Метод Ньютона
Знаходження кореня рівняння заданої неперервної функції на певному відрізку. Умови ітераційних обчислень у методі Ньютона. Критерії умов завершення розрахунку для алгоритму. Недоліки методу Ньютона. Обчислення квадратного кореня за його вказаного методу.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 09.08.2022 |
| Размер файла | 338,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод Ньютона (також званий методом Ньютона-Рафсона або методом дотичної ) - ітераційний алгоритм для визначення наближеного значення кореня функції
Розв'язування нелінійного рівняння.
Завдання
Задача полягає в тому, щоб знайти корінь рівняння заданої неперервної функції f на відрізку
Знайти один корінь
який задовольняє таке рівняння
Опис методу.
Ілюстрація того, як працює метод Ньютона, показано перші 4 кроки.
У методі Ньютона для функції f зроблено наступні припущення :
1. В інтервалі є рівно один корінь.
2. На екстремумах інтервалу функція має різні знаки, тобто
3. Перша і друга похідні функції мають постійний знак на цьому інтервалі.
На першому кроці методу вибирається початкова точка x1(зазвичай або 1), з якої потім виводиться дотична до 1).
Абсциса перетину дотичної з віссю OX є першим наближенням розв'язку (позначається x2).
Якщо це наближення не є задовільним, то точка x2 вибирається як нова початкова точка, і всі кроки повторюються.
Процес триває до тих пір, поки не буде отримано достатньо хороше наближення до кореня
Наступні наближення задаються рекурсивною формулою:
Умова завершення обчислень
У методі Ньютона ітераційні обчислення виконуються до тих пір, поки їх результати не стануть задовільними.
На практиці використовується кілька критеріїв умов завершення розрахунку для алгоритму (припущена точність розрахунків):
1. Значення функції у вибраній точці близьке до 0:
2. Відстань між послідовними наближеннями досить мала:
3. Оцінена похибка досить мала:
4. Змішаний критерій (пункти 1 і 2 одночасно).
Конвергенція
Метод Ньютона-Рафсона -- це метод квадратичної збіжності -- порядок збіжності дорівнює 2 (за винятком множинних нулів, для яких збіжність є лінійною та дорівнює 1), а коефіцієнт збіжності
Це означає, що якщо припущення виконуються, помилка зменшується прямо з кількістю ітерацій.
Метод Ньютона -- метод розв'язування рівнянь, який часто використовується через його швидку збіжність (в алгоритмі кількість значущих цифр у послідовних наближеннях подвоюється).
Його недоліком є те, що конвергенція не завжди має відбуватися. У багатьох випадках метод розходиться, коли початкова точка надто далеко від кореня рівняння, яке шукаємо.
Приклад
Обчислити квадратний корінь за допомогою методу Ньютона для кожного числа
Функція f(x) має вигляд:
Рекурсивна формула:
Для даних алгоритм наступний
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Опис одного з поширених ітераційних методів, методу хорда — ітераційного методу знаходження кореня рівняння, який ще має назви метод лінійного інтерполювання, метод пропорційних частин, або метод хибного положення. Задачі для самостійного розв’язування.
реферат [336,8 K], добавлен 04.12.2010Схема класифікації та методи розв'язування рівнянь. Метод половинного ділення. Алгоритм. Метод хорд, Ньютона, їх проблеми. Граф-схема алгоритму Ньютона. Метод простої ітерації. Питання збіжності методу простої ітерації. Теорема про стискаючі відображення.
презентация [310,1 K], добавлен 06.02.2014Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009Використання методів розв’язування одновимірних оптимізаційних задач (метод дихотомії, золотого перерізу, Фібоначі) для визначення найменшого значення функції на відрізку. Задача мінімізації за допомогою методу Ньютона і методу найшвидшого спуску.
курсовая работа [739,5 K], добавлен 05.05.2011Векторная запись нелинейных систем. Метод Ньютона, его сущность, реализации и модификации. Метод Ньютона с последовательной аппроксимацией матриц. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Пример реализации метода Ньютона в среде MATLAB.
реферат [140,2 K], добавлен 27.03.2012Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.
презентация [171,0 K], добавлен 06.02.2014Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Кінцеві різниці різних порядків. Залежність між кінцевими різницями і функціями. Дискретний і неперервний аналіз. Поняття про розділені різниці. Інтерполяційна формула Ньютона. Порівняння формул Лагранжа і Ньютона. Інтерполяція для рівновіддалених вузлів.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 06.02.2014Задачі обчислювальної математики. Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики. Обчислення інтерполяційного полінома Лагранжа для заданої функції. Виконання обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона.
контрольная работа [67,1 K], добавлен 27.03.2012
