Способи зображення похідної у навчальному процесі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способи зображення похідної у навчальному процесі

Дільний Володимир Миколайович доктор фізико-математичних наук, професор, Національний університет «Львівська Політехніка», м. Львів

Анотація

Математика, яку вивчає учень у шкільному курсі, може мати двояке продовження. Якщо він продовжить навчання як студент на математичних чи природничих спеціальностях, то продовжить слухати предмет «Вища математика». Якщо продовжить вчитися на гуманітарних спеціальностях, то шкільні розділи математики будуть для нього останніми.

У статті розглядається одне з перших базисних понять математичного аналізу - похідна. Досліджується питання візуалізації цього поняття у різних реалізаціях: для функції однієї та кількох змінних, вектор-функцій, дійсної та комплексних змінних

Відзначено, що означення похідної як границі частки приросту (довільної) функції до приросту аргументу функції є істотно абстрактнішим, ніж інші поняття, які вивчалися раніше. Його розуміння неможливе без ілюстрації конкретними прикладами, найперше як швидкість зміни процесу. Класичним у цьому випадку є розгляд процесу прямолінійного руху, тобто зміни відстані від початкової точки.

Зазначається, що у рамках декартової прямокутної системи координат можливі різні способи, проте оскільки людина обмежена інтуїцією тривимірного геометричного простору, практично скористатися такою візуалізацією важко, якщо кількість розглядуваних змінних перевищує 3.

Пропонуємо використання методу, який є популярним у географічній картографії - позначення (маркування) значення функції кольором, що визначається певною шкалою переведення числових значень у кольори.Такі шкали поширені в поліграфії та при відображенні поліхромних об'єктів у різного типу гаджетах, найпоширеніші з цих реалізацій - кольорові схеми ЯОБ та СМУК, проте існує багато інших. Ці кольорові схеми можна легко адаптувати до потрібного числового проміжку. Така ідея є відомою у візуалізації поведінки комплекснозначної функції комплексного аргументу. Технічна реалізація такого підходу уможливлюється сучасним високим рівнем поліграфії та можливостей комп'ютерної техніки.

Обговорюються способи зображення, зокрема кольорування, похідної функції дійсної змінної, а також технічні сторони реалізації.

Відзначено, що для похідної (однозначної) функції однієї змінної цей метод є дуже корисним і перспективним.

Ключові слова: похідна, графік функції, кольорування.

Abstract

візуалізація похідної функція

DilnyiVolodymyrMykolajovych Doctor of Science in Physics and Mathematics, Professor, Professor of LvivPolitechnic University, Lviv

WAYS OF IMAGING THE DERIVATIVE IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Mathematics, which is studied by pupils at the school, can be continued in two ways. For the case of continuation as a student in mathematics or natural sciences, he (she) will study the subject "Higher Mathematics". For the case of continuation as a student in social specialties the school lessons of mathematics will be the last experience in mathematics for this pupil.

Keywords: derivative, function graph, coloring

Постановка проблеми

Похідна є одним із базових понять математичного аналізу, а також курсу шкільної математики. Її традиційно вивчають у десятому класі. У загальних (неспеціалізованих) класах учні, як правило, визначаються з напрямками вступу в заклади вищої освіти. Ті, хто планує подальше навчання в освітніх закладах, пов'язаних з математикою чи природничо-інженерними спеціальностями, виявляють значно більше зацікавлення у вивченні математики, ніж ті, що планують займатися гуманітарними напрямками. Оскільки навчаються учні разом, то виникає педагогічна проблема: чи можна пояснити поняття похідної цікаво для майбутніх гуманітаріїв і в той же час не втратити науковості?

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Адаптація понять вищої математики до шкільного рівня останнім часом цікавить багатьох дослідників. Зокрема, цій тематиці присвячена книга ЛарріГоніка [1].

Мета статті - дослідження можливості впровадження нового підходу до вивчення поняття похідної, пов'язаного з візуалізацією цього поняття.

Виклад основного матеріалу

Поняття похідної вивчають у школі й у закладах вищої освіти. В останніх, окрім класичного поняття похідної дійсної функції однієї змінної, вивчають і узагальнення: похідна функції багатьох змінних, похідна вектор-функції, похідна функції комплексної змінної.

У всіх класичних підручниках шкільної і вищої математики похідну візуалізують за допомогою графіка функції y=f '(x).При цьому саму похідну обчислюють аналітично - через обчислення границі приросту функції до приросту аргумента.

У новаторській для українського читача книзі ЛарріГоніка [1] застосовано нетрадиційний підхід до викладу основних понять шкільного математичного аналізу: границі функції, похідної, інтеграла. Весь матеріал об'єднано наскрізною історією про кількох персонажів, а виклад ілюстровано цікавими й дотепними рисунками.

Поняття похідної недостатньо детально описано в працях математиків- методистів. Насамперед через розміщення цього розділу математики у десятому класі. Вважають, що учні, які планують присвятити свою післяшкільну діяльність природничим та математичним наукам, мусять бути готовими вивчати нові абстрактні поняття без особливо довгих пояснень чи візуалізації. Це підтверджують вчителі-математики та вчені-методисти, які під час підготовки до ЗНО вивчають математичний аналіз на високому рівні абстрактності і досить інтенсивно. При цьому поняття границі вже в першому семестрі розглядають у різних іпостасях: границя послідовності, границя функції, часткова границя, границя за множиною, односторонні границі, нескінченні границі, границі в нескінченності. Сюди ж варто долучити близькі поняття рівномірної збіжності. У результаті такого багаторазового підходу студент розуміє, що це поняття є центральним в математичному аналізі і водночас основним інструментом для впровадження понять похідної та інтеграла. Тому введення після цього поняття похідної на основі поняття границі не викликає особливих труднощів.

В іншій ситуації опиняється учень середньої школи, де поняття границі функції і похідної вивчають одне за одним, не даючи можливості належним чином заглибитися в кожне. У ще гіршій ситуації опиняється учень, який планує вступати на спеціальності гуманітарного профілю. Готуючись до вступу, він поглиблено вивчає, наприклад, біологію, українську мову чи хімію, а часу і фізичних можливостей для вивчення математики залишається мало. Та обставина, що математика останніми роками є обов'язковим предметом для зовнішнього оцінювання, звичайно, змінює ситуацію. Але ця зміна не є абсолютно позитивною. Природним є намагання опанувати готові схеми розв'язування стандартних для зовнішнього незалежнього оцінювання завдань і за їх допомогою більш-менш вдало скласти іспит з математики. При цьому глибинна суть поняття, його важливість у системі наук як фундаментального кількісного способу опису змін залишається поза розумінням. Зрозуміло, що таке вивчення не дає жодного позитивного впливу на формування майбутнього фахівця, залишає тільки спогади про якісь магічні способи розв'язування абстрактних задач, які зовсім не пов'язані зі сферою їх професійної діяльності.

Саме означення похідної як границі частки приросту (довільної) функції до приросту аргументу функції є істотно абстрактнішим, ніж інші поняття, які вивчалися раніше. Його розуміння неможливе без ілюстрації конкретними прикладами, найперше як швидкість зміни процесу. Класичним у цьому випадку є розгляд процесу прямолінійного руху, тобто зміни відстані від початкової точки. Проте, як і кожний приклад, він не дає повного уявлення про відповідне математичне поняття. Причин цьому декілька: дослідження прямолінійного руху переважно не є захоплюючою задачею для сучасних десятикласників; саме це явище не є очевидним у своїх властивостях; поняття прямолінійного руху вивчають у попередніх класах в курсі фізики, що залишає свій відбиток у свідомості учня.

У рамках декартової прямокутної системи координат формально точною візуалізацією був би чотиривимірний графік, де значенням незалежних змінних х та у відповідають значення 2 та w, таких, що 2=/(х), '(у). Проте оскільки людина обмежена інтуїцією тривимірного геометричного простору, практично скористатися такою візуалізацією неможливо. Адаптацією такої ідеї є пропозиція використати два тривимірні графіки, де значенням незалежних змінних х та у відповідають значення 2 такі, що 2і=/(х), 22=/ '(у). Ця візуальна модель, на нашу думку, може бути використаною, але не для першого вивчення похідної. Зокрема, вона може бути використана для пояснення моделей із запізненням та випередженням. Зазначимо, що остання із розглянутих візуалізацій безпосередньо ілюструє залежність похідної від функції, якщо розглянути пряму х=у. При цьому звуженні функції отримаємо звичні графіки функції та похідної на одній координатній площині.

Прононуємо використати метод, який є популярним у географічній картографії - позначення (маркування) значення функції кольором, що визначається певною шкалою переведення числових значень у кольори.Такі шкали поширені в поліграфії та при відображенні поліхромних об'єктів у різного типу гаджетах. Найбільш широко вживані кольорові схеми - ЯОБ та СМУК, проте існує багато інших. Ці кольорові схеми можна легко адаптувати до потрібного числового проміжку.

Така ідея вже реалізована для візуалізації поведінки комплекснозначної функції комплексного аргументу в [2]. Наведемо приклад візуалізації на комплексній ПЛОЩИНІ функції /^ І 2-2 і:

Наведемо приклад візуалізації за цією ж схемою похідної вищенаведеної функції, тобто функції Дг) -і і² /:

Виникає питання, чому цей зручний метод кольорування не використовували в навчальному процесі у 20-у столітті. Насамперед, через недостатній рівень поліграфії та можливості комп'ютерної техніки. З другого десятиліття нашого сторіччя комп'ютери з якісними кольоровими моніторами стали загальнодоступними. Тому суттєвим обмеженням для використання методу залишилася тільки наявність відповідного програмного забезпечення та навички учасників навчального процесу. Одним із програмних засобів, яким можна користуватися, є інструмент 3-WayColor-ChangingDerivativeGrapher, запропонований Тімом Бжезінським в середовищі GeoGebra(див. [3]). Він дозволяє в режимі реального часу будувати графік функції, що є похідною заданої функції. Кольорування там присутнє мінімально: нижня частина графіка похідної (яка знаходиться під віссю абсцис) будується червоним кольором, натомість верхня - зеленим. Зазначимо однак, що у шкільному курсі алгебри та початків аналізу вивчають фактично не взаємозалежність функції та її похідної, а лише один з аспектів цієї залежності, що визначається нулями та проміжками знакосталості похідної. Тому запропоноватий Т. Бжезінським інструмент цілком задовольняє запити учня, що не має на меті глибоке розуміння алгебри, а тільки необхідний мінімум знань для успішного проходження підсумкової атестації. Подальша диференціація кольорів, введення повного видимого спектру була б корисною для детального аналізу функції.

Вважаємо, що варто використовувати цей підхід у різних варіантах і для інших типів функцій та їх похідних. Власне, для похідної (однозначної) функції однієї змінної цей метод є дуже корисним і перспективним.

Висновки

Упровадження кольорової візуалізації похідної є корисним для якісного вивчення математики у старших класах різними категоріями учнів та для студентів, які починають вивчати математичний аналіз.

Література

1. Гонік Л. Наука в коміксах. Матан. Рідна мова, 2020, 239 с.

2. http s ://peterefrancis. com/complex-functi on-plot

3. https://www.geogebra.org/rn/DSEBMEyM

References:

1. Honik, L. (2020) Nauka v komiksakh. Matan [Science in cartoon. Calculus] Kyiv: Ridnamova [in Ukrainian].

2. http s ://peterefrancis. com/complex-functi on-plot

3. https://www.geogebra.org/rn/DSEBMEyM

Размещено на Allbest.ru