Моделирование процессов технической эксплуатации на основе вероятностно-статистического подхода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего образования

«Самарский национальный исследовательский университет

имени академика С. П. Королёва»

Самарский университет

Институт авиационной техники

Кафедра эксплуатации авиационной техники

Контрольная работа

по дисциплине: Моделирование процессов технической эксплуатации на основе вероятностно-статистического подхода

Вариант №13 (3)

Студент гр. 3190-250401Z

Т.В. Сальников

Преподаватель доц.

С.Н. Тиц

Самара 2020



ЗАДАНИЕ

Решить задачи по всем основным темам дисциплины. Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Статистические данные наработки до отказа элементов авиационной техники (в часах)

31	61	92	121	149	180	209	238	266	295
322	350	377	400	469	509	554	599	644	688
700	732	776	790	800	868	936	1003	1069	1136
1200	1302	1402	1501	1600	1748	1883	2000	2200	2400



РЕФЕРАТ

Контрольная работа

Пояснительная записка: 41 с, 10 рисунков, 15 таблиц, 4 источника

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ, ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК, ПРОГНОЗ ХАРАКТЕРИСТИК, ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ, СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ, ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС, РЕГРЕССИЯ

Объектом исследования является процесс технической эксплуатации.

Цель работы - овладение научными методами анализа, систематизация и обобщение теоретических знаний, приобретенных при изучении лекционного материала по дисциплине «Вероятностно-статистические модели эксплуатации ЛА»; приобретение навыков и умений применять теоретические знания к решению практических задач, возникающих при эксплуатации летательных аппаратов.

В работе были использованы основы теории вероятностей и математической статистики.

Эффективность работы заключается в правильном распределении работ по техническому обслуживанию и ремонту ЛА.

вероятностный статистический модель дискретный случайный



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Формирование вероятностно-статистической модели с использованием законов распределения случайных величин

2. Проверка соответствия выбранной модели экспериментальным данным с помощью критериев согласия

3. Проведение точечной и интервальной оценок характеристик случайных величин объектов эксплуатации

4. Прогнозирование случайных характеристик объектов по времени работы

5. Анализ дискретных моделей случайных характеристик объектов эксплуатации (биномиальный закон)

6. Анализ дискретных моделей случайных характеристик объектов эксплуатации (Пуассоновский закон)

7. Определение оперативных характеристик контроля

8. Формирование моделей статистического контроля по альтернативному признаку

9. Анализ моделей изменения параметров объектов

10. Формирование моделей полумарковских процессов эксплуатации объектов

11. Анализ регрессивных моделей характеристик процессов функционирования объектов

Заключение

Список использованных источников



ВВЕДЕНИЕ

Несмотря на строгую регламентацию процессов эксплуатации, на эти процессы влияет множество случайных факторов. Уже сами объекты эксплуатации - летательный аппарат, авиационные двигатели, функциональные системы и отдельные технические устройства в силу ряда причин со временем «изнашиваются», надежность их функционирования снижается. В силу этих обстоятельств математическая модель объекта эксплуатации для отображения реального устройства приобретает вероятностно-статистический характер.

В зависимости от физической сущности моделируемого объекта или процесса и характера этого процесса могут использоваться законы распределения непрерывных или дискретных случайных величин. Естественно, что при формировании вероятностно-статистических моделей широко используются законы распределения случайных величин и правила оперирования с ними, определяемые теорией вероятности и статистическими методами анализа.

Для формирования вероятностно-статистических моделей процессов эксплуатации наиболее подходящим инструментом являются Марковские и полумарковские случайные процессы. Для их описания используются системы дифференциальных и алгебраических уравнений.

Наглядное представление о характере взаимосвязи случайных параметров процессов эксплуатации дают функции регрессии.



1. Формирование вероятностно-статистической модели с использованием законов распределения случайных величин

Выполним приближенную оценку длины интервала по формуле:

где , - максимальное и минимальное значение выборки соответственно;

- количество элементов выборки.

Принимаем длину интервала и оформляем таблицу 1.1.

Таблица 1.1 - Группировка данных по интервалам наработки и расчёт плотности распределения и частости для каждого интервала

№
1	0	386,675		13	0,000840499	0,325
2	386,675	773,35		9	0,000581884	0,225
3	773,35	1160,025		8	0,00051723	0,2
4	1160,025	1546,7		4	0,000258615	0,1
5	1546,7	1933,375		3	0,000193961	0,075
6	1933,375	2320,05		2	0,000129307	0,05
7	2320,05	2706,725		1	0,000064654	0,025

Плотность распределения и частость рассчитываются по формулам (1.2) и (1.3) соответственно:

где - число попаданий случайной величины X в i-й интервал.

Построим гистограмму плотности распределения и гистограмму частостей, представленные на рисунках 1.1 и 1.2.

Рисунок 1.1 - Гистограмма плотности распределения

По виду гистограммы плотности распределения можно сделать предположение об экспоненциальном законе распределения.

Следующим шагом с помощью гистограммы частостей определим параметры выбранной в качестве модели эмпирической функции распределения - математическое ожидание m и дисперсию D (среднеквадратичное отклонение у).

Рисунок 1.2 - Гистограмма частостей

Математическое ожидание есть начальный момент первого порядка:

где k - число интервалов разбиения вариационного ряда;

- расстояние от середины i-го интервала до начала координат.

Тогда:

Дисперсия, характеризующая разброс случайной величины около математического ожидания, есть центральный момент второго порядка:

Среднеквадратичное отклонение:

Вычисляем:

Тогда среднеквадратичное отклонение .

Для завершения формирования вероятностно-статистической модели необходимо определить параметры теоретического закона распределения. Экспоненциальный закон распределения определяет параметр л:

Тогда

2 Проверка соответствия выбранной модели экспериментальным данным с помощью критериев согласия

При определении соответствия выбранной вероятностно-статистической модели экспериментальным данным наиболее распространенным является критерий Пирсона (критерий ч²):

где k - число интервалов разбиения экспериментальных данных при построении гистограммы;

- число значений случайной величины в i-м интервале;

N - общее число значений случайной величины;

- вероятность попадания случайной величины в i-й интервал в соответствии с теоретическим значением закона распределения выбранной модели.

Величина есть разность значений теоретической функции распределения у границ i-го интервала. Для экспоненциального распределения:

Рассчитаем значения для каждого интервала и оформим таблицу 2.1.

Таблица 2.1 - Расчёт критерия Пирсона

№
1	0	386,675		13	0,375365	-0,1341767
2	386,675	773,35		9	0,234466	-0,0403733
3	773,35	1160,025		8	0,146456	0,3656004
4	1160,025	1546,7		4	0,091481	0,0931192

Продолжение таблицы 2.1

№
5	1546,7	1933,375		3	0,057142	0,3125101
6	1933,375	2320,05		2	0,035693	0,4008295
7	2320,05	2706,725		1	0,022295	0,1213189

Тогда критерий Пирсона:

Для определения табличного значения критерия Пирсона зададимся уровнем доверительной вероятности г = 0,9 (уровень значимости б = 0,1) и рассчитаем число степеней свободы по формуле:

где K - количество интервалов разбиения исходного массива опытной информации;

l - число независимых условий связи, накладываемых на закон распределения, выбранный в качестве вероятностно-статистической модели (для экспоненциального закона l = 1).

Тогда r = 7 - 1 - 1 = 5. Следовательно, .

Так как , то выбранная вероятностно-статистическая модель соответствует экспериментальным данным.

3 Проведение точечной и интервальной оценок характеристик случайных величин объектов эксплуатации

Определим значение средней наработки до отказа по формуле:

где n - объем выборки (число наблюдаемых величин).

Тогда:

Определим значение выборочного среднеквадратичного отклонения по формуле:

где n - объем выборки (число наблюдаемых величин).

Тогда:

Так как случайные величины имеют экспоненциальное распределение, определим опытное значение из уравнения:

Тогда:

Доверительные границы найдем по формулам:

Тогда, при том же уровне доверительной вероятности г = 0,9:

4 Прогнозирование случайных характеристик объектов по времени работы

Из расчетов предыдущего задания: ч; ;

1/ч; 1/ч и 1/ч. Формула расчета вероятности безотказной работы:

где - интегральная функция распределения наработки до отказа:

Результаты расчета вероятности безотказной работы на интервале наработки от 0 до 2400 часов оформим в таблицу 4.1.



Таблица 4.1 - Расчёт вероятности безотказной работы

t	0	300	600	900	1200	1500	1800	2100	2400
F(t)	0	0,3059	0,5182	0,6656	0,7679	0,8389	0,8882	0,9224	0,9461
	1	0,7043	0,4960	0,3493	0,2460	0,1733	0,1220	0,0860	0,0605
	1	0,6941	0,4818	0,3344	0,2321	0,1611	0,1118	0,0776	0,0539
	1	0,6815	0,4645	0,3165	0,2157	0,1470	0,1002	0,0683	0,0465

На рисунке 4.1 представлен график изменения вероятности безотказной работы в зависимости от величины наработки, выраженной в часах.

Рисунок 4.1 - Вероятность безотказной работы

5 Анализ дискретных моделей случайных характеристик объектов эксплуатации (биномиальный закон)

Вероятность отказа изделия р = 0,15. Число изделий n = 10. Вероятность непоявления отказа q = 1 - p = 0,85.

Математическое ожидание:

M(k) = np (5.1)

Дисперсия:

D(k) = npq (5.2)

Коэффициент вариации числа отказавших изделий:

Тогда M(k) = 100,15 = 1,5; D(k) = 100,150,85 = 1,275; U(k) = 0,753.

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний искомое событие (отказ) не появится:

Тогда P = 0,197.

Вероятность того, что в каждом испытании проявится отказ (k = n):

Тогда P = .

Вероятность того, что хотя бы 1 изделие неисправно:

Тогда Р = 0,803.

Вероятность того, что ровно 1 изделие неисправно:

Тогда P = 0,347.

Вероятность того, что неисправно не более 1 изделия:

Тогда P = 0,544.

Вероятность того, что ровно 2 изделия неисправно:

Тогда: P = 0,275.

Вероятность того, что неисправно не более 2 изделий:

Тогда P = 0,819.

6 Анализ дискретных моделей случайных характеристик объектов эксплуатации (Пуассоновский закон)

Вероятность отказа изделия р = 0,007. Число изделий n = 100. Параметр распределения отказов л = 0,7.

Математическое ожидание:

M(k) = л = np (6.1)

Дисперсия:

D(k) = л = np (6.2)

Коэффициент вариации:

Тогда M(k) = D(k) = = 0,7; U(К) = 1,112.

Вероятность того, что в среднем из n испытаний не появится ни одного отказа:

Тогда = 0,496.

Вероятность того, что обнаружится хотя бы 1 отказавшее изделие:

Тогда P = 1 - 0,496 = 0,504.

Вероятность того, что обнаружится ровно 1 отказавшее изделие:

Тогда = 0,347.

Вероятность того, что обнаружится не более 1 отказавшего изделия:

Тогда = 0,694.

Вероятность того, что обнаружится ровно 2 отказавших изделия:

Тогда = 0,121.

Вероятность того, что обнаружится не более 2 отказавших изделий:

Тогда = 0,966.

7 Определение оперативных характеристик контроля

Исходные данные представлены в таблице 7.1

Таблица 7.1 - Исходные данные

Закон	Биномиальный	Пуассоновский
C	0	1	0	1
N	6	6	10	10
	0.01	0,01
	0,4	0,4	0,3	0,3

Биномиальный закон.

При q = 0 (все изделия в партии исправны) L(q) = 1, при q = 1 (все изделия в партии дефектны) L(q) = 0. (7.1)

Для q = () определяется величина 1 - б, где б - риск поставщика; в соответствии с биномиальным законом:

При C = = 0

Тогда .

При C = = 1 (7.2.2)

Тогда .

Для q = () для того же закона следует выражение для риска заказчика в:

При C = = 0

Тогда .

При C = = 1 (7.3.2)

Тогда .

Для промежуточной точки q = 0,1 (m = Nq):

При C = m = 0 (7.4.1)

Тогда .

При C = m = 1

Тогда .

Для промежуточной точки q = 0,2:

При C = m = 0 .

При C = m = 1 .

Для промежуточной точки q = 0,3:

При C = m = 0 .

При C = m = 1 .

Результаты вычислений оформим в таблицу 7.2 и построим график функции L(q), представленный на рисунке 7.1.

Таблица 7.2 - Значение вероятности приёма партии при использовании биноминального закона

q	0	0,01	0,1	0,2	0,3	0,4
L(q) при C=0	1	0,941	0,531	0,262	0,118	0,047
L(q) при C=1	1	0,998	0,886	0,655	0,42	0,233

Рисунок 7.1 - График функции L(q) при использовании биноминального закона

Пуассоновский закон.

При q = 0 (все изделия в партии исправны) L(q) = 1, при q = 1 (все изделия в партии дефектны) L(q) = 0. (7.5)

Для q = в соответствии с пуассоновским законом:

При C = = 0

Тогда .

При C = = 1 (7.6.2)

Тогда .

Для q = () для того же закона следует выражение для риска заказчика в:

При C = = 0

Тогда .

При C = = 1 (7.7.2)

Тогда .

Для промежуточной точки q = 0,01 (m = Nq):

При C = m = 0 .

При C = m = 1 .

Для промежуточной точки q = 0,1:

При C = m = 0 .

При C = m = 1 .

Для промежуточной точки q = 0,2:

При C = m = 0 .

При C = m = 1 .

Результаты вычислений оформим в таблицу 7.3 и построим график функции L(q), представленный на рисунке 7.2.

Таблица 7.3 - Значения вероятности приёма партии при использовании пуассоновского закона

q	0	0,001	0,01	0,1	0,2	0,3
L(q) при C=0	1	0,99	0,9048	0,3679	0,1353	0,0498
L(q) при C=1	1	0,9999	0,9953	0,7357	0,406	0,1991

Рисунок 7.2 - График функции L(q) при использовании пуассоновского закона

8 Формирование моделей статистического контроля по альтернативному признаку

Исходные данные представлены в таблице 8.1

Таблица 8.1 - Исходные данные

Закон	Биноминальный	Пуассоновский
q0	0,01	0,001
б	0,1	0,01
в	0,05	0,05

Биноминальный закон.

Определим объем выборки:

Тогда

Принимаем n = 10 и определяем браковочный уровень качества:

Тогда

Пуассоновский закон.

Определим объем выборки:

Тогда

Принимаем n = 10 и определяем браковочный уровень качества:

Тогда

9 Анализ моделей изменения параметров объектов (1 вариант)

В авиакомпанию поступил новый самолёт Ил-96-300 с двигателями ПС-90А. Средний удельный расход топлива в начале эксплуатации составил 0,58 кг/(кгсч). В дальнейшем расход стал изменяться. Наблюдаемые изменения расхода топлива представлены в таблице 9.1.

Таблица 9.1 - Изменение расхода топлива самолёта Ил-96-300

Начало эксплуатации	6 месяцев	1 год 6 месяцев	2 года	2 года 6 месяцев	3 года
0,58	0,595	0,6	0,615	0,62	0,635

Техническое состояние - совокупность подверженных изменению в процессе эксплуатации свойств объекта. В процессе эксплуатации техническое состояние объекта изменяется. Изменение параметров является случайным процессом з(t), протекающим под воздействием различных эксплуатационных факторов.

График изменения среднего удельного расхода топлива представлен на рисунке 9.1. Сформируем модель изменения этого параметра.

Так как имеются данные по параметру з(t), в частности для двух значений времени и , то может быть записано уравнение прямой в следующем виде:

Тогда:

График модели изменения параметра представлен на рисунке 9.1

Рисунок 9.1 - График изменения параметра и его модель

Вывод: линейная модель справедлива при постоянной скорости изменения параметра з(t), на имеющиеся данные лучше бы легла экспоненциальная модель, но из-за отсутствия статистических данных скорости изменения параметра была построена линейная модель.

10 Формирование моделей полумарковских процессов эксплуатации объектов

Исходные данные: = 0,03; ; = 0,1;

.

Замена по наработке.

Запишем уравнения для каждого технического состояния.

Для состояния И:

Для состояния Н:

Для состояния В:

Для состояния С:

Нормировочное условие:

Решение даёт:

Тогда:

В соответствии с (10.2) 0,03 - 0,0099 = 0. Тогда:

Правильность решения подтверждает нормировочное условие:

На рисунке 10.1 представлен граф состояний замены по наработке с вероятностью перехода между состояниями.

Рисунок 10.1 - Граф состояний замены по наработке

Замена при непрерывном контроле.

Запишем уравнения для каждого технического состояния.

Для состояния И:

Для состояния С:

Для состояния В:

Для состояния З:

Нормировочное условие:

Решение даёт:

;

;

Тогда:

Правильность решения подтверждает нормировочное условие:

На рисунке 10.2 представлен граф состояний замены при непрерывном контроле с вероятностью перехода между состояниями.

Рисунок 10.2 - Граф состояний замены при непрерывном контроле

11 Анализ регрессивных моделей характеристик процессов функционирования объектов (1 вариант)

В таблицах 11.1, 11.2, 11.3 и 11.4 приведены данные по взлётным массам m и величине тяги двигателей P для самолётов различных классов. Провести анализ зависимости P = f (m) , построить линию регрессии и подобрать функцию, отражающую эту зависимость.

Таблица 11.1 - Самолёты местных воздушных линий

Типы самолётов	Як-40	Ан-24	Ан-28	Ил-114
Взлётная масса, т	16,1	21,8	6,5	21,0
Взлётная тяга двигателей, кгс	3000	5100	1920	5000

Таблица 11.2 - Самолёты ближних магистральных воздушных линий

Типы самолётов	Ту-134	Як-42	МД-81
Взлётная масса, т	47	57	63,5
Взлётная тяга двигателей, кгс	13600	13000	17400

Таблица 11.3 - Средне магистральные пассажирские самолёты

Типы самолётов	Ту-154В	Ту-154М	Ту-204
Взлётная масса, т	98	100	93,5
Взлётная тяга двигателей, кгс	31500	33000	36000

Таблица 11.4 - Дальне магистральные пассажирские самолёты

Типы самолётов	Ил-62М	Ил-86	Ил-96-300
Взлётная масса, т	167	210	216
Взлётная тяга двигателей, кгс	44000	52000	64000

Вычисляем средние значения параметров самолёта по каждой группе:

Полученные результаты оформим в таблицу 11.5.

Таблица 11.5 - Средние значения параметров самолёта по группам

Группа	1	2	3	4
	16,35	55,83	97,17	197,67
	3755	14666,67	33500	53333,33

На рисунке 11.1 показаны точки, координатами которых являются средние значения параметров самолёта в разных группах.

Рисунок 11.1 - Графическое представление опытных данных

По расположению точек на рисунке 11.1 можно предположить, что функция P = f (m) является линейной. Общий вид линейной функции: y = a + + bx. Для построения линии регрессии будем использовать метод наименьших квадратов, так как линия регрессии, построенная этим методом, наилучшим образом отражает влияние всех опытных точек, характеризующих процесс.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что подбирается функция регрессии f (y) так, чтобы сумма квадратов отклонений от была бы минимальной, то есть:

Оформим подготовительные вычисления в таблицу 11.6.

Таблица 11.6 - Подготовительные вычисления по методу наименьших квадратов

i
1	16,1	3000	259,21	48300
2	21,8	5100	475,24	111180
3	6,5	1920	42,25	12480
4	21	5000	441	105000
5	47	13600	2209	639200
6	57	13000	3249	741000
7	63,5	17400	4032,25	1104900
8	98	31500	9604	3087000
9	100	33000	10000	3300000
10	93,5	36000	8742,25	3366000
11	167	44000	27889	7348000
12	210	52000	44100	10920000

Продолжение таблицы 11.6

i
13	216	64000	46656	13824000
Суммы
Средние значения

Значения величин a и b вычисляются по формулам:

Тогда:

Линия регрессии, построенная по методу наименьших квадратов, изображена на рисунке 11.2.

Рисунок 11.2 - Линия регрессии для P = f (m)



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведя анализ статистических данных, удалось составить достаточно точные модели изменения параметров эксплуатации летательных аппаратов, что может быть использовано при планировании работ по технической эксплуатации и ремонту летательных аппаратов.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Науменко, А. П. Вероятностно-статистические методы принятия решений: теория, примеры, задачи [Текст]: учебное пособие / А. П. Науменко, И. С. Кудрявцева, А. И. Одинец. - Омск: ОмГТУ, 2018.

2 Тиц, С. Н. Моделирование процессов технической эксплуатации на основе вероятностно-статистического подхода. Методические указания к практическим занятиям [Текст] / С. Н. Тиц. - Самара: Самарский университет, 2016.

3 Тиц, С. Н. Моделирование процессов технической эксплуатации на основе вероятностно-статистического подхода [Текст]: учебное пособие / С. Н. Тиц. - Самара: Самарский университет, 2016.

4 Ширяев, А. Н. Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений [Текст] / А. Н. Ширяев. - 2-е изд., новое. - М.: МЦНМО, 2014.

Размещено на Allbest.ru