Тензорный анализ

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Филиал Федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего образования

«Кубанский государственный университет» в г. Тихорецке

Среднее профессиональное образование

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Математика»

«Тензорный анализ»

Выполнила: Захарова Ю.Н. Группа 19-ЭБ-01 СПО

Специальность: Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Преподаватель: Клабукова Н.Ю.

Тихорецк 2021

 Содержание

Введение

1. Тензор. Понятие тензора

2. Вектор

3. Скаляр

4. Матрица

5. Тензорные операции

6. Антисимметричные тензоры

7. Применение тензоров

Заключение

Список использованных источников

Введение

тензор математический матрица скаляр

Необходимость применения тензорного анализа возникает, когда для изучения того или иного физического явления (относительно которого имеется полная система непротиворечивых данных для создания абстрактных моделей в математических терминах) приходится привлекать метод координат. Координатный метод позволяет параметризовать модель при помощи конечного или бесконечного числа параметров (координат), к которым можно применять те или иные математические операции. Выводы, полученные в результате этих операций над параметрами, должны иметь объективный смысл и характеризовать свойства изучаемого явления, не зависимые от использованного нами способа параметризации, то есть, как говорят, эти выводы должны быть инвариантными относительно выбора системы координат. Последовательно развивая координатный метод в теории векторов, мы постоянно оказываемся перед необходимостью работать с различными массивами чисел. Наиболее простой из них - это массив координат вектора. Затем необходимость выразить метрические отношения геометрического пространства приводит нас к массиву координат метрического тензора. Это уже двухмерный массив, обладающий более сложным строением. Потребность выразить функциональные отношения между векторами приводит к понятию линейного оператора, координаты которого также образуют двухмерный массив. Все это проделал итальянский математик г.Риччи-Курбастро и Леви-Чивита в 1901 г. Новый математический объект получил название тензора, а наука о тензорах была названа тензорным исчислением.

 1. Тензор. Понятие тензора

Темнзор (от лат. tensus, «напряженный») -- объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление. Другими словами, тензор -- некоторый объект, несущий верхние (контравариантные) и нижние (ковариантные) индексы, пробегающие различных значений каждый, и преобразующийся при замене координат определённого класса определённым линейным способом, при котором нулевой тензор (все компоненты которого равны нулю) остаётся нулевым в любых координатах. Здесь --размерность пространства. Для 4-мерного тензора в 4-мерном пространстве - времени: Ф mn...,ij…i,j…m,n…?0,1,2,3. Для 3-мерного тензора в 3-мерномпространстве: Ф мн...,бв…б,в…м,н…?1,2,3. Здесь и далее маленькие латинские индексы будут пробегать значения от 0 до 3, а греческие -- от 1 до 3. Валентность тензора или ранг тензора -- общее число индексов. Не следует путать ранг тензора (число индексов) и ранг матрицы (число линейно независимых столбцов/строк). Это разные понятия. Если тензор имеет два индекса, то он имеет ранг (валентность) тензора 2, а ранг соответствующей матрицы может быть любым целым числом от нуля до размерности пространства. Тензор обобщает понятия скаляра, вектора и матрицы. При этом правила преобразования компонент тензора устроены так, что мы можем конструировать новые тензоры из имеющихся по некоторым простым правилам. Могут использоваться и иные объекты, которые несут индексы, но преобразуются по другим правилам и тензорами не являются. И, все таки хочу воспользоваться некоторым пояснением определения тензора: 1)Это математическое представление некоторого объекта (геометрического или физического), существующего в пространстве в виде таблицы величин-компонент тензора; 2)Значения компонент зависят от принятой системы координат и изменяются (преобразуются) при переходе к другим координатам; 3)Преобразование компонентов такого, что оставляет, тем не менее, неизменными некоторые особые величины - интервалы.

2. Вектор

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. Вектор -- тензор с одним верхним (контравариантным) индексом. При замене координат вектор преобразуется так же как разность координат между двумя (бесконечно близкими) точками. Если мы рассматриваем линейную замену координат, то так же преобразуется и разность координат двух произвольных точек, но в общем случае произвольной замены (переход к криволинейным координатам) разность координат двух точек преобразуется нелинейным образом, а значит не является вектором (который, как частный случай тензора, должен иметь линейный закон преобразования). Вектор можно представить в виде стрелки, соединяющей две бесконечно близкие точки.

Компоненты вектора

Чтобы определить компоненты вектора необходимо воспользоваться векторной алгеброй. Для этого введем систему координат, или базис.

В пространстве (для начала будем считать его трехмерным) выберем три вектора ej, e2, e3. Это будут единичные векторы, или орты. Непременное условие: орты линейно независимы. Это значит, что ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных (такое было бы, если бы тройка векторов лежала в одной плоскости).

Несложно доказать, что любой вектор x можно представить однозначным образом в виде: x = x1ej + х 2e2 + x3e3, то есть в качестве линейной комбинации ортов. Коэффициенты (х', х2, х3) и есть компоненты вектора x в принятом базисе.

Существует также, ковектор (ковариантный вектор) -- тензор с одним нижним (ковариантным) индексом. При замене координат ковектор преобразуется по тем же правилам, что и компоненты градиента. Число компонент ковектора совпадает с числом компонент вектора и между ними можно установить взаимно - однозначное соответствие, но ковектор при замене координат преобразуется по - другому: градиент -- ковектор, а не вектор. Например. В пространстве задано скалярное поле j. Построим частные производные:

dj dj dj

aX1, dX2' sX3'

Их смысл - изменение величины поля вдоль данного направления на единицу протяженности. Если эти величины рассматривать как компоненты, то можно убедиться, что мы имеем дело с вектором: при повороте осей пересчет координат будет по стандартным формулам. Такой вектор, как известно, называют градиентом поля.

Пусть масштаб первой оси снова сжали в N раз. Единица протяженности сократилась, но само поле-то не изменилось. Ясно, что изменение поля в пересчете на новую, уменьшенную единицу будет соответственно меньше:

dj _ dj _ 1 dj

Sx'1 d(Nx1) N dxl

Компонента вектора изменилась в те же сторону, что и масштаб оси! Причина ясна: сами выражения для компонент имеют внутри себя зависимость от координат.

Такое свойство векторов называется ковариантностью. Вектор градиента естественно ковариантен в том базисе, в котором задано поле.

 3. Скаляр

Скаляр - величина (возможно переменная, то есть функция), каждое значение которой может быть выражено одним числом (чаще всего подразумевается вещественное число). В тензорном исчислении скаляр -- это тоже тензор (нулевого ранга). Он имеет одну компоненту. При замене координат скаляр не преобразуется, т.е. является инвариантом инвариант ? скаляр. Если мы имеем не просто скаляр, а скалярную функцию (скалярное поле), то при замене координат в каждой точке пространства значение скалярной функции остаётся прежним, но функция может меняться, т.к. изменяются значения координат, которые нумеруют прежние точки:

ц,x,=цxx.

Здесь -- старые («не штрихованные») координаты, выраженные через новые («штрихованные»). Часто штрихи удобно ставить не над самими координатами и тензорами, а над индексами.

Скалярное произведение

Напомню о понятии скалярного произведения двух векторов. Оно выражается через координаты так:

11 22 33

xy = X у + X у + X у.

Собственно говоря, квадрат длины вектора - это просто его скалярное произведение на себя. Скалярное произведение тоже инвариантно (как любой скаляр). Ведь оно несет геометрический смысл, независимый от координатного представления: произведение длин векторов и косинуса угла.

 4. Матрица

Таблица чисел вида, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей. Числа - это элементы матрицы. Тензор с одним индексом может быть представлен в виде строки или столбца. Тензор с двумя индексами может быть представлен в виде квадратной матрицы. При такой записи мы должны помнить, какие индексы тензора были сверху, а какие снизу. Т.е. столбцы, строки и квадратные матрицы могут быть «разных сортов». Мы можем, например, считать, что строка -- ковектор, а столбец -- вектор, но для матриц надо различать по крайней мере три случая: два верхних индекса, два нижних индекса, один верхний индекс и один нижний. На самом деле такое различие по сортам имело место уже в обычной линейной алгебре, где мы различали матрицы линейных преобразований (один верхний индекс и один нижний) и матрицы квадратичных форм (оба индекса нижние). Далее, хочу внести ясность. Рассмотрим пару векторов и, заданных в некоторой системе координат своими компонентами Аi, В k. На их основе можно построить девять чисел, которые удобно записать в виде матрицы. Повернем оси системы координат; числа Аi , Вk преобразуются. Выясним закон преобразования чисел Сik=АiВk, т.е. элементов матрицы -это и есть тензор второго ранга. Компоненты вектора преобразуются не только при поворотах осей, но и при переходе от правой системы координат к левой и наоборот. Это же верно и для компонент тензора.

5. Тензорные операции

Произведение.

Возможно покомпонентное сложение тензоров одинаковой структуры, умножение их на число - на этом особо задерживаться не будем. Пространство тензоров, как и в случае векторов, полагаем линейным, то есть результат таких операций будет снова тензором. По большому счету придется иметь в виду две основные операции с тензорами: перемножение и свертка. Эти операции над тензорами приводят к тензорам же. Вот иллюстрация тензорного произведения:

Как видим, результирующий тензор Xlk это тензор суммарного ранга. Он содержит компоненты, равные произведению компонент сомножителей - каждый с каждым. А все индексы сомножителей просто перешли к произведению. Важно: из того, что произведение двух векторов это тензор 2-го ранга, вовсе не следует, что любой такой тензор можно представить произведением некоторых векторов! А, например, произведение:

A'kBlmn = Clkimn

- будет тензором 5-го ранга. Причем, как говорят, смешанным: дважды контравариантным и три раза ковариантным.

Свертка.

Свертка возникает при записи перемножения, когда один из индексов повторяется сверху и снизу. Так произведение:

AlkBimn = Ckmn

- будет иметь не 5-й, а 3-й ранг: при однократной свертке ранг понижается на 2. Здесь свертка идет по индексу i. Вспомнив, что повторяющийся индекс означает суммирование, запишем нашу свертку детально:

ABm, =Ј ABm,, = A'`B, mn + A`2B2 + A`3B32mn 3mnmn.

Здесь видно, каким образом пропадает немой индекс i. Свертка тензора 2-го ранга внутри себя называется следом тензора, специалисты старой школы предпочитают немецкий эквивалент: шпур (Spur). Так квадрат длины x2 = xixI это след (шпур) тензора X' = xixI. По сути дела, это сумма элементов его главной диагонали. Очевидно, что след, как любой скаляр - инвариант.

Инвариант тензора.

Мы знаем, что инвариантом вектора является его длина, выражающаяся через свертку вектора с ковектором. А что с тензором большего ранга?

Любой тензор имеет инвариант (скаляр), получающийся сверткой с сопряженным тензором. Например, инвариантом тензора второго ранга, дважды контравариантного: Alk - будет, очевидно, выражение: AlkAik.

На этом можно бы закончить... Но, ради полной ясности, все-таки распишем, что такое двойная свертка. Сначала свертываем, например, по индексу i:

AikAk = А'Чк + A2kA,k + A3kA3k.

Вторым шагом свертываем по k каждый из трех получившихся членов:

AikAk = (A11 A + A12 A.2 + A13 AB) + (A21 ^ + A22 A22 + A23 A23) + (A31 A31 + A32 A32 + A33 A33).

Что полученное громоздкое выражение является инвариантом, ничуть не «очевидно». Но мы в этом уверены! Просто потому, что в результате двойной свертки все индексы пропадают. Следовательно, обязан получиться скаляр. Выполнение простых правил оперирования индексами избавляет от трудоемких доказательств. Разумеется, инвариантом комбинированного тензора Ak будет величина AkA'k

6. Антисимметричные тензоры

Ряд физических законов формулируется математически с использованием векторного произведения z = [xy]. Операция с тензорных позиций кажется странной, что-то не сходится даже по счету индексов. Перемножение векторов должно приводить либо к свертке по одинаковым индексам (к скаляру), либо - при разных индексах - к структуре 2-го ранга.

Впрочем, хорошо известно представление векторного произведения в декартовых координатах:

z = (X2y3 - x3y2, x3У x'y3, x'y2 - X2y1

И можно предложить тензорную операцию, дающую в точности такой результат:

^ = Xlkyk.

Структуру Xlk несложно подобрать, вот она:

В самом деле, получим, для примера, z1 :

z1 = X11 y1 + X12 y2 + X13 y3 = 0 - x3 y2 + x2 y3

- как и должно быть в соответствии с вышеуказанными формулами.

Итак, векторное произведение возможно получить обычной сверткой. Только на место первого сомножителя x1 надо подставить некоторый тензор Xlk, составленный из компонент вектора x1. Назовем его дуальным вектору x1.

В структуре Xlk (3.3) подмечается особенность: сумма двух компонент, таких, что у них переставлены местами индексы (например, X12 + X21), равна нулю. Соответственно, главная диагональ не может быть заполнена ничем иным, как нулями.

Такое свойство называется антисимметричностью.

Антисимметричные тензоры играют важную роль в физике! Значит, тензор, дуальный вектору, антисимметричен.

7. Применение тензоров

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории электродинамика, релятивистская механика и т. д.), также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твердое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела. Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся. Примеры в физике: *метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала. *выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории. *тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряженности электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения. *напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости. *едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д. *в механике абсолютно твердого тела важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твердое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию. В геофизике активно используются тензоры. Есть большое количество трудов, где они применяются. Например, «Электроразведка в археологии: выделение аномалий с использованием пространственных инвариантов тензора кажущегося сопротивления.» (Павлова А.М.) Или «Алгоритм расчета тензора сейсмического момента сильных землетрясений по региональным широкополосным сейсмограммам объемных волн» (Павлов В.М, Абубакиров И.Р.) и т.д.

Заключение

Тензоры - это математическое представление некоторого объекта (геометрического или физического), существующего в пространстве в виде таблицы величин-компонент тензора. Значения компонент зависят от принятой системы координат и изменяются(преобразуются) при переходе к другим координатам. Тензоры как бы объединяют в себя понятия скаляра, вектора и матрицы. Тензорный анализ- математическая теория, изучающая объекты специального рода-тензорные поля. Необходимость применения тензорного анализа возникает, когда для изучения того или иного физического явления (относительно которого имеется полная система непротиворечивых данных для создания абстрактных моделей в математических терминах) приходится привлекать метод координат. Координатный метод позволяет параметризовать модель при помощи конечного или бесконечного числа параметров (координат), к которым можно применять те или иные математические операции. Выводы, полученные в результате этих операций над параметрами, должны иметь объективный смысл и характеризовать свойства изучаемого явления, не зависимые от использованного нами способа параметризации, т.е., как говорят, эти выводы должны быть инвариантными относительно выбора системы координат. При изучении конкретных задач выбор системы координат не всегда безразличен. Часто благодаря удачному выбору координатной системы значительно упрощаются выкладки, соотношения приобретают простую форму, и это облегчает установление искомых свойств изучаемых объектов. Одна из главных задач тензорного анализа состоит в том, чтобы найти критерии, позволяющие выявить инвариантность тех или иных выражений, составленных при помощи параметров специальных систем координат.

 Список использованных источников

1. Вильчевская Е.Н. Тензорная алгебра и тензорный анализ: учеб. пособие /СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2017.

2. Горлач Б. А. Тензорная алгебра и тензорный анализ: Уч.пособие. Изд-во Лань, 2017.

3. Шаров Г.А. Векторное, матричное и тензорное исчисления. Справочник для технических университетов. Изд-во Интеллект, 2017

4. КиреевИ.В. Тензорный анализ и дифференциальная геометрия [Электронный ресурс]: учебное пособие/ [и др.].-- Электрон. текстовые данные.-- Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2017.

5. Дмитриенко Ю.И. Тензорный анализ. Том 1.Издательство: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

6. Мусин Ю. Р. Тензорный анализ. Вводный курс с приложениями к анализу и геометрии: учебное пособие для академического бакалавриата/ Издательство Юрайт, 2019.

Размещено на Allbest.ru