Аппроксимация функции, заданной таблично, при помощи интерполяционного полинома Ньютона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИИ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ имени МУХАММАДА АЛЬ-ХОРЕЗМИ

Лабораторная работа

Аппроксимация функции, заданной таблично, при помощи интерполяционного полинома Ньютона

Выполнилa: студентка 1 курса группы 322-21Факультета

«Программный инжиниринг» Аюпова Д.А.

Проверила: Джуманазарова З.К.

Ташкент 2021

1. Интерполяционные полиномы Ньютона для неравных интервалов

полином ньютона аппроксимация функции

Предположим, что в интервале [a, b] заданы разные значения аргумента x: -(n+1 точек), в которых заданы соответствующие значения любой функции y = f (x ).

(1)

то есть, функция f (x) (мы не знаем, какая функция f (x) на самом деле) дана в табличной форме.

Недостатками интерполяционного полинома Лагранжа являются:

1. Надо сделать немало шагов для вычисления значений неизвестной функции на интерполяционном полиноме.

2. Если другой узел появляется в таблице значений функции (например, если появляется дополнительная информация), всю операцию необходимо повторить.

3. Увеличение количества узлов интерполяции приводит к увеличению степени кратности, что вызывает большой скачок функции между узлами.

Интерполяционный полином, не имеющий таких недостатков, был открыт Ньютоном.

Ньютон предложил поиск интерполяционного полинома в виде

при выполнении условий , i=0,…,n.

Для этого введем следующие конечные разности для последовательностей

называются конечными разностями 1-го порядка. После нахождения n конечных разностей первого порядка для i=0,…,n-1, мы находим конечные разности второго порядка:

i=0,…,n-2,

конечные разности 2-го порядка и т. д.В общем случае, если известны конечные разности порядка k, то разности порядка (k + 1) определяются следующим образом:

Теперь

, …….

Вычисление этих коэффициентов можно представить в следующей таблице:

Как видно из таблицы, количество разностей первого порядка равно n (количество точек равно n + 1) равно числу конечных разностей второго порядка равно n-1,…, а количество конечных разностей уменьшается на один. Разность N-го порядка равна единице. Таблица имеет форму треугольника с выделенными числами в верхней части таблицы, которые образуют коэффициенты интерполяции Ньютона. На их основе строятся интерполяционные полиномы Ньютона:

Например. Функция y = f (x) задается в табличной форме, для которой разностей принимает следующий вид:

По таблице строим интерполяционный полином Ньютона:

Полученная функция полином в точности соответствует таблице значений. На основе этого полинома можно приблизительно определить значение функции в любой точке. Например

Поскольку интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона фактически являются решениями одной и той же проблемы, они различаются только своей структурой.

Следовательно, для оценки найденной ошибки значения можно использовать формулу остаточного члена Лагранжа. (h - шаг интерполяции, равный 1 в нашем примере)

Если ограниченный, то порядок ошибки будет

Проанализируем приведенную выше таблицу, если в таблице были указаны только значения -1, 0, 1, 2. Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

Если добавить точку x = 3,то :

.

Примечание. Полиномы интерполяции основаны на значениях функции в точках , и говорят, что их ошибка порядка. Этот вывод верен только в интервале . По точкам, выходящим за пределы этого диапазона, нельзя сделать никаких выводов. Такие проблемы называются проблемами экстраполяции.

2. Интерполяционный полином Ньютона на равных интервалах

Если узлы интерполяции равноудалены друг от друга, то есть

, то вводится замена .

На основе таблицы значений функции создается таблица конечных разностей:

Порядок вычисления конечных разностей можно показать в следующей таблице:

Интерполяционный полином Ньютона строится на основе выделенных коэффициентов, сформированных на верхней диагонали таблицы:

(*)

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона для равных интервалов.

Чтобы определить значение F (x), сначала надо найти t по формуле =t и подставить в формулу (*):

Этот многочлен полезно использовать для интерполяции функции

y = f (x) вокруг начала таблицы.

Первый интерполяционный полином неудобен при интерполяции значений в конце таблицы, и в этом случае используется второй интерполяционный полином Ньютона:

В этом случае , , , , …., - коэффициенты внизу таблицы по диагонали,

Примечание

Первый интерполяционный полином может быть использован, если и x близки к , и второй интерполяционный полином, если и x близко к .

Следовательно, первый интерполяционный полином называется прямой интерполяцией, а второй полином интерполяции также называется обратной интерполяцией.

На практике при решении задачи аппроксимации можно рекомендовать следующий метод. Выбирается часть таблицы в зависимости от заданного значения и строится полином интерполяции на точно выбранной части таблицы. По построенному многочлену вычисляется искомое значение функции.

Покажем применение этого правила на следующем примере. Пусть задана таблица значений функций

Пусть эти значения содержат ошибку округления порядка 0,005 (за счет округления показателей шкалы). Найдем на основе этих данных значение f (0,45). Заметим, что точнее найти значение функции на основе табличных значений с неустранимой ошибкой невозможно. В данной таблице n = 9- уровень полинома интерполяции на основе полной таблицы равен 9, а поскольку h = 0,1, порядок ошибок равен

O.

По логике вещей такой точности достичь нельзя, потому что в таблице значений есть ошибка. Следовательно, необходимо определить эффективный уровень интерполяционного полинома. Для этого

Размещено на Allbest.ru