Размещено на http://www.allbest.ru

• Частное учреждение образовательная организация высшего образования "Омская гуманитарная академия"
• КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
• по учебной дисциплине: Математический анализ.

На тему: Поле комплексных чисел.

• Выполнил(а): Гусейнова Т.Ф.
• Направление подготовки:
• Экономика
• Форма обучения: заочная
• Омск 2020
• План
• Введение
• 1. Определения
• 1.1 Стандартная модель
• 1.2 Матричная модель
• 1.3 Замечания
• 2. Действия над комплексными числами
• 3. Геометрическая модель
• 4. Связанные определения
• 4.1 Модуль и аргумент
• 4.2 Сопряжённые числа
• 5. Представление комплексных чисел
• 5.1 Алгебраическая форма
• 5.2 Тригонометрическая и показательная формы
• 5.3 Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
• 6. История
• 7. Вариации и обобщения
• 8. Функции комплексного переменного
• Примечания
• Литература

Введение

Коммплемксные[1] чимсла, -- расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y -- вещественные числа, i -- мнимая единица[2].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле -- это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках -- электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

1. Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z2 + 1.

1.1. Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

·

·

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица -- а мнимая единица -- На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть ? 1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

1.2 Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице --

1.3 Замечания

Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x2 = ? 1, так как число ( ? i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильный ответ:

2. Действия над комплексными числами

· Сравнение

a + bi = c + di

означает, что

a = c и b = d

(два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

· Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

· Вычитание

(a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d)i.

· Умножение

· Деление

3. Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу

сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

4. Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть

-- комплексное число, где и -- вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.

· Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.

· Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом.

4.1 Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением

.

Часто обозначается буквами или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля. :

1) , причём тогда и только тогда, когда ;;

2) (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 ? z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается .

· Из этого определения следует, что

; ; .

· Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kр, где k -- любое целое число.

· Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [3]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

.

4.2 Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число

z = x + iy, то число

называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

· (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

·

·

·

·

Обобщение:

,

где p(z) -- произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

·

·

5. Представление комплексных чисел

5.1 Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = ? 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

5.2 Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль

r = | z | и аргумент (, ),

то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:



где -- расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

5.3 Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r -- модуль, а -- аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

6. История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI--XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».[4]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел -- кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

7. Вариации и обобщения

· Гиперкомплексные числа

o Кватернионы

o Двойные числа

o Дуальные числа

o Алгебра Кэли (октавы)

· Алгебра Клиффорда

8. Функции комплексного переменного

· Гамма-функция

· Гиперболические функции

· Дзета-функция Римана

· Комплексный анализ

· Комплексный логарифм

· Показательная функция

· Степенная функция

· W-функция Ламберта

Примечания

комплексный число корень алгебраический

1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.

o Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Коммплемксные числа.

o Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Коммплемксное число.

o Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «коммплексные (комплемксные) числа».

o В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Комплемксное число (стр. 691), но Коммплексный анализ (стр. 695).

В следующих источниках указан единственный вариант ударения (на второй слог) для чисел.

o Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка (6-е издание, 2009), Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (2-е издание, 2004).

2. В теории электрических цепей, символ иногда заменяют на , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ().

3. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. -- М.: Наука, 1967. -- С. 14-15.

4. Клайн М. Математика. Утрата определённости - djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu. -- М.: Мир, 1984. -- С. 139.

Список использованной литературы

1. Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов - www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf, МЦНМО, 2002

2. Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного» - www.maths.ru, Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. -- М.:, НИАТ. -- 1990. Шифр Д7-90/83308

3. Понтрягин Л. Комплексные числа - kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm, Квант, № 3, 1982.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -- Т. II. -- 680 с. -- ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5.

Размещено на Allbest.ru