямок є одним з важливих в теорії груп. Його головною метою є опис узагальнень дедекіндових груп, який здійснюється вивченням груп з малими системами ненормальних підгруп.

Якщо в групі всі циклічні підгрупи нормальні, то і всі її підгрупи нормальні. Тому виникає питання про будову груп, всі нециклічні підгрупи яких нормальні.

Це питання було поставлено С. М. Черніковим [3].

Розв'язанню цього питання присвячена робота Ф. М. Лимана [4]. У цьому ряду слід також згадати метагамільтонові групи, вивчення яких потребувало досить великого проміжку часу, хоча про них не можна сказати, що система їх ненормальних підгруп буде малою. Але це можна стверджувати, якщо глянути на опис цих груп.

Метагамільтоновими називаються групи, всі неабелеві підгрупи яких нормальні. Їх вивчення розпочали М. Ф. Сєсєкін та Г. М. Ромаліс [5-7]. Воно було продовжено В. Т. Нагребецьким [8] та О. О. Махньовим [9] і завершено у циклі робіт М. Ф. Кузенного та М. М. Семка [10-20].

Будемо говорити, що неабелева група G має щільну систему нормальних неперіодичних неабелевих підгруп, якщо для будь-якої такої пари неперіодичних неабелевих підгруп А < B, що А не максимальна в B, існує нормальна в G підгрупа N, розташована між А і В, тобто А < N < В (УЩН[НН]- група).

Ключові слова: неперіодична неабелева підгрупа, нормальна підгрупа, комутант групи, дедекіндова група, метагамільтонова група, локально ступінчаста група.

Abstract

On the commutant of non-periodic non-abelian groups with a dense system of non-periodic non-abelian subgroups

Skaskiv Liliia Vasylivna PhD of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Cybernetics and Applied Mathematics, Irpin

Lagovskyi Volodymyr Viktorovych PhD of economic sciences, associate professor, head of the department of cybernetics and applied mathematics, Irpin,

Any group can be described to some extent by its subgroups. The structure of any group largely depends on the influence on it of systems of subgroups with certain properties. We can highlight the following important factors that in a certain sense characterize the structure of a group: the presence of a particular system of subgroups, the size of this system, the interaction of subgroups belonging to this system with other subgroups, etc. At the same time, some subgroup systems have a significant impact on the group structure, while others have a less significant impact. In particular, the classic works of R. Dedekind [1] and R. Behr [2], in which Dedekind groups are described, started the study of arbitrary groups G in which some system of subgroups Ј of the group G satisfies the normality condition. This direction is one of the important ones in group theory. Its main goal is the description of generalizations of dedekind groups, which is carried out by studying groups with small systems of non-normal subgroups. If all cyclic subgroups in a group are normal, then all its subgroups are also normal. Therefore, the question arises about the structure of groups, all noncyclic subgroups of which are normal. This question was posed by S. M. Chernikov [3]. The work of F. M. Lyman [4] is devoted to solving this issue. In this series, we should also mention meta-Hamiltonian groups, the study of which required a rather long period of time, although it cannot be said about them that the system of their non-normal subgroups will be small. But this can be argued if you look at the description of these groups. Metahamiltonian groups are called groups whose non-Abelian subgroups are normal. Their study was started by M. F. Syesekin and H. M. Romalis [5-7]. It was continued by V. T. Nagrebetsky [8] and O. O. Makhnev [9] and completed in the series of works by M. F. Kuzenny and M. M. Semko [10-20]. We will say that a non-Abelian group G has a dense system of normal non-periodic non-Abelian subgroups if for any such pair of non-periodic non-Abelian subgroups A < B such that A is not maximal in B, there exists a normal subgroup N in G located between A and B, i.e. A < N < B (USCHN[NN]- group).

Keywords: nonperiodic non-Abelian subgroup, normal subgroup, group commutator, Dedekind group, metahamiltonian group, locally stepped group.

Вступ

Постановка проблеми. Дана робота присвячена неперіодичним неабелевим групам із щільною системою нормальних неперіодичних неабелевих підгруп.

Різноманітні умови щільності нормальності для системи підгруп Ј групи G у роботах М.М. Семка (див., наприклад, [31]) базуються на поняттях: відрізка ([A; B]) -, інтервалу ((A; B)) -, напівінтервалу ((A; B]) -, напівінтервалу ([A; B)) підгруп групи G, кожний із яких є множиною всіх підгруп X групи G таких, що A і B із Ј, A - підгрупа з B і відповідно: A < X < B; A < X < B; A < X < B; A < X < B.

Потужність відрізка, інтервалу, півінтервалу підгруп групи G називається його модулем, порядком або довжиною і позначається відповідно: |[A; B]|; |(A; B)|; |(A; B]|; |[A; B)|.

За означенням |[A; B]| >1, тобто A - підгрупа з B, при |[A; B]| > 1 A - власна підгрупа з B, при |[A; B]| > 2 A - власна немаксимальна підгрупа з B. У цій термінології А. Манн [21] розглядав групи, у яких Ј - система всіх підгруп групи G і для кожного відрізка [A; B] такого, що |[A; B]| > 2 справедливе співвідношення [A; B) ^э N < G. М. М. Семко [22 - 31] описав локально ступінчасті групи G, у яких І [А; В]| > 1, Ј - система всіх підгруп групи G, [А; В] э N < G та їх підкласи.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Поняття щільності для нормальних підгруп почав розглядати А. Манн [21]. Поняття щільності було узагальнено С. М. Черніковим (див., наприклад, [3, розділ 7]). Він же ввів поняття умов щільності і строгої щільності для будь-якої теоретико-групової властивості V системи підгруп Ј.

Властивість V підгруп групи G називається щільною (строго щільною) по відношенню до системи підгруп Ј, якщо для будь-яких підгруп A і B із Ј, де A - власна немаксимальна підгрупа з B, існує така підгрупа H із властивістю V, що A < H < B (A < H < B).

Мета статті - дослідження комутанта УЩН[НН]-груп, тобто неабелевих груп G, у яких |[A; B]| > 2, А - неперіодична неабелева підгрупа та [A; B] э N< G. Доведено, що нескінченний комутант УЩН[НН]-групи абелевий. Цей результат показує, що дані групи є можливим узагальненням неперіодичних метагамільтонових груп, опис яких одержано в роботі [14].

Виклад основного матеріалу

Лема 1. Комутант локально ступінчастої УЩН[НН]-групи G не може бути нескінченною неабелевою групою.

Доведення. Нехай G' - нескінченна неабелева група. Легко показати, що тоді комутант G' є черніковською групою з максимальним абелевим нормальним дільником R.

Покажемо, що R міститься в центрі групи Z(G). Дійсно, нехай а - елемент нескінченного порядку із G, b^є R \ CR(a) і Ri - нормальна в G скінченна підгрупа із R, що містить елемент b. Легко показати, Р² що існує таке просте число р, що підгрупа < Ri, а > неперіодична неабелева.

Тоді за означенням УЩН[НН]-груп в групі G існує така нормальна підгрупа Р² X, що Ri < а > < X < Ri < а >, зокрема, Х' ^ < 1 >. Очевидно, що фактор- група G/Х є розв'язною групою з щільною системою нормальних підгруп. За наслідком 1.4.1 із [31] група G/Х має скінченний комутант. Але тоді підгрупа Хⁿ G' має скінченний індекс в G'.

Отже, всі елементи нескінченного порядку належать централізатору підгрупи R у групі G.

Нехай тепер u - довільний елемент скінченного порядку із R і аі - фіксований елемент нескінченного порядку. Тоді елемент иаі має нескінченний порядок і тому переставний із всіма елементами із G. Але тоді R<Z(G).

Тому G' = RS, де підгрупа S скінченна і неабелева. Звідси випливає, що підгрупа G' містить скінченну множину спряжених з S підгруп. Підгрупа Si, яка породжена в G цими підгрупами, є скінченною неабелевою нормальною в G. метагамільтоновий нециклічний неабелевий група

Очевидно, що G/ Si є групою з щільною системою нормальних нескінченних підгруп, яка містить елементи нескінченного порядку. Тоді завдяки теоремі 1.2.1 із [31] група G/ Si абелева, що неможливо, оскільки Si не містить G'. Лема доведена.

Лема 2. Не існує без скруту УЩН[НН]-груп, комутант яких міститься в центрі.

Доведення. Очевидно, що лему достатньо довести для груп із двома твірними елементами. Нехай а і d - твірні елементи даної групи G і [а, d] = с. Якщо с ^ 1, то із співвідношення d^-^ d = ас випливає, що d^-^ⁿ d = а^пс^п для всіх натуральних чисел n. Но тоді d^-1aⁿ d ^ aⁿ і тому при кожному n група < aⁿ, d > неабелева. Очевидно, що коли m ділить n і n ^ m завжди < а^ d > < < а, d > і за означенням групи G існує така нормальна неперіодична 3 неабелева підгрупа Х, що < а , d > < Х < < а^т, d >, де m ^ 1. Звідси випливає, що підгрупа Х не містить елемент с, що неможливо. Отримана суперечність означає, що група G абелева. Лема доведена.

Лема 3. Не існує без скруту локально ступінчастих УЩН[НН]-груп.

Доведення. Як і попередню, цю лему доведемо тільки для груп G із двома твірними елементами. Нехай G - локально ступінчаста УЩН[НН]-група з двома твірними елементами. Зрозуміло, що фактор-група G/ G' нескінченна. Оскільки G має скінченне число твірних елементів, то звідси випливає, що у фактор-групі G/ G' є елементи нескінченного порядку. Але тоді в групі G існує неабелева підгрупа, яка має тривіальний перетин із підгрупою G'.

Нехай СG (G') будь-який елемент х, для якого <х > ⁿ G' =<1> і нехай <а > - така нескінченна циклічна підгрупа, що <а>ⁿ G' = <1>. Якщо тепер b - довільний елемент із G для якого < b > ⁿ G' ^ <1>, то, очевидно, <аЬ > ⁿ G' =<1> і тому аЬ ^є СG (G'). Звідси одержуємо, що b ^є СG (G'). Таким чином, підгрупа G' міститься в Z(G), що суперечить лемі 2. Отже, в групі G існує елемент d, для якого < d > ⁿ G' =<1 > і d ^ СG (^).За лемою 1 комутант G' абелевий. Але тоді неважко переконатись, що в її комутанті G' існує ланцюг Ni > N2 >... > Nk >... нормальних в G підгруп, причому індекси [G' : Ni], 1 --1, 2, ... скінченні. Розглянемо підгрупи Mk -- Nk< d >, k =1,2, ... і розглянемо спочатку випадок, коли існує як завгодно велике число k, для якого підгрупа Mk неабелева. Очевидно, що тоді для кожного значення k знайдеться просте число p -- p(k) таке, що елементи d , 1 = 1, 2, ... не належать Cg (Nk). За означенням групи G в ній існує неперіодична неабелева підгрупа Хк така, що p² Nk< d > < Х < Nk< d >.

Але тоді фактор-групи G/ Х_к є розв'язними групами з щільною системою нормальних підгруп і тому за наслідком 1.4.1 із [31] порядки їх комутантів обмежені в сукупності деяким числом т. Якщо k вибирати так, щоб індекс [G : Nr] був більший т, то отримаємо суперечність. Таким чином, підгрупа Mk абелева для всіх k розпочинаючи з деякого числа ko.

Розглянемо підгрупу G' < d >. В її фактор-групі G' < d >/ Nko, очевидно, існує абелева підгрупа G' < dⁿ >/ Nko. Але тоді група G' < dⁿ > задовольняє умову леми 2 і тому абелева. Оскільки індекс підгрупи Nko< dⁿ > в G' < d > скінченний, то в групі G' < d > не існує нескінченних класів спряжених елементів. Але тоді із-за відсутності в G' < d > елементів скінченного порядку випливає абелевість групи G' <d> [3], що суперечить вибору елемента d. Одержана суперечність і доводить лему. Лема доведена.

Лема 4. Комутант локально ступінчастої неперіодичної УЩН[НН]- групи G не може бути абелевою групою без скруту.

Доведення. Нехай комутант G' групи G є абелевою групою без скруту. Тоді завдяки тому, що фактор-група G/ G' не може бути абелевою групою без скруту (лема 2) періодична частина P/G' групи G/G' неодинична. Підгрупа P, очевидно, містить відмінні від одиниці елементи скінченного порядку. Нехай b - один із них.

Розглянемо неперіодичну підгрупу G'<b >. Якщо вона абелева, то це означає, що всі елементи скінченного порядку групи P належать С g' (P ). Оскільки група С g' (P ), очевидно, нільпотентна, то вони складають в ній, а, значить, і в G нормальну підгрупу Н. Фактор-група G/Н, очевидно, без скруту і тому за лемою 3 абелева, що неможливо.

Якщо підгрупа G'<b > неабелева, то в силу [3] в ній існує нескінченна послідовність Ni > N2 >...> Nk >... неперіодичних неабелевих підгруп. За означенням УЩН[НН]-груп можна вважати, що Ni < G, і =1, 2, ... .Фактор-групи G'<b >/ Ni є нескінченними розв'язними УЩН[ ]-групами. Тоді завдяки [31] порядки елементів комутантів G'<b >/ Ni обмежені у сукупності числом m. Якщо тепер підгрупу Ni вибрати так, щоб індекс [G'<b > : Ni] був більший m, то легко приходимо до суперечності. Лема доведена.

Теорема 5. Нескінченний комутант локально ступінчастої УЩН[НН]- групи G є періодичною абелевою групою.

Доведення. Якщо G' містить елементи нескінченного порядку, то за лемою 1 підгрупа G' абелева. Нехай А - періодична частина групи G'. Тоді комутант G'/А групи G/А є абелевою групою без скруту, що завдяки лемі 4 неможливо. Отримана суперечність доводить, що комутант G' є періодичною групою. Тоді за лемою 1 G' - абелева група. Теорема доведена.

Висновки

Доведено, що нескінченний комутант УЩН[НН]-групи абелевий.

Література

1. Dedekind R. Uber Gruppen, deren sammtliche Teiler Normalteiler sind //Math. Annalen. - 1897. - 48. - S. 548-561.

2. Baer R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe //S.-B. Heidelberg Akad. - 1933. - 2. - S. 12-17.

3. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

4. Лиман Ф. М. Групи з інваріантними нециклічними підгрупами //Доп. АН УРСР. - 1967. - № 12. - С. 1 073-1 075.

5. Ромалис Г. М., Сесекин Н. Ф. О метагамильтоновых группах І //Мат. зап. Урал. ун-та. - 1966. - 5, № 3. - С. 45-49.

6. Сесекин Н. Ф., Ромалис Г. М. О метагамильтоновых группах ІІ //Мат. зап. Урал. ун-та. - 1968. - 6, № 5. - С. 50-53.

7. Ромалис Г. М., Сесекин Н. Ф. О метагамильтоновых группах Ш //Мат. зап. Урал. ун-та. - 1970. - 7, № 3. - С. 195-199.

8. Нагребецкий В. Т. Конечные ненильпотентные группы, любая неабелевая подгруппа которых инвариантна //Мат. зап. Урал. ун-та. - 1967. - 6, № 1. - С. 80-88.

9. Махнев А. А. О конечных метагамильтоновых группах //Мат. зап. Урал. ун-та. - 1976. - 10, № 1. - С. 60-75.

10. Кузенный Н. Ф., Семко Н. Н. Строение разрешимых ненильпотентных метагамильтоновых групп //Мат. заметки. -1983. - 34, № 2. - С. 179-188.

11. Семко Н. Н., Кузенный Н. Ф. Строение метациклических метагамильтоновых групп. - К.: Киев. пед. ин-т, 1983. - 22 с.

12. Семко Н. Н., Кузенный Н. Ф. О строении бесконечных нильпотентных периодических метагамильтоновых групп //Строение групп и их подгрупповая характеризация. - К.: Ин-т математики АН УССР, 1984. - С. 101-111.

13. Кузенний М. Ф., Семко М. М. Будова розв'язних метагамільтонових груп //Доп. АН УРСР. - 1985. - № 2. - С. 6-9.

14. Кузенный Н. Ф., Семко Н. Н. О строении непериодических метага-мильтоновых групп //Изв. вузов. Математика. - 1986. - № 11.- С. 32-40.

15. Кузенний М. Ф., Семко М. М. Метагамільтонові групи та їх узагальнення. - К.: Ін-т математики НАН України, 1996. - 232 с.

16. Кузенный Н. Ф., Семко Н. Н. Строение периодических метабелевых метагамильтоновых групп с неэлементарным коммутантом //Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 2. - С. 180-185.

17. Семко Н. Н., Кузенный Н. Ф. Строение периодических метабелевых метагамильтоновых групп с элементарным коммутантом ранга два //У кр. мат. журн. - 1987. - 39, № 6. - С. 743-750.

18. Кузенный Н. Ф., Семко Н. Н. О строении периодических неабелевых метагамильтоновых групп с элементарным коммутантом ранга три //Укр. мат. журн. - 1989. - 41, № 2. - С. 170-176.

19. Семко Н. Н., Кузенный Н. Ф. Строение метациклических метагамильтоновых групп //Современный анализ и его приложения. К.: Наук. думка, 1989. - С. 173-183.

20. Кузенный Н. Ф., Семко Н. Н. О метагамильтоновых группах с элементарным коммутантом ранга два //Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 2. - С. 168-175.

21. Mann A. Groups with dense normal subgroups //Israel J. Math. - 1968. - 6, № 1. - P. 13-25.

22. Семко М. М. Будова нільпотентних УЩН[ ]-груп //Класи груп з обме-женнями для підгруп. - К.: Ін-т математики НАН України. - 1997. - С. 27-41.

23. Семко М. М. Будова локально ступінчастих ненільпотентних УЩН[ ]- груп //Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, № 6. - С. 789-798.

24. Семко М. М. Будова одного класу груп з умовами щільності нормальності для підгруп //Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, № 8. - С. 1148 - 1151.

25. Семко М. М. Про будову УЩН[ ]-груп з елементарним комутантом рангу два //Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, № 10. - С. 1396 -1403.

26. Semko M.M. On the structure of CDN [ ]-groups //Ukrainian Mathematical Journal. - 1998. - V. 50. - №. 9. - P. 1431 - 1441.

27. Semko M.M. On the construction of CDN [ ]-groups with elementary commutant of rank two //Ukrainian Mathematical Journal. - 1997. - V. 49. - №. 10. - P. 1570 - 1577.

28. Семко М. М. Про будову УЩН[ ]-груп //Укр. мат. журн. - 1998. - Т. 50, № 9. - С. 1 250-1 261.

29. Семко М. М. Будова локально ступінчастих УЩН( ]-груп //Укр. мат. журн. -1998- Т. 50, № 11. - С. 1 532-1 536.

30. Семко М. М. Будова локально ступінчастих УЩН[ )-груп //Укр. мат. журн. -1999- Т. 51, № 3. - С. 383-388.

31. Семко М. М. Групи з умовами щільності нормальності та її узагальнень для деяких систем підгруп. - К.: Ін-т математики НАН України, 1998. - 285 с.

References

1. Dedekind, R. (1897). Uber Gruppen, deren sammtliche Teiler Normalteiler sind. Math. Annalen, 48, 548-561 [in Germany].

2. Baer, R. (1933). Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe. S.-B. Heidelberg Akad. , 2, 12-17 [in English].

3. Chernikov, S. N. (1980). Gruppy s zadannymi svojstvami sistemy podgrupp [Groups with given properties of a system of subgroups]. M.: Nauka [in Russian].

4. Liman, F. M. (1967). Grupi z mvariantnimi necikHchnimi pMgrupami [Groups with invariant noncyclic subgroups,]. Dop. ANURSR -Dop. ANURSR, 12, 1 073-1 075 [in Ukrainian].

5. Romalis, G. M., Sesekin, N. F. (1966). O metagamil'tonovyh gruppah І [On meta- Hamiltonian groups I,]. Mat. zap. Ural. un-ta. - Mat. app. Ural. university, 5, 3, 45-49 [in Russian].

6. Sesekin, N. F., Romalis, G. M. (1968). O metagamil'tonovyh gruppah ІІ [On meta- Hamiltonian groups II]. Mat. zap. Ural. un-ta. - Mat. app. Ural. University, 5, 50-53 [in Russian].

7. Romalis, G. M., Sesekin, N. F. (1970). O metagamil'tonovyh gruppah Ш [On meta- Hamiltonian groups III]. Mat. zap. Ural. un-ta. - Mat. app. Ural. University, 3, 195-199 [in Russian].

8. Nagrebeckij V. T. Konechnye nenil'potentnye gruppy, ljubaja neabelevaja podgruppa kotoryh invariantna [Finite non-nilpotent groups whose every non-Abelian subgroup is invariant,]. Mat. zap. Ural. un-ta. - Mat. app. Ural. University, 1967. - 6, № 1. - S. 80-88 [in Russian].

9. Mahnev, A. A. (1976). O konechnyh metagamil'tonovyh gruppah [On finite meta- Hamiltonian groups]. Mat. zap. Ural. un-ta. - Mat. app. Ural. University, 1, 60-75 [in Russian].

10. Kuzennyj, N. F., Semko, N. N. (1983). Stroenie razreshimyh nenil'potentnyh metagamil'tonovyh grupp [The structure of solvable nonnilpotent meta-Hamiltonian groups]. Mat. Zametki - Math. notes, 2, 179-188 [in Russian].

11. Semko ,N. N., Kuzennyj, N. F. (1983). Stroenie metacikli--cheskih metagamil'tonovyh grupp [Structure of metacyclic meta-Hamiltonian groups]. - K.: Kiev. ped. in-t [in Russian].

12. Semko, N. N., Kuzennyj, N. F. (1984). O stroenii besko--nechnyh nil'potentnyh periodicheskih metagamil'tonovyh grupp //Stroenie grupp i ih podgruppovaja harakterizacija [On the structure of infinite nilpotent periodic meta-Hamiltonian groups,” in Structure of groups and their subgroup characterization]. K.: In-t matematiki AN USSR [in Russian].

13. Kuzennij, M. F., Semko, M. M. (1985). Budova rozv'jaznih me-ta-gamd'tonovih grup [Disconnection of meta-Hamiltonian groups]. Dop. AN URSR - Dop. AN URSR, 2, 6-9 [in Ukrainian].

14. Kuzennyj, N. F., Semko, N. N. (1986). O stroenii neperiodi-cheskih metagamil'tonovyh grupp [On the structure of non-periodic meta-Hamiltonian groups]. Izv. vuzov. Matematika - Izv. universities. Mathematics, 11, 32-40 [in Russian].

15. Kuzennij, M. F., Semko, M. M. (1996). Metagamil'tonovi grupi ta ih uzagal'nennja [Metahamiltonian groups and their implications]. K.: In-t matematiki NAN Ukraini [in Ukrainian].

16. Kuzennyj, N. F., Semko, N. N. (1987). Stroenie periodi-ches-kih metabelevyh metagamil'tonovyh grupp s nejelementarnym kommutantom [Structure of periodic metabelian meta-Hamiltonian groups with non-elementary commutator]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. magazine, 2, 180-185 [in Russian].

17. Semko, N. N., Kuzennyj, N. F. (1987). Stroenie periodi-ches-kih metabelevyh metagamil'tonovyh grupp s jelementarnym kommutantom ranga dva [Structure of periodic metabelian meta-Hamiltonian groups with elementary commutator of rank two]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. magazine , 6, 743-750 [in Russian].

18. Kuzennyj N. F., Semko N. N. O stroenii periodi-cheskih neabelevyh metagamil'tonovyh grupp s jelementarnym kommutantom ranga tri [On the structure of periodic non-Abelian meta-Hamiltonian groups with an elementary commutant of rank three]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. magazine , 2, 170-176 [in Russian].

19. Semko, N. N., Kuzennyj, N. F. (1989). Stroenie metacikli--cheskih metagamil'tonovyh grupp //Sovremennyj analiz i ego prilozhenija [Structure of metacyclic meta-Hamiltonian groups,” Sovremenny analiz i ego prilozheniya]. K.: Nauk. Dumka [in Russian].

20. Kuzennyj, N. F., Semko, N. N. (1990). O metagamil'tonovyh gruppah s jelementarnym kommutantom ranga dva [On meta-Hamiltonian groups with elementary commutator subgroup of rank two]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. Magazine, 2, 168-175 [in Russian].

21. Mann, A. (1986). Groups with dense normal subgroups. Israel J. Math. , 6, 1, 13-25 [in English].

22. Semko, M. M. (1997). Budova nil'potentnih UShhN[ ]-grup //Klasi grup z obme- zhennjami dlja pidgrup [Budova nilpotent USCHN [ ]-groups // Class groups with exchanges for subgroups]. K.: In-t matematiki NAN Ukrami [in Ukrainian].

23. Semko, M. M. (1997). Budova lokal'no stupinchastih nend'po-tentnih UShhN[ ]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. Magazine, 6, 789-798 [in Russian].

24. Semko, M. M. (1997). Budova odnogo klasu grup z umovami shhd'nosti normal'nosti dlja pMgmp [Budova of one class of groups with the minds of the scope of normality for subgroups]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. Magazine, 8, 1148 - 1151 [in Russian].

25. Semko, M. M. (1997). Pro budovu UShhN[ ]-grup z elementarnim komutantom rangu dva [A Budov USCHN[ ]-group with an elementary commutant of rank two]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. Magazine, 10, 1396 -1403 [in Russian].

26. Semko, M.M. (1998). On the structure of CDN [ ]-groups. Ukrainian Mathematical Journal , 9, 1431 - 1441 [in English].

27. Semko, M.M. (1997). On the construction of CDN [ ]-groups with elementary commutant of rank two. Ukrainian Mathematical Journal, 10, 1570 - 1577 [in English].

28. Semko, M. M. (1998). Pro budovu UShhN[ ]-grup //Ukr. mat. zhurn. - 1998. - T. 50, № 9. - S. 1 250-1 261.

29. Semko M. M. Budova lokal'no stupmchastih UShhN( ]-grup [Budova locally stupin part of USCHN( ]-group] [Structure of locally stepped USCHN( ]-groups]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. Magazine , 11, 1 532-1 536 [in Ukrainian].

30. Semko , M. M. (1999). Budova lokal'no stupmchastih UShhN[ )-grup [Structure of locally graded USCHN[ )-groups]. Ukr. mat. zhurn. - Ukr. mat. Magazine, 3, 383-388 [in Ukrainian].

31. Semko, M. M. (1998). Grupi z umovami shhil'nosti normal'nosti ta їїuzagal'nen' dlja dejakih sistem pidgrup [Groups with normality density conditions and its generalizations for some systems of subgroups]. K.: !n-t matematiki NAN Ukrami [in Ukrainian].

Размещено на Allbest.ru