Исследование численного решения задачи оптимального управления очисткой воды от загрязнения органическими отходами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОЧИСТКОЙ ВОДЫ ОТ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОРГАНИЧЕСКИМИ ОТХОДАМИ

Прокофьева Кристина Сергеевна, студент, направление подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика, Оренбургский государственный университет, Оренбург

Анциферова Лариса Михайловна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики, Оренбургский государственный университет, Оренбург

Болодурина Ирина Павловна, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Оренбургский государственный университет, Оренбург

Аннотация. Защита водных ресурсов от загрязнения является актуальной проблемой современного мира. Одним из вариантов ее решения выступает внедрение высокоэффективных методов очистки сточных вод. В данной работе исследуется модель Стритера - Фелпса, описывающая взаимодействие воды с растворенными в ней кислородом и органическими отходами. Целью исследования является решение задачи оптимального управления очисткой воды от загрязнения органическими отходами. Проведена дискретная аппроксимация и применен метод множителей Лагранжа для поставленной задачи оптимального управления очисткой воды от загрязнения органическими отходами. Для нахождения решения дискретной задачи оптимального управления построена численная схема аппроксимации и применен итерационный метод оптимизации. Научная новизна работы заключается в исследовании и выявлении зависимостей параметров модели очистки сточных вод при различных исходных и граничных условиях состояния системы методами теории оптимального управления. Практическая значимость работы заключается в создании на основе численной схемы оптимизации программного обеспечения, позволяющего проводить экспериментальные исследования загрязненности воды. Для сравнения полученных результатов дальнейшие исследования могут быть направлены на разработку нейросетевого алгоритма решения задачи оптимального управления очисткой воды.

Ключевые слова: оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина, метод множителей Лагранжа, итерационный алгоритм, модель очистки воды, модель Стритера - Фелпса, концентрация отходов.

RESEARCH OF THE NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL OF WATER PURIFICATION FROM POLLUTION BY ORGANIC WASTES

Prokofieva Kristina Sergeevna, student, training program 01.03.02 Applied Mathematics and Computer Science, Orenburg State University, Orenburg

Antsiferova Larisa Mikhailovna, PhD in Pedagogics, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics, Orenburg State University, Orenburg

Bolodurina Irina Pavlovna, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics, Orenburg State University, Orenburg

Abstract. Protection of water resources from pollution is an urgent problem of the modern world. One of the options for its solution is the introduction of highly effective methods of wastewater treatment. The paper investigates the Streeter - Phelps model describing the interaction of water with dissolved oxygen and organic waste. The aim of the study is to solve the problem of optimal management of water treatment from organic waste pollution. A discrete approximation is performed and the method of Lagrange multipliers is applied for the task of optimal control of water treatment from organic waste contamination. To find a solution to the discrete optimal control problem, a numerical scheme of the solution is constructed and an iterative optimization method is applied. The scientific novelty of the work is to study and identify the dependencies of the parameters of the wastewater treatment model under various initial and boundary conditions of the system state using the methods of optimal control theory. The practical significance of the work is to identify the dependencies of the problem solution on the main parameters of the model. To compare the results obtained, further research can be directed to the development of a neural network algorithm for solving the problem of optimal water treatment management.

Введение

В настоящее время приобрели особое значение исследования проблем антропогенных воздействий на окружающую среду, в частности на поверхностные воды. Для описания различных процессов в водоемах требуется построение достаточно сложных математических моделей. Однако это дает возможность изучения всевозможных процессов и выбора оптимальной стратегии управления ими. Благодаря активному развитию методов математического моделирования [4, 6], а также совершенствованию вычислительных инструментов и средств, расширились возможности выявления оптимальных воздействий на природную среду и количественного описания природных явлений. В частности, широкое применение получили традиционные способы управления динамическими системами, такие как принцип максимума Понтрягина и основанные на нем методы последовательных приближений.

Математическая модель задачи очистки воды от загрязнения

В данной работе рассматривается классическая модель Стритера - Фелпса, описывающая взаимодействие воды с растворенными в ней кислородом и органическими отходами [3]. Математически данная модель описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (ОДУ) с соответствующими начальными условиями.

где

x(t) - концентрация отходов в момент времени t;

x₂(t) - дефицит кислорода в момент времени t; u(t) - функция управления изменением концентрации отходов, удовлетворяющая ограничению 0 < u(t) < u_g,

L_g - концентрация отходов, D_g - дефицит кислорода в начальный момент времени t = 0; k_g - коэффициент отбора кислорода за единицу времени;

k₂ - коэффициент реаэрации в единицу времени. Целью данного управления u(t) является минимизация суммарных затрат на проведение очистных работ и повышение качества поверхностных вод [2, 5] в течение рассматриваемого периода времени [O, T]. Соответствующий целевой функционал запишется в виде

(4)

где а - коэффициент, характеризующий стоимость работы в единицу времени.

Задача оптимального управления (ЗОУ) очисткой воды от загрязнения органическими отходами (1)-(4) является задачей Лагранжа со свободным правым концом и ограничениями на управление.

Аналитическое решение подобной задачи основывается на применении принципа максимума Понтрягина [6, 8] и состоит в сведении исходной ЗОУ к системе дифференциальных уравнений с граничными условиями, которую принято называть краевой задачей. Однако, в большинстве случаев, получить точное решение достаточно сложно. В связи с этим, в последнее время наиболее важное место занимают приближенные методы решения оптимизационных задач [1, 7].

Численное решение задачи оптимального управления очисткой воды от загрязнений органическими отходами Для построения численной схемы решения поставленной задачи очистки воды от загрязнения органическими отходами проведем дискретную аппроксимацию непрерывной задачи [4]. Разобьем отрезок [O, T] на равных частей ?t. Для вычисления производной фазовой функции используем метод Эйлера, а для приближенного вычисления значения интеграла в критерии качества применим формулу левых прямоугольников. Тогда дискретная ЗОУ, соответствующая непрерывной, запишется в виде:

Для нахождения решения дискретной задачи (5)- (9) в данной работе используется метод множителей Лагранжа и итерационных метод оптимизации.

Функция Лагранжа, соответствующая дискретной ЗОУ, имеет вид:

Согласно правилу множителей Лагранжа, необходимо выполнение условий стационарности по x и неотрицательности для множителей Лагранжа.

Рекуррентные соотношения для вычисления сопряженных переменных, а также формулы для вычисления управления имеют вид:

Результаты моделирования Представленная численная схема итерационного метода оптимизации решения ЗОУ (1)-(4) реализована в самостоятельном программном обеспечении на языке программирования C#. Проведены вычислительные эксперименты для исследования зависимости решения задачи от параметров модели.

Эксперимент 1. Анализ влияния максимально допустимого значения управления

Исследуем влияние значения максимального количества отходов, удаленных из единицы объема в единицу времени, на процесс очистки воды. Рассмотрим малые реки с быстрым течением при температуре воды и стоки предприятий, содержащих токсические вещества при начальных условиях

Результаты показали (таблица 1), что увеличение максимально допустимого управления положительно влияет на очистку водного объекта.

Таблица 1. Зависимость решения задачи от u₀

Однако, увеличение возможно до определенно- кислорода (рисунок 1). При u₀ = 0.5 они принимают го момента, иначе задача потеряет смысл, что вид- отрицательные значения. но на графике концентрации отходов и дефицита

Рисунок 1. Результаты вычислений при различных значениях u₀ : а - управление, б - концентрация отходов, в - дефицит кислорода

Источник: разработано автором

Рисунок 2 - Результаты вычислений при различных значениях стоимостного коэффициента: а - управление, б - концентрация отходов, в - дефицит кислорода Источник: разработано автором

Источник: разработано автором

Замечаем, что концентрация отходов и дефицит кислород уменьшается и в случае нулевого управления (рисунок 1), но уменьшение не столь значительно, как если бы система управлялась извне. Поэтому можно считать, что затраты на очистку водного объекта небезрезультатны.

Эксперимент 2. Анализ влияния стоимостного коэффициента

Исследуем влияние стоимости работ а на процесс очистки воды от загрязнения органическими отходами. Анализ полученных функций управления (рисунок 2а), концентрации отходов (рисунок 2б) и дефицита кислорода (рисунок 2в) показал, что увеличение стоимостного коэффициента а влияет на время работы по очистке. Кроме того, увеличение стоимости ведет к тому, что управление используется на меньшем промежутке времени. Так при а = 1 оптимальное управление имеет точку переключения т = 20, а при увеличении коэффициента а до 6 оптимальное управление имеет точку переключения т = 24.

Таблица 2. Зависимость решения задачи от стоимостного коэффициента

Источник: разработано автором

С увеличением стоимостного коэффициента также происходит увеличение значения функционала - растут общие затраты на всем временном интервале (таблица 2).

Заключение

В работе была рассмотрена автономная задача оптимального управления, которая моделирует процесс очистки воды от загрязнения органическими отходами. Проведена дискретная аппроксимация исходной непрерывной задачи, реализован итерационный алгоритм ее численного решения в виде программного обеспечения позволяющего проводить экспериментальные исследования загрязненности воды.

В ходе анализов проведенных вычислительных экспериментов установлено непосредственное влияние изменения стоимостного коэффициента на результаты проведения работ по очистке воды, а также на значение целевого функционала. Выявлена зависимость решения ЗОУ от максимально допустимого значения функции управления, увеличение которого положительно влияет на процесс очистки воды от органических отходов. Но существует некоторое критическое значение u₀, при котором значения концентрации отходов и дефицита кислорода в воде, в конечный момент времени противоречат нормативным данным, что лишает задачу содержательного смысла.

задача оптимальное управление очистка вода

Литература

1. Бондаренко Н. В., Григорьева Э. В., Хайлов Е. Н. Задачи минимизации загрязнений в математической модели биологической очистки сточных вод // Вычислительная математика и математическая физика. - 2012. - Т. 52. - № 4. - С. 614-627.

2. Гордин И. В., Манусова Н. Б., Смирнов Д. Н. Оптимизация химико-технологических систем очистки промышленных сточных вод. - Л.: Химия. - 1977. - 176 с.

3. Готовцев А. В. Модификация системы Стритера-Фелпса с целью учета обратной связи между концентрацией растворенного кислорода и скоростью окисления органического вещества // Водные ресурсы. - 2010. - Т. 37. - № 2. - С. 250-256.

4. Дружинин Н. И., Шишкин А. И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши: монография. - Л: Гидрометеоиздат, 1989. - 390 с.

5. Ермолин Ю. А., Алексеев М. И. Промышленная очистка сточных вод как управляемый процесс // Вода и экология: проблемы и решения. - 2017. - № 2 (70). - С. 18-27.

6. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. - M.: Издательство МГУ - 2004. - 168 с.

7. Смирнов Н. В. Методы математического моделирования динамики процессов окисления в системе биологической очистки воды: дис. канд. техн. наук: 05.13.18. - Петрозаводск, 2014. - 114 с.

8. Rojas J., Burke M., Chapwanya M. et al., Modeling of autothermal thermophilic aerobic digestion // Math.-in-Industry Case Studies J. - 2010. - № 2. - P. 34-63.

Размещено на Allbest.ru