Таблица иллюстрирует, что для решения задач идентификации необходимо совместно использовать и фазовое, и параметрическое пространства. Однако даже в случае размерности модели, равной двум, подобное совмещённое пространство имеет размерность не менее трёх, что приводит к сложности ее трактовки. Один из подходов к представлению многомерной информации в пространство малой размерности связан с использованием фрактальных закономерностей ИСПЭ [14]. Эти закономерности основаны на известном из литературы факте, что в нелинейных динамических системах возникают множества с приближённой масштабной инвариантностью [15].

В настоящее время в литературе известно использование фрактальной геометрии для изучения динамики нелинейных систем [16,17], идентификации в системе детерминированного и недетерминированного хаоса [9, 18-22], квазипериодических движений [23]. В частности, было предложено построение специальных 2 - D пространств, дополнительным информационным свойством которых является однозначное соответствие между 2 - D фазовым и 2 - D параметрическим векторами, характеризующими устойчивое состояние ИСПЭ [24].

С этой целью сформируем (P,X)-сечение пространства идентификации динамики (P,X,m,t). Математическую модель системы представим в форме отображения сдвига [4] и рассмотрим характерный для динамики ИСПЭ сценарий удвоения периода 1-2-4-... Перенесем построение бифуркационной диаграммы сценария из (pi,(X))- пространства (рисунок 2a) в фазовое пространство X (рисунок 2б). Аналогичные построения для семейства бифуркационных диаграмм формируют фрактальный ряд (рисунок 3a) - последовательность подобных структур с незначительными размерными модификациями (рисунок 3б). Направлению параметрической p1-оси сопоставим направление явно выраженной оси типа движения m=1, а направлению p2-оси сопоставим направление смещения фрактального ряда. Таким образом, каждая точка полученной фрактальной диаграммы соответствует устойчивой точке отображения с координатами (x1, x2) для параметров (p1, p2), что и является ее дополнительным информационным свойством по сравнению с 2 - D параметрической диаграммой на рисунке 3в. Предварительная информация, представленная в данных специальных 2 - D пространствах, используется для реализации алгоритмов идентификации и прогнозирования динамики ИСПЭ в режиме реального времени [24].

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Пример использования MatLAB при формировании предварительной информации динамики ИСПЭ

Для исследования динамики ИСПЭ выбрана среда MatLAB, обладающая рядом неоспоримых преимуществ [25], например:

- высокая скорость предварительной (оценочной) разработки модели, в особенности интерактивных графических и интерфейсных фрагментов кода посредством встроенных специализированных функций;

- совместимость MatLAB с С, C++ приложениями и возможность их преобразования в выполняемые MatLAB - файлы;

- возможность использования специализированных пакетов (Toolbox) в составе MatLAB.

Рассмотрим пример решения в данной среде задачи идентификации типа движения, которое является одной из основных задач при формировании предварительной информации о динамике. Для её реализации будем использовать Фурье анализ (спектральный анализ), основная задача которого - выявление гармонического спектра этих сигналов, т.е. определение частот гармонических составляющих сигнала (выявление частотного спектра), амплитуд этих гармонических составляющих (амплитудного спектра) и их начальных фаз (фазового спектра).

В основе спектрального анализа лежит теория Фурье о возможности разложения

любого периодического процесса с периодом T(в данном случае Т0) в бесконечную, но счётную сумму отдельных гармонических составляющих. При численных расчетах приходится иметь дело только с процессами ограниченной длительности, причем сам процесс в заданном диапазоне времени должен быть задан своими значениями в ограниченном числе точек, поэтому используется суммирование:

.

Процедура fft в среде MatLab находит дискретное Фурье-изображение заданного дискретного во времени процесса x(t), поделенное на дискрет времени:

.

Из этого следует, что комплексный спектр разложения стационарного процесса равен поделенному на число измерений результату применения процедуры fft к заданному вектору измеренного процесса. Чтобы применить процедуру fft как преобразование процесса, представленного во временной области в, в его представление в частотной области, необходимо сделать следующее:

- по заданному значению дискрета времени Ts рассчитать величину Fmax диапазона частот (в герцах) по формуле:

- по заданной длительности процесса T рассчитать дискрет частоты df по формуле:

- по вычисленным данным сформировать вектор значений частот, в которых будет вычислено Фурье-изображение:

- применить процедуру fft;

- к результатам применения процедуры fft применить процедуру fftshift, которая переставляет местами первую и вторую половины полученного вектора;

- перестроить вектор частот по алгоритму:

Примеры, иллюстрирующие результаты идентификации m=1 и m=2 типов движения, представлены на рисунке 4.

На рисунке 4а проиллюстрирован случай идентификации m=1 типа движения. Предполагалось, что решение для каждой из гармоник получается в форме , где , , k-число периодов. В результате работы программы получена частота одной доминирующей гармоники щ=0, которая, соответственно, трактуется как . Это означает, что анализируемый сигнал является постоянным, а т.к. выборка осуществлялась с периодом, равным частоте модуляции, то полученный результат соответствует типу движения, частота которого равна частоте модуляции, т.е. m=1 типу движения. На рисунке 4б проиллюстрирован случай идентификации m=2 типа движения, когда возникает вторая доминирующая гармоника с кратностью, равной 2, относительно частоты модуляции.

Литература

1. A.L. Aroudi, R. Leyva. Quasi-periodic route to chaos in a PWM voltage-controlled dc-dc boost converter. IEEE Trans. on Circuits and Systems. Vol. 48, No. 8, 2001, pp. 967-978.

2. H.H.C. Iu, C.K. Tse. Bifurcation behavior in parallel-connected buck converters. IEEE Trans. on Circuits and Systems. Vol. 48, No.2, 2001, pp. 233-240.

3. Yu.V. Kolokolov, S.L. Koschinskii. On bifurcations of stationary motions in the pulse systems of automatic control. Automation and Remote Control. Vol. 61, No. 5, Part 2, pp. 883-887, 2000.

4. Yu.Kolokolov. S.Koschinsky. The regularities of the development of the nonlinear dynamics of the control systems with pulse-width modulation. Proceedings of the “International Conference on Neural Networks and Artificial Intelligence (ICNNAI'99)”, Brest, Belarus October 1999, pp. 85-92.

5. Yu. Kolokolov. S.Koschinsky. K.Adjallah. The mathematical problems of forecasting adequacy of emergency situations in the dynamics of the pulse energy conversion systems when using bifurcation approach. Proceeding of the “Second International Conf. on Mathematical methods in Reliability (MMR'2000)”, Bordeaux, France 4-7July 2000, pp.603-606.

6. Yu.Kolokolov. S.Koschinsky. K.Adjallah. Bifurcation approach to condition monitoring: application to pulse energy conversion systems, OPSEARCH 39(1) (2002). pp 1-13.

7. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 320 с.

8. Milan Medved. Fundamentals of Dynamical Systems and Bifurcation Theory. Adam Hilder. Bristol, Philadelphia and New York. 1992. 293p.

9. Applications in Science and Engineering. An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. Spec. iss.: Decidability and Predictability in the Theory of Dynamical Systems. Chaos Solitons and Fractals. V.5, No.2. Febr. 1995.

10. Клейман Е.Г., Мочалов И.А. Идентификация нестационарных объектов. Автоматика и телемеханика. 1994. №2 С. 2-22.

11. Чернецкий В.И. математическое моделирование динамических систем. Петрозаводский государственный университет. Петрозаводск. 1996. 432 с.

12. Клейман Е.Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах. // Автоматика и телемеханика. 1996. №12. C. 3-15

13. Kolokolov Yu., Monovskaya A., Adjalah K. An identification of pulse system dynamics on the basis of fractal regularities use. 2003 Int. Conf. “Physics and Control” Proc. A.L.Fradkov & A.N. Chyrilov (Eds). Aug. 20-23, 2003, St. Petersburg, Russia, Vol. 4, pp. 1184-1188.

14. Kolokolov Yu., Monovskaya A. Fractal regularities of sub-harmonic motions perspective for pulse dynamics monitoring. “Chaos, Solitons and Fractals ”, V. 23 (1), pp. 231-241.

15. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.

16. Коханенко И.К. Фракталы в оценке эволюции сложных систем. Автоматика и телемеханика. 2002 №8

17. Чуличков А.И. Математичсекие модели нелинейной динамики. М.: Физматлит., 2003, 296 с.

18. J. Feder. Fractals. Plenum Press. New York and London. 1988.

19. R.M. Crownover. Introduction to Fractals and Chaos. Jones and Bartlett Publishers. Boston. London

20. Хасанов М.М. Фрактальные характеристики динамики объектов управления. // Автоматика и телемеханика. 1994 №2. с. 59-67

21. R. Esteller, G. Vachtsevanos, J. Echauz, B. Litt. A Comparison of Waveform Fractal Dimention Algorithm. // IEEE Trans. on Circuits and Systems. V.48. No.2. 2001 c.177-183

22. Ionita S. A chaos theory perspective on system's failure. Information Sciences. 127. 2000. Р. 193-215.

23. Glazier J.A., A. Libchaber. Quasi-Periodicity and Dynamical Systems: An Experimentalist's View. // IEEE Trans. on Circuits and Systems. Vol. 35/ No.7. 1988. pр.790-809.

24. Kolokolov Yu., Monovskaya A., Adjalah K. Principles of intelligent algorithm forming for degradation monitoring and forecasting in PECS. 3nd Int. Conf. on Intelligent Maintenans Systems, 15-16 July, 2004, Arles, France, CD-ROM, ISBN: 2-9522453-0-4.

25. Козел А.О. Выбор MatLAB 6.x для визуализации динамики импульсных систем преобразования энергии. // Методы прикладной математики и компьютерной обработки данных в технике, экономике и экологии: Материалы Всероссийской научной конференции 17 ноября 2004 г. - Орёл, ОрёлГТУ. С. 86-89

Размещено на Allbest.ru