Практическое решение инженерных и научных задач на ПК с использованием математических пакетов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Практическое решение инженерных и научных задач на ПК с использованием математических пакетов

Введение

Целью курсовой работы является:

1. получение практических навыков решения задач, требующих применения численных методов и методов оптимизации;

2. изучение возможностей математических пакетов и развития навыков их практического использования для получения числовых и символьных решений вычислительных задач, а также графических иллюстраций полученных результатов;

3. изучение и использование средств персонального компьютера для оформления отчета по курсовой работе.

Задание

1. Выбрать вариант задания из таблицы 1 в соответствии с номером в журнале группы.

2. Найти два корня уравнения (x1 и x2) заданной функции на заданном интервале [a;b] указанными методами (столбцы t и m в таблице 1). Для этого необходимо:

· отделить корни уравнения;

· проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений (в случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню);

· выбрать начальные приближения;

· записать рекуррентную формулу для уточнения корня и произвести по ним «ручной расчет» 3-х итераций;

· оценить погрешности, по формулам оценки погрешности соответствующего метода;

· вычислить значения корней«расчетом средствами MathCad».

3. Вычислить значение определенного интеграла, для чего:

· произвести «ручной расчет» с шагом и (где a, b - заданный интервал) методами средних прямоугольников, трапеций и Симпсона, в двух вариантах для каждого метода: 1) без использования пакета MathCad (или используя пакет только как калькулятор, и 2) используя пакет MathCad для записи формул соответствующих методов (вычисления сумм ( ? ) значений функции и т.п.) ;

· оценить погрешность интегрирования по правилу Рунге;

· вычислить значения и (где x1 и x2 - корни уравнения f(x)=0) с использованием «расчета средствами MathCad».

4. Определить точку экстремума функции двумя методами одномерной оптимизации (дихотомии и золотого сечения), для чего:

· проверить условие унимодальности функции и выбрать начальный отрезок оптимизации;

· провести «ручной расчет» 3-х итераций по сокращению отрезка оптимизации и проверить условие окончания поиска минимума (максимума) функции;

· определить точку экстремума функции «расчетом средствами MathCad».

Решение

Табл. 1. Нахождение двух корней уравнения f(x)=0

[a; b] - отрезок с двумя корнями, t - номер метода для вычисления первого корня,m - номер метода для вычисления второго корня.

Номера методов:1 - половинное деление; 2 - Ньютона

Пусть дано уравнение

f (x) = 0,

где f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале.

Всякое значение о, обращающее функцию f (x) в нуль, то есть такое, что f (о) = 0, называется корнем уравнения, или нулем функции f (x).

Приближенное нахождение корней уравнения (3.1) обычно складывается из двух этапов:

1. Локализация (отделение) корней, то есть установление интервалов [бi, вi], в которых содержится один корень уравнения.

2. Итерационное уточнение корней, то есть доведение их до заданной точности.

Отделим корни уравнения:

Построим график заданной функции:

Отделим корни уравнения аналитически для двух предполагаемых интервалов:

На отрезках [1; 1.6] и [1.7; 3] функция f(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню. Поскольку знак первой производной на выбранных отрезках остается постоянным, то можно сказать, что функция на этих отрезках монотонна. Следовательно, выбранные отрезки содержат по одному корню.

Уточнение корней уравнения f(x)=0 (1-й корень уточним половинного деления, а 2-й корень уточним методом Ньютона)

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [1;1.6] функцияменяет знак (f(1) * f(1.6)) и монотонна (f'(x)>0), то условие сходимости выполняется.

Выберем за начальное приближение середину отрезка = 1.3

«Ручной расчет» трех итераций

Результаты вычислений представим в виде таблицы

Табл. 2

После трех итераций приближение к корню x3=1.075

Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность результата |b3-a3|=0.075.

Метод Ньютона.

Уточним корень уравнения f(x) = 0 на отрезке [1.7; 3] методом Ньютона.

Достаточные условия сходимости метода Ньютона определены теоремой [1]: непрерывна на [a;b] и ; и отличны от нуля и сохраняют знаки для .

На отрезке [1.7; 3] требования теоремы не выполняются - вторая производная меняет знак, уменьшим отрезок [2.2; 3].

Из условия для уравнения , где, а f(2)*f(3) < 0, а f(2.2)*f “(2.2)>0.выберем начальное приближение к корню: X0 = 2.2

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае

«Ручной расчет» трех итераций

Представим вычисления в виде следующей таблице

Табл. 3

Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценку погрешности результата, вычисленного методом Ньютона, можно проводить по формуле:

Оценим погрешность после трех итераций:

m1 =|f'(3)| =-0.444, M2=|f “(2.2)| = 0.148,

Тогда : |x* -x3| <= 1.565*10-7

Вычисление значения корней уравнения «расчетом средствами MathCad» с использованием функции root:

Таким образом, первый корень x1 = 1.117, второй кореньx2 = 2.529

Вычисление определенного интеграла

h0 = 0.5

«Ручной расчет» интеграла с шагом =1 и ( и ) и оценка его погрешности по правилу Рунге, при использовании MathCad только как калькулятора

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагамиh/2иh, при этом погрешность вычисляется по формуле. Полагают, что интеграл вычислен с точностьюЕ, еслитогда, где- уточненное значение интеграла, p- порядок метода.

Вычислим интеграл с шагом h0=0.5 и по формуле средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

Нахождение точки экстремума методами одномерной оптимизации

Для нахождения точки экстремума применим методы дихотомии и золотого сечения, причем для нахождения максимума следует ввести новую функцию .

Проверка условий унимодальной функции и выбор отрезка неопределенности.

Из приведенных расчетов видно, что на отрезке [1.7; 2.1] функция y(x) - унимодальная, т.к. ее вторая производная y2(x) = -4cos(2x) - 2sin(x) всегда>0, тогда первая производная монотонно возрастает и, следовательно, этот отрезок может быть выбран в качестве начального отрезка неопределенности.

Проведение «ручного расчета» 3-хитераций по сокращению отрезка неопределенности метод дихотомии:

Результаты вычислений сведены в таблицу

экстремум численный нелинейный уравнение

Табл. 4

После 3-х итераций xmаx1.8752, а f(xmax) -0.7067 метод золотого сечения

Результаты вычислений сведены в таблицу

Табл. 5

После 3-х итераций xmax1.9, а f(xmax) -0.6842.

Вывод

Мною получены практические навыки решения задач, требующих применения численных методов и методов оптимизации.

Мною изучены возможности математических пакетов и развития навыков их практического использования для получения числовых и символьных решений вычислительных задач, а также графических иллюстраций полученных результатов.

Мною изучены и использованы средства персонального компьютера для оформления отчета по курсовой работе.

Список литературы

1. Шакин В.Н., Семенова Т.И., Кравченко О.М. ИНФОРМАТИКА - 4 сем. Учебное пособие. Модели и алгоритмы решения задач численных методов с использованием математических пакетов. - М: МТУСИ, 2010, - с.

2. Шакин В.Н., Семенова Т.И., Кравченко О.М. ИНФОРМАТИКА - 4 сем. Лабораторный практикум. Модели и алгоритмы решения задач численных методов с использованием математических пакетов. - М: МТУСИ, 2010, - с.

3. Шакин В.Н., Семенова Т.И. ИНФОРМАТИКА - 3 сем. Учебное пособие: Тема 3.5. Базовые элементы и средства математического пакета MathCad. Для студентов заочников МТУСИ: -М., 2010.-88с.

4. Шакин В.Н., Семенова Т.И., Юскова И.Б. ИНФОРМАТИКА- 3 сем. Лабораторный практикум: Базовые элементы и средства математического пакета MathCad. - М: МТУСИ, 2010, - с.

5. Банди Б. Методы оптимизации. - М.: Радио и связь.1988 - 128с.

6. Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. - М.: Радио и связь, 1999. - 408с.

7. Воробьёва Г.Н., Демидова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990. - 207с.

8. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Учебное пособие для вузов. - М.: Физматгиз, 1966 - 639с.

9. Моисеев Н. И., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М.: Наука, 1978. 352с.

Размещено на Allbest.ru