Исследование диффузионного хаоса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование диффузионного хаоса

Сидоров С.В.

На примере решения уравнения Курамото-Цузуки приведены результаты численных исследований диффузионного хаоса в окрестности термодинамической ветви системы уравнений "реакция-диффузия". Рассмотрены сценарии перехода к хаосу при решении второй краевой задачи. Показано, что переход к хаосу в фазовом пространстве уравнения Курамото-Цузуки осуществляется через каскады бифуркаций удвоения периода и через субгармонические каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, как по внутренней, так и по внешней частоте. Приведено сравнение сценариев перехода к хаосу в фазовом пространстве и в пространстве коэффициентов Фурье.

Ключевые слова: диффузионный хаос; исследование; реакция; моделирование.

Введение

Для моделирования процессов и явлений, описывающих эволюцию распределенных динамических систем широко используются параболические уравнения и системы уравнений вида

u Rm, (1)

где D матрица коэффициентов диффузии, оператор Лапласа, F(u,) векторная в общем случае нелинейная по u функция, скалярный параметр, m размерность системы.

Большое место в многочисленных моделях физики, химии, биологии, а также при моделировании экономических, экологических и социальных задач занимают так называемые уравнения «реакция-диффузия» системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

, (2)

диффузионный хаос уравнение

где d1 и d2 коэффициенты диффузии, f() и g() нелинейные относительно переменных X и Y скалярные функции.

Как правило, система уравнений вида (2) имеет, по крайней мере, одно стационарное пространственно однородное и асимптотически устойчивое решение (X0, Y0) при значении параметра < 0, где < 0 значение параметра, соответствующее равновесному состоянию системы. Это решение называют термодинамической ветвью. В окрестности термодинамической ветви при значениях > 0 поведение решений определяется спектром линеаризованной на решении (X0, Y0) краевой задачи в окрестности точки бифуркации 0. В том случае, когда при = 0 только одно простое собственное значение проходит через ноль, возникает пространственно неоднородное стационарное решение - стационарные диссипативные структуры. Эта бифуркация открыта А. Тьюрингом [1] и носит его имя. Если же при = 0 два комплексно сопряженных собственных значения оператора линеаризации пересекают мнимую ось, то имеет место бифуркация рождения пространственно однородных периодических колебаний - бифуркация Андронова-Хопфа [2, 3]. При значительном удалении значений параметра от 0 в системе (2) возникают более сложные, в том числе пространственно неоднородные и непериодические решения, которые получили общее название “диффузионный хаос”. К настоящему времени известно, что вид этих решений зависит от значений коэффициентов диффузии, от соотношения между ними, от граничных условий, а также от формы и размеров пространственной области, в которой ищется решение системы. Однако, механизм образования хаотических решений, теория перехода к диффузионному хаосу и, следовательно, структура решений в системах вида (2) практически не изучены.

Значительный шаг в изучении решений таких систем был сделан в работе [4], где удалось показать, что любое решение системы уравнений реакция-диффузия, возникающее в окрестности термодинамической ветви в результате ее бифуркации при м > м0, удовлетворяет уравнению

(3)

где W W(x,t) = u(x,t) + iv(x,t) комплекснозначная функция, описывающая отклонение от термодинамической ветви, c1 и c2 действительные постоянные, значения которых определяются коэффициентами d1 и d2, функциями f(u, v, м), g(u, v, м) и их производными, вычисленными на термодинамической ветви.

Уравнение (3), называемое уравнением Курамото-Цузуки или зависящим от времени уравнением Гинзбурга-Ландау, играет важную роль в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных средах диффузионного типа, в неравновесных системах, в плоских течениях и т.д. Уже в ранних исследованиях решений уравнения (3) группой А. Самарского и С. Курдюмова [57] особое внимание было обращено на условия появления сложных пространственно неоднородных и непериодических решений и на изучение их свойств. Однако в указанных работах рассматривалась более простая, хотя и обладающая хаотической динамикой, система из трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная в результате редукции уравнения (3) и представления его в так называемом «маломодовом» приближении

(4)

В последнее время появились веские основания для сомнений в правомерности переноса результатов, справедливых для конечномерных систем маломодовых приближений, на бесконечномерные системы. В частности, в работах [8-10] показано, что трехмерные нелинейные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеют один общий сценарий перехода к хаосу. Началом любого сценария является каскад бифуркаций удвоения периода циклов - гармонический каскад Фейгенбаума [11], который сходится к хаотическому аттрактору Фейгенбаума. Более сложная структура сингулярного (хаотического) аттрактора создается субгармоническим каскадом бифуркаций рождения устойчивых циклов, период которых определяется согласно порядку Шарковского [12]. Дальнейшее усложнение хаотических аттракторов, рождающихся в точках накопления значений бифуркационного параметра, идет через гомоклинический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру - петле сепаратрисы особой точки типа седло-фокуса [10]. Вместе с тем, в системах большей размерности в сценарии перехода к хаосу участвуют двумерные торы и, вполне вероятно, весь субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов по одной из частот подобно тому, как это имеет место в пятимерной системе уравнений Лоренца [13].

Каким образом происходит переход к хаосу в уравнении Курамото-Цузуки и какова структура сингулярных (хаотических) аттракторов уравнения (3), пока неизвестно. В настоящей работе приведены результаты численных исследований, которые частично дают ответы на поставленные вопросы.

Порядок Шарковского - это упорядочение в множестве натуральных чисел, имеющее вид

.

В [10] показано, если диссипативная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет цикл периода n, то она имеет также цикл любого периода n', такой что в смысле порядка Шарковского.

Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье для уравнения Курамото-Цузуки.

При изучении решений уравнения (3) наибольший интерес представляет вторая краевая задача

(5)

Для дальнейшего исследования задачи (5) надо пояснить, каким образом получена система (4) и что по существу представляют решения этой системы. Идея получения уравнений (4) основана на использовании Галеркинских маломодовых аппроксимаций, а именно, на разложении решения W(x,t) = u(x,t) + iv(x,t) уравнения (3) в ряд Фурье. Для второй краевой задачи (5) это разложение имеет вид

.

Так как коэффициенты Фурье достаточно быстро убывают с ростом их номера, то в маломодовом приближении учтены только первые гармоники, т.е.

. (6)

Подстановка (6) в (5) и отбрасывание затем всех членов с более высокими гармониками, содержащих множители , приводит к замкнутой системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных a0(t), a1(t), b0(t), b1(t).

Система (4) получается путем следующей замены переменных:

i 2(t) = ai2(t) + bi 2(t), i = 0, 1,

= 0 2, = 12, = 0 1 ,

с учетом того, что ai = i cos i, bi = i sin i. Таким образом, упрощенная система (4) по существу отражает не решения задачи (5), а решения некоторой другой конечномерной системы уравнений в пространстве коэффициентов Фурье. В этом отношении система (4) аналогична хорошо известной системе Лоренца из трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений [14]. В связи с этим здесь уместно отметить, что переход к хаосу в пятимерной системе Лоренца [13] осуществляется через каскад бифуркаций не предельных циклов, а двумерных инвариантных торов по внешней частоте. Причем, сценарий перехода к хаосу в пятимерной системе более простой, чем в трехмерной системе он не содержит гомоклинических каскадов бифуркаций.

Ранее [10] при исследовании механизмов образования хаотических решений для уравнения Курамото-Цуцзуки в маломодовом приближении (4) было показано, что сценарий перехода к хаосу в этой системе не отличается от сценария, общего для всех трехмерных нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако существование общего сценария образования хаотических аттракторов не означает, что последние должны иметь одинаковую структуру. Системы дифференциальных уравнений отличаются топологией векторного поля, количеством и типом неподвижных точек, имеют различные области диссипативности в фазовом пространстве и много других отличий. Поэтому не все из указанных выше каскадов бифуркаций удвоения периода циклов, субгармонических и гомоклинических каскадов бифуркаций могут принимать участие в образовании хаотического аттрактора, если последний имеет место. Помимо этого, каскады бифуркаций, порождающих хаотические аттракторы, могут быть как полными, так и неполными, могут прерываться из-за влияния соседних неподвижных точек или других близко расположенных в фазовом пространстве решений. Все это создает большое разнообразие структур хаотических аттракторов.

В частности, возможны ситуации, когда неполным является каскад бифуркаций удвоения периода предельного цикла, и хаотический аттрактор в этом случае отсутствует. Не повторяя результатов исследования системы (4), изложенных в монографии [10], приведем пример неполного каскада бифуркаций удвоения периода предельного цикла в упрощенной системе (4) при фиксированном значении параметров c1 = 2,5, k = 1 и изменении параметра c2 на множестве отрицательных значений.

В области значений c2 [2,87; 0) система (4) имеет неподвижную точку, которая при c2 2,88 теряет устойчивость, и в результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый предельный цикл (рис. 1, а).

Рис. 1. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (4) при значении с1 = 2,5: а) предельный цикл при c2 = 3; б) цикл периода 2 при c2 = 4,16; в) цикл периода 8 при c2 = 4,46.

Далее при c2 4,116 в системе (4) рождается цикл удвоенного периода, при c2 4,37 цикл периода 4, при c2 4,45 цикл периода 8. Однако, как показывает численный эксперимент, с дальнейшим уменьшением значений параметра c2 идет обратный процесс, т.е. цикл периода 8 при значении c2 4,8 становится неустойчивым, и снова появляется цикл периода 4. Затем при c2 5,0 рождается цикл периода 2, который при c2 6,08 также теряет устойчивость, и в системе (4) появляется предельный цикл, а при значении c2 28,3 устойчивая неподвижная точка.

Совсем иначе выглядят каскады бифуркаций решений задачи (5) на отрезке l = (k = 1) в бесконечномерном пространстве коэффициентов Фурье в тех же переменных 0 и 1 и при том же фиксированном значение параметра c1 = 2,5. При значениях параметра c2 (1,851; 0) система имеет неподвижную точку (0, 0, 0, …,0), которой соответствует пространственно однородное периодическое решение задачи (5). При этом траектория в фазовом пространстве имеет форму окружности, что свидетельствует об одинаковой амплитуде колебаний переменных u(t) и v(t), определяемой значением координаты 0. При значении c2 1,851 пространственно однородное периодическое решение теряет устойчивость, и рождается другое устойчивое, но пространственно неоднородное периодическое решение. В пространстве коэффициентов Фурье этой бифуркации соответствует потеря устойчивости точки (0, 0, 0, …,0) и появление другой неподвижной устойчивой точки с отличными от нуля значениями переменных i.

Эта точка остается устойчивой до значения параметра c2 2803, соответствующего бифуркации рождения предельного цикла (рисунок 2а). При величине c2 3,472 происходит бифуркация удвоения периода данного цикла (рисунок 2б), и начинается каскад бифуркаций Фейгенбаума. Так при значении c2 = 3,628 наблюдается цикл периода 4, при c2 = 3,635 цикл периода 8, при c2 = 3,645 цикл периода 16 и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода данного цикла, завершается появлением аттрактора Фейгенбаума при значении параметра c2 3,66 (рисунок 2в).

Рис. 2. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) предельный цикл при значении c2 = 3; б) цикл периода 2 при c2 = 3,5; в) аттрактор Фейгенбаума при c2 = 3,66.

С уменьшением значений параметра c2 решения в пространстве коэффициентов Фурье имеют значительно более сложный хаотический характер. Чтобы понять структуру образовавшихся хаотических аттракторов, рассмотрим каскады бифуркаций решений задачи (5) при значениях параметра c2 > 14,95. При меньших значениях параметра c2 единственным аттрактором в пространстве коэффициентов Фурье является цикл (рис. 3, а), а при значении c2 14,95 происходит бифуркация удвоения периода этого цикла, которая дает начало каскаду бифуркаций рождения циклов удвоенного периода. Так при значении c2 11,92 рождается цикл периода 4, в области значений c2 [11,31; 11,175] лежит цикл периода 8, при значениях c2 [11,31; 11,175] -цикл периода 16, при c2 [11,174; 11,148] -цикл периода 32, в области c2 [11,147 11,141] - цикл периода 64 и т.д. Этот каскад бифуркаций завершается аттрактором Фейгенбаума при значении параметра c2 11,13 (рис.3, в).

Рис.3. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) предельный цикл при c2 = 20; б) цикл периода 2 при c2 = 12,6; в) аттрактор Фейгенбаума при c2 = 11,13.

За аттрактором Фейгенбаума с ростом значений параметра c2 следует субгармонический каскад бифуркаций рождения циклов с периодами, определяемыми порядком Шарковского, о чем свидетельствуют устойчивые циклы с периодом 6 (рисунок 4а) при c2 [10,845; 10,825] и с периодом 5 (рис.4 б) при c2 [10,226; 10,215], а также каскады бифуркаций Фейгенбаума, порожденных этими циклами. Однако в данной области параметров (c1, c2) субгармонический каскад бифуркаций является неполным, так как отсутствует цикл периода 3. При значении c2 9,914 траектория попадает в область притяжения другого решения, субгармонический каскад бифуркаций, порожденный рассматриваемым циклом, обрывается и в системе (5) появляется хаотическое поведение (рисунок 4в).

Рис. 4. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) цикл периода 6 при c2 = 10,82; б) цикл периода 5 при c2 = 10,21; в) хаотический аттрактор при c2 = 9,914.

Наблюдаемое хаотическое поведение в области c2 [9,913; 7,917] может быть обусловлено слиянием решений, порожденных каскадом бифуркаций цикла, рассмотренного выше и цикла, устойчивого при значениях параметра c2 [7,916; 7,884] (рисунок 5а).

Рис. 5. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) цикл при значении c2 = 7,9; б) цикл периода 2 при значении c2 = 7,87; в) цикл периода 3 при значении c2 = 7,849.

Этот цикл также порождает каскад бифуркаций удвоения периода. При значении c2 = 7,87 имеет место цикл периода 2, при c2 = 7,865 - цикл учетверенного периода, при c2 = 7,8615 - цикл периода 8 и т.д. вплоть до образования хаотического аттрактора Фейгенбаума при значении c2 7,86. Наличие устойчивого цикла периода 3 при значении параметра c2 = 7,849 (рис. 5, в) указывает на то, что хаотический аттрактор, расположенный выше этого значения, порожден полным субгармоническим каскадом бифуркаций.

Рис. 6. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) предельный цикл при c2 = 5,2; б) цикл периода 2 при c2 = 5,1; в) хаотический аттрактор Фейгенбаума при c2 = 5,0625.

В области значений параметра c2 [5,251; 5,147] обнаружен еще один устойчивый цикл (рис. 6а), который также участвует в формировании хаотических аттракторов. С ростом значений параметра c2 этот цикл сначала порождает каскад бифуркаций Фейгенбаума: при c2 [5,146; 5,087] имеет место цикл удвоенного периода, при c2 [5,087; 5,070] -цикл периода 4, при c2 [ 5,069; 5,067] - цикл периода 8, при значениях параметра c2 [ 5,066; 5,065] - цикл периода 16 и т.д. вплоть до образования аттрактора Фейгенбаума при значении c2 5,0625.

Затем с ростом значений параметра c2 наблюдаются циклы субгармонического каскада бифуркаций. При значениях c2 [5,066; 5,065] находится цикл периода 5 (рис. 7, а), при c2 = 4,4753 цикл периода 10 = 52, при c2 [4,259; 4,127] цикл периода 3 (рис. 7, б), в области значений c2 [4,126; 4,114] цикл периода 6 = 32, при c2 [4,113; 4,109] цикл периода 12 = 322, при c2 [4,108; 4,106] цикл периода 24 = 323. Очевидно, что хаотическое поведение решения задачи (5) при значении параметра c2 = 4,105 (рис. 7, в) появляется в результате завершения субгармонического каскада бифуркаций, порожденных циклом, устойчивым в области значений параметра c2 [5,251; 5,147].

Рис. 7. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) цикл периода 5 при c2 = 5,0655; б) цикл периода 3 при c2 = 4,2; в) хаотический аттрактор при c2 = 4,105.

Приведенные результаты свидетельствуют о следующем. Во-первых, механизмы перехода к хаосу при решении задачи (5) в пространстве коэффициентов Фурье те же, что и в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Переход к хаосу осуществляется через каскады бифуркаций удвоения периода циклов и далее через субгармонические каскады бифуркаций рождения циклов согласно порядку Шарковского. Во-вторых, использование маломодового приближения для исследования природы диффузионного хаоса в системах дифференциальных уравнений с частными производными является неправомерным, т.к. бифуркационные диаграммы решений упрощенной системы (4) и задачи (5), исследованные при одинаковых значениях параметров, существенно отличаются. Тем не менее, решение задачи (5) в бесконечномерном пространстве коэффициентов Фурье не позволяет сделать однозначные выводы о природе диффузионного хаоса. С целью дальнейшего изучения этого вопроса проанализируем решения задачи (5) в фазовом пространстве.

Переход к хаосу в фазовом пространстве для уравнения Курамото-Цузуки. Рассмотрим сценарий образования хаотических режимов второй краевой задачи для уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве переменных (u, v). Для этого используем сечение данного пространства гиперплоскостью u(l/2) = 0 и рассмотрим отображение Пуанкаре в проекции координат (u(0), v(l/2)). В качестве фиксированной переменной в пространстве параметров снова выбираем c1 = 2,5 и варьируем переменную c2 в той же области, которая описана в предыдущем разделе. Начальные условия для решения второй краевой задачи (5) принимаем однородными.

В диапазоне значений параметра c2 [1,85; 0], где задача (5) имеет пространственно однородное периодическое решение с одинаковой амплитудой колебаний переменных u(x,t) и v(x,t), и при c2 [-2,802;1,851], где устойчивым является другое периодическое, но пространственно неоднородное решение с одинаковой амплитудой колебаний переменных u(x0, t) и v(x0, t) для любой точке x0 [0, l], траектории в фазовом пространстве представлены окружностями. При c2 2,803 периодическое пространственно неоднородное решение теряет устойчивость, и в фазовом пространстве задачи (5) появляется устойчивый двумерный инвариантный тор, что подтверждается отображением Пуанкаре. Вид этого тора в сечении u(l/2) = 0 при значениях параметра c2 = 3 и c2 = 3,133 показан соответственно на рис. 8а и рис. 8б. При значении параметра c2 3,134 происходит бифуркация удвоения периода двумерного тора по основной (внутренней) частоте (рис. 8в), а при значении c2 = 3,25 двумерный тор в отображении Пуанкаре принимает вид, показанный на рисунке 8г.

Рис. 8. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении с1 = 2,5: а) двумерного тора при c2 = 3; б) двумерного тора при c2 = 3,133; в) двумерного тора периода 2 по внутренней частоте при c2 = 3,134; г) двумерного тора периода 2 по внутренней частоте при c2 = 3,25.

Данная бифуркация дает начало каскаду бифуркаций удвоения периода двумерных инвариантных торов по внутренней частоте. Так при значениях c2 [ 3,6186; 3,537] решением задачи (5) является двумерный инвариантный тор периода 4 по внутренней частоте (рисунок 9а), в области значений c2 [ 3,6409; 3,6187] тор периода 8 по внутренней частоте (рисунок 9б), в области c2 [ 3,64623; 3,6410] тор периода 16 по внутренней частоте и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода двумерных торов по внутренней частоте завершается образованием аттрактора Фейгенбаума при значении параметра c2 3,655 (риунок. 9в).

Рис. 9. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора периода 4 по внутренней частоте при c2 = 3,6; б) двумерного тора периода 8 по внутренней частоте при значении c2 = 3,635; в) аттрактора Фейгенбаума при c2 = 3,655.

Отметим, что значения параметра c2, соответствующие бифуркациям удвоения периода торов по внутренней частоте, отличны от тех значений, при которых происходят бифуркации удвоения периода предельных циклов, наблюдаемых в пространстве коэффициентов Фурье. Тем не менее, хаотические аттракторы и в пространстве коэффициентов Фурье и в фазовом пространстве рождаются, по всей видимости, при одинаковых значениях параметров системы. Забегая вперед, отметим, что результаты численных вычислений показали совпадение в пространстве параметров границ, отделяющих хаотические области от устойчивых решений, в фазовом пространстве с теми же границами в пространстве коэффициентов Фурье. Поэтому, анализируя решения задачи (5) в фазовом пространстве, будем рассматривать только те области в пространстве параметров, для которых установлены устойчивые решения в пространстве коэффициентов Фурье.

Как отмечено выше, при значении c2 < 14,92 в пространстве коэффициентов Фурье аттрактором является цикл. В фазовом пространстве задачи (5) устойчивым аттрактором в этой области значений параметра c2 является двумерный инвариантный тор (рис. 10, а). При значении параметра c2 14,91 происходит бифуркация удвоения периода этого тора по внешней частоте (рис. 10, б), и начинается каскад бифуркаций Фейгенбаума по внешней частоте. При значении c2 = 11,2 двумерный тор имеет период 4 по внешней частоте, при c2 = 11,15 период 8 по внешней частоте, при c2 = 11,143 период 16 по внешней частоте и т.д. вплоть до образования хаотического аттрактора Фейгенбаума при значении c2 11,13 (рис. 10, в). При значениях параметра c2 = 10,5 и c2 = 10,15 наблюдаются устойчивые двумерные торы, имеющие соответственно периоды 3 и 5 по внешней частоте. Это свидетельствует о том, что за каскадом бифуркаций Фейгенбаума двумерного тора по внешней частоте следует субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов.

Рис. 10. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора при c2 = 20; б) двумерного тора удвоенного по внешней частоте при c2 = 12; в) аттрактора Фейгенбаума при c2 = 11,13.

В области значений c2 [7,916; 7,884] существует двумерный тор более сложного вида (рис. 11, а). Не останавливаясь на природе этого решения, снова отметим существование каскада бифуркаций удвоения периода тора по внешней частоте. При значении c2 = 7,87 этот тор имеет удвоенный по внешней частоте период, при c2 = 7,865 период 4 по внешней частоте, при c2 = 7,861 период 8 по внешней частоте. Завершается каскад бифуркаций удвоения периода данного тора по внешней частоте образованием при значении c2 7,859 хаотического аттрактора Фейгенбаума.

Аналогичный каскад бифуркаций удвоения периода по внешней частоте порождает двумерный тор, устойчивый в области значениях параметра c2 [5,21; 5,09] (рис. 11, б). При значении c2 = 5,075 этот тор имеет период 2 по внешней частоте, при c2 = 5,068 период 4 по внешней частоте, а при c2 5,0625 рождается хаотический аттрактор Фейгенбаума.

Рис. 11. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора при значении c2 = 7,9; б) двумерного тора при значении c2 = 5,2; в) двумерного тора при c2 = 4,2.

В заключении обратим внимание на двумерный тор, устойчивый в области c2 [4,259; 4,115] (рис. 11, в). С ростом значений параметра c2 этот тор порождает каскад бифуркаций удвоения периода, но по внутренней частоте. Первая бифуркация удвоения периода данного тора происходит при значении c2 4,1586 (рис.12, а), вторая при c2 4,1158 (рис. 12, б), при c2 7,110911 рождается двумерный тор периода 8 по внутренней частоте, при c2 4,110856 тор периода 16 по внутренней частоте и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода этого тора по внутренней частоте завершается аттрактором Фейгенбаума при значении c2 4,11.

Рис. 12. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора периода 2 по внутренней частоте при значении c2 = 4,146; б) двумерного тора периода 4 по внутренней частоте при c2 = 4,11095; в) аттрактора Фейгенбаума при c2 = 4,107.

Рис. 13. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) хаотического аттрактора при c2 = 3,75; б) хаотического аттрактора при c2 = 3,875; в) хаотического аттрактора при c2 = 4,070.

Таким образом, хаотическое поведение системы в области значений c2 [ 4,11; 3,65] обусловлено, по-видимому, слиянием аттракторов, порожденных бифуркациями двумерного тора, изображенного на рисунке 11в, и двумерного тора, образовавшегося после потери устойчивости периодического пространственно неоднородного решения при c2 2,803 (рис. 8). На рис. 13 показаны хаотические аттракторы при значениях c2 [4,1; 3,7].

Заключение

Результаты численных исследований уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве и в пространстве коэффициентов Фурье как для маломодового приближения, так и для неупрощённой системы показали:

1. Переход к хаотическим режимам в уравнении Курамото-Цузуки основан на тех же механизмах, которые выявлены нами в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений , а именно, для решений в пространстве коэффициентов Фурье независимо от того, является ли система упрощенной или нет это каскады бифуркаций удвоения периода циклов (каскады Фейгенбаума) и субгармонические каскады бифуркаций циклов согласно порядку Шарковского, а для решения в фазовом бесконечномерном пространстве это каскады бифуркаций Фейгенбаума и субгармонические каскады бифуркаций инвариантных торов, как по внутренней, так и по внешней частоте.

2. Неправомерным является использование трехмерных приближений для описания диффузионного хаоса в уравнениях диффузионного типа. В трехмерных маломодовых системах сингулярные аттракторы порождаются исключительно бифуркациями предельных циклов, а в соответствующих им диффузионных уравнениях образование сингулярных аттракторов обусловлено каскадами бифуркаций, по меньшей мере, двумерных (других пока не обнаружено) инвариантных торов. Возможно, что тороидальные сингулярные аттракторы, т.е. аттракторы, порожденные каскадами бифуркаций инвариантных торов, могут существовать в системах, полученных в маломодовом приближении и имеющих размерность более трех, однако этот вопрос требует дополнительного изучения.

3. Несмотря на частичное совпадение бифуркационных диаграмм решений уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве и в пространстве коэффициентов Фурье, использовать пространство Фурье для описания диффузионного хаоса неправомерно, так как хаотические аттракторы в нем порождаются каскадами бифуркаций исключительно предельных циклов, а не двумерных инвариантных торов. По-видимому, диффузионный хаос в распределенных системах дифференциальных уравнений диффузионного типа порождается субгармоническими (в смысле порядка Шарковского) каскадами бифуркаций двумерных инвариантных торов, как по внешней, так и по внутренней частоте

Библиографический список

1 Turing .A. On the chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1952, Ser. A, 237.

2 Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

3 Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.

4 Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys., 1975, v. 54, N 3.

5 Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

6 Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Самарский А. А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. // Современные проблемы математики: Итоги науки и техники. Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1986.

7 Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Самарский А. А. Двухкомпонентные динамические системы в окрестности точки бифуркации.// Математическое моделирование. М.: Наука, 1986.

8 Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

9 Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О сценариях перехода к хаосу в нелинейных динамических системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями // Нелинейная динамика и управление. Вып. 3. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

10 Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

11 Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. Т.141. 1983, Вып. 2.

12 Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя.//Укр. мат. журн. Т. 26. 1964, № 1.

13 Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. // Дифференц. Уравния. Т. 38. 2000, №12.

14 Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow//J. Atmos. Sci., 1963, v. 20.

Размещено на Allbest.ru