Дифференциальные уравнения Клеро и Лагранжа

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

Кафедра «Вища математика»

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Дифференциальные уравнения Клеро и Лагранжа»

Виполнил:

Студент 2 курса

Ващенко И.В.

Харків 2020

Содержание

Введение

1. Что такое дифференциальное уравнение

2. Уравнение Клеро

3. Уравнение Лагранжа

Вывод

Список литературы

Введение

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

1. Что такое дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения (ДУ) - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал своё изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

2. Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

. (1)

Формально оно является частным случаем уравнения Лагранжа при ц(y')= y'. Полагая t= y', получим

y=xt+ш(t). (2)

Дифференцируя это равенство по переменной х, имеем:

, ,

То есть

.

Отсюда следует, что либо , либо .

В первом случае имеем t(x)?C. Тогда подстановка в равенство (2) дает

y=Cx+ш(C). (3)

Это общее решение. Итак, общее решение уравнения Клеро (1) сразу получается из этого уравнения, если заменить в нем y' на С. Геометрически решение (3) представляет собой однопараметрическое семейство прямых.

Во втором случае, подставляя равенство x=-ш'(t) в уравнение (2), получим

y=-tш'(t)+ш(t).

Убедимся, что система равенств

 (4)

Также дает решение уравнения Клеро (1) в параметрическом виде.

Имеем из (4):

,

.

Следовательно,

, (5)

То есть y'=t.

Подставляя x, y и y' в исходное уравнение (1), получим тождество

.

Решение, которое дается равенствами (4), не может быть получено из общего решения (3), поэтому оно является особым решением. В то время, как общее решение представляет собой семейство прямых, то особое решение (4) представляет собой огибающую этого семейства. Действительно, если семейство прямых (3) имеет огибающую, то она находится путем решения системы, то есть исключения C из системы уравнений:

А эта система равносильна системе (4).

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Общее решение данного уравнения Клеро

.

Найдем огибающую этого семейства:

Отсюда

.

Итак, особое решение существует и имеет уравнение параболы

y²=4x.

Эта парабола является огибающей для семейства прямых, соответствующего общему решению исходного уравнения.

Примечание. Выражение (5) теряет смысл при . В этом случае , значит . Здесь a и b - любые числа. В этом случае формулы (4) дают:

В этом случае особого решения нет, а вместо него имеем единственную точку (-a,b). Полагая в (3) ш(t)=at+b, будем иметь , то есть

.

Итак, если функция ш(t) линейная, то общее решение уравнения Клеро определяет пучок прямых, а особое решение вырождается в одну единственную особую точку.

3. Уравнение Лагранжа

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение вида

, (6)

Линейное относительно x и y. Здесь ц и ш - известные функции, причем . Введем параметр и получим

. (7)

Продифференцируем это равенство по переменной x, полагая что t=t(x)

,

То есть

. (8)

Отсюда

.

Полагая, что , перепишем это дифференциальное уравнение в виде

,

То есть

.

Это линейное уравнение для функции . Интегрируя его, получим

.

Подставляя это в (6), получим вместе с последним равенством общее решение уравнения Лагранжа (1) в параметрической форме:

При определении этого общего решения мы полагали, что . Пусть теперь - корень уравнения . Таких корней может быть и несколько. В этом случае и уравнение (8) имеет решение . Подставляя это в (6), получим

,

То есть .

Эта функция также является решением исходного уравнения. Это решение, вообще говоря, особое, однако в ряде случаев оно может быть и общим.

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Полагаем . Тогда

.

Дифференцируя это равенство по переменной , имеем

.

Если , то

.

В данном случае нет надобности приводить уравнение к виду , так как при сразу возможно разделение

.

Отсюда

,

То есть

.

Следовательно,

, , .

Поэтому

.

Итак, параметрическая форма общего решения

В данном случае параметр можно исключить. Имеем:

, , .

Следовательно,

, ,

То есть

.

Это и есть общее решение дифференциального уравнения.

Обратимся теперь к случаям, когда и . Эти числа для данного примера являются корнями уравнения . Корню отвечает решение , а для корня получим . Первое решение является особым, а второе - частным, так как оно появляется из общего решения при .

дифференциальный уравнение клеро лагранж

Вывод

Я узнал, какие уравнения называются дифференциальными. Детально познакомился с дифференциальными уравнениями Клеро и Лагранжа, рассмотрел их решение на практике

Размещено на Allbest.ru