Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Реферат

Тема:

Линейная алгебра

• Введение
• 1. Основные типы матриц
• 1.1 Основные понятия
• 1.2 Простейшие операции над матрицами
• 2. Определители
• 2.1 Миноры и алгебраические дополнения
• 2.2 Союзная и обратная матрицы
• 3. Вектор. Линейное пространство
• 3.1 Линейное пространство
• 3.2 Правило Крамера для решения линейных уравнений
• 3.3 Однородная система уравнений
• 4. Собственные числа
• 4.1 Характеристическое уравнение
• 5. Билинейная и квадратичная форма
• 5.1 Преобразование переменных
• 6. Матричные многочлены
• 6.1 Степени матрицы
• 6.2 Теорема Кэли-Гамеильтона
• 6.3 Теорема Сельвестра
• 6.4 Теорема Сильвера
• 6.5 Метод Кэли-Гамильтона
• 7. Функциональное пространство
• 7.1 Ортогональные функции
• 7.2 Ортогональные функции как базис функционального пространства
• 7.3 Ортогональная система с «весом»
• 8. Метрическое пространство
• Заключение
• Используемая литература
• Введение

Одной из важнейших задач математики является исследование и решение систем уравнений первой степени. Как само существование решений системы, так и возможные числовые значения элементов решения полностью определяются матрицами. В реферате я рассмотрел некоторые общие вопросы, касающиеся матриц:

- определители квадратных матриц второго, третьего и высших порядков;

- минор матрицы;

- ранг матрицы;

- операции над матрицами;

- собственные числа;

- функциональное пространство.

1. Основные понятия

Система линейных уравнений

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ +…+ а_1nх_n = у₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ +…+ а_2nх_n = у₂

_{…………………………………………………………}

а_m1х₁ + а_m2х₂ + а_m3х₃ +…+ а_mnх_n = у_m

будет некоторое множество связей между переменными х₁, х₂,…,х_n и у₁, у₂,…, у_m. Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентов a_ij. Если это множество коэффициентов обозначить через A и записать в виде

,

то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.

Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы - векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (mЧn) матрицей. Квадратная матрица (m = n), является матрица n-го порядка.

1.1 Основные типы матриц

· Матрица типа (mЧ1) называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк.

· Матрица типа (1Чn), содержащая одну строку элементов, называется матрицей строкой.

· Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

· Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.

Транспонирование матрицы А - операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (А^т).

· Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.

1.2 Простейшие операции над матрицами

· Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (mЧn), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется как c_ij = a_ij + b_ij, ; .

Свойства: А + В = В + А (коммутативность);

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

· Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка (mЧn) равна матрице D = А - В, элементы которой определяются как: d_ij = a_ij - b_ij, ; .

Матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.

· Произведение матриц

Произведение матриц А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [С_ik] = [a_ijb_jk]. В общем случае: С = АВ = [a_ikb_jk].

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицы А и В согласованы по форме, а если матрицы А и В равны (А = В), т.е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.

· Умножение матриц на скалярную величину.

При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скаляр R. Произвольный элемент произведения RA равен Ra_ij.

· Умножение транспонированных матриц.

В^тА^т = (АВ)^т.

В общем случае: С^т = (АВ)^т = В^тА^т.

· Дифференцирование матриц.

Производная от А(t) по переменной t определяется как:

=

Производная от суммы двух матриц

[A(t) + B(t)] = (t) +(t)

Производная от произведения двух матриц:

[A(t)B(t)] = (t)B(t) + A(t)(t)

· Интегрирование матриц.

Подобно определению производной от матрицы, интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интеграла от элементов исходной матрицы.

dt

2. Определители

Определителем, или детерминантом второго порядка матрицы А записывается как и его значение считается равным (а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁). Его порядок равен числу строк квадратной матрицы или столбцов.

Определителем, или детерминантом третьего порядка, соответствующим матрице А, называют число, полученное по правилу

Схематически правило вычисления определителя можно изобразить следующим образом:

Свойства определителя:

1. Определитель равен единице, если все элементы на главной диагонали (а₁₁, а₂₂, а₃₃,…, а_nn) равны единице, а остальные нулю.

2. Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой-либо строки или если равны или пропорциональны соответствующие элементы произведения двух строк.

3. Величина определителя остается постоянной по модулю при перестановке его строк.

4. Знак определителя изменяется при перестановке двух его строк.

5. Если элементы некоторого ряда имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

6. Определитель не изменяется, если к элементам некоторого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и тоже число.

.

2.1 Миноры и алгебраические дополнения

Минором порядка S данной матрицы А (М) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных S строк и S столбцов.

Если матрица А квадратная матрица, то вводится определение дополнительного минора.

Дополнительным минором () называется определитель матрица, оставшийся после вычеркивания S строк и S столбцов.

Пр.:

М = -4; =-24

Алгебраическое дополнение минора - это дополнительный минор, умноженный на (-1)^р.

А = (-1)^рМ,

где Р - сумма номеров строк и столбцов данной матрицы, входящих в минор М.

Р = 2 + 3 + 2 + 3 = 10,

А = (-1)¹⁰М(-24) = -24.

Каждый элемент a_ij матрицы, является минором первого порядка, а дополнительным минором является определитель (n-1)-го порядка, который называется минором a_ij и обозначается М_ij.

2.2 Союзная и обратная матрицы

Скалярные произведение:

Для действительных х и у запишем как:<х, у> = х^т у = у^т х = <у, x>.

Векторное произведение:

x><у = х(у^*)^т = ,

если вектор-столбец х (nЧ1) обозначить через х>; вектор-строку (у^*)^т (1Чm) - через <y.

Ортогональные вектора:

Единичные векторы.

Вектор называется единичным, если его длина равна единице так, что <> = 1.

Линейная зависимость

Вектор х_i (i = 1, 2,…,m) с составляющими х_1i, х_2i,…, х_ni называются линейно независимыми, если не существует таких постоянных k₁, k₂,…, k_m, что k₁х₁ + k₂х₂ +…+ k_mх_m = 0.

Квадратная матрица называется особенной, если ее столбцы или строки не являются линейно-независимыми (, а если , то матрица неособенная). Если строки особенной матрицы линейно связаны одним соотношением, то матрица - просто вырожденная. Если более, чем одним соотношением, то - многократно вырожденной.

Рангом (r) матрицы (А) является наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля:r = n - g (n - порядок).

Определитель Грамма:

Система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для k_i только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами [<x_i; x_j>] равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен:

система векторов линейно независимая тогда и только тогда, когда определитель Грама ? 0.

3.1 Линейное пространство