Надежность механических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Петербургский государственный университет путей сообщения

Императора Александра I»

Кафедра «Подъемно-транспортные, путевые и строительные машины»

Направление 23.05.01 «Наземные транспортные-технологические средства»

Специализация «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудования»

КОТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Надежность механических систем»

Выполнил обучающийся

Курс 4

Ермолин А.В.

Санкт- Петербург 2021



Задача 1

На испытании находилось N образцов неремонтируемой аппаратуры.

Число отказов n(Дx) фиксировалось через каждые Дx часов работы. Исходные данные приведены в таблице. Требуется вычислить P(x), f(x), ѓЙ(x) и построить зависимости характеристик от времени.

Решение.

Табл.1.1

?x	n(?x)	?x	n(?x)	?x	n(?x)	?x	n(?x)
0-50	15	150-200	4	300-350	3	450-500	4
50-100	7	200-250	3	350-400	2	500-550	8
100-150	5	250-300	3	400-450	3	550-600	12

Статистически P(t) оценивается выражением:

где n(x) - число изделий отказавших за время t

N - количество изделий в начале испытаний.

Занесем результаты в таблицу 1.2



Табл. 1.2

?x	Р*(x)	?x	Р*(x)	?x	Р*(x)	?x	Р*(x)
50	0,97	200	0,982	350	0,994	500	0,986
100	0,956	250	0,986	400	0,99	550	0,976
150	0,976	300	0,994	450	0,99	600	0,96

Частота отказов f*(x)

где n(?x) - число отказавших изделий в интервале времени от x - ?x/2 до x + ?x/2

Занесем результаты в таблицу 1.3

Табл. 1.3

?x	f*(x) * 10-3	?x	f*(x) * 10-3	?x	f*(x) * 10-3	?x	f*(x) * 10-3
50	0,6	200	0,16	350	0,12	500	0,16
100	0,28	250	0,12	400	0,08	550	0,32
150	0,2	300	0,12	450	0,12	600	0,48

Интенсивность отказов л(x)

где Nср - среднее число исправно работающих изделий в интервале ?x



Nср =

где N(x-1) - число изделий, исправно работающих в момент времени x - 1 N(x) - число изделий, исправно работающих в конце интервала ti

Занесем результаты в таблицу 1.4

табл. 1.4

?x	л*(x)* 10-3	?x	л*(x)* 10-3	?x	л*(x)* 10-3	?x	л*(x)* 10-3
50	0.609	200	0,190	350	0,167	500	0,228
100	0.290	250	0,164	400	0,113	550	0.465
150	0.211	300	0,166	450	0,169	600	0.718

Построим зависимости P*(x), л*(x), f*(x) от времени.

Задача 2

Сбор, обработка и анализ статистических данных о надёжности машин

1. Составление сводной таблицы исходной информации.

2. Составление статистического ряда исходной информации.

3. Определение среднего значения показателя надёжности и среднего

квадратического отклонения.

4. Проверка информации на выпадающие точки.

5. Графическое изображение опытной информации.

6. Определение коэффициента вариации.

7. Выбор теоретического закона распределения для выравнивания

опытной информации.

8. Оценка совпадения опытного и теоретического законов распределения показателей надёжности по критерию согласия.

9. Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателей надёжности. 10. Определение абсолютной и относительной предельных ошибок.

Решение:

1. Составление сводной таблицы исходной информации.

надежность статистический квадратический

№	ресурс, ч	№	ресурс, ч	№	ресурс, ч	№	ресурс, ч	№	ресурс, ч
1	165	19	636	39	990	55	1395	73	1956
2	198	20	660	38	1008	56	1428	74	1986
3	234	21	684	39	1026	57	1452	75	2028
4	255	22	708	40	1044	58	1476	76	2067
5	282	23	720	41	1065	59	1494	77	2106
6	309	24	735	42	1089	60	1518	78	2145
7	345	25	753	43	1110	61	1545	79	2202
8	381	26	777	44	1131	62	1572	80	2265
9	408	27	795	45	1152	63	1617	81	2316
10	447	28	816	46	1173	64	1653	82	2379
11	474	29	840	47	1194	65	1692	83	2424
12	492	30	861	48	1218	66	1728	84	2499
13	513	31	875	49	1242	67	1761	85	2574
14	540	32	854	50	1266	68	1797	86	2655
15	558	33	912	51	1299	69	1824	87	2718
16	576	34	933	52	1323	70	1848	88	2811
17	597	35	954	53	1350	71	1875	89	2916
18	615	36	972	54	1371	72	1914	90	3015

2. Составление статистического ряда исходной информации.

Количество интервалов статистического ряда

Длина интервала

где tmax и tmin - наибольшее и наименьшее значения показателя надёжности в

сводной таблице информации

данном примере начало первого интервала

t„~1 = 285 ч.

Статистический ряд представляется в следующем виде:

Опытная вероятность

Накопленная опытная вероятность определяется суммированием опытных вероятностей интервалов статистического ряда.

интервал	165-450	450-735	735-1020	1020-1305	1305-1590	1590-1875	1875-2160	2160-2445	2445-2730	2730-3015
Mi	10	13,5	14,5	13	11	8,5	7,5	5	4	3
Pi	0,11	0,15	0,16	0,14	0,12	0,094	0,08	0,055	0,044	0,033
Epi	0,11	0,26	0,42	0,56	0,68	0,78	0,86	0,92	0,96	1

3. Определение среднего значения показателя надёжности и среднего

квадратического отклонения.

среднее значение показателя надёжности:



где n - количество интервалов в статистическом ряду;

tci - значение середины i-го интервала;

„‚i - опытная вероятность i-го интервала.

В нашем случае:

Характеристикой рассеивания показателя надёжности является дисперсия или среднее квадратическое отклонение, которое, определяем по уравнению:

час

4. Проверка информации на выпадающие точки.

Грубую проверку проводят по правилу , границы достоверности информации будут равны:

нижняя 1222 -3?682 --824 ч;

верхняя 1222 -3-682 --9358 ч.

Более точно информацию на выпадающие точки проверяют по критерию Ирвина ѓЙ

где ti и ti-1 - смежные точки

При ѓЙ„Ђ„Ѓ ? ѓЙ„S точку считают достоверной, при ѓЙ„Ђ„Ѓ > ѓЙ„S точку признают выпадающей и исключают из дальнейших расчётов.

=0,044

По приложению находим, что при повторности информации N = 90 и

доверительной вероятности ѓА = 0,95, ѓЙ„S = 1,02.

точки следует признать достоверными, так как

ѓЙ„Ђ„Ѓ1 = 0,044 < ѓЙ„S = 1,02

ѓЙ„Ђ„Ѓ 90 = 0,15 < ѓЙ„S = 1,02

5. Графическое изображение опытной информации.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываем в определённом масштабе показатель надёжности t, а по оси ординат - опытную частоту mi или опытную вероятность pi.

Рис. 1. Гистограмма накопленных опытных вероятностей

Рис. 2. Полигон распределения ресурсов изделий

Рис. 3. Кривая накопленных опытных вероятностей

6. Определение коэффициента вариации.

Коэффициент вариации

где „R - смещение рассеивания показателя надёжности, которое рассчитывается по формуле:

, где t„~1 - начало первого интервала статистического ряда;

„@ - длина интервала.

„R ??165 ??0,5?285 ??22,5 ч.

v ??682 /?1222?22,5???0,568

7. Выбор теоретического закона распределения для выравнивания

опытной информации.

Для выравнивания распределений показателей надёжности техники и её элементов наиболее широко используют закон нормального распределения (ЗНР) и закон распределения Вейбулла (ЗРВ) закон нормального распределения (ЗНР)

Дифференциальную функцию описывают уравнением:

f(t)= , где ц((tci-Їt)/у) = z ,

=

Интегральная функция распределения:

Q(t)= , где z , то Q(-z) =1-Q(z)

Обратный переход от нормированной функции к исходной делается по формуле:

Рассчитанные аналогичным образом значения дифференциальной и интегральной функций по всем интервалам статистического ряда сведём в таблицу.

интервал	165-450	450-735	735-1020	1020-1305	1305-1590	1590-1875	1875-2160	2160-2445	2445-2730	2730-3015
f(t)	0,06	0,11	0,14	0,16	0,15	0,13	0,08	0,05	0,22	0,008
Q(t)	0,13	0,24	0,39	0,88	0,71	0,83	0,91	0,95	0,98	0,99

закон распределения Вейбулла (ЗРВ)

где „p и b - параметры распределения Вейбулла.

Параметр b определяется по таблице приложения. Для этого необходимо

предварительно найти коэффициент вариации. Из таблицы выписывают значение параметра b, коэффициенты K„B и „R„B.

При v = 0,568; b = 1.8; K„B = 0,89 и„R„B = 0,51.

.

Дифференциальную функцию определяют по приложению. При этом

используют уравнение:

где „@ - длина интервала статистического ряда;

tci - середина интервала статистического ряда;

„R - смещение.

Находим дифференциальную функцию в первом интервале статистического ряда:

Интегральная функция:

где t„{i - значение конца i-го интервала.

Аналогично определим значения дифференциальной и интегральной

функций в остальных интервалах статистического ряда.

Значения дифференциальной и интегральной функций при ЗРВ

интервал	165-450	450-735	735-1020	1020-1305	1305-1590	1590-1875	1875-2160	2160-2445	2445-2730	2730-3015
f(t)	0,09	0,14	0,15	0,17	0,16	0,13	0,11	0,08	0,04	0,01
Q(t)	0,11	0,25	0,41	0,56	0,7	0,8	0,9	0,94	0,97	0,98

8. Оценка совпадения опытного и теоретического законов распределения показателей надёжности по критерию согласия.

При обработке информации по показателям надёжности применяем критери согласия Пирсона ч2:

где ny - количество интервалов укрупнённого статистического ряда;

mi - опытная частота в i-м интервале статистического ряда;

mTi - теоретическая частота в i-м интервале.

где N - количество точек информации;

Q(ti) и Q(ti-1) - интегральные функции i-го и (i-1)-го интервалов статистиеского ряда.

Для определения ч2 строят укрупнённый статистический ряд, соблюдая

условие: n„… > 4, mi ? 5. При этом допускается объединение соседних интервалов, в которых mi < 5.

интервал	165-450	450-735	735-1020	1020-1305	1305-1590	1590-1875	1875-2160	2160-2445	2445-3015
Mi	10	13,5	14,5	13	11	8,5	7,5	5	7
При законе нормального распределения
O(t)	0,13	0,24	0,39	0,88	0,71	0,83	0,91	0,95	0,99
	11,7	9,9	13,5	44,1	-15,3	10,8	7,2	3,6	3,6
При законе распределения Вейбулла
O(t)	0,11	0,25	0,41	0,56	0,7	0,8	0,9	0,94	0.98
	9,9	12,6	14,4	13,5	12,6	9	9	3,6	3,6

критерий согласия Пирсона:

- при законе нормального распределения:



= 65,04

- при законе распределения Вейбулла:

= 4,31

Для дальнейших расчётов выбираем тот закон распределения, у которого меньше критерий Пирсона ч2. Судя по значениям критериев согласия ЗНР и ЗРВ, приходим к выводу, что применительно к ресурсам изделия более приемлемым считают закон распределения Вейбулла.

9. Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателей надёжности.

где

- квантиль закона распределения Вейбулла;

„p - параметр закона Вейбулла;

„R - смещение начала рассеивания

Доверительный интервал:

ч.

ч.

Доверительный интервал:

= 3151- 209 = 2942 ч.

Доверительные границы рассеивания среднего значения показателя

надёжности при ЗРВ определяем по уравнениям:

где r1 и r3 - коэффициенты распределения Вейбулла, зависящие от доверительной вероятности ѓА и повторности информации N;

b - параметр закона распределения Вейбулла.

r1 = 1,25; r3 = 0,82; b = 1.8.

ч.

ч.

Доверительный интервал:

=1377-1089=288 ч.

10. Определение абсолютной и относительной предельных ошибок.

Относительная предельная ошибка, %:

(при ЗНВ)

Размещено на Allbest.ru