Исследование движения сферического клубня по рабочему органу дисковой плоскорешетной картофелесортировки

Ключевые слова: динамика, ускорение кориолиса, сила инерции, обобщенная сила, плоское решето, обобщенная координата, кинетическая энергия, уравнение лагранжа.

Ранее в [1] были определены начальные условия для сферического движения клубня. В данной статье перейдем непосредственно к исследованию сферического движения клубней относительно прутков решета.

Рассмотрим клубень, находящийся в центральной части решета (рабочей поверхности) после подачи с питающего транспортера (рис. 1).

Вследствие отставания клубня от вращающегося решета центр масс С имеет касательную составляющую скорости относительно движущегося решета. Таким образом, имеет место сложное движение, в котором решето совершает переносное движение, а клубень движется относительно решета [2, 3].

Анализ схемы на рис. 1 показывает, что для перехода клубня на следующий ряд, то есть перекатывания вокруг правого прутка, необходимо, чтобы возник достаточный по величине результирующий момент: , где R - радиус сферы, ограничивающей шаровидный клубень, м; - угол, определяемый глубиной залегания клубня в щелевом отверстии между направляющими прутками, рад [4].

Рис. 1. Схема сил, действующих на клубень между направляющими прутками

Изучим процесс перехода клубня через направляющий пруток в следующий ряд к периферии. Сделаем допущение, что за время движения клубня через направляющий пруток отсутствует проскальзывание. Это допущение позволяет представить процесс движения клубня как сферическое движение с поворотом вокруг точки контакта К (рис. 2).

Клубень имеет две степени свободы: собственное вращательное движение вдоль прутка, определяемое угловой скоростью , и вращательное движение вокруг прутка, определяемое угловой скоростью .

Связи, накладываемые на систему, являются голономными [5], поэтому удобно использовать уравнение Лагранжа II рода [4, 6]:

,

где: T - кинетическая энергия клубня;

qi - обобщенная координата;

t - время;

Qi - обобщенная сила.

Рис. 2. Сферическое движение клубня при перекатывании через направляющий пруток

В качестве обобщенных координат выбраны углы и поворота клубня в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Кинетическая энергия клубня равна:

,

где: m - масса клубня, кг; VС - скорость центра масс, м/с;

I - главный центральный момент инерции клубня, кгм2;

- угловая скорость клубня, рад/с.

Полный вектор скорости точки С через орты естественной системы координат:

.

Угловая скорость клубня в ортах естественной системы координат:

Тогда полная кинетическая энергия клубня после подстановки формул (3) и (4) в (2) определяется выражением:

Анализ сил, действующих на клубень (рис. 2), показывает, что для двух обобщенных координат (угла поворота клубня и ) обобщенными силами являются моменты сил тяжести:

Из уравнения (1) получаем дифференциальные уравнения движения по обобщенным координатам и :

Решаем совместно систему уравнений (7), используя приложение «Maple» [7, 8]. Для поиска конечных результатов в сообщении 1 [1] определены начальные условия. Следует отметить, что при t=0 начнется новый отсчет угла поворота .

Подставляем начальные условия в приложение Maple, получаем решения системы дифференциальных уравнений (7) в виде разложения функции в степенной ряд Маклорена [9, 10] Решения для трех случаев начальных условий представлены в табл. 1.

Покажем примеры решения системы дифференциальных уравнений для клубня радиуса R= 26 мм при радиусе расположения его центра масс относительно оси вращения решета r= 0,2 м. Эти ограничения связаны с тем, что рассматриваются самые неблагоприятные сочетания факторов. Наихудшие условия для сферического движения с переходом клубней в следующий ряд щелевых отверстий, находящихся ближе к периферии решета, имеют клубни, размеры которых сопоставимы или чуть больше ширины щелевого отверстия между прутками.

При расстоянии между прутками h=55 мм, диаметре прутков d=5 мм клубни с размером 2R=52 мм наиболее глубоко западают в щелевое отверстие (размер 2R=51 мм считается условно проходным). Кроме того, на клубни, находящиеся ближе к центру решета (rmin= 0,2 м), действуют меньшие по величине центробежные и кориолисовы силы инерции. Если моменты этих сил окажутся достаточными, чтобы в центральной части решета заставить клубни с малыми размерами 2R = h-d переходить в следующий ряд щелевых отверстий, находящийся ближе к периферии, то для остальных клубней заведомо будут выполняться условия транспортирования к периферии решета.

Таблица 1. Решения системы дифференциальных уравнений

Для анализа полученных зависимостей углов поворота ц(t) и и(t) построены графики (рис. 3-5).

Направление отсчета угла выбрано таким образом, что при перекатывании клубня по прутку значение угла уменьшается до 0 рад, что соответствует вертикальному расположению центра масс клубня над центром прутка. Затем значение угла должно становиться отрицательным, так как происходит западение его в следующее щелевое отверстие. Расчет ведется до тех пор, пока угол не станет равным по модулю значению угла расположения клубня в щели, определенному по формуле .

Затем действие условий, описанных в сферическом движении, прекращается, и снова можно начинать исследовать движение клубня вдоль направляющих прутков.

При этом начальные условия принимаются равными конечным значениям угловых скоростей на предыдущем этапе расчетов.

Рис. 3. Зависимость углов поворота клубня в сферическом движении от времени при частоте вращения решета n= 40 об./мин: а - зависимость угла поворота = (t); б - зависимость угла поворота = (t)

Рис. 4. Зависимость углов поворота клубня в сферическом движении от времени при частоте вращения решета n= 50 об./мин: а - зависимость угла поворота = (t); б - зависимость угла поворота = (t)

Рис. 5. Зависимость углов поворота клубня в сферическом движении от времени при частоте вращения решета n= 60 об./мин: а - зависимость угла поворота = (t); б - зависимость угла поворота = (t)

Графики на рис. 3 построены для угловой скорости решетаe = 4,19 рад/с (частота вращения n= 40 об./мин). Начальное значение угла равно: 0 = 0,6014 рад. Анализ зависимости = (t) показывает, что переход клубня в следующее щелевое отверстие не происходит. Клубень закатывается на пруток на некоторую высоту, определяемую углом  = 0,2581 рад в момент времени t= 0,09 с, затем скатывается обратно.

Весь процесс занимает примерно t=0,164 с. Горизонтальная прямая показывает положение клубня при западании между прутками, что соответствует углу  = 1,3051 рад. Переход клубня в следующее отверстие возможен только, начиная с угловой скорости решета e = 4,61…4,82рад/с (n= 44…46 об./мин). Чтобы обеспечить некоторый запас устойчивости сферического движения и гарантировать переход клубней от центра к периферии следует нагнать угловую скорость решета не менее e = 5,24 рад/с (n= 50 об./мин). Графики для данного случая представлены на рис. 4.

При угловых скоростях решета e = 5,24 рад/с (n= 50 об./мин) и e = 6,28 рад/с (n = 60 об./мин) сферическое движение происходит с переходом клубня в следующий ряд отверстий за время t= 0,195...0,225 с. За этот промежуток времени происходит смена направления вращения по координате . В момент схода клубня с верхней кромки подъемной планки направления поворотов клубня и решета оказываются рассогласованными. Клубень начинает замедлять свое вращение при взаимодействии с направляющим прутком до полной остановки в момент времени t= 0,07...0,4 с, а затем начинает поворачиваться в согласованном движении с решетом.

Задавать угловые скорости решета более 6,28 рад/с (n= 60 об./мин) нецелесообразно (рис. 5). Окружная скорость решета в таком случае составляет м/с (r=0,6 м - радиус внешнего обода решета). Сопоставимую скорость будут иметь клубни в момент схода с решета. Однако не рекомендуется в момент соударения клубня с препятствием иметь скорость более 1 м/с во избежание повреждения клубней [11-13].