О приближенном решении дифференциального уравнения Ферхюльста второго порядка

Рассмотрение вопроса численного интегрирования дифференциального уравнения Ферхюльста второго порядка с заданными начальными условиями. Сравнение приближенных вычислений данных с точным решением уравнения при расчетах в программе MathCAD рядом Тейлора.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 30.09.2020
Размер файла 756,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

8

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФЕРХЮЛЬСТА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Михеев А.В.

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия

Аннотация

В данной работе рассматривается вопрос численного интегрирования дифференциального уравнения Ферхюльста второго порядка с заданными начальными условиями. Для этой цели используется два вида приближенных вычислений: расчёты в программе MathCAD (функция Odesolve) и представление решения в виде ряда Тейлора в окрестности точки, соответствующей начальным условиям. На основе рассматриваемого тестового примера проводится сравнение приближенных данных с точным решением уравнения. Полученные результаты представлены в аналитической и графической формах.

Ключевые слова: модель Ферхюльста, дифференциальные уравнения, динамические системы, численное моделирование.

ABOUT APPROXIMATE SOLUTION OF THE SECOND ORDER FERHULST EQUATION

Research article

Mikheev A.V.*

St. Petersburg State Electrotechnical University “LETI,” St. Petersburg, Russia

Abstract

In this paper, the author considers the issue of numerical integration of the second-order Verhulst differential equation with given initial conditions. Two types of approximate calculations are used for this purpose: calculations in the MathCAD program (Odesolve function) and representing the solution as a Taylor series in a neighborhood of a point corresponding to the initial conditions. Based on the test case in question, approximate data are compared with the exact solution to the equation. The results are presented in analytical and graphical forms.

Keywords: Verhulst model, differential equations, dynamical systems, numerical simulation.

Введение

Функция Ферхюльста была впервые предложена в работе [1] в качестве модели, описывающей процесс ограниченного экспоненциального роста. Данная модель находит широкое применение во множестве областей, таких как прикладная математика, биология, социология и т.д. Её общее представление имеет вид

(1)

В работе [2] были рассмотрены функции Ферхюльста вида

(2)

удовлетворяющие начальным условиям и ограниченные сверху горизонтальной асимптотой . Функции являются элементами фундаментальной системы решений (ФСР) линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) второго порядка с переменными коэффициентами:

(3)

При этом коэффициенты выражаются через функции ФСР согласно формулам:

(4)

где

(5)

В работе [3] автором была исследована зависимость частных решений уравнения (3) от вида начальных условий. Были обнаружены три вида решений: функции с двумя экстремумами, с одним экстремумом, а также монотонные функции.

Цель данной работы - рассмотреть два способа приближенного решения уравнения (3): при помощи разложения в степенной ряд по формуле Тейлора ([4]) и посредством функции Odesolve программного пакета MathCAD ([5]), а также сравнить полученные результаты с точным решением, представленным в виде линейной комбинации функций ФСР вида (2).

Численное интегрирование ЛДУ с помощью ряда Тейлора

Пусть имеется ЛДУ вида (3) с начальными условиями:

(6)

Тогда его частное решение, соответствующее начальным условиям (6), может быть представлено в виде степенного ряда:

(7)

где

(8)

В дальнейших вычислениях мы ограничимся нахождением коэффициентов ряда (7) до третьей степени включительно. Из уравнения (3) и начальных условий (6) имеем:

(9)

Из (4), (8), (9) мы получаем выражения для коэффициентов ряда (7) через параметры :

(10)

Численное интегрирование ЛДУ в MathCAD

Для приближенного решения ЛДУ в Mathcad предусмотрена функция Odesolve(t,p), t:=0,s..p где t - переменная, по которой производится интегрирование; p - верхняя граница, до которой проводится расчёт приближенного решения; s - шаг (расстояние между соседними точками, в которых находится значение решения). Начальные условия и само дифференциальное уравнение должны быть определены в блоке Given. На рисунке 1 приводится программный фрагмент, соответствующий решению уравнения (3) со следующими значениями:

(11)

Рис. 1 - Приближенное решение уравнения Ферхюльста в пакете MathCAD

Сравнительный анализ

На рисунке 2 представлены графики точного решения (Z(t)) ЛДУ (3) со значениями параметров (11) и двух видов его приближенного решения: полученного интегрированием в MathCAD (Y(t)) и разложением в ряд Тейлора до третьей степени (U(t)). Как видно из графиков, между точным решением и приближенным решением в программе MathCAD не имеется значимых расхождений. Что касается ряда Тейлора, как и следовало ожидать, при возрастании параметра t мы наблюдаем существенное увеличение абсолютной погрешности AU(t) приближенного решения. Её зависимость от параметра t приводится на рисунке 3.

Рис. 2 - Графики точного и приближенного решений уравнения Ферхюльста

Рис. 3 - Графики абсолютной погрешности приближенных решений уравнения Ферхюльста по отношению к точному решению

Заключение

Полученные результаты показывают, что приближенное решение в MathCAD для рассматриваемого типа уравнений является наиболее оптимальным с практической точки зрения. Недостатком данного способа решения является то обстоятельство, что пакет символьных вычислений MathCAD не позволяет получить требуемое решение в аналитической форме. Что касается использования разложения Тейлора, оно предоставляет требуемую точность лишь в малой окрестности точки начальных условий. Увеличение количества слагаемых, предоставляя лучшее приближение, позволяет повысить точность вычислений, однако из-за увеличения громоздкости выражения в (10) с ростом числа слагаемых затрудняется получение общего аналитического выражения коэффициентов через параметры, участвующие в исходной задаче.

интегрирование дифференциальное уравнение приближенное вычисление

Список литературы / References

1.Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement / P. F. Verhulst // Corresp. MathetPhys. - 1838. - №10. - P. 113-121.

2.Михеев А. В. О динамических моделях типа Ферхюльста, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка / А. В. Михеев // Теория. Практика. Инновации. - 2017. - № 9 (21). - С. 29-33.

3.Михеев А. В. Исследование зависимости частных решений уравнения Ферхюльста второго порядка от начальных условий / А. В. Михеев // Теория. Практика. Инновации. - 2018. - № 8 (32). - С. 12-18.

4.Данилина Н. И. Вычислительная математика / Н. И. Данилина // - М. : Высшая школа, 1985. - 472 с.

5.Щенникова Е. В., Пучкова Е. Н. Вычислительный практикум в среде MathCAD / Е. В. Щенникова, Е. Н. Пучкова // - Саранск : ФГБОУ ВО “Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева”, 2010.

Список литературы на английском языке / References in English

1.Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement / P. F. Verhulst // Corresp. MathetPhys. - 1838. - №10. - 113-121.

2.Mikheev A. V. O dinamicheskih modelyah tipa Ferhyul'sta, opisyvaemyh linejnymi differencial'nymi uravneniyami vtorogo poryadka [On dynamic models of the verhulst type described by the second order linear differential equations] / A. V. Mikheev // Theory. Practice. Innovations. - 2017. - № 9 (21). - P. 29-33. [inRussian]

3.Mikheev A. V. Issledovanie zavisimosti chastnyh reshenij uravneniya Ferhyul'sta vtorogo poryadka ot nachal'nyh uslovij [The dependence of particular solutions of the second order verhulst equation from the initial conditions] / A. V. Mikheev // Theory. Practice. Innovations. - 2018. - № 8 (32). - 12-18. [inRussian]

4.Danilina N. I. Vychislitel'naya matematika [Computational mathematics] / N. I. Danilina, N. S. Dubrovskaya // - Moscow : High school, 1985. - 472 p. [in Russian]

5.Shennikova E. V. Vychislitel'nyj praktikum v srede MathCAD [Computing workshop in MathCAD environment] / E. V. Shennikova, E. N. Puchkova // - Saransk : FGBOU VPO “National Research Mordovian State University named after M.V. Lomonosov N. P. Ogarev”, 2010. [inRussian]

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.

    курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011

  • Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.

    контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009

  • Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.

    презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013

  • Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.

    презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013

  • Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.

    курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010

  • Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013

  • Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.

    контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012

  • Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.

    реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013

  • Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

    лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012

  • Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.

    контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.