Проекционные конфигурации одномерных моделей пространства
Проекционная конфигурация как совокупность трёх ортогональных проекций прямой линии и одномерных моделей пространства. Определение точек, соответствующих равноудаленности от трёх пар плоскостей проекций. Алгоритмы построения трехкартинных отображений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.09.2021 |
| Размер файла | 771,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Тихоокеанский государственный университет
Проекционные конфигурации одномерных моделей пространства
Юрасов А.В.
Дмитриенко Л.В.
г. Хабаровск, Россия
Аннотация
Проекционная конфигурация есть совокупность трёх ортогональных проекций прямой линии и принадлежащих ей специфических точек. К базовым относят точки, соответствующие равноудаленносги от трёх пар плоскостей проекций и точки, обладающие координатной симметрией. Рассмотрены алгоритмы построения и графические примеры трехкартинных отображений. Выделено пять групп проекционных моделей на основе минимального, но достаточного числа элементов конфигураций.
Ключевые слова: проекционная конфигурация, точка, прямая, плоскость, след биссекторной плоскости, проекционная модель, алгоритм.
Abstract
Projection configurations of unidimensional models of space
Yurasov А.V., Dmitrienko L.V., PNU, Khabarovsk, Russia
The set of three orthogonal projections of the line and its affiliated specific points will be called projection configuration. In the drawings, for which the projections of the plane determined up to translation, are specific reference points: the respective equidistance from the three pairs of projection planes (C, D, K) and coordinate-symmetrical points A and B.
Image profile projection line is defined, in general, the position of opposite projections of two points (Сз and Di). Considered display dimensional objects invariant to traffic and T'123 in general can occupy an arbitrary position in the drawing. Generalized trace comprising three dissimilar projection points corresponding equidistance from the three pairs of projection planes, ensures that the orthogonal and oblique projections of all points belonging to the given line.
The algorithms of construction and graphic examples of three-picture reflections are considered. Five groups of projection models are based on a minimum, but a sufficient number of configuration elements.
The required number of projection points may be reduced to three points on the basis of the situation and coordinate private symmetric transformations in order to define the line of general position in the figure.
Construction of three projections of the line based on two symmetric coordinate points A (Ai, A2) and В (B2, Вз) does not require the use of Wm and e123.
Keywords: projection configuration, point, line, plane, track of bisecting plane, projection model, algorithm.
Под проекционной конфигурацией будем понимать совокупность трёх ортогональных проекций прямой и принадлежащих ей специфических точек. К ним относятся точки, равноудалённые от трех пар плоскостей проекций, координатно-симметричные точки, точки равноудаленные от трёх плоскостей проекций, следы прямой [1].
Условные обозначения элементов конфигураций представлены в таблице 1.
Таблица 1
Принятые обозначения и знаки геометрических операций
|
№ п/п |
Обозначение, символ |
Значение символа |
|
|
1 |
Пі, П& Пз |
Плоскости ортогональной системы плоскостей проекций (горизонтальная, фронтальная, профильная) |
|
|
2 |
\jJ4 kjJ8 \jJ5 |
Биссекгорные плоскости пространственной системы П1-П2-П3, проходящие через ось х (2 и 4 октанты); через ось у (1 и 8 октанты); через ось z (2 и 5 октанты) |
|
|
3 |
Pm |
Совпадающие проекции биссекторных плоскостей (обобщенный след биссекторных плоскостей): {Pi4 = Р218 = Pi25} = Pm |
|
|
4 |
tl23 |
Совпадающие проекции линии пересечения трех биссекторных плоскостей: {// = t2 = t3}= tl23 |
|
|
5 |
С]2 |
Совпадающие проекции двойной точки равноудаленной от Пі и П2: Сі = С2 |
|
|
6 |
D23 |
Совпадающие проекции двойной точки равноудаленной от П2 и Пз:D2 = D3 |
|
|
7 |
К(Ки К2,К3) |
Координирующая точка, равноудаленная от Пі и Пз |
|
|
8 |
{АзВ,} |
Совпадающие проекции двух координатно-симметричных точек (ТКС) А и В: Аз = В і |
|
|
9 |
С 123, D123, G123 |
Тройные точки, равноудаленные от трех плоскостей проекций: {Сі = С2 = Сз} = Cm |
|
|
10 |
ЄІ23 |
Ось соответствия проекций А1-К2 --Вз координатно-симметричных точек |
|
|
11 |
L, Т... |
Произвольные точки |
IZk +YkI = ІХк + YkI
При изображении профильной проекции объекта (прообраза) положение проекции несобственной прямой (4*123 = ti23) определяется в общем случае положением разноименных проекций двух точек Сз и Di на чертеже (рис. 1).
Рис. 1. Расположение разноименных проекций точек, соответствующих равноудалению от трех пар плоскостей проекций
Рассматриваемые отображения одномерных объектов (прямых) инвариантны к операции движения.
Тройная прямая (t123 = Ч*пз) в общем случае может занимать произвольные положения на чертеже. Однако для удобства зрительного восприятия в большинстве рассматриваемых далее примерах принято её классическое положение под углом 45 ° к горизонту.
Тройная прямая, содержащая три разноименные проекции точек, соответствующих равноудаленности от трех пар плоскостей проекций, обеспечивает соответствие ортогональных и косоугольных проекций всех точек, принадлежащих заданной прямой.
Трехкартинная конфигурация будет содержать названные ранее точки и обобщенный след биссекторных плоскостей. В реальной практике элементы конфигураций могут быть удалены в бесконечность.
Рассмотрим минимальные, но достаточные условия трехкартинных отображений прямых.
В целом, с учетом классификации точек (табл. 1) модели проекционных конфигураций можно разделить на пять групп (табл. 2).
Таблица 2
Примеры построения проекционных конфигураций
проекционный конфигурация точка трехкартинный отображение
В первой группе модели заданы двумя двойными точками Си и D23 или одной двойной точкой и точкой координатной симметрии {Аз В]}:
a(Ci2, D23, Ґт); а(Сп, А3В1, Ґпз); a(D23, АзВі, Ґт).
Построение конфигурации основано на свойстве Ґпз содержать проекции С з и D], В примере 1.2 Сз определяется пересечением азГ\ IРпз. Вторая группа предполагает задание одной двойной точкой (или ТКС) и одной из проекций координирующей точки соответствующей равноудаленности от Пі и Пз: a(Ci2, Ki, Wm); а(D23, Кі, Ґ123); а(Аз Bi, Ki, Ґ123); а(Сі2,Кз, Ґт); a(D23, Кз, Ґиз); а(АзВі, Кз, Ґпз).
Построение аз, проекций Ki, К2, Кз определяет построение всей конфигурации. Примеры 2.1,2.2.
Третья группа представляет модели, заданные одной двойной точкой (или ТКС) и двумя разноименными проекциями точек С, D, К, А, В, L:
а(Си, К2, Аз); a(Cn,K2, Di); а(Сі2Кз, Вз); a(D23, Кз, Bi); a(D23, К2, Li);
a(D23, Кз, Сз); а(АзВі, Кз, Di); а(АзВі, Кз, Сз).
Примеры 3.1 и 3.2 иллюстрируют основные этапы построений. Произвольное расположение С2,Кз или D1C3, D1K2, опредляющие положение Ґт не влияют на правильность построений, так как обобщенный след является биссектрисой прямого угла двух направлений линий проекционной связи. Примеры 3.2; 4.1.
Четвертая группа имеет две модели по три проекции точек, соответствующих равноудаленности от трех пар плоскостей проекций. Пример построения 4.1:
д(Кі, Сз, Di); а(Кз, D1C3)
Пятая группа включает модели, содержащие по две разноименные проекции одной или двух координатно-симметричных точек и одной проекции точек, соответствующих равноудаленности от одной из трех пар плоскостей проекций:
а(Сз, Аі, Вз); a(Ai, А2, К2); a(Ai, А2, В2); a(Ai, А2, Вз); a(Di, Аі, Вз);
a(B2, Вз, К2); а(В2, Вз, А2); а(В2, Вз, Ai)
Построение конфигураций основано на свойствах координатно-симметричных точек трехкартинных отображений прямых [1]. В примере 5.1 использовано свойство прямолинейного расположения проекций (Ai, К2, Вз)еш для определения проекции ТОЧКИ К2= е123Г\ Ґпз.
В примере 5.2 построение конфигурации представлено в два этапа. На первом этапе координатно-симметричные преобразования позволяют найти недостающие проекции В2, Вз и {А3В1}. Построение остальных элементов однозначно определено вторым этапом. Критерием правильности построений является прямолинейное расположение проекций Di, К2, Сз.
Пример 5.3 иллюстрирует возможность применения свойства координатно-симметричных точек: равенство векторов АіАі и В2В3 и правила определения их направлений для построения проекционной конфигурации.
Выводы
1. Рассмотрены минимальные, но достаточные условия задания одномерного прообраза на основе элементов проекционной конфигурации.
2. Выделены пять групп элементов, однозначно задающих прямую на трехкартинном комплексном чертеже. Составлены алгоритмы построений.
3. Необходимое число проекций точек, требуемых для задания прямой общего положения на чертеже, может быть уменьшено до трех на основе применения точек частного положения и координатно-симметричных преобразований.
4. Построение трех проекций прямой на основе двух координатно-симметричных точек А(АіА2) и В(В2Вз) не требует применения Wmи ет.
Список использованных источников и литературы
1. Гарнага А.Ф., Юрасов А.В. Фактологические трехкартинные изображения одномерных объектов в ортогональных проекциях // Новые идеи нового века - 2013: материалы Тринадцатой Международной научной конференции - 2013 / Тихоокеан. гос. ун-т. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. - Т.1. - С. 378-383.
2. А.В. Бубенников, М.Я. Громов. Начертательная геометрия: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1973. - 416 с.
Размещено на allbest.ru
Подобные документы
Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности.
дипломная работа [1,7 M], добавлен 17.05.2010Общие сведения о пересечении кривых поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхностей с параллельными осями. Применение способа концентрических сфер. Последовательность нахождения горизонтальных проекций заданных точек.
методичка [2,0 M], добавлен 18.02.2015Четыре основные задачи, решаемые методами преобразования. Сущность способа замены плоскостей проекций. Решение ряда задач по преобразованию прямой общего положения в прямую уровня, а затем - в проецирующую, выполнив последовательно два преобразования.
реферат [185,5 K], добавлен 17.10.2010Структурное преобразование схемы объекта и получение в дифференциальной форме по каналам внешних воздействий. Формы представления вход-выходных математических моделей динамических, звеньев и систем, методов их построения, преобразования и использования.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.11.2013Ортогональное проецирование точки в разные плоскости. Проецирование прямой линии по плоскостям проекций. Плоскость на эпюре Монжа, позиционные и метрические задачи. Многогранники, кривые линии и аксонометрические поверхности, касательные и сечение.
учебное пособие [3,6 M], добавлен 07.01.2012Порядок формирования ортогональный проекций детали (в горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостях проекций), две из которых с разрезами (фронтальная и профильная). Разработка изометрической проекции детали с заданным вырезом части по осям OXYZ.
контрольная работа [512,0 K], добавлен 15.02.2015Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.
дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007Замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Линейчатые поверхности вращения. Точка на поверхности тора и сферы. Понятие меридиональной плоскости. Преобразование комплексного чертежа. Метод замены плоскостей проекций.
презентация [69,8 K], добавлен 27.10.2013
