Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Размещено на http://allbest.ru

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка»

Для студентов бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (1)

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и - некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .

Если на интервале , то уравнение (1) примет вид

, (2)

и называется линейным однородным. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Рассмотрим комплексную функцию

, (3)

где и - действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения.

Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:

Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С - произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);

Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);

Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и - произвольные постоянные.

Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство

. (4)

Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .

Пример 1. Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .

Пример 2. Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .

2. Построение общего решения линейного однородного уравнения

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и - произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения.

Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать в виде

, (5)

где - некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):

или .

Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению

дифференциальный уравнение лагранж

. (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид

,

где и - произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .

Число называется действительной частью комплексного числа, а - мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: , .

Пример 4. Решить квадратное уравнение .

Решение. Дискриминант уравнения .

Тогда .

Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е. , , где .

Решения уравнения (2) можно записать в виде

, или , .

По формулам Эйлера

, .

Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением линейного однородного уравнения, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и .

Так как равенство может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

, где и - произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .

3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

, (7)

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m. Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m, т.е.

.

Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является . Его характеристическое уравнение имеет корни и . Общее решение однородного уравнения имеет вид .

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :

или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

(8)

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k (k=1 или k=2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .

Найдём производные первого и второго порядков:

,

.

Подставим в дифференциальное уравнение:

+ +, + , .

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:

Отсюда , .

Тогда частное решение данного уравнения имеет вид

,

а общее решение

.

3. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных можно применять к любому неоднородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами независимо от вида правой части. Этот метод позволяет всегда найти общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть и являются линейно независимыми решениями уравнения (2). Тогда общим решением этого уравнения является , где и - произвольные постоянные. Суть метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (1) ищется в виде

, (9)

где и - новые неизвестные функции, которые необходимо найти. Так как неизвестных функций две, то для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Эти два уравнения составляют систему

которая является линейной алгебраической системой уравнений относительно и . Решая данную систему, найдём и . Интегрируя обе части полученных равенств, найдём

и .

Подставив эти выражения в (9), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (1).

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическим уравнением для однородного уравнения, соответствующего данному дифференциальному уравнению, является . Корни его комплексные , . Так как и , то , , а общее решение однородного уравнения имеет вид . Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде , где и - неизвестные функции.

Система уравнений для нахождения этих неизвестных функций имеет вид

Решив эту систему, найдём , . Тогда

, . Подставим полученные выражения в формулу общего решения:

. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения, полученное по методу Лагранжа.

Вопросы для самоконтроля знаний

1) Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

2) Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а какое - неоднородным?

3) Какими свойствами обладает линейное однородное уравнение?

4) Какое уравнение называется характеристическим для линейного дифференциального уравнения и как оно получается?

5) В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае разных корней характеристического уравнения?

6) В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?

7) В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?

8) Как записывается общее решение линейного неоднородного уравнения?

9) В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если корни характеристического уравнения различны и не равны нулю, а правая часть уравнения есть многочлен степени m?

10) В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть один нуль, а правая часть уравнения есть многочлен степени m?

11) В чём суть метода Лагранжа?

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Размещено на Allbest.ru