Практика расчета вероятностей сложных событий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)»

ОТЧЁТ

Лабораторная работа по курсу теория вероятностей и математическая статистика

Практика расчета вероятностей сложных событий

Вариант 9

Преподаватель

Д.А.Пак

Томск 2020

Цель работы: Проведение расчетов вероятностей сложных событий с использованием формулы классического определения вероятности. Применение формулы полной вероятности и формулы Бейеса.

Обозначения.

- число сочетаний из N элементов по m.

Основные формулы.

1. При классическом определении вероятность события А определяется равенством

P= m/n

в котором m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, n - общее число возможных элементарных исходов испытания.

2. Формула полной вероятности. Вероятность P(A) события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н_2, …Н_n, образующих полную группу (P(H₁) + P(H₂) +…+ P(H_n) =1), равна

P(A) = P(H₁) P(A/H₁) + P(H₂) P(A/H₂) +…+ P(H_n) P(A/H_n)

В этой формуле P(A/H_i) - условные вероятности, т.е. вероятности появления события A при условии, что событие H_i совершилось.

3. Формула Бейеса. Событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н_2, …Н_n. Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть вычислены по формуле

P (H_i /A ) = P(H_i) P(A/H_i) / P(A)

Задача 1

Брошены 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна 12;

б) сумма выпавших очков равна 9, а разность 5;

в) сумма выпавших очков равна 5, если известно, что их разность равна 5;

г) сумма выпавших очков равна 2, а произведение 4.

Решение:

а) Случайный эксперимент - бросание двух игральных костей. Событие - число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит n = 6. Событию А = {выпало 12 очков} благоприятствует одно событие, m={6 и 6}-одно событие. n- число всевозможных событий 6*6=36, отсюда по формуле (1) вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 12 P = m/n = 1/36.

б) Событие А - сумма выпавших очков равна 9

Событие Б - разность выпавших очков равна 5.

m = {(3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3)} - ни одного способа, где их разность будет равна 5. n- число всевозможных событий 6*6=36. Тогда: P = m/n = 0/36 = 0.

в) Событие В. m = {(3, 2); (2, 3); (1, 4); (4, 1)}-ни одного способа, где их разность может быть равна 5. n- число всевозможных событий 6*6=36. Тогда: P = 0/n = 0/36 = 0.

г) Событие Г. m = {(1, 1)}- на одного способа, где их произведение может быть равно 4. n- число всевозможных событий 6*6=36. Тогда: P = 0/n = 0/36 = 0.

Задача 2

вероятность формула бейес задача

В ящике N=12 деталей, помеченных номерами 1, 2,...12. Наудачу отобраны m=9 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей есть детали

а) с номером k₁ = 5

б) с номерами k₁ =5 и k₂ =4.

Решение:

Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 9 из 12 деталей, т.е . Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных девяти деталей есть деталь с номером 5, следовательно, остальные 8 деталей имеют другие номера. Число таких исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 8 деталей из оставшихся 11, т. е .

а) Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

Р==165/220=0,75=3/4

б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных деталей, есть детали под номером 5 и 4, следовательно, 7 остальных деталей имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь 7 деталей из оставшихся 10, т.е .

Искомая вероятность Р==120/220=6/11

Ответ: а)3/4 б)6/11

Задача 3

В партии из N=18 деталей имеется n= 14 стандартных. Наудачу отобраны m=11 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k=9 стандартных.

Решение: Общее число элементарных исходов равно . Благоприятствующими являются исходы, когда из общего числа 14 стандартных взято 9,а остальные 2 детали взяты из 4 нестандартных деталей, следовательно число благоприятствующих исходов равно =2002*1=2002. Следовательно, по классическому определению вероятности, вероятность интересующего нас события Р(А)==2002*6/31824=12012/31824=0,377.

Ответ: вероятность того, что среди отобранных деталей 9 стандартных равно 0,377

Задача 4

На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено N=18 учебников, причем n=14 из них - в переплете. Студент наудачу берет 11 учебников. Найти вероятность того, что среди отобранных учебников 9 учебников окажутся в переплете.

Решение:

Общее число элементарных исходов равно . Благоприятствующими являются исходы, когда из общего числа 14 переплетенных учебников взято 9,а остальные 2 учебника взяты из 4 обычных, следовательно число благоприятствующих исходов равно =2002*1=2002. Следовательно, по классическому определению вероятности, вероятность того, что среди одиннадцати отобранных учебников девять окажутся в переплете Р(А)==2002*6/31824?0,377.

Ответ: вероятность того, что среди отобранных учебников 9 учебников окажутся в переплете 0,377

Задача 5

В каждой из 3-х урн содержится n=15 черных и m=13 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и перемещен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Решение: Задача решается с помощью формулы (2) для полной вероятности. Гипотеза H₁ - из 1-й во 2-ю урну переложен белый шар и из 2-й- в 3-ю то же белый, условно Б (12) Б(23), гипотеза H_2: Б (12) Ч(23) (из 2-й- в 3-ю переложен черный шар), гипотеза H_3: Ч (12) Б(23), гипотеза H_4: Ч (12) Ч(23)

A1 - вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар. A2 - вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар.

P(A1)=13/28;P(A2)=15/28B1 - вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну белый шар.B2 - вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну черный шар.P(B1)=14/29 P(B2)=13/29C1 - вероятность того, что из второй корзины будет извлечен белый шар. C2 - вероятность того, что из второй корзины будет извлечен черный шар.

P(C1)=P(A1)*P(B1)+P(A2)*P(B2)P(C1)=15/28*14/29+15/28*13/29=405/812P(C2)=1-P(C1)P(C2)=1-405/812=407/812D1 - вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в третью урну белый шар. D2 - вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в третью урну черный шар.P(D1)=14/29;P(D2)=13/29E - вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар.

P(E)=P(D1)*P(C1)+P(D2)*P(C2)

P(E)=14/29*405/812+13/29*407/812?0,46

Ответ: вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым 0,46

Задача 6

Две машинистки набирают один и тот же текст. Вероятность того, что первая машинистка допустит ошибку равна p₁=0,85, а вторая - p₂=0,9. При сверке текста была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.

Решение: для решения данной задачи используем формулу Бейеса

P (H_i /A ) = P(H_i) P(A/H_i) / P(A).

Обозначим через А событие - обнаружена ошибка в тексте. Можно сделать два предположения (гипотезы).

Н₁ - набивала текст машинистка №1

Н₂ - набивала текст машинистка №2. Поскольку имеется две гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице

Р(Н₁) = Р(Н₂) = Ѕ, то ( Р(Н₁) + Р(Н₂) = 1 )

Условная вероятность того, что первая машинистка допустила ошибку:

Р (А/Н₁) =0,85, а вторая - Р (А/Н₂) = 0,9.

Вероятность, что при наборе текста допущена ошибка, находим по формуле полной вероятности:

Р (А) =Р (Н₁) • Р (А /Н₁ + Р (Н₂ ) • Р (А /Н₂ ) = 1/2· 0,85+ 1/2 · 0,9 = 0,425+0,45=0,875.

Искомая вероятность того, что ошиблась первая машинистка, по формуле Бейеса равна:

P (H_i /A ) = P(H_i) P(A/H_i) / P(A).

Подставим в формулу (0,5*0,85)/0,875=0,425/0,875=17/35

Ответ: Вероятность того, что ошиблась первая машинистка равна 17/35.

Размещено на Allbest.ru