Математическая модель задачи об изгибе упругоползучих двухслойных балочных плит на упругоползучем неоднородном основании

Размещено на http://www.allbest.ru/

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ УПРУГОПОЛЗУЧИХ ДВУХСЛОЙНЫХ БАЛОЧНЫХ ПЛИТ НА УПРУГОПОЛЗУЧЕМ НЕОДНОРОДНОМ ОСНОВАНИИ

Уралов Б.К. - к.т.н., доцент

г. Шымкент

Summary

Simultaneous account of creeping plate material or heterogeneous of ground base of an aggregate leads to the redistribution of stress. However, by increasing aggregate of the stiffness moment of flexion of a top plate increases and in the low plat it decreases. In this case, by means of physical and geometric properties of an aggregate it regulates the distribution of stress in plates.

Основная часть

Рассмотрим бесконечную упругоползучую двухслойную плиту (рисунок 1) постоянной ширины, лежащую на упругоползучем неоднородном основании, модуль упругости и мера ползучести которого изменяются по (1.1).

. (1.1)

Рисунок 1 Схема расчета плиты, лежащей на упругоползучем неоднородном основании

упругоползучий плита двухслойный упругость

Будем предполагать, что заданная нагрузка распределена равномерно по любой линии вдоль плиты и по произвольному закону поперек плиты. При таких условиях расчет плиты сводится к расчету балки - полоски длиной , шириной, равной единице (рисунок 2).

Рисунок 2 Схема расчета плиты при равномерно распределенной нагрузке по произвольному закону поперек плиты

Предположим, что свойство ползучести материала плиты и основания могут быть описаны теорией упругоползучего тела Г.Н.Маслова -Н.Х.Арутюняна [1], и что коэффициент упругой поперечной деформации постоянен во времени, т.е.:

Модули упругости плиты и основания считаем функцией времени. При этих предположениях между деформациями и напряжениями имеет место соотношение:

, (1.2)

где - интегральный оператор вида:

(1.3)

-тензор деформаций; -время приложения нагрузки; - тензор напряжений:

;

- соответственно модуль деформации и коэффициент Пуассона материала плиты.

- ядро последействия по Н.Х.Арутюняну:

, (1.4)

где - полная относительная деформация от единичного напряжения; - мера ползучести; - единичный тензор.

Решая уравнение (1.2) при (1.3), (1.4) относительно тензора напряжений, будем иметь:

^, (1.5)

где - интегральный оператор вида:

,(1.6)

- резольвента ядра .

Известно, что между интегральными операторами и имеется следующая связь:

. (1.7)

Уравнение изгиба плит выводится также, как и в теории упругости, заменой закона Гука зависимостью (1.5) при (1.6), (1.7). После выполнения всех выкладок для двухслойных балочных плит получим:

, . (1.8)

*) Здесь и всюду в дальнейшем знак звездочки у напряжений, деформаций и перемещений указывает, что имеются в виду напряжения, деформация и перемещения, отыскиваемые с учетом ползучести;

- прогиб плиты; - соответственно интенсивность нормальной реакции основания и внешней распределенной нагрузки; - цилиндрическая жесткость - ой плиты, ; -безразмерная координата, равная отношению абсолютной координаты к полудлине балки; -толщина плиты.

Из (1.8) видно, что слоистость плит влияет на значение жесткостной характеристики плит.

Решение рассматриваемой задачи сводится к установлению закона распределения реактивных давлений на основе решений систем трех уравнений.

Первое из них представляет собой интегро - дифференциальное уравнение изгиба плиты (1.8).

Второе уравнение выражает осадки неоднородного основания, которое с учетом ползучести, согласно, имеет вид:

, (1.9)

где . (1.10)

- соответственно модуль упругости и мера ползучести материала основания:

, (1.11)

где - коэффициент Пуассона материала основания; - гамма-функция.

Третье уравнение - это условие контакта поверхности плиты с основанием, которое выражается тождеством:

. (1.12)

Кроме вышеприведенных уравнений (1.8) - (1.12), должны выполняться условия равновесия плиты и граничные условия рассматриваемой задачи.

Искомую функцию удовлетворяющую приведенным выше уравнениям, следуя ищем в виде ряда из полиномов Гегенбауэра с переменными во времени коэффициентами, т.е.:

. (1.13)

Здесь - полином Гегенбауэра.

Выражение (1.22) подставим в уравнения равновесия:

(1.14)

где и - соответственно равнодействующие внешних сил и их момент относительно середины балки-полосы. Учитывая ортогональность полиномов Гегенбауэра по весу и имея в виду равенство из (1.23) находим:

. (1.15)

Как известно два первых члена ряда (1.15) соответствуют распределению реакции по подошве абсолютно жесткой плиты. Из равенства (1.15) видно, что в данном случае ползучесть материалов балок (балочных плит) и основания не влияет на распределение реактивных давлений.

Подставляя (1.14) в уравнение (1.8) и имея в виду (1.7), после четырехкратного интегрирования по для общего случая загружения балочных плит, будем иметь:

, (1.16)

где функции является частными интегралами уравнений:

. (1.17)

На основании результатов исследования Т.Ш.Ширинкулова, из (1.9) после подстановки в него значения реактивного давления согласно (1.11), для осадки неоднородного основания получим:

, (1.18)

где . (1.19)

Таким образом, для общего случая при помощи выражений (1.16) - (1.19) можно определить прогиб плиты и осадку основания.

Останавливаясь на полиноме той или иной степени, в зависимости от желаемой точности и используя тождество (1.15), для определения неизвестных коэффициентов получаем необходимое число интегральных уравнений Вольтера второго рода.

Список литературы

1 Герсеванов Н.М. Собрание сочинений. М.: Стройвоенмориздат, 1948. Том 1,2. 644 с.

2 Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1984. 679 с.

3 Дасибеков А.Д., Ширинкулов Т.Ш., Уралов Б.К., Абдыхаимов М.А. Расчет упругоползучих круглых плит, расположенных на упругоползучем неоднородном основании //Наука и образование Южного Казахстана. 2009. №4 (77). С. 94-98.

Размещено на Allbest.ru