Чисельні методи (обчислювальні методи, методи обчислень) - розділ обчислювальної математики, що вивчає наближені способи вирішення типових математичних задач, які або не вирішуються, або важко вирішуються точними аналітичними методами. Прикладами типових задач є чисельне рішення рівнянь, чисельні диференціювання та інтегрування та ін.

Оскільки чисельні методи призначені для відшукання наближеного рішення задач, нерозв'язних точними методами, такому рішенню завжди властива деяка похибка. Джерела похибки:

1) Похибка моделі. Модель - це ідеалізований опис явища, в якому виявлені основні та ігноруються другорядні властивості явища. Хороша модель - це вірний шарж, влучна карикатура на досліджуване явище. Природно, що моделювання, супроводжуване огрубінням і спрощенням, вносить похибки в результат опису явища.

2) Похибка вихідних даних. Як правило, математична модель містить деякі параметри, що залежать від вихідних даних. Оскільки останні визначаються зазвичай з експериментів, неминуче супроводжуються помилками вимірювань, виникає похибка вихідних даних.

3) Похибка методу. Після того як математична модель створена, обчислення в рамках моделі зазвичай можна виконувати по-різному. Складна математична задача замінюється більш простою.

4) Похибка округлення. Будь-які розрахунки, що виконуються як вручну, так і за допомогою обчислювальної техніки, проводяться з кінцевим числом цифр, тому доводиться вдаватися до округлення проміжної і остаточної відповіді. Так виникає похибка округлення, яка може накопичуватися в ході обчислень.

Повна похибка є результатом взаємодії різних видів похибок і не може бути менше, ніж найбільша з яких складається похибка.

1 ПРОГРАМНЕ СЕРЕДОВИЩЕ MAPLE

Maple - це система для аналітичного і чисельного рішення математичних задач, що виникають як у математиці, так і в прикладних науках. Розвинена система команд, зручний інтерфейс і широкі можливості дозволяють ефективно застосовувати Maple для вирішення проблем математичного моделювання.

Maple складається з ядра - процедур, написаних на мові С і надзвичайно оптимізованих, бібліотеки, написаної на Maple-мові, і інтерфейсу. Ядро виконує більшість базисних операцій. Бібліотека містить безліч команд-процедур, що виконуються в режимі інтерпретації. Програмуючи власні процедури, користувач може поповнювати ними стандартний набір і, таким чином, розширювати можливості Maple.

Інтерфейс Maple в даний час різниться в залежності від використовуваної техніки. Цей інтерфейс заснований на концепції робочого поля або документа, що містить рядки введення, виведення і текст, а також графіки.

Робота в Maple проходить в режимі сесії - користувач вводить пропозиції (команди, вирази, процедури та ін.), які сприймаються Maple. Якщо речення завершується роздільником ";", то в рядку під пропозицією відразу буде відгук: результат виконання команди або повідомлення про помилку. Роздільник ":" використовується для "відкладеного" введення. Натискання Enter запускає виконання пропозиції. Якщо введено закінчене речення, то слідує виконання, інакше - Maple очікує завершення пропозиції. Знайшовши помилку, Maple друкує на наступному рядку повідомлення про неї, при помилці в написанні імені команди символом "^" відзначається перша невпізнана літера.

За замовчуванням результати сеансу зберігаються в файлі з розширенням 'ms'. Якщо заданий режим збереження стану сеансу, то у файлі з розширенням 'm' будуть записані поточні призначення.

2 РОЗВ'ЯЗОК РІВНЯНЬ В ПРОГРАМНОМУ СЕРЕДОВИЩІ MAPLE

2.1 Розв'язати рівняння s побудувати графік

2.2 Розв'язати диференційне рівняння і побудувати графік

2.3 Метод Гауса

2.4 Розв'язання рівняння за допомогою Метода Ейлера та Рунге-Кута

2.5 Розв'язати диференційне рівняння і побудувати графік

2.6 Отримати всі дійсні корні рівняння .

2.7 Графіки функцій та двічі перетинаються на відрізку [-5; 5].

ВИСНОВКИ

Чисельні методи є одним з потужних математичних засобів вирішення задачі. Найпростіші чисельні методи ми використовуємо скрізь, наприклад, витягуючи квадратний корінь на листку паперу. Є завдання, де без достатньо складних чисельних методів не вдалося б отримати відповіді.

Сучасні чисельні методи і потужні ЕОМ дали можливість вирішувати такі завдання, про які півстоліття тому могли тільки мріяти. Але застосовувати чисельні методи далеко не просто. Цифрові ЕОМ вміють виконувати тільки арифметичні дії і логічні операції. Тому крім розробки математичної моделі, потрібно ще розробка алгоритму, що зводить все обчислення до послідовності арифметичних і логічних дій. Вибирати модель і алгоритм треба з урахуванням швидкості і обсягу пам'яті ЕОМ: надто складна модель може виявитися машині не під силу, а надто проста - не дасть фізичної точності.

Сам алгоритм і програма для ЕОМ повинні бути ретельно перевірені. Перевірка алгоритму ще більш важка, бо для складних алгоритмів не часто вдається довести збіжність класичними методами. Доводиться використовувати більш-менш надійні «експериментальні» перевірки, проводячи пробні розрахунки на ЕОМ і аналізуючи їх.

У даному розрахунково-графічному завданні були розв'язанні рівняння у програмному середовищі Maple. Для знайдення коренів та відповіді на рівняння використовувалися методи Ейлера, Рунге-Кута, Гауса та вбудовані функції в Maple. Побудова графіків відбувалась за допомогою вбудованої функції plot(). Функція fsolve() - знаходила корені рівняння на заданому відрізку. Призначення команди evalf() - переклад точного числового типу в наближений.

ЛІТЕРАТУРА