Системи нелінійних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru

КУРСОВИЙ ПРОЕКТ(РОБОТА)

з дисципліни«Чисельні методи»

на тему «Системи нелінійних рівнянь».

Студента 2 курсу

Дніпро



Завдання

3. Вихідні дані до проекту (роботи)

Використовуючи метод ітерацій, розв'язати систему нелінійних рівнянь з точністю 0,001.

Використовуючи метод Ньютона, розв'язати систему нелінійних рівнянь з точністю 0,001.

4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які підлягають розробці). Загальні поняття чисельних методів.

Методи розв'язку системи нелінійних рівнянь.

Розв'язування системи нелінійних рівнянь метод простої ітерації.

Розв'язування системи нелінійних рівнянь метод Ньютона.

5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов'язкових креслень) _______

6. Дата видачі завдання _29. р.____________________________

КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН

№ п/п	Назва етапів курсового проекту (роботи)	Строк виконання етапів проекту (роботи)	Примітки
1	Розробка програми	04.12.2020
2	Оформлення курсового проекту	17.12.2020
3
4



РЕФЕРАТ

Пояснювальна записка: 28c., 4 табл., 12 рис., 9 джерел.

НЕЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, СИСТЕМА ІВНЯНЬ, МЕТОД НЬЮТОНА, МЕТОД ІТТЕРАЦІЙ

Об'єкт дослідження - чисельні методи розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Мета роботи - розробка програми для вирішення систем нелінійних рівнянь за допомогою методу ітерацій та методу Ньютона.

Методи дослідження - знаходження відрізків в області визначення функції, всередині якого міститься корінь рівняння. Уточнення конкретного виділеного кореня із заданою точністю за допомогою деякого обчислювального алгоритму.

Проаналізовано основні методи вирішення систем нелінійних рівнянь та детально розглянуті теоретичні характеристики методів простої ітерації та методу Ньютона.

Графічно відокремлені корені систем рівнянь. В результаті програмної реалізації цих двох методів в середовищі Matlab були знайдені шукані корені, які збігаються в обох методах.

Здійснено аналіз ефективності методу простої ітерації та методу Ньютона.



ЗМІСТ

РЕФЕРАТ

ВСТУП

1. ЗАГАЛЬНИЙ РОЗДІЛ

1.1 Загальні поняття чисельних методів

1.1.1 Вивчення об'єкту роботи

1.2 Методи розв'язку системи нелінійних рівнянь

1.2.1 Аналіз методів розв'язку системи нелінійних рівнянь

1.2.2 Метод простої ітерації

1.2.3 Метод Ньютона

1.3 Висновки за розділом 1

2 РОЗРАХУНКОВИЙ РОЗДІЛ

2.1 Розв'язування системи нелінійних рівнянь метод простої ітерації

2.1.1 Перша система нелінійних рівнянь

2.1.2 Друга система нелінійних рівнянь

2.1.3 Програмна реалізація методу простої ітерації

2.2 Розв'язування системи нелінійних рівнянь метод Ньютона

2.2.1 Перша система нелінійних рівнянь

2.2.2 Друга система нелінійних рівнянь

2.2.3 Програмна реалізація методу Ньютона

2.3 Висновки за розділом 2

ВИСНОВКИ

ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАНЬ



ВСТУП

Прогрес у розвитку чисельних методів сприяв постійному розширенню сфери застосування. Наразі ефективне рішення великих природничо-наукових та народногосподарських завдань практично неможливо без застосування чисельних методів. На їх основі в останнє десятиліття утворилися такі нові галузі природничих наук, як обчислювальна фізика, обчислювальна хімія, обчислювальна біологія та інші. Сучасні чисельні методи застосовується для вирішення типових математичних задач, що включає проблеми вивчення особливостей обчислення із застосуванням комп'ютерів.

Тому чисельні методи важливі для вирішення різних складних задач та процесів. Методи розв'язання задач поділяються на прямі методи - алгоритми, що дозволяють за кінцеве, заздалегідь визначене число арифметичних дій отримати рішення задачі та методи послідовних наближень, або так звані ітераційні методи.

Об'єктом дослідження є чисельні методи розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Метою роботи є розробка програми для вирішення систем нелінійних рівнянь за допомогою методу ітерацій та методу Ньютона.

В ході виконання роботи потрібно на основі методу ітерацій та методу Ньютона розробити програму для вирішення систем нелінійних рівнянь та за допомогою неї знайти наближене значення кореня із заданою точністю. Необхідно провести аналіз існуючих методів розв'язання систем та дослідити теоретичні відомості про згадані вище методи.

Зробити аналіз на основі отриманих результатів та скласти висновки.



1. ЗАГАЛЬНИЙ РОЗДІЛ

1.1 Загальні поняття чисельних методів

1.1.1 Вивчення об'єкту роботи

На відміну від систем лінійних рівнянь, не існує прямих методів вирішення нелінійних систем загального вигляду. В разі складних моделей аналітичне вирішення з отриманням точної відповіді для таких задач неможливе - для цього використовуються чисельні методи, за допомогою яких системи можна вирішити наближено.

Методи вирішення систем рівнянь зазвичай поділяють на точні, які дозволяють для будь-яких систем знайти точні значення невідомих після кінцевого числа арифметичних операцій, якщо вхідні дані задані точно. Для більшості нелінійних рівнянь такі методи не підходять. Для їх вирішення використовуються ітераційні (чисельні або наближені) методи вирішення. При їх використанні точні значення коренів вихідного рівняння виходять в результаті виконання нескінченного числа процесу наближень.

Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння за допомогою ітераційного методу складається з двох етапів:

– пошуку наближеного значення кореня (початкового наближення);

– уточнення наближеного значення до деякої заданої міри точності.

– Іноді в деяких методах знаходять не початкове наближення, а деякий відрізок, у якому міститься корінь.

Як і в разі одного нелінійного рівняння, локалізація рішення може здійснюватися на основі різної інформації по конкретної розв'язуваної задачі (наприклад, з фізичних міркувань), або за допомогою методів математичного аналізу. При вирішенні системи двох рівнянь, досить часто зручним є графічний спосіб, коли місце розташування коренів визначається як точки перетину кривих на площині (x,y).



1.2 Методи розв'язку системи нелінійних рівнянь

1.2.1 Аналіз методів розв'язку системи нелінійних рівнянь

Наразі існують різні методи вирішення систем нелінійних рівнянь та серед них виділяють метод простих ітерацій, метод Зейделя та метод Ньютона. Такі методи дають близьку до точного розв'язання відповідь за відносно невелику кількість ітерацій, якщо початкове наближення близьке до шуканого кореня.

1.2.2 Метод простих ітерацій

Нехай задана система нелінійних рівнянь у вигляді:

(1.1)

Або у вигляді, де .

Функції, які стоять зліва в (1.1) визначені та неперервні разом зі своїми приватними похідними в деякій області D, якій належить точне рішення розглянутої системи рівнянь. Точне рішення системи (1.1) можна позначити як

Для застосування методу простої ітерації, систему нелінійних рівнянь треба представити в такому вигляді:

(1.2)



Функції, які стоять праворуч в (1.2) мають ті ж властивості, що й функції в (1.1).

В області D виберемо будь-яку точку та назвемо її нульовим наближенням до точного розв'язання системи (1.2). Координати точки підставимо в праву частину системи (1.2) і обчислимо значення величин, що стоять зліва в цій системі:

(1.3)

Величини , які стоять зліва в формулах (1.3), будемо вважати координатами точки . Цю точку приймемо за перше наближення до точного розв'язання вихідної системи, тобто до . Маючи два наближених рішення системи (1.3) та . Порівняємо ці два наближених рішення на:

(1.4)

Якщо все нерівності (1.4) виконуються, то за наближене рішення вихідної системи можна вибрати як , так і , оскільки ці два рішення відрізняються один від одного не більше ніж на.

На цьому вирішення вихідної системи методом простої ітерації закінчується. Якщо ж хоча б одна з нерівностей (1.4) не виконується, то необхідно компоненти першого наближення підставити в праву частину системи (1.3) та обчислити друге наближення :

(1.5)

Далі необхідно порівняти наближення и на за формулою (1.4). Будувати наближення треба до тих пір, поки два сусідніх наближення

та

будуть відрізнятися один від одного не більше ніж на .

1.2.3 Метод Ньютона

Для знаходження нового наближення в методі Ньютона функція замінюється лінійною функцією, тобто розкладалася в ряд Тейлора, а при цьому відкидаються члени, що містять другі і більш високі порядки похідних, відкидаються. Такий підхід дозволяє вирішення однієї нелінійної системи замінити рішенням ряду лінійних систем.

Для вирішення методом Ньютона, в області D визначимо будь-яку точку



та назвемо її нульовим наближенням до точного рішення

нашої системи. Тепер функцію

,

розкладемо в ряд Тейлора в околі точки

:

(1.6)

Ліві та праві частини (1.6) повинні звертатися в нуль. Тому з (1.6) маємо

(1.7)

Де (1.8)

Всі похідні в (1.7) повинні знаходитись в точці .

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь (1.7) щодо невідомих



можна вирішити методом Крамера, якщо її основний визначник буде відмінний від нуля і знайти величини

Тепер уточнюємо нульове наближення

,

побудувавши перше наближення з координатами

(1.9)

Тобто

. (1.10)

Для того щоб з'ясувати, чи відповідає отримане наближення (1.10) достатньому ступеню точності, перевіримо умову

(1.11)

де задана точність, з якою повинна бути вирішена система. Якщо умова (1.11) буде виконана, то за наближене рішення системи візьмемо (1.10). На цьому вирішення системи закінчується. Якщо ж умова (1.11) не виконується, тоді в системі замість візьмемо уточнені значення

Після цього система буде системою лінійних алгебраїчних рівнянь щодо величин

Визначивши ці величини, наступне друге наближення

можна знайти за формулою:

(1.12)

Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, прийнявши за наближене рішення системи друге наближення . Якщо ж ця умова не виконується, то продовжуємо будувати наступне наближення, прийнявши в Продовжувати наближення потрібно до тих пір, поки умова на не буде виконана.

1.3 Висновки за розділом 1

Серед описаних вище методів чисельного розв'язання систем нелінійних рівнянь метод Ньютона має порівняно більшу швидку збіжності, ніж метод простої ітерації проте він простіше в реалізації та не вимагає, розрахунку матриці Якобі на кожному кроці, проте швидкість наближення до кореня у нього менша. При великому віддаленні від початкового рішення застосування методу простої ітерації недоцільно через дуже великі обчислювальні витрати.



2. РОЗРАХУНКОВИЙ РОЗДІЛ

2.1 Розв'язування системи нелінійних рівнянь методом ітерацій

2.1.1 Перша система нелінійних рівнянь

Для розв'язання системи рівнянь методом ітерацій, спочатку необхідно визначити початкове приблизне наближення. Побудуємо графік системи рівнянь та знайдемо координати точок перетину кривих, відповідних першому і другому рівняннях.(рис. 2.1)

Рисунок 2.1 графік першої системи рівнянь



Перетворимо систему до виду

Рішення системи знаходиться в області

Для перевірки виконання умов збіжності знайдемо похідні:

Так в області D маємо:

За початкове наближення приймемо

Результати обчислень наведені у таблиці 2.1

Таблиця 2.1 результати обчислень першої системи рівнянь

k	,
0	1.3356 -1.1369	1.5000 -1.6928
1	1.5000 -1.6928	1.3519 -1.8508
2	1.3519 -1.8508	1.2589 -1.7088
…	…	…
15	1.3464 -1.7065	1.3447 -1.7034
16	1.3447 -1.7034	1.3463 -1.7017
17	1.3463 -1.7017	1.3472 -1.7033
18	1.3472 -1.7033

При заданій точності за 17 ітерацій отримані наступні значення:

2.1.2 Друга система нелінійних рівнянь

Спочатку визначимо початкове приблизне наближення. Це можна зробити за допомогою графіка, який зображено на рис. 2.2



Рисунок 2.2 графік другої системи рівнянь

Перетворимо систему до виду

Рішення системи знаходиться в області

Для перевірки виконання умов збіжності знайдемо похідні:



Так в області D маємо:

За початкове наближення візьмемо

Результати обчислень наведені у таблиці 2.2

Таблиця 2.2 результати обчислень другої системи рівнянь

k	,
0	-0.8285 -0.3285	-0.9445 -0.5995
1	-0.9445 -0.5995	-0.8004 -0.4583
2	-0.8004 -0.4583	-0.8888 -0.4555
3	-0.8888 -0.4555	-0.8902 -0.5399
	…	…
9	-0.8623 -0.4775	-0.8786 -0.4954
10	-0.8786 -0.4954	-0.8687 -0.4939
11	-0.8687 -0.4939	-0.8985 -0.4460
12	-0.898 -0.446

При заданій точності за 11 ітерацій отримані наступні значення:



2.1.3 Програмна реалізація методу простої ітерації в середовищі Matlab

Програмна реалізація першої системи рівнянь наведена на рис. 2.3

Рисунок 2.3 програмна реалізація першої системи рівнянь

Програмна реалізація другої системи рівнянь наведена на рис. 2.4

Рисунок 2.4 програмна реалізація другої системи рівнянь



Функція для розрахунку системи рівнянь методом ітерацій наведена на рис. 2.5

Рисунок 2.5 Функція для розрахунку системи рівнянь методом ітерацій

Результати роботи програми наведені нижче:

Рисунок 2.6 Вирішення першої системи рівнянь



Рисунок 2.7 Вирішення другої системи рівнянь

2.2 Розв'язування системи нелінійних рівнянь метод Ньютона

2.2.1 Перша система нелінійних рівнянь

Для розв'язання цієї системи рівнянь методом Ньютона, спочатку необхідно визначити початкове приблизне наближення. Це можна зробити за допомогою графіка, який зображено на рис 2.1

За графіком оберемо такі значення початкового наближення:

Для заповнення матриці Якобі знайдемо похідні:



Для знайдення значення використаємо наступну формулу

k=0,1,2,…

Де

- поправка до поточного наближення x(k)

Помножимо останній вираз зліва на матрицю Якобі

В результаті отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь щодо поправки. Після її визначення обчислюється наступне наближення:

Ітерації продовжуються до виконання наступної умови:

Результати обчислень наведені у таблиці 2.3

Таблиця 2.3 результати обчислень першої системи рівнянь

k	,
0	2.5779 -2.8214	0.3305 2.1867
1	0.9382 -2.2711	0.9731 0.0111
2	1.3463 -1.7033	0.3181 0.8910
3	1.3463 -1.7033

При заданій точності за 3 ітерацій отримані наступні значення:

2.2.2 Друга система нелінійних рівнянь

Спочатку визначимо початкове приблизне наближення. Це можна зробити за допомогою графіка, який зображено на рис 2.2

За графіком оберемо такі значення початкового наближення:

Для заповнення матриці Якобі знайдемо похідні:

Результати обчислень наведені у таблиці 2.4



Таблиця 2.4 результати обчислень другої системи рівнянь

k	,
0	-0.8932 -0.4895	-0.0054 0.0600
1	-0.8964 -0.4464	0.0016 0.0029
2	-0.8948 -0.4464	0.0001 0.0002
3	-0.8948 -0.4464

При заданій точності за 3 іттерації отримані наступні значення:

2.2.3 Програмна реалізація методу Ньютона в середовищі Matlab

Програмна реалізація для першої та другої систем рівнянь наведена на рис. 2.8 та рис. 2.9

Рисунок 2.8 програмна реалізація першої системи рівнянь



Рисунок 2.9 програмна реалізація другої системи рівнянь

Функція для розрахунку системи рівнянь методом Ньютона наведена на рис. 2.10

Рисунок 2.10 Функція для розрахунку системи рівнянь методом Ньютона



Результати роботи програми наведені нижче:

Рисунок 2.11 Вирішення першої системи рівнянь

Рисунок 2.12 Вирішення другої системи рівнянь

2.3 Висновки за розділом 2

В ході виконання роботи при використанні методу ітерацій та методу Ньютона отримані корені для двох систем нелінійних рівнянь збігаються. При заданій точності метод простих ітерацій обчислює шуканий корінь за значно більшу кількість ітерацій.



ВИСНОВКИ

чисельний ітерація ньютон нелінійний

В ході виконання роботи було проаналізовано основні методи розв'язання систем нелінійних рівнянь. Детально розглянуті теоретичні характеристики методів простої ітерації та методу Ньютона.

В результаті програмної реалізації двох методів в середовищі Matlab при заданій точності чисельно були отримані корені для двох систем рівнянь. Для першої системи - , для другої- . Отримані корені збігаються в обох методах.

При виконанні програми метод Ньютона сходиться за менше число ітерацій, проте метод простої ітерації простіше в реалізації та він не вимагає, розрахунку матриці Якобі на кожному кроці.



ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАНЬ

1. Волков Е. А. Численные методы. -- М. : Физматлит, 2003

2. Вабищевич П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум. -- М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. -- 320 с.

3. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах : Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. -- М. : Высшая школа, 1986. -- 319 с. : ил. -- ББК 22.1 А44. -- УДК 517.8(G).

4. Практикум по численным методам и положение о вычислительной практике. (Для студентов специальностей «Статистика» и «Математические методы в экономике») / составитель Т.А. Панюкова. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. - 45 с

5. Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф. Численные методы. Теория, алгоритмы, программы. - Оренбург: ИПК ОГУ, 2008. - 264 с

Електронні ресурси

1. Роль чисельних методів веб-сайт URL: https://studopedia.ru/4_151406_rol-chislennih-metodov.html (дата звернення 17.12.2020)

2. Метод Ньютона, алгоритм Ньютона веб-сайт URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9c%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4_%d0%9d%d1%8c%d1%8e%d1%82%d0%be%d0%bd%d0%b0 (дата звернення 11.12.2020)

3. Метод простої итерации веб-сайт URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата звернення 20.12.2020)

4. Matlab documentation веб-сайт URL: https://www.mathworks.com/help/matlab/ (дата звернення 14.12.2020)

Размещено на Allbest.ru