Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Навчальний посібник

Дисципліна: Математика

Тема:

Рівняння та системи рівнянь з параметрами

Зміст

1. Історія рівнянь

2. Рівняння з параметрами

3. Лінійні рівняння з параметрами

4. Дослідження і розв'язування систем лінійних рівнянь з двома невідомими та параметрами

5. Квадратні рівняння з параметрами. Використання квадратних рівнянь з параметрами при розв'язуванні фізичних задач

6. Дробово-раціональні рівняння з параметрами

7. Алгебраїчні рівняння вищих степенів з параметрами. Дослідження кубічної параболи за першою похідною

8. Ірраціональні рівняння з параметрами

9. Показникові і логарифмічні рівняння з параметрами

10.Тригонометричні рівняння з параметрами

11. Рівняння, що містять модулі і параметри

12. Графічне розв'язування рівнянь з параметрами

13. Графічне розв'язування систем рівнянь з параметрами

Висновок

Список використаної літератури

Додаток

Передмова

У більшості учнів розв'язання рівнянь та систем рівнянь з параметрами викликає вагання, трудність як у логічному, так і в технічному плані, тому вміння їх розв'язувати в багатьох випадках визначає успішну здачу іспитів у будь-який вищий навчальний заклад.

Метою цього навчального посібника з математики по темі “Рівняння та системи рівнянь з параметрами” є ознайомлення з основними методами, підходами, що використовуються під час розв'язування рівнянь, підвищення математичної культури, розвитку логічного, абстрактного, аналітичного та графічного мислення учнів у рамках шкільного курсу математики.

Визначальною умовою успішного розв'язування рівнянь з параметрами є наявність у школярів дослідницьких навичок, формуванню та розвитку яких повинна постійно приділятися увага. Труднощі, які виникають при розв'язуванні такого роду задач, зумовлені розбиттям останніх на певні класи залежно від значень, які набуває параметр. Важливо, щоб учні вміли виділяти серед усіх можливих значень ті значення параметра, при яких або при переході через які відбуваються якісні зміни рівняння.

Даний посібник побудовано так, щоб учні самостійно змогли зрозуміти логіку розв'язування рівнянь та систем рівнянь з параметрами і навчитись їх розв'язувати. Він може бути використаний при різних рівнях попередньої математичної підготовки.

Перші два параграфи - вступ до теми. У першому розглядається історія розвитку рівнянь, а в другому обговорюється, що таке “параметр” і що означає “розв'язати рівняння з параметром”. В наступних пропонуються алгоритми розв'язування рівнянь та систем рівнянь з параметрами. Приклади розв'язаних рівнянь та систем рівнянь підібрані за принципом “від простого до складного”.

Бажаю учням та їх наставникам терпіння і послідовності у роботі, тоді успіх обов'язково прийде.

1. Історія рівнянь

Перші математичні уявлення і поняття людина формувала у глибокій давнині, розв'язуючи найпростіші задачі практичного характеру. У Староєгипетському математичному тексті-папірусі Райнда (приблизно XX ст. до н.е.) вміщено групу задач на “аха”(в перекладі “купа”).У задачах “аха” означає кількість, яку потрібно визначити. Із сучасної точки зору, це були задачі на складання лінійних рівнянь відносно однієї змінної виду: х + ах + вх + сх +... = р, де

х =

Звідси починається історія алгебри, як науки про розв'язування рівнянь, бо вперше тут ми зустрічаємо абстрактні задачі, розв'язані одним методом.

Вавілонські задачі (ХVIIIст. до н.е.) на квадратні рівняння - перший зразок справжньої математичної теорії, розвинутої з потреб практики.

В той час вони ще не вміли використовувати в математиці букви, символи, вони словами формулювали правила, за допомогою яких можна знайти число, яке ми зараз називаємо корінь рівняння.

Багато рівнянь вмів розв'язувати грецький математик Діофант, який, навіть, застосував букви для позначення невідомих. Але метод рівнянь сформувався вже арабськими вченими. Вони, напевно, знали, як розв'язували задачі в Вавілоні та Індії, удосконалили ці способи розв'язування і систематизували.

Першим написав книгу про розв'язування рівнянь ал-Хорезмі Абу Абдалла Мухаммед ібн Муса ал-Маджусі на арабській мові.

Удосконалення техніки розв'язування рівнянь стимулювалося і розвитком самої математики, і запитами практики - потребами мореплавства, землемірства, астрономії, інженерної, зокрема військової, справи. Але на шляху розвитку загальної теорії алгебраїчних рівнянь і способів їх розв'язування були значні труднощі.

Тільки в кінці XV ст. відбувається швидкий перехід від словесної алгебри до алгебри символічної. Велика заслуга в створенні системи алгебраїчної символіки і вдосконалення на її основі теорії алгебраїчних рівнянь належить видатному французькому математику Франсуа Вієту.

Пізніше Рене Декарт для відомих величин ввів позначення буквами а,в,с,...,а для невідомих - х,у,z,....

Термін “тригонометричні функції” вперше з'явився тільки в кінці XVIII ст. Але під іншими назвами це поняття було відоме набагато раніше. Давньогрецький математик і астроном Гіппарх ще в другому столітті до нашої ери склав таблиці, за допомогою яких визначив відстань від Землі до Місяця і розв'язав багато інших подібних задач. Тригонометрію розвивали такі відомі вчені як Менелай (І ст.), Птоломей (ІІст.), Аріабхата (ІV ст.) та ін.

Сучасного вигляду вчення про розв'язування тригонометричних рівнянь набуло в працях Л. Ейлера.

До початку XVII ст. у математиці уникали вживання дробових та від'ємних показників степенів. Лише наприкінці XVII ст. у зв'язку з ускладненням математичних задач виникла необхідність поширити область визначення показника степеня на всі дійсні визначення і тоді тільки почали вивчати показникову функцію виду у = е^х. Іранський математик ал-Караджі (ХІ ст.) розглядав тричленні рівняння, квадратні відносно деякого степеня невідомого.

Винайденню логарифмів значною мірою сприяли потреби удосконалення обчислень. Різні способи розв'язування логарифмічних рівнянь зустрічаються у працях математиків Д. Непера, Й. Бюргі, М. Штіфеля, Г. Брігса та ін.

2. Рівняння з параметрами

Для розв'язування задач у техніці й математиці досить часто доводиться складати і розв'язувати рівняння і системи рівнянь. При цьому, нерідко, в ці рівняння і системи рівнянь, крім невідомих величин (х, у, z,...), входять також деякі змінні величини (a, в, c,...), що мають назву параметри.

Різниця між ними дуже умовна. Можна говорити, що параметр - це змінна, значення якої вважається фіксованим, і кожне значення параметра визначає відносно заданого невідомого відповідне рівняння. Іншими словами, рівняння з параметром є, фактично, сімейством рівнянь, які розглядають при фіксованому значенні параметра.

Рівнянням з параметрами називаємо рівняння виду

f(x;а₁,а₂,а₃,...,а_n) = 0, (1)

де х - шукане невідоме, а₁,а₂,а₃,...,а_n - змінні параметри.

Значення шуканого невідомого х залежить від значення параметрів.

Значення параметрів а₁,а₂,а₃,...,а_n, при яких вираз f(x;а₁,а₂,а₃,...,а_n) має зміст при деяких значеннях х, називаються допустимими. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1) називають областю зміни параметрів цього рівняння. Для кожної допустимої системи значень параметрів рівняння (1) має певну множину розв'язків.

Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв'язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів.

Щоб розв'язати рівняння f(x;а₁,а₂,а₃,...,а_n) = 0 з невідомим х і параметрами а₁,а₂,а₃,...,а_n потрібно:

1) визначити область допустимих систем значень параметрів а₁,а₂,а₃,...,а_n;

2) розв'язати рівняння відносно х і подати невідоме х у вигляді функції х = ц(а₁, а₂,..., а_n) від параметрів;

3) з'ясувати, при яких допустимих системах значень параметрів значення функції х = ц(а₁, а₂,..., а_n) є розв'язками даного рівняння;

4) розглянути рівняння (1) при таких допустимих системах значень параметрів, при яких його не можна розв'язати відносно х; з'ясувати, чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв'язки, і якщо має, то які.

Розв'язуючи різні типи рівнянь з параметрами аналітичним способом, можна користуватися таким орієнтиром: будь-яке рівняння з параметром можна розв'язувати як звичайне рівняння до тих пір, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв'язування, можна виконати однозначно. У той момент коли якесь перетворення не можна виконати однозначно, розв'язування необхідно розбити на декілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записувалась однозначно.

У процесі розв'язування рівнянь істотну роль відіграють теореми про рівносильність.

Два рівняння, що містять одні й ті ж параметри, називаються рівносильними, якщо:

а) вони мають зміст при одних і тих же значеннях параметрів;

б) кожен розв'язок першого рівняння є розв'язком другого і навпаки.

Графічний метод зручно використовувати, якщо перед нами дослідницькі завдання, пов'язані з кількістю розв'язків рівняння чи системи рівнянь.

Єдиного підходу до розв'язування рівнянь з параметрами немає. Їх розв'язують виходячи з особливостей функцій, які входять до них.

В багатьох випадках є доцільним використання, як аналітичного, так і графічного способів розв'язання рівнянь.

3. Лінійні рівняння з параметрами

Рівняння виду ах+в = 0, де а і в - вирази, що залежать тільки від параметрів, х - змінна, називається лінійним рівнянням відносно х з параметрами.

Воно зводиться до виду ах = -в

Дослідимо його.

Якщо а?0,то рівняння має єдиний корінь при кожній системі допустимих значень параметрів.

Якщо а = 0 і в = 0, то рівняння має вигляд: 0х = 0, звідси х - будь-яке число.

Якщо а = 0 і в ? 0, то рівняння має вигляд: 0х = -в, що неможливо. Рівняння розв'язків немає. (Схема 3, додаток)

На прикладах розглянемо як розв'язуються лінійні рівняння з параметрами.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння: а²х - 1 = х + а.

У цьому рівнянні х - змінна, а - параметр (невідоме нам, але конкретне число). Отже відносно змінної х - це лінійне рівняння. Для лінійного рівняння ми знаємо правило (алгоритм) його розв'язування: доданки, що містять змінну х перенести в одну сторону, а вільні доданки - в іншу (звичайно з відповідним знаком). Отже, можна, не зважаючи на параметр, використати відповідне правило, і одержуємо: а²х - х = а + 1 - рівняння, рівносильне даному.

Якби це було рівняння з числовим коефіцієнтом, то ми просто звели б подібні члени в лівій та правій частині цього рівняння. В нашому випадку це зробити не можна, але можна в лівій частині винести х за дужки (однозначно!). Тоді, знову не звертаючи увагу на параметр, маємо: (а² - 1)х = а + 1 - рівняння, рівносильне заданому.

Для розв'язування цього рівняння нам хочеться поділити обидві частини рівняння на а² - 1. Але однозначно це виконати не можна, бо ділити ми маємо право на будь-яке число, крім нуля, а ми не знаємо, чи а² - 1 = 0, чи ні. Отже, доведеться розглянути окремо два випадки: а² - 1 ? 0 і а² - 1 = 0.

Враховуючи, що а² - 1 = 0 існує в двох випадках: при а = 1 або при а = -1, варто другий випадок ще розбити на два випадки і розглянути окремо а = 1 і а = -1.

Всі ці міркування зручно зображати у вигляді схеми, на якій у круглих рамках зображуються проміжні записи, а в прямокутниках - кінцеві відповіді. Кожна лінія на схемі - це окремий випадок (шлях розв'язання), а умова, яка виділяє даний випадок серед інших.

Тому, для заданого рівняння це може бути така схема.

Це ж саме рівняння можна розв'язувати не за схемою. Запис розв'язку може бути, наприклад, таким: а²х - 1 = х + а.

Розв'язання

а²х - х = а + 1, (а² - 1)х = а + 1, (а - 1)(а + 1)х = а + 1.

1. Якщо (а - 1)(а + 1) = 0, тоді а = 1 або а = -1:

а) нехай а = 1, то 0х = 2 - рівняння розв'язків не має;

б) нехай а = -1, то 0х = 0 - рівняння має безліч розв'язків.

2. Якщо (а - 1)(а + 1) ? 0, тобто а ? 1 і а ? -1, рівняння має один корінь

, або .

Відповідь: Якщо а = 1, то рівняння не має розв'язків, якщо а = -1 - безліч розв'язків, якщо а ? 1 і а ? -1, то рівняння має один корінь

.

Серед лінійних рівнянь можна виділити цілий клас рівнянь де необхідно знайти ті значення параметра при яких рівняння має один розв'язок, безліч, жодного.

Приклад 2. При якому значенні параметра а рівняння х + 2 = ах не має розв'язків.

Розв'язання:

З рівняння х + 2 = ах маємо, що х - ах = -2, (1 - а)х = -2.

Якщо 1 - а = 0, то а = 1. Маємо, що 0х = -2. Отже, рівняння розв'язків не має при а = 1.

Відповідь: 1.

Приклад 3.При якому значенні параметра а рівняння 2а(а - 2)х = а - 2 має безліч розв'язків.

Розв'язання

а) Якщо 2а(а - 2) = 0, то а = 0 або а = 2.

а = 0, то 0х = - 2. Рівняння розв'язків не має.

а = 2, то 0х = 0. Рівняння має безліч розв'язків.

Відповідь: 2.

Розв'яжіть, вважаючи за невідоме х:

1) (5 - а) = 3 (х - в); 2) ах - 1 = х + а;

3) ах - 1 = х - а; 4)2х -ах +3 = а;

5) (m + 1)х = n - х; 6) ах - в = х - а;

7) ах - 2х = а² - 4; 8) а²х + а = в²х + в.

4. Дослідження і розв'язування систем лінійних рівнянь з двома невідомими та з параметрами

Дослідити систему рівнянь означає встановити:

- чи є система визначеною, тобто має єдиний розв'язок, і коли;

- чи є система несумісною, тобто не має розв'язків, і коли;

- чи має вона безліч розв'язків, і коли.

Нехай дано систему лінійних рівнянь:

а₁ х + в ₁ у = с _1,

а₂х + в₂ у = с _2,

де х, у - невідомі; а₁, а₂, в₁, в₂, с₁, с₂ - параметри.

Число розв'язків системи лінійних рівнянь можна визначати не розв'язуючи системи, за допомогою коефіцієнтів при відповідних змінних.

Якщо - система має один розв'язок.

При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв'язком системи.

Якщо - система не має розв'язку.

Графіки рівнянь при цьому є взаємно паралельними прямими.

Якщо - система має безліч розв'язків.

Графіки рівнянь збігаються.

При розв'язуванні системи лінійних рівнянь з параметрами можна використовувати метод Крамера. Ще в 1693 році Лейбніц писав: ”Правило обчислення розв'язків лінійної системи за допомогою визначників, а також способів дослідження розв'язків залежно від них - одне з найкращих відкриттів у алгебрі.” Отже, системи лінійних рівнянь можна розв'язувати за допомогою визначників.

а₁ в₁

? = = а ₁ в ₂ - а ₂ в ₁ - визначник системи;

а₂ в ₂

с ₁ в ₁

Д_х = = c₁ в₂ - c₂ в₁ - визначник змінної х;

c₂ в ₂

а ₁ с ₁

?_у = = а₁ с₂ - а₂ с₁ - визначник змінної у.

а₂ с ₂

Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система має один розв'язок (х; у), який можна знайти за формулами Крамера:

Якщо визначник системи дорівнює нулю, а хоча б один з визначників невідомих відмінний від нуля, то система не має розв'язків.

Якщо визначник системи і визначники невідомих дорівнюють нулю, то система має безліч розв'язків.

Приклад 1. При яких значеннях параметра а система рівнянь

ах +3у = 9,

12х + ау = 18

має безліч розв'язків?

Розв'язання

Система має безліч розв'язків, якщо

Розглянемо рівняння звідси а = ± 6. З умови маємо: а = 6.

Відповідь.6.

Приклад 2. При яких значеннях параметра а система

х + ау = 1,

ах - 3ау = 2а +3 не має розв'язків?

Розв'язання

1 а

Д = = - 3а - а² = - а (3 + а),

а -3а

1 а

Д _х = = -3а - (2а + 3) = - 2а (3 + а),

2а+3 -3а

1 1

Д_у = = 2а + 3 - а = а + 3.

а 2а +3

Система не має розв'язків у тому випадку, коли Д = 0, і хоча б один з визначників змінних не дорівнює нулю. Отже, Д = 0, коли а = 0 або а = - 3.

Якщо а = 0, то Д = 0, Д_х = 0 а Д_у = 3 ? 0. Звідси маємо, що при а = 0 система не має розв'язків.

Якщо а = - 3, тоД = 0, Д_х = 0, Д_у = 0, тоді система має безліч розв'язків.

Відповідь. При а = 0.

Розв'яжемо систему рівнянь використовуючи спосіб підстановки.

Приклад 3. Розв'язати систему рівнянь:

х + ау = 1,

ах - 3ау = 2а + 3.

Розв'язання

З першого рівняння маємо: х = 1 - ау. Тоді а (1 - ау) - 3ау = 2а + 3,

а (а + 3)у = - (а + 3). Розв'яжемо лінійне рівняння з параметром.

Якщо а ? 0 і а ? - 3, то у = - 1/а, х = 2.

Якщо а = 0, то 0у = - 3 і система розв'язків не має.

Якщо а = - 3, то 0у = 0, тобто у - довільне число, а х = 1 + 3у.

Відповідь: якщо а ? 0, а ? -3, то х = 2, у = - 1/а;

якщо а = 0, то система розв'язків не має;

якщо а = -3, то система має безліч розв'язків, де х = 1 + 3у,

а у - довільне число.

Для всіх значень параметра а знайти розв'язки системи:

1) 2) 3)

5. Квадратні рівняння з параметрами

Рівняння виду ах² + вх + с = 0, де х - шукане невідоме, а, в, с - вирази, що залежать лише від параметрів і а ? 0, називається квадратним рівнянням з параметрами.

Якщо а = 0, то рівняння перетворюється на лінійне і набирає вигляду: ах + в = 0.

Допустимими будемо вважати тільки ті значення параметрів, при яких а, в і с - дійсні числа. У зв'язку з необхідністю виконання умови а ? 0 в квадратних рівняннях доводиться розбивати розв'язування на декілька етапів вже на першому кроці.

Корені квадратного рівняння знаходимо за формулою:

, де D = b² - 4ас.

Якщо а?0, D>0, то рівняння має два дійсні корені.

Якщо а ?0, D = 0, то рівняння має один корінь:

.

Якщо а?0, D<0, то рівняння не має дійсних коренів.

Для коренів х₁ і х₂ квадратного рівняння виконується теорема Вієта:

, .

Приклад 1. Розв'язати рівняння

(а+1)х² + 2ах + а - 2 = 0.

Розв'язання

Оскільки коефіцієнт при х² (а+1) може бути як числом, що не дорівнює нулю, так і числом, що дорівнює нулю, то вже з першого кроку доведеться розглянути два випадки:

а+1 = 0 і а+1 ? 0.

Якщо а+1 = 0 (а = -1), то задане рівняння перетворюється на рівняння

-2х - 3 = 0, яке має єдиний корінь х = -1,5.

Якщо а+1 ? 0 (а ? -1), то одержуємо квадратне рівняння, дискримінант якого D = 4(а+2).

Далі ми не можемо однозначно продовжувати розв'язування, бо воно істотно залежить від знака дискримінанта. Тому доводиться розглядати три випадки: D<0, D = 0, D>0. Як відомо, при D<0 (а < -2) квадратне рівняння коренів не має; при D = 0 (а = -2) воно має два рівних корені: х₁ = х₂ = -2; при D>0 (а > -2, і а ? -1) квадратне рівняння має два різні корені, які записуються за загальними формулами.

Всі ці міркування можна подати у вигляді схеми:

Відповідь. 1) при а = -1 х = -1,5; 2) при а = -2 х = - 2; 3) при а < -2 коренів немає; 4) при -2 < a < -1 або при а > -1

,

Можна виділити цілий клас задач, де за рахунок параметра на змінну накладають деякі штучні обмеження. Для таких задач характерними є такі умови: при якому значенні параметра рівняння має один розв'язок, два, безліч, жодного.

Звернемося до конкретних прикладів.

Приклад 2

При яких значеннях параметра а рівняння (а-2)х²+(4-2а)х+3 = 0 має один розв'язок?

Розв'язання

Спочатку розглянемо випадок, коли перший коефіцієнт дорівнює нулю, тобто а - 2 = 0, а = 2.

Якщо а = 2, то отримаємо рівняння 0х² + 0х + 3 = 0, яке не має розв'язків.

Нехай а - 2 ? 0, а ? 2.

Квадратне рівняння має один розв'язок, якщо дискримінант дорівнює нулю. Знайдемо дискримінант:

D = 4(a² - 7a + 10).

a² - 7a + 10 = 0, a₁ = 2, a₂ = 5.

Оскільки а₁ = 2 не задовольняє умови задачі, тому, що при а = 2 рівняння не має розв'язків, то а = 5 - єдиний розв'язок рівняння.

Відповідь: 5.

Приклад 3. При яких значеннях в рівняння х² + вх + 16 = 0 не має коренів?

Розв'язання

Для виконання умови задачі достатньо, щоб дискримінант даного рівняння був від'ємний: D = в² - 64 < 0, отже -8 < в < 8.

Відповідь: в є (-8; 8).

Приклад 4. Для яких значень k рівняння 2х² + (k - 9)х + (k² + 3k +4) = 0 має різні корені?

Розв'язання.

Поставимо вимогу, щоб дискримінант квадратного рівняння був більшим від нуля: D = -7 k² - 42 k + 49 > 0, (k - 7)(k - 1) < 0, отже -7 < k < 1.

Відповідь: k є (-7; 1).

Досить часто дослідницькі завдання не вдається розв'язати безпосереднім обчисленням (або таке обчислення є дуже громіздким), і тому при розв'язуванні дослідницьких задач часто доводиться спочатку обґрунтовувати якусь властивість заданого рівняння, а потім, користуючись цією властивістю, вже давати відповідь на питання задачі. Зокрема, це стосується завдань, пов'язаних з розміщенням коренів квадратного тричлена. Для розв'язування цих завдань зручно користуватися таблицями №1 і №2 з додатку.

Приклад 6. Для яких значень параметра а рівняння

х² + 2(а + 1)х + 9а - 5 = 0 має два різні від'ємні корені?

Розв'язання.

Дискримінант даного рівняння повинен бути додатнім, оскільки воно має два дійсні корені. Маємо: D = 4(а - 1)(а-6)> 0.

За теоремою Вієта

х₁+х₂ = -2(а+1) і х₁х₂ = 9а-5.

Оскільки х₁ < 0, х₂ < 0, то -2(а+1) < 0 і 9а-5 > 0.

Розв'яжемо систему нерівностей:

4(а-1)(а-6) > 0, а < 1, а > 6,

-2(а + 1) < 0, а > -1,

9а - 5 > 0; а > 5/9.

Відповідь: а є (5/9; 1) (6; +?).

Розв'яжіть, вважаючи за невідоме х:

1) х² - 2ах + 1 = 0; 2) х² +2 (с - 1)х + 3с + 1 = 0;

3) ах² +3х - 4 = 0; 4) вх² - х + 2 = 0;

5) (а + 1)х² +2ах - а + 1 = 0; 6) (4 - а²)х² +2 (а+2)х - 1 = 0.

5. Використання квадратних рівнянь з параметрами при розв'язуванні фізичних задач

Нехай необхідно розв'язати задачу:

Тіло кинуте вертикально вгору з деякою початковою швидкістю. Через який проміжок часу тіло досягне заданої висоти?

Розв'язання

Необхідно перейти до математичної задачі. Позначимо через v₀ - висоту, якої повинно досягнути тіло, через t - час, через який тіло досягне висоти h, і якщо згадаємо, що рух тіла, кинутого вертикально вгору є рівносповільненим, то висоту h можна знайти за допомогою формули:

,

де g - прискорення вільного падіння тіла.

Рівняння, яке ми отримали є математичною моделлю даної фізичної задачі. Розв'яжемо цю задачу відносно t.

Запишемо рівняння в звичній для нас формі: gt² - 2v₀t + 2h = 0. Дискримінант рівняння D = v_o² - 2gh.

1. Якщо D < 0, то рівняння розв'язку не має.

2. Якщо D = 0, то рівняння має один розв'язок v_o/g.

3. Якщо D > 0, то рівняння має два розв'язки:

, .

Переведемо розв'язки рівняння на мову даної фізичної задачі. При виконанні умови 1, тіло не досягне висоти h. Якщо виконується умова 2, то тіло досягне висоти h через v_o/g с. При виконанні умови 3 тіло досягне висоти h двічі: піднімаючись вгору через с, і на зворотному шляху, падаючи вниз, через c.

6. Дробово-раціональні рівняння з параметрами

Дробово-раціональним рівнянням з параметрами називається рівняння виду

, де f(х;а) та g(х;а) - многочлени.

Множина допустимих значень цього рівняння визначається за умовою: g(х;а) ? 0.

При розв'язуванні дробово-раціональних рівнянь з параметрами із коренів рівняння виключають ті значення змінної х і параметра а, при яких знаменник g(х,а) = 0 і розв'язують алгебраїчне рівняння з параметром.

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

відносно х.

Розв'язання

2(ах-1) = 3(5х-а), звідки (2а-15)х = 2-3а.

а) Якщо а = 7,5,то рівняння має вигляд 0х = -20,5.

Це рівняння не має розв'язків;

б) Якщо а ? 7,5,то рівняння має єдиний корінь

.

в) Визначимо, при яких значеннях а знайдений корінь задовольняє рівняння, тобто знайдемо область визначення.

Область допустимих значень невідомого і параметрів, входять до рівняння, визначається виразами 5х - а ? 0 та ах -1 ? 0.

При маємо

Відповідь:

1)якщо а ? 7,5та , то рівняння має єдиний корінь

;

2) якщо а = 7,5, то рівняння не має коренів.

Приклад 2. Розв'язати рівняння відносно х:

.

Розв'язання

Область допустимих значень невідомого і параметра

ах - 2 ? 0, 5х - а ? 0,

Якщо а ? 0, то х ?, х ?.

Отже, 10 (ах - 2) = 3 (5х-а),

10 ах - 20 = 15 х - 3 а,

(10а - 15) х = 20 - 3 а.

Якщо 10 а - 15 = 0, тобто а = 1,5, то рівняння розв'язку не має.

Якщо 10 а - 15 ? 0, то

.

Відповідь: Якщо а = 1,5, то рівняння розв'язку не має.

Якщо а ? 1,5,то

.

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розв'язання

Це рівняння з параметром не є квадратним, але зводиться до квадратного.

Область допустимих значень визначається умовами х ? 2, а ? - 1.

В області допустимих значень маємо

х ² - 4 = 2 (а+1) х - (а+1) ², або х² - 2 (а+1) х +(а+1) ² - 4 = 0,

звідки х ₁ = а +3, х ₂ = а - 1.

Згадаємо, що х ? 2, таким чином, а +3 ? 2 і а-1 ? 2, звідки а ? - 1, і а ? 3.

При а = 3 дане рівняння має вигляд

, звідки , х = 6.

Відповідь: при а ? 1, а ? 3 рівняння має 2 розв'язки х = а+3 та х = а - 1;

при а = 3, х = 6;

при а = - 1 рівняння втрачає сенс.

Зустрічаються рівняння що містять більше одного параметра.

Приклад 4. Розв'язати рівняння:

(1) відносно х.

Розв'язання

Область допустимих значень невідомого і параметрів х ? 0,х ? а.

Маємо: а - х = вх, (в + 1)х = а. (2)

а) якщо в = -1, а = 0, то рівняння (2) має вигляд 0х = 0.Це рівняння справджується для будь-яких значень х, що входять до області допустимих значень.

б) якщо в = - 1, а ? 0, то рівняння має вигляд 0х = а. Коренів немає.

в) якщо в ? - 1, то рівняння має єдиний розв'язок

.

г) перевіримо, при яких значеннях параметрів а і в знайдений корінь задовольняє рівняння.

Виходячи з умови, х ?0 та а-х ? 0. Отже,

та .

Звідси а ? 0 та в ? 0.

Відповідь: якщо в = - 1, а = 0, то рівняння має безліч коренів, тобто має сенс при будь-яких дійсних х, крім х = 0,х = а;

Якщо в = - 1, а ? 0, то розв'язків немає.

Якщо х ? а, а ? 0, в ? 0, то

алгебраїчний фізичний тригонометричний рівняння параметр

7. Алгебраїчні рівняння вищих степенів з параметрами

Рівняння виду а_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀ = 0, a_n0 з параметрами може зводитись до розв'язування лінійних, або квадратних рівнянь. Як видно, ліва частина даних рівнянь є многочленом n-ого ступеня. Основними методами розв'язування рівнянь вищих степенів є:

- розкладання на множники групуванням, за допомогою формул скороченого множення, методу невизначених коефіцієнтів;

- зниження ступеня;

- заміна змінних;

- виділення повного квадрату;

- вгадування коренів по вигляду рівняння.

Приклад 1.Розв'язати рівняння відносно х:

х⁴+6х²-4х³-4х+а = 0.

Розв'язання

Виділимо в лівій частині рівняння повний квадрат

((х²)²-4(х²)х+4х²)+2х²-4х+а = (х²-2х)²+2(х²-2х)+а і зробимо заміну у = х²-2х. Маємо у²+2у+а = 0.

Корені цього рівняння відносно у дійсні при а 1 і дорівнюють . Отже, при а 1 рівняння не має розв'язку, а при

а 1 рівносильне сукупності рівнянь

, ,

, .

Отже, ми бачимо, що перше рівняння має розв'язки тільки при а = 1.

Друге - завжди при а 1 має корені

Відповідь: якщо а 1,то рівняння розв'язків не має; якщо а = 1,то х = 1; якщо а 1, то .

Розв'яжіть, вважаючи за невідоме х:

1)

2)

3)

Дослідження кубічної параболи за першою похідною

При яких значеннях параметра а рівняння 2х³-3ах²+2а⁵ = 0 (1) має лише один розв'язок, причому додатний?

Дослідження

Розглянемо функцію f(x) = 2х³-3ах²+2а⁵; f(x) = 6x²-6ax = 6x(x-a).

Рівняння f(x) = 0, тобто 6x(x-a) = 0 має корені х₁ = 0, х₂ = а.

Оскільки за умовою рівняння (1) має лише один додатний корінь, то розглянемо можливі випадки розташування цих коренів на числовій осі.

а) а, тоді:

х_max = 0, х_min = a,

у_max = 2а⁵; y_min = 2a⁵-a³.

0 - a x

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

f(x)

a x_єд x

f(x)0

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Тоді маємо:

а a,

f(x_max); 2a⁵.

Звідси а.

б) а, тоді x_max = а, х_min = 0, f(x_max) = 2а⁵-а³.

f(x)

+ +Размещено на http://www.Allbest.Ru/

0 - a x

f(x)

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

а 0 х_єд х

f(x_max) 2а⁵-а³

а а; а.

Звідси

.

в) а = 0, рівняння має вигляд 2х³ = 0, тобто рівняння має один корінь х = 0, що не задовольняє умову.

Відповідь: при.

8. Ірраціональні рівняння з параметрами

Ірраціональними називаються рівняння, що містять змінну під знаком кореня, або під знаком операції піднесення до дробового ступеня.

Основні властивості даних рівнянь:

- всі корені парного степеня, які містяться в рівнянні, є арифметичними;

- всі корені непарного степеня визначені для будь-якого дійсного значення підкореневого виразу.

Рівняння рівносильне системі f(x) = (g(x))²,

g (x) 0.

Основні методи розв'язування ірраціональних рівнянь:

- піднесення обох частин рівняння до одного і того ж ступеня;

- заміна змінної;

- множення обох частин рівняння на однакову функцію;

- застосування властивостей функцій, які входять у рівняння, і використання їх графіків.

Під час перетворень, використовуючи дані методи, інколи отримуються сторонні корені, які можна відсіяти за допомогою перевірки.

Приклад 1. Розв'язати рівняння:.

Розв'язання: Введемо нову змінну. Тоді рівняння рівносильне системі

, , ,

, , ,

, ,

, ,

.

Відповідь: х₁ = а²+а, х ₂ = а²-а+1 при а0;1;

х = а²+а при а 1; х при а 0.

9. Показникові і логарифмічні рівняння з параметрами

Рівняння виду а^f(x) = b^g(x), де а0, b0, а1, b1 називається найпростішим показниковим рівнянням. Якщо а = b, то f(x) = g(x), якщо ab, то f(x) = g(x)log_ab.

Рівняння виду log_af(x) = log_bg(x), де а0, b0, а1, b1 називається найпростішим логарифмічним рівнянням. ОДЗ його f(x)0 і g(x)0. Якщо а = b, то f(x) = g(x), якщо ab,то розв'язання даного рівняння зводиться до розв'язування рівносильного з ОДЗ рівняння (f(x))^log_a^b = g(x).

При розв'язуванні показникових і логарифмічних рівнянь часто використовуються перетворення: логарифмування і потенціювання.

Логарифмування за основою р0, р1 - це перехід від рівності а = b до рівності log_pa = log_pb. Перетворення потенціювання - операція обернена до логарифмування.

Основні методи розв'язування логарифмічних і показникових рівнянь з параметрами:

- заміна змінної;

- графічний спосіб;

- застосування властивостей функцій, які входять у рівняння.

Не можливо навести всі методи розв'язування рівнянь, проте необхідно пам'ятати, що потрібно:

- розпочинати розв'язання з формулювання області визначення виразу;

- не забувати про графічні засоби розв'язання;

- про властивості квадратичної функції і умови розміщення її коренів на числовій осі (таблиця 1,2);

- окремо досліджувати граничні значення параметрів - це дозволить проконтролювати роботу.

Приклад 1.Розв'язати рівняння:

2^2х-(2а+1)2^х+а²+а = 0.

Розв'язання

Виконаємо заміну 2^х = t0. Тоді рівняння рівносильне системі:

t²-6t+1 = (t-a)²,

t-a 0.

Нерівність в системі при а 0 виконується для всіх t 0, а при а 0 виконується при t а. Розв'язавши рівняння, маємо:

при а 3. Якщо а = 3, то t .

Умова t а виконується при , умова t 0 - при а

Отже, t₁ є коренем рівняння системи при . Звідси

Відповідь: , якщо ;

х , якщо .

Приклад 2. Розв'язати рівняння:

log₃xxa².

Розв'язання

Ліва частина рівняння невід'ємна, а права недодатна. Тоді дане рівняння рівносильне системі

log₃x = 0, х+2 = 1, х = -1,

xa² = 0; х+а = 0; а = 1.

Відповідь: при а = 1 х = -1; при а х.

10. Тригонометричні рівняння з параметрами

Найпростіші тригонометричні рівняння розв'язуються за допомогою таких формул:

sin x = a, x = (-1)ⁿ arcsin a+n, n a

cos x a x = arccos a+2n n a

tg x = a, x = arctg a+n, naR,

ctg x = a, x = arcctg a+n, naR.

Тригонометричні рівняння, які не є найпростішими, використовуючи ті, чи інші перетворення, зводять до одного або більше найпростіших.

Першим кроком розв'язання може бути розв'язання алгебраїчного рівняння з параметром відносно певної тригонометричної функції, а потім врахування області значень cos x, sin x

Щоб навчитись розв'язувати тригонометричні рівняння з параметрами потрібно:

- мати навички побудови та перетворення графіків функцій і не забувати про графічні засоби розв'язання рівнянь;

- вміння бачити природний хід розв'язання тригонометричних рівнянь;

- вміння розв'язувати алгебраїчні рівняння з параметрами.

До розв'язування тригонометричних рівнянь з параметрами застосовують відомі методи розв'язування тригонометричних рівнянь, які не містять параметра.

Приклад 1. При яких значеннях а рівняння tg² x + tg x +а = 0 має корені Знайти ці корені.

Розв'язання

Розв'яжемо задане рівняння як квадратне рівняння з параметром відносно tg x:

D = 1-4а 0, звідси а

Якщо а = , то tg x = -, х = -arctg +n, n.

Якщо а , то tg x.

Якщо а , то ,

Відповідь: якщо а = , то tg x = -, х = -arctg +n, n.

Якщо а , то tg x.

Якщо а , то ,

Приклад 2. При яких а рівняння має дійсні корені

Розв'язання

Дане рівняння рівносильне системі:

1+х 1+х х

1+х² = х²-2 cos²а, 1+х² = х²-2 cos²а;

х = -0,5- cos²а.

х²-2 cos²а

Проаналізуємо умови х = -0,5- cos²а :

cos²а 0,5, тоді

Останню нерівність розв'яжемо використовуючи графік функції у = cos а

1. = cos а

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

у

- 0 а

а n;3n n.

Відповідь: а n;3n n.

11. Рівняння, що містять модулі і параметри

Під час розв'язування рівнянь, що містять модулі і параметри використовують як аналітичний так і графічний методи. В конкретному випадку варто вибирати найбільш раціональний спосіб розв'язання і, обов'язково, необхідно дослідити розв'язок залежно від допустимих значень параметрів.

Приклад 1. Розв'язати рівняння:¦5х - 1¦ = 1 - 3а..

Розв'язання

Рівняння не матиме коренів, якщо 1 - 3а<0, тобто при а > 1/3.

Якщо 1 - 3а ? 0, тобто а ? 1/3, то дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь (за означенням модуля):

5х - 1 = 1 - 3а, або 5х - 1 = - (1 - 3а),

. .

Відповідь: якщо а ? 1/3, то рівняння має два корені

або ;

якщо а > 1/3, то коренів немає.

Приклад 2. Для якого найбільшого цілого значення параметра а рівняння 3| х - 2| +а| 2 - х | = -1 має розв'язок?

Розв'язання

Запишемо рівняння у вигляді: (3 + а)| х - 2 | = - 1 або

Отже рівняння буде мати розв'язки, якщо 3 + а < 0. Тому а < -3. Найбільше ціле значення параметра а, яке задовольняє дану нерівність, дорівнює - 4.

Відповідь:- 4.

Аналітичний метод розв'язування рівнянь з параметрами в окремих випадках може привести до досить складних і громіздких перетворень. Процес розв'язування інколи можна спростити, якщо застосовувати графічний метод. Суть цього методу розглянемо в наступному розділі.

12. Графічне розв'язування рівнянь з параметрами

Використовуючи графічний метод, можна побачити, при яких значеннях параметра рівняння має розв'язки і скільки, при яких - не має. Цей метод складається з таких етапів:

1. Знаходимо область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння.

2. Виражаємо параметр як функцію від невідомого: а = f (х).

3. У системі координат хОу будуємо графік функції у = f (х) для тих значень х, які входять в область визначення рівняння.

4. Знаходимо точки перетину прямої у = а з графіком у = f (х).

Можливі випадки:

1) пряма у = а не перетинає графік функції у = f (х). При цьому значенні а рівняння розв'язків не має;

2) пряма у = а перетинає графік функції у = f (х). Визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо розв'язати рівняння а = f (х) відносно х.

5. Записуємо відповідь.

Для розв'язування та дослідження рівнянь з параметрами інколи зручно використовувати графічний спосіб.

Пригадаємо деякі графіки і рівняння в декартовій системі координат.

1. у = kх + в - пряма лінія. Загальне рівняння прямої має вигляд:

ах + ву + с = 0.

2. (х - а)² + (у - в)² = R²,

де а і в - координати центра М кола,

R - його радіус.

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Якщо а і в дорівнюють нулю, то х² + у² = R² - рівняння кола з центром у початку координат.

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

3.у = ах² + вх + с, а ? 0 - рівняння параболи, вісь якої паралельна до осі

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Координати вершини параболи знаходять за формулами:

;

4.¦х¦ + ¦у¦ = а. Графіком даного рівняння, якщо а > 0,є квадрат, вершини якого розміщені в точках А(а;0), В(0;а), С(-а;0), D(0;-а).



Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Зображення графіків рівнянь з двома змінними є в таблиці №3(додаток). На прикладах розглянемо використання графічного способу до розв'язування рівнянь з параметрами

Приклад 1. При якому значенні параметра k рівняння |х² - 2х - 9| +k = 0 має три розв'язки?

Розв'язання

Запишемо рівняння у вигляді:| х² - 2х - 9| = - k.

Область визначення рівняння х є R, k є R.

Побудуємо (схематично) графіки функцій у = ¦х² - 2х - 9¦ та у = - k.

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Графік функції у = ¦х² - 2х - 9¦виділено на малюнку жирною лінією, графіком функції у = - k є пряма лінія.

Якщо - k = 10, то пряма у = - k перетинає криву у = ¦х² - 2х - 9¦ у трьох точках з абсцисами х₁; 1; х₂.

Відповідь: - 10.

Приклад 2. При яких значеннях параметра а рівняння

х² х 8х х 5 = а

має більше ніж три розв'язки?

Розв'язання.

На площині (х;у) побудуємо графіки функцій у = х² х 8х х 5 і у = а.

Графіки даних функцій перетинаються більше ніж у трьох точках при а. Отже, при цих значеннях параметра дане рівняння має більше трьох розв'язків.

Відповідь: а.

13. Графічне розв'язування систем рівнянь з параметрами

Для розв'язування та дослідження систем рівнянь з параметрами зручно використовувати графічний спосіб.

Нехай у координатній системі задано дві лінії F₁(х;у) = 0 та F₂(х;у) = 0. Щоб знайти точки перетину цих ліній, потрібно розв'язати систему:

F₁(х;у) = 0,

F₂(х;у) = 0.

При цьому кожний розв'язок системи визначає одну з точок перетину.

Приклад 1. Обчислити добуток тих значень параметра а, при яких система

х² + у² = 16,

(х - а)² + у² = 1 має єдиний розв'язок.

Розв'язання

Перше рівняння системи задає коло радіуса 4 з центром в початку координат; друге рівняння - коло радіуса 1 з центром у точці (а;0). Щоб система рівнянь мала єдиний розв'язок, необхідно, щоб ці два кола дотикалися, тобто мали єдину спільну точку.

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

у

З малюнка видно, що а може набувати значень: -5;-3; 3; 5. Їх добуток дорівнює 225. Відповідь:225.

Висновок

Отже, для розв'язування розглянутих рівнянь не потрібно ніяких спеціальних знань, що виходять за межі шкільної програми та необхідність дослідження значно ускладнюють розв'язання задач цього типу.

В алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватися, при чому в скінченній кількості, тільки операції додавання та піднесення до раціонального ступеня. Для тригонометричних, логарифмічних, показникових та ірраціональних рівнянь з параметрами обов'язково потрібно враховувати ОДЗ змінної і параметрів.

Рівняння, які розглядались у посібнику можна віднести до одного з типів:

- розв'язування рівняння для будь-якого значення параметра;

- знаходження значень параметра, при яких рівняння має розв'язки, та знайти їх;

- знаходження значень параметра, при яких рівняння має вказану кількість розв'язків;

- знаходження значень параметра, при яких розв'язки задовольняють вказану вимогу.

Розв'язування рівнянь з параметрами відкриває перед нами величезну кількість прийомів загального характеру, цінних для математичного розвитку особистості, що застосовуються в дослідженнях будь-якого математичного матеріалу.

Список використаної літератури

1. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами - Мн.: “Аверсэв”, 2003. - 272 с.

2. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з параметром. - К.: Факт, 2004. - 316 с.

3. Вивальнюк Л.М., Соколенко О.І., Боровик В.Н. Математика: Посібник для факультативних занять, 9 кл. - К.: Освіта, 1993. - 176 с.

4. Вивальнюк Л.М., Соколенко О.І., Костарчук Ю.В. Задачі оптимізації: Посібник для факультативних занять, 10-11 кл. - К.: Рад.шк., 1991. - 175 с.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Муратов О.С., Шварцбурд С.И. Математический анализ для 11кл.: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 228 с.

6. Вороний О.М., Кущова Р.П. Задачі з параметрами // Математика (газета для освітян). - 2001. - №4(112)

7. Горделадзе Ш.Г., Кухарчук М.М., Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач з математики. - 3-є вид., - К.: Вища шк. Головне вид-во, 1988. - 328 с.

8. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ.матер.: Кн.для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

9. Істер О.С. Розв'язник основних конкурсних задач з математики зі збірника під редакцією М.І. Сканаві: Навч.посіб. - К.: А.С.К., 2004. - 280 с.

10. Карлащук А. “Природні” задачі з параметрами як засіб розвитку навичок дослідження // Математика в школі. - 2000, №3, ст. 22-23.

11. Коваленко В.Г., Кривошеев В.Я., Лемберський Л.Я. Алгебра: Эксперим. учеб. пособие для 8 кл. с угл. изуч. математики. - К.: Рад.шк., 1990. - 288 с.

12. Коваленко В.Г., Кривошеєв В.Я., Старосєльцева О.В. Алгебра: Експерим. навч. посібник для 9 кл. з поглибл. вивч. математики. - К.: Освіта., 1996. - 288 с.

13. Кованцова Л.В., Малышев И.Г. Сборник задач по математике. - К.: Выща шк. Головное изд-во, 1980. -288 с.

14. Крамор В.С. Алгебра и начала анализа (система проведения занятий на подготовительных отделениях вузов): Учеб. Пособие. - М.: Высш. школа, 1981.- 336 с.

15. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

16. Макуха А.С., и др. Математика. Письменные экзаменационные работы: Справочное пособие. - К.: Выща школа, Головное изд-во, 1985. - 495 с.

17. Маслай Г.С., Щоголєва Л.О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами //Математика (Газета для освітян). - 2000. - №21-22(81-82)

18. Нелін Є.П. Рівняння та нерівності з параметрами //Математика в школах України (газета для освітян). - 2003. - №2(14).- ст.7-12.

19. Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник. - Х.: Торсінг, 2004. - 368 с.

Додаток

Таблиця 1

Властивості коренів квадратного рівняння	Математична модель властивостей коренів
Корені існують Корені не існують х1 = х2 х1х2 х1 = х2 = 0 х1 = х20 х1 = х20 х1 = 0, х20 х10, х2 = 0 х10, х20, х1 х2 х10, х20, х1 х2 х10, х20 х10, х20, х1 = х2 х10, х20, х1 х2 х10, х20, х1 х2	D0 D D = 0 D0 D = 0, x1x2 = 0 D = 0, x1+x20 D = 0, x1+x20 D0, x1x2 = 0, x1+x20 D0, x1x2 = 0, x1+x20 D0, x1x20, x1+x20 D0, x1x20, x1+x20 D0, x1+x20 D0, x1x20, x1+x20 D0, x1x20, x1+x20 D0, x1x20, x1+x20.

Таблиця 2

Графіки рівнянь з двома змінними

y

Рівняння	Графік	Опис
1		3
	ах + bу = с, у = kх + m

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

0 x 2	Пряма, для побудови необхідно дві точки
x = y2	y 0 x	Парабола, вітки якої напрямлені вправо з вершиною в точці (0;0)
x2 + y2 = R2	y 0 x	Коло з центром в точці (0;0) радіуса R
(х - а)2 + (у - b)2 = R2	y b 0 a x	Коло з центром в точці (a;b) радіуса R
y = v x	y 0 x	Гілка параболи, яка виходить з точки(0;0)
xу = k	y 0 x	Гіпербола, вітки розміщені у 1 і 3 чвертях, якщо k > 0 і в 2 і 4 чвертях, якщо k < 0

Схема 3

Лінійне рівняння з параметром

к = 0,

b = 0,

xR,

k = 0, k = 0,

0x = b, b,

kx = b k0, x,

b

x = ,

k k,

b

x= .

k

Размещено на allbest.ru