Процедуры идентификации сетевых структур, основанные на коэффициентах корреляции Кендалла и Спирмена

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нижний Новгород 2020 год

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет информатики, математики и компьютерных наук

Направление подготовки 01.04.02 Прикладная математика и информатика Магистерская программа «Интеллектуальный анализ данных»

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Процедуры идентификации сетевых структур, основанные на коэффициентах корреляции Кендалла и Спирмена

Клыков Вячеслав Алексеевич

Рецензент

д-р технических наук, проф.

В.А. Калягин

Научный руководитель:

д-р технических наук, проф.

А.П. Колданов



Оглавление

Введение

Корреляции

Корреляция Пирсона

Корреляции Фехнера, Краскала

Корреляция Кендэла

Корреляция Спирмена

Формулы Связи корреляций при предположении о законе распределения

Сравнения корреляций

Выводы

Список используемой литературы

Приложения

рынок фондовый корреляция спирмен



Введение

Фондовый рынок - площадка для покупки и продажи ценных бумаг различной стоимости и ценности. Возможности заработка на этой торговой площадке определяется по большей части понимаем и предвидением поведения активов. Знание природы взаимосвязи между акциями является ключевым фактором для заработка, потому что таким образом можно определить неочевидные закономерности рынка. Как и в любой другой сфере преимущество в информации вполне может стать решающим.

Одним из вопросов, являющимся в некотором роде классическим - является поиск связей между активами. Определить связные друг с другом прямой и обратной связью активы - значит понять природу изменений рынка. Для поиска и определения таких связей существуют сетевые модели.

Сетевая модель - это полный взвешенный граф, вершины которого соответствуют определенным активам, а веса ребер задаются в зависимости от связи между активами. В данной работе мы будем рассматривать доходности активов, подразумевая что они (доходности) являются случайными величинами. Именно доходности мы будем рассматривать как характеристику активов. Именно такой подход был предложен Марковицем (Markowitz, 1952).

Сетевая модель определяется правилами построения ребер между вершинами графа. Эти правила, говоря простым языком, могут быть охарактеризованы «Как связаны между собой две случайные величины». Если мы получаем высокий показатель связи из каких- либо соображений, то есть показатель превышающий определенную величину, то между вершинами проводится ребро.

Граф рынка строится следующим образом: ?_ij - мера зависимости между величинами i и j. Ребро между вершинами i и j входит в граф рынка, если , ?_ij > , ?₀ где ?₀ - некоторый заданный порог. Граф рынка иллюстрирует значимые на уровне ?_o связи рыночных активов. Для конкретного значения порога ?₀ граф рынка определяется матрицей смежности S = (s_ij), где

В целях исследования как правило интересны не только общая структура графов но и отдельные структуры, например клики, независимые множества.

Независимые множества в сетевой модели крайне интересны с точки зрения составления инвестиционного портфеля, поскольку именно независимость активов друг от друга крайне интересна для этой цели.

Клики же дают понимание какие компании имеют схожую манеру поведения и одинокого реагируют на стрессы. Так же клики могут дать неплохое понимание о структуре самого рынка, например в работе (Визгунов и др., 2012) в ходе анализа сетевой структуры графа рынка для российских активов была найдена максимальная по размеру клика, она состояла из нескольких компаний, однако на эти активы приходилось 97% активов рынка.

В большинстве работ(публикаций и статей которые я смог найти и просмотреть) мерой связи между величинами выбирают корреляцию Пирсона такие как (2013 Визгунов ,Трифонов) или (2012 Визгунов, Гольденгорин, Калягин, Колданов, Колданов, Пардалос) - они же первые по поисковой системе по запросу «Граф рынка»

Однако кроме этой меры есть чуть менее распространенные корреляции Спирмана, Фехнера и Кендэла.

Довольно простой вопрос возникает - какая мера связи лучше, нагляднее, точнее, описывает связь между активами фондового рынка, именно этот вопрос ложится в основу моей работы. Стоит заметить, что сравнить меры задача довольно абстрактная, поскольку понятие «лучшая» формируется исходя из поставленной задачи.

В работе материал будет изложен в следующем порядке:

Сначала мы рассмотрим все виды корреляций и, далее из предположения что распределение нормальное мы посмотрим, как связаны рассматриваемые меры корреляций, далее мы рассмотрим связи корреляций из предположения, что распределение эллиптическое, после чего мы постараемся проанализировать связь между корреляциями.



Корреляции.

Корреляция Пирсона.

Самая распространенная мера связи между случайными величинами - это корреляция Пирсона, разработанная Карлом Пирсоном в конце 19го века.

(В дальнейшем будем предполагать, что случайные величины X и Y описывают доходности, либо логарифмические доходности активов)

Для дискретных величин X и Y он выражается как

В нашем случае мы будем пользоваться оценками и вычислять мы её будем по следующей формуле:

Где

Его значения изменяются от -1 до 1. В целом этот коэффициент дает какое-то понимание о связи между случайными величинами, многие работы (такие как…) используют именно этот коэффициент для построения графа рынка. Но есть и проблема, довольно простая, но едва ли разрешимая, доподлинно связь величин мы можем установить только при двух значения, (1 и -1, соответствующим прямой и обратной линейной зависимости) во всех остальных случаях коэффициент может лишь отвергнуть гипотезу о линейной зависимости величин. В общем случае не возможно однозначно сказать, что означает связь между коэффициент корреляции Пирсона равный например 0.67, ровно как связь между величинами может оказаться не пропорциональна коэффициенту корреляции и, например, две величины связанные нетривиальной функциональной зависимостью могут иметь меньший коэффициент чем две несвязные величины.

Корреляция Фехнера и Краскала (корреляция знаков)

Эта мера связи случайных величин основывается на вероятности отклонения значений наблюдаемых случайных величин от их математических ожиданий

Мы же будем вычислять линейно связанную с ней величину как

Где:

Если мы обозначим как С - число пар у которых знак отклонения совпадает в паре измерений а Н - число пар у которых знак отклонения не совпадает, то коэффициент корреляции Фехнера будет выражаться как

2(с_f)-1

Несложно понять что изменяется эта величина от -1 до 1.

Эта величина более понятна, в том ключе, когда нужно ответить на вопрос «Что означает значение этого коэффициента 0.67»(или любое другой константе). По сути эта величина показывает нам вероятность совпадения знаков, случайных величин X и Y.

Но в данном случае не учитывается величина этого отклонения, что делает результаты сравнения таким образом не слишком репрезентативными.

Далее мы рассмотрим ранговые коэффициенты корреляции. Принципиален здесь тот факт, что далее корреляция будет использовать упорядочивание пар измерений а не работать с их фактическими величинами.

И не уходя далеко от корреляции Фехнера, введем ещё корреляцию Краскала. По сути эти две корреляции очень схожи

Только в данном случае упорядочивания одной из величин и присваивания рангов.

С - количество пар в которых ранг величины X выше ранга величины ранга Y.

Н - Количество пар в которых ранг величины Y выше ранга величины ранга X

В таком случае интерпретация становится следующей.



Корреляция Кендэла.

Основную формулу позаимствуем вместе с обозначениями из статьи (Кендэла 1958г)

Для любых двух независимых пар измерений

Для расчета корреляции Кендэла упорядочим пары случайных величин по возрастанию величины Х.

Тогда значение корреляции(с_k) мы будем вычислить как:

Где

S = P-Q

S - Сумма числа наблюдений которые в упорядочивании после данного значения ранга Y будет больше значения ранга X

Q - Сумма числа наблюдений которые в упорядочивании после данного значения ранга X будет больше значения ранга Y

n - Число наблюдений.

Значения корреляции изменяются от -1 до +1

Разберем пример построения такой корреляции.

Возьмем две случайные величины X и Y, которые принимали следующие значения:

X	Y
2	10
12	22
4	34
5	1
4	2
3	3

Присвоим им ранги, то есть их номера по возрастанию и упорядочим все пары по возрастанию X

X	Y	ранг X	ранг Y
2	10	1	4
3	3	2	3
4	34	3	6
5	1	4	1
6	2	5	2
12	22	6	5

А теперь для каждого ранга Y посчитаем количество рангов ниже по списку превосходящих и не превосходящих

X	Y	ранг X	ранг Y	Больше(P)	Меньше(Q)
2	10	1	4	2	3
3	3	2	3	2	2
4	34	3	6	0	3
5	1	4	1	2	0
6	2	5	2	0	1
12	22	6	5	0	0
			Всего:	6	9

Подставляем в формулу и получаем, что корреляция Кендэла получается равной -0.2.

Эта мера плоха тем, что она учитывает только порядок значений и не учитывает числовую разность между измерениями. Так же как и корреляция Пирсона, корреляция Кендэла не может объяснить что означает определенное значение. Но можно добавить некоторую аналогию, которую сам Кендэл пишет в своей книге (Кендэл Ранговые Корреляции перевод 1975г)

Рассмотрим пары величин такие, что после присвоения рангов у каждой случайной величины ранги выстраиваются упорядоченными по возрастанию. Теперь чтобы получить другой порядок рангов будем брать ранги Y и менять местами пару рангов. Опускаем доказательства (они описаны в книге Кендела) но любой порядок рангов можно получить путем таких перестановок, и для каждой комбинации существует минимальное число перестановок, которое имеет вот такую связь с формулой самой корреляции:

Что это нам дает? - дает понимание что с точностью до знаменателя можно сказать что функционально понижение коэффициента корреляции означает «испорченность» последовательностей. Это дает некоторое понимание, что означает конкретное значение корреляции Кендэла.

Корреляция Спирмана.

Основную формулу позаимствуем вместе с обозначениями из статьи (Кендэла 1958г)

Три независимые пары измерений

Однако для вычислений мы будем пользоваться следующим:

Снова присвоим ранги нашим наблюдениям, и теперь у каждой пары вычислим разность рангов (d) далее по следующей формуле мы получим коэффициент корреляции Спирмана(с_s):

Где:

n - Число наблюдений.

S(d²) - сумма квадратов разностей рангов.

Изменяется она как и все остальные корреляции от -1 до 1.

Приведем пример

X	Y	ранг X	ранг Y	d2
2	10	1	4	9
3	3	2	3	1
4	34	3	6	9
5	1	4	1	9
6	2	5	2	9
12	22	6	5	1
			S(d2)	38

В этом случае корреляция Спирмена будет равна

Здесь мы подобно корреляции Кендэла можем рассмотреть значение корреляцию как функцию от количества перестановок, но в данном случае мы имеем не просто перестановки а простановки с весами, где большим разностям рангов присваиваются большие веса. В некотором роде это затрудняет ответ на вопрос что же означает конкретное значение коэффициента корреляции.



Формулы Связи корреляций при предположении о законе распределения

Наше исследование построено вокруг сетевых моделей, а поэтому нам будет важно что при определенных условиях мы будем иметь схожие или же полностью идентичные сетевые структуры, задавая для графа рынка соответствующие друг другу значения порогов для каждого вида корреляций. Давайте рассмотрим как связаны эти меры.

Для начала рассмотрим связь корреляции Фехнера и Корреляцию Пирсона. Для этого обратимся к статье (Калягин В.А. Колданов А.П. Колданов П. А. Пардалос 2017)

Опуская доказательства приведем конечную формулу:

Эта формула справедлива для нормального и эллиптического распределения. Она дает нам довольно много, с точки зрения выбора инструмента для построения графа рынка, но об этом позже.

Так же для нормального распределения в статье (Краскала1958) приведены связи всех ранговых корреляций с корреляцией Пирсона:

Что нам дают эти соотношения? Мы рассматриваем построения сетевой структуры, графа рынка, как мы уже разбирали ранее, чтобы провести ребро между активами мы проверяем превосходит ли связь между двумя случайными величинами заданный порог. Если мы предположим, что распределение доходностей нормальное, то вне зависимости от того какую из корреляций мы будем выбирать как меру связи величин, каждому порогу у каждого вида корреляций можно однозначно сопоставить порог остальных типов корреляции. Таким образом мы получим абсолютно идентичные сетевые модели. Проще говоря, в случае если мы строим граф рынка с предположениям что все активы имеют нормальное распределение совершенно не важно какую корреляцию мы будем использовать.

Однако, что, если мы сделаем более общее предположение и скажем, что закон по которому распределены случайные величины не нормальный, а эллиптический.

Во первых связь между корреляциями Спирмена и Кендэла есть связь вне зависимости от ограничений посредством неравнства Дэниэлса:

Для положительных значений корреляции Кендэла неравенство существует так же неравенство Дарбина-Стюарта.

Это неравенство довольно полезно в целом, поскольку при больших показателях корреляции Кендэла точность получается весьма высокой. Например при ограничения на становятся такими:

Не будем забывать про формулу 2.1 которая подходит для эллиптического распределения. Обратимся к статье Lindskog(2003) в которой мы можем взять ещё одну важную формулу:

Что это нам дает, при эллиптическом законе, у нас есть связь между корреляциями Кендэла Пирсона, Краскала и Фехнера . Это значит что выбирая порог для построения графа рынка используя один из видов корреляции как меру связи между величинами мы можем привести в соответствие порог для двух других корреляций, при этом граф рынка будет идентичным. Однако этого мы не можем сказать про корреляцию Спирмена, и поэтому у нас остаются только неравенства Дэниэлся и Дарбина-Стюарта. Для нас важно, что они не дают нам понимания, существует ли точная связь между тремя связными корреляциями и корреляцией Спирмена. В настоящий момент нет работ дающих понимание о наличии или отсутствии связи, в следующей главе мы предложим способ измерить это.

Сравнение Корреляций

Итак, в предыдущей части мы разобрали невозможность найти связь между корреляцией Спирмена и другими при предположении о эллиптичности распределения. (в дальнейшем мы будем сравнивать корреляцию Спирмена и Кендэла, поскольку из последней выводятся все остальные, разбираемые в работе)

Мы начали именно с разбора графа рынка, и это важно, поскольку именно к анализу сетевых структур мы приходим после выбора меры связи величин. Мы не знаем наверняка, как связаны между собой две меры, но можем попробовать измерить это количественно. Для этого мы возьмем матрицу корреляций у реального графа рынка (далее 50 активов)*

*Активы с Yahoo finance:

['AC','AI','AIR','MT','ATO','NIE','AVID','AETG.SG','AKRN.ME','YNDX','AMOT','AMZN','AXP','UA','NLY','AET','EA','AMBA','AGI','RAD','SKAS','ORLY','GAS','AKS','AGIO','AEE','ARLP','ACCO','ABC','AVB','LH','AUY','AOXY','LIFE','WMC','LAQ','JBK','Y','MTGE','AAON','XLRN','VJET','ATLS','APO','RBA','NOG','ARE','AWI','AHGP','AT']

и сгенерируем данные - 10 тысяч по этой матрице корреляций, использовать мы будем распределение Стьюдента.

Сгенерировав большое число синтетических данных мы для каждого набора будем строить матрицу корреляций Кендэла и Спирмена. Для каждой матрицы мы построим графы рынка и будем оценивать их схожесть. Вообще мерой сравнения можно выбрать как всю получившуюся сетевую структуру, так и рассматривать части общего графа.

Здесь появляется несколько важных моментов, идеальный вариант это подобрать пороги в которых графы будут иметь наименьшее различие, однако это может не получиться, и мы получим лишь приближенную картину, проделав всё описанное выше у нас остается вопрос в том с какими константами будет производится сравнение. Есть несколько вариантов как это можно сделать. Но прежде чем мы рассмотрим предлагаемые методы мы рассмотрим способы сравнить графы рынка.

Предположим, что у нас посредством описанного выше получилось два графа: и Где - множество вершин каждого графа, а - множество ребер каждого графа.

Понятно, что у обоих графов рынка множество вершин одинаковые. И разница будет именно в ребрах. Один из вариантов - сравнить наиболее важные для нас подграфы (клики и независимые множества) Можно сравнить размеры максимальной клики и максимального подмножества, и именно эта разница и станет мерой схожести сетевой структуры. Если мы возьмем две максимальные клики графов то коэффициент их схожести мы можем определить как:

Где размеры клик, подразумеваем что клика - большая. Аналогично можно сравнить максимальные независимые множества.

Так же мы можем сравнить не только части, а все ребра графа.

Этот показатель нам гораздо интереснее, в случае если мы подберем точные пороги, то показатель схожести будет равен единице. Надо заметить что отсутствующие ребра мы тоже учитываем, поскольку если оба графа не имеют определенного ребра, это означает что их мера при построении игнорирует связь между парой активов.

Вернемся к подбору порогов.

Для начала попробуем использовать без изменений пороги, полученные из предположения что закон нормальный.

Используем следующие пороги (получаемые из предположения что закон нормальный):

Спирмана	Кендэла
0.95	0.8
0.85	0.66
0.75	0.555
0.65	0.465

Мерой сравнения схожести графов будет выступать формула 3.2. для каждого порога 10000 наборов данных имеют вот такие распределения плотностей:

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

По оси Х - уровень близости. По Y - частота(как часто встречается коэффициент схожести определенного Значение формулы 3.2)

То есть например точка (0.9,90) означает что в 90 экспериментах из 10000 значение формулы 3.2 для указанных порогов Кендэла и Спирмена было равно 0.9.

Что это нам дает? Ну в целом довольно наглядно дает понять, что использовать пороги, полученные из предположения о нормальности, дают весьма неточные схожести конструкций.

Теперь попробуем подобрать коэффициент, численно оптимизировать выбор порогов, для этого рассмотрим некоторое количество сгенерированных наборов. Для каждого значения коэффициента Спирмена рассмотрим приближения.

Для начала попробуем в нескольких временных рядах изменять порог одной из корреляций при неизменной второй. Скажем для корреляции Спирмена равной 0.65, посмотрим на схожесть графов, с корреляцией Кендэла с порогом изменяющимся от 0 до 0.99 (с шагом 0.01) таким образом мы получим график изменения коэффициента в зависимости от порога корреляции Кендэла. Ниже приведены примеры графиков полученных для разных порогов корреляции Спирмена у разных наборов данных.

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Форма графиков сохраняется и у других наборов данных, в целом даже общая форма сохраняется для каждого из порогов Спирмена.

Рисунок 9

Рисунок 10



Рисунок 11

Рисунок 12

По форме графиков, а надо заметить что они все ограничены сверху хоть и нельзя сказать наверняка, но хочется сказать что есть точка глобального экстремума и она находится на вернем «холме».

(Разбор одной конкретной точки графика) Для корреляции Спирмена есть определенное значение корреляции Кендэла, такое что получаемые сетевые структуры наиболее близки друг к другу.

У нас есть граф рынка построенный с порогом корреляции Спирмена, подбираем коэффициент корреляции Кендэла и смотрим насколько близкими друг другу получатся графы. То есть каждая точка, например, (82; 0.9044897959183673) на последнем графике это значит что взяв корреляцию Кендала равной 0.82 мы получим коэффициент схожести графов равный 0.9044897959183673

В таком случае давайте попробуем приблизится к точкам оптимума с помощью методов численной оптимизации

На первом шаге рассмотрим все возможные значения порога, разделим все множество допустимых значений на равные участки и выберем тот на котором значение целевой функции наивысшее (вычисляя целевую функцию используем формулу 3.2), этот участок мы снова делим на равные части, процедуру повторяем, пока нас не устроит приближение. Я буду пользоваться делением на 10 равных отрезков, это довольно удобно, чтобы дойти до нужного знака после запятой. (пойдем до второго для начала).

Таким образом мы получим оптимизированное значение с точностью до второго знака и становится интересно, насколько в принципе близки друг другу наши графы.

Ниже приведены диаграммы рассеяния схожести графа в паре с полученным оптимальным порогом полученные при оптимизации 100 различных наборов данных для 4 различных значений Корреляции Спирмена.

Рисунок 13

Рисунок 14

Рисунок 15

Рисунок 16

Что в целом дают нам эти наблюдения? Две довольно важные, хотя строго и не доказанные вещи. Первая - мера схожести в принципе не бывает почти никогда равной единице, то есть получается невозможно подобрать порог при котором получались бы идентичные сетевые структуры. Вторая - нет даже какого-то определенного значения, при котором можно сказать что графы будут наиболее схожие, то есть для разных наборов данных каждому порогу одной корреляции могут соответствовать разные пороги другой корреляции, при это именно при этих значениях сетевые структуры будут максимально схожими.

Теперь перейдем к рассмотрению отдельных сетевых структур. Рассмотрим клики получаемых графов. Повторим процедуру, которую мы уже проделывали на странице 19. Там мы получили график в котором при заданном пороге корреляции Спирмена по оси Х был порог корреляци Кендэла, а по оси Y степень близости графов определяемая формулой 3.2.

Теперь же по оси X будет так же порог корреляции Кендэла, порог корреляции Спирмена будет всё так же задан, а по оси Y будет степень близости графов определяемая значением формулы 3.1.

Рисунок 17

Рисунок 18

Рисунок 19

Рисунок 20

Что дают нам эти результаты? При высоком пороге Кендэла и Спирмена мы получаем очень близкие по размеру максимальные клики, то есть если рассматривать именно этот показатель как наиболее важный, то различие в сетевых структурах, порождаемое корреляциями Кендэла и Спирмена можно считать несущественными. Чтобы проверить эту гипотезу проверим ещё несколько тысяч измерений.

Получаем вот такую гистограмму плотности.

Рисунок 21

Из этого следует что в предыдущем пункте мы получили лишь один из возможных результатов. Полное совпадение размеров клик при больших порогах возможно, но не обязательно.



Выводы

Формулы связи между корреляцией Кендэла и корреляцией Спирмена справедливые для нормального закона не имеют аналогичной связи при переходе к эллиптическому закону.

Во-первых, во многих случаях изменение порогов вообще не ведет к полному совпадению сетевых структур.

Во-вторых, даже если зафиксировать один из порогов по корреляции, наибольшая близость сетевых структур достигается при разных значениях второго порога корреляции.

В-третьих, если сравнивать не целиком граф рынка, а скажем клики получаются разные максимальные клики.(разного размера)

Подытожим. Корреляции Спирмена и Кендэла дают различные сетевые структуры в предположении что случайные величины распределены по закону Стьюдента, который принадлежит классу эллиптических.



Список используемой литературы

1. А.Н. Визгунов НИУ ВШЭ, Нижегородский филиал, Нижний Новгород Б.И. Гольденгорин НИУ ВШЭ, Москва В.А. Замараев НИУ ВШЭ, Москва В.А. Калягин НИУ ВШЭ, Нижегородский филиал, Нижний Новгород А.П. Колданов НИУ ВШЭ, Нижегородский филиал, Нижний Новгород П.А. Колданов НИУ ВШЭ, Нижегородский филиал, Нижний Новгород П.М. Пардалос НИУ ВШЭ, Москва Применение рыночных графов к анализу фондового рынка России

2. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ГРАФА ДОХОДНОСТЕЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ФОНДОВОГО РЫНКА 2013 г. А.Н. Визгунов1 , Ю.В. Трифонов2

3. В.А. Калягин НИУ ВШЭ, Нижний Новгород А.П. Колданов НИУ ВШЭ, Нижний Новгород П.А. Колданов НИУ ВШЭ, Нижний Новгород П.М. Пардалос Университет Флориды, США Статистические процедуры идентификации сетевых структур фондовых рынков

4. Ordinal Measures of Association William H. Kruskal a a University of Chicago Published online: 12 Apr 2012.

5. Measures of uncertainty in market network analysis? V.A. Kalyagina , A.P. Koldanov b , P.A. Koldanov b , P.M. Pardalos a,c , V.A. Zamaraev

6. 1975год Кендэл ранговые корреляции

7. Гмурман В.Е.. вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. - 10-е издание, стереотипное. - Москва: Высшая школа, 2004

8. G. Bonanno, G. Caldarelli, F. Lillo, S. Miccichи, N. Vandewalle, R.N. Mantegna, Networks of equities in financial markets, Eur. Phys. J. B 38 (2004) 363-371.

9. [4] V. Boginski, S. Butenko, P.M. Pardalos, Statistical analysis of financial networks, Comput. Statist. Data Anal. 48 (2005) 431-443.

10. [11] G.-J. Wang, C. Xie, S. Chen, J.-J. Yang, M.-Y. Yang, Random matrix theory analysis of cross-correlations in the us stock market: evidence from Pearson correlation coefficient and detrended cross-correlation coefficient, Physica A 392 (2013) 3715-3730.

11. ] E.L. Lehmann, A theory of some multiple decision problems, i, Ann. Math. Statist. (1957) 1-25



Приложения

1. Получение матрицы активов(PYTHON)

import yfinance as yf

import datetime

import pandas as pd

import numpy as np

pd.core.common.is_list_like = pd.api.types.is_list_like

import matplotlib

import pandas_datareader as pdr

import seaborn as sns

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.stats import norm

import scipy

yf.pdr_override()

import math

import networkx

stocks = ['AC','AI','AIR','MT','ATO','NIE','AVID','AETG.SG','AKRN.ME','YNDX','AMOT','AMZN','AXP','UA','NLY','AET','EA','AMBA','AGI','RAD','SKAS','ORLY','GAS','AKS','AGIO',

'AEE','ARLP','ACCO','ABC','AVB','LH','AUY','AOXY','LIFE','WMC','LAQ','JBK','Y','MTGE','AAON','XLRN','VJET','ATLS','APO','RBA','NOG','ARE','AWI','AHGP','AT']

start = datetime.datetime(2017, 1, 1)

end = datetime.datetime(2018, 1, 1)

data = yf.download(stocks, start=start, end=end)

corrmat = data1.corr()

f, ax = plt.subplots(figsize =(10, 5))

sns.heatmap(corrmat, ax = ax, cmap ="YlGnBu", linewidths = 0.1)

corrmat.to_csv(r'C:\Users\Слава\xyz.txt', index=None, sep=' ', mode='a')

2. Генерация данных.(MATLAB)

3. n_iter=10000;

4.

5. % ex1

6. % задаем корреляционную матрицу

7. %sigma = [1 0.4;

8. % 0.4 1];

9. sigma = [ 1.0 0.5152069095021041 -0.05667063800581024 0.21839819234745073 -0.11978697428769702 0.10134316213830274 -0.27930042323620646 -0.4937875319087946 -0.13441786463182895 -0.1836749290873235 0.11698986458082533 0.18175869300869307 -0.34871474191929114 -0.1342360821653816 0.40489536189017655 0.260063797670438 0.2548499854932075 0.29532475281709664 0.08139420182318309 0.0723879441020065 0.14464560368345275 0.06312533983311353 -0.305092931720633 0.019354875832787697 -0.4423264379020519 0.35610313572502006 0.46212696244334805 0.15651283859728718 0.007618983460007782 -0.012677439764108069 -0.036936104794969074 0.1603238801134231 -0.14332873809686122 -0.049348225393366314 0.15362053650432672 -0.18539257761698458 0.06564455952968465 0.11033996698050869 0.14256059978184252 0.017956642020051882 0.09620366938762362 -0.1525516822970671 -0.03849103833892827 -0.03241155562817533 -0.009266143558943502 0.2304392037698104 -0.15969307044404427 -0.0913459631861964 0.16536797295920186 -0.01650931041916315;

10. 0.5152069095021041 1.0 -0.059717066603911816 -0.08056516212596171 -0.5185975015422378 -0.2369181070279052 -0.5592302844787413 -0.014798320332459858 -0.45173846828148734 -0.060951529222418754 0.4994002416738101 -0.26848057884695986 -0.4907354914247383 0.3239221310532368 0.1370961415046379 -0.010665514016118465 -0.11581464912395888 -0.050804209625297685 -0.3082513350985703 -0.11871076449764302 0.33540482870335275 -0.19763045258584208 0.1430593539367036 -0.3129835880301045 -0.06643125022733737 0.24505576446204216 0.4080139007716837 -0.24246587687577864 -0.3172972922324646 -0.23676000028603122 -0.2170518968835467 -0.2910302827135299 -0.4850062821327649 -0.15087961825175186 -0.21241592797134562 -0.3256364391356128 -0.2066309821487786 -0.24166295747138053 -0.0543624254297931 0.336397747950471 0.24044109793905327 0.24542096405601993 0.24702159713769137 0.13248763665800542 0.3836318694712589 -0.07711843148143416 -0.05174925556241794 -0.40863386078084674 0.48331852305308454 -0.3685366218425072;

11. -0.05667063800581024 -0.059717066603911816 1.0 0.433583151989103 -0.04710667937211029 -0.22647409603619834 0.21686384877693915 0.12984743384236955 0.16050517631694103 0.41079039316417615 0.033256052584630574 -0.04998529089162265 0.10970795851395435 0.2852127684563238 0.08279658821869301 -0.2424204386140238 -0.3023946429878101 -0.40013704336394545 -0.19684702621295103 -0.1807210138766501 0.31202808173806323 0.1970176251480292 0.24300842889410987 -0.29613532695569156 0.14769298774278458 -0.5007049846168339 -0.09531449062010268 0.03449285968678694 0.012371924971937093 -0.26071289142264586 -0.031933106991026805 -0.29192766451640556 -0.00012415185842763683 -0.21696590598144797 0.5203263798463259 0.26559234875449195 -0.3570485929571797 -0.06115114836175263 -0.3224574428380354 0.23786943010290434 0.30616411572191904 0.1624414830443728 0.28799185801660027 0.4240118917432622 -0.07598795328094629 -0.19457201183908696 -0.13429508269769933 -0.05233410268262804 0.1920784365868285 -0.16119479829430602;

12. 0.21839819234745073 -0.08056516212596171 0.433583151989103 1.0 -0.14055915161906407 -0.2701140712456958 -0.040956702726441994 -0.00690095037038205 -0.19273620799385674 0.29948164349568507 0.08407048522495275 0.05395867917458333 0.2579320118858664 0.3183858825152628 0.3783099714970756 -0.12812236627379806 -0.15473684063202123 -0.2697865603640341 -0.2808556453689714 -0.18716028968328746 0.45126529939525867 0.32290087932426137 0.25752941678280117 -0.3606474451954933 0.2087708631338578 -0.42828716953841106 0.3379757674143984 0.10825277435325598 -0.028227109737660534 -0.6336117632365837 0.06849769832843755 -0.1440684308579454 -0.22244317822226026 -0.3776404390282153 0.19820201955544428 0.19759945485870997 -0.5467518142757012 -0.08672837114744691 -0.5224029800928205 0.5081085066042312 0.5806588929994452 0.3303660104930506 0.29336470391528763 0.5545083825689011 0.01868848375203422 -0.38595112006955845 -0.3541602051049346 -0.20827353172454463 0.38036937261460185 -0.3110679915778835;

13. -0.11978697428769702 -0.5185975015422378 -0.04710667937211029 -0.14055915161906407 1.0 0.8786255618810025 0.7744462585639723 -0.5169618504012967 0.764340460852915 -0.47015455392506694 -0.9033972567098696 0.8337143492491901 0.6110848315066317 -0.7906645615540191 0.060143203119427745 0.7150411075293192 0.8096558906226151 0.3394573064094056 0.8534016358235347 0.8049419469419031 -0.7974293610950415 0.0306019402444824 -0.6999261603269422 0.9061851316159119 -0.38737549556416684 0.052419222689392315 0.031621861108973554 0.8036624413338576 0.8559554906938531 0.6961617484434709 0.712426138277753 0.8060543785192517 0.8131477243346036 0.7026521751600782 0.4927683895299173 0.6476147212597423 0.6418318565673476 0.8486072503983056 0.5752133813905576 -0.7494107552827466 -0.5421229306321893 -0.8086691209265592 -0.7333852557479283 -0.5782676860849572 -0.8725838247930258 0.63839829382416 0.04774247239784669 0.8024623178223143 -0.6808164813443078 0.8424111278994232;

14. 0.10134316213830274 -0.2369181070279052 -0.22647409603619834 -0.2701140712456958 0.8786255618810025 1.0 0.6748007053243326 -0.6842625060006611 0.7015332955518834 -0.6055245673999506 -0.8855539035976255 0.9022852434250145 0.5321452679323031 -0.8113083053953809 0.044513536819400616 0.89513726208298 0.9414524707182306 0.5044793133225134 0.9204440775197781 0.9117114740814513 -0.8453221627021947 -0.1632381820751957 -0.7631210452112223 0.9191255688427585 -0.517000663620482 0.13777107520170528 0.16358269169639322 0.8413266747977295 0.9177687230632536 0.7729350283894064 0.7974327355828325 0.8467417677963788 0.7870665371478723 0.8356197395476984 0.4241642204923972 0.6235281548682241 0.7463530325030987 0.9262283175496876 0.6712340814507656 -0.798490018329909 -0.6544381342581354 -0.8687828609551554 -0.7914209401017089 -0.7586689190404102 -0.7981044702796161 0.7635007878598138 0.07636650260694473 0.8647315172782226 -0.6454307579456039 0.9121980077070948;

15. -0.27930042323620646 -0.5592302844787413 0.21686384877693915 -0.040956702726441994 0.7744462585639723 0.6748007053243326 1.0 -0.32537154852156225 0.7798827333175862 -0.21430773448379442 -0.7344156148367197 0.6727282552277346 0.6791583854941139 -0.5245302416235416 -0.19184383630114338 0.48221337429655475 0.5324073806059051 0.19133760945577818 0.6945410092599472 0.579626960562211 -0.6114320461778822 0.017580770213575122 -0.44349065575539237 0.6039826560162879 -0.09343911031518108 -0.32029211884246783 -0.14223243388160503 0.7002788894649958 0.7549313172430814 0.5527136171685318 0.6795910863343405 0.5696131846812409 0.8326375500126522 0.531013048080443 0.6136755242638764 0.6284411938137932 0.5336707045807044 0.7337755315663507 0.41610114621078303 -0.6167908453447952 -0.448785396285333 -0.5907448366230487 -0.4329966048063916 -0.4461250517936547 -0.664991274201634 0.5630255963954727 0.16694982003599168 0.8038142580255461 -0.7577133900525099 0.7579748854439583;

16. -0.4937875319087946 -0.014798320332459858 0.12984743384236955 -0.00690095037038205 -0.5169618504012967 -0.6842625060006611 -0.32537154852156225 1.0 -0.3417760210247947 0.36782419529089927 0.5700930648560674 -0.6980635072922411 -0.24644417363030888 0.620304878764959 -0.36476410422102473 -0.7546357409812899 -0.7317341634068543 -0.5172205312947072 -0.6129965213414632 -0.6217393014894486 0.4036538282306985 0.14454499190830816 0.5444799379458836 -0.5615721272053228 0.6767868924052948 -0.1962884776592149 -0.3324008607816942 -0.6164882259253625 -0.5950265408314271 -0.483707427611835 -0.5088060482431039 -0.6011962879763976 -0.42170206211569966 -0.42354814510407435 -0.40934598734057315 -0.2961452532753129 -0.44983849836488077 -0.6734509308661046 -0.3789137911337018 0.48792070888130373 0.31866417619685455 0.6021298068909278 0.47543246751820734 0.5055226659285306 0.5351672523438092 -0.6747509209296408 0.1644841729451815 -0.4687807659526227 0.34503499207551847 -0.6150185691205592;

17. -0.13441786463182895 -0.45173846828148734 0.16050517631694103 -0.19273620799385674 0.764340460852915 0.7015332955518834 0.7798827333175862 -0.3417760210247947 1.0 -0.3418268623831907 -0.770893419328504 0.6546586212914677 0.3759381059135233 -0.6770481927858347 -0.2295970006985888 0.45689380276052927 0.5537268903447857 0.32102840714160874 0.7751545390989869 0.5599208686846732 -0.7164584241532858 0.11826323347859431 -0.6919306187208663 0.7391919622779003 -0.4324978463570861 0.003914920191634363 -0.2779135355632455 0.672732864908302 0.7169676283656337 0.7409459334265505 0.4777430159863355 0.6744350007330361 0.900026269948939 0.7325443917609195 0.6868254566877956 0.5223116554329571 0.6988398581355059 0.7004164930977116 0.6543723173572822 -0.815510717780411 -0.6797025944796127 -0.7861040912569135 -0.5950208118582677 -0.48816311980743543 -0.7261228648630156 0.545727389592372 0.23875269952655812 0.83071301235432 -0.6428566762001433 0.7821165308828467;

18. -0.1836749290873235 -0.060951529222418754 0.41079039316417615 0.29948164349568507 -0.47015455392506694 -0.6055245673999506 -0.21430773448379442 0.36782419529089927 -0.3418268623831907 1.0 0.4326746678962012 -0.46230426068718705 -0.13361443278425264 0.4512215665963065 0.22863196326458052 -0.535809863729071 -0.5886322553254439 -0.3221261043897046 -0.4688331811478582 -0.5183347661828519 0.7774496412444644 -0.013017307319593583 0.5364900033244916 -0.6118209691855105 0.5276395775570745 -0.30348004323193806 -0.13031883568512376 -0.46450015309078657 -0.49709148392397634 -0.4546036412946931 -0.38190135539952547 -0.4911927821811086 -0.3098738560953582 -0.5890263423940294 -0.0697039561404624 -0.17517255941155474 -0.5643985100945634 -0.43519728980899347 -0.5630237440414676 0.5077592478444082 0.4845191226386972 0.5134994968594869 0.6150702187918048 0.55122980340681 0.3310980215539028 -0.45436013934701586 -0.09498814188671253 -0.4662151147094583 0.3177545534940276 -0.4426138682026305;

19. 0.11698986458082533 0.4994002416738101 0.033256052584630574 0.08407048522495275 -0.9033972567098696 -0.8855539035976255 -0.7344156148367197 0.5700930648560674 -0.770893419328504 0.4326746678962012 1.0 -0.8539284574170825 -0.6579731719510626 0.7699432331831564 -0.04686009818832572 -0.7469511643387945 -0.8154584671215852 -0.348766733766984 -0.8322777006964144 -0.7816826607791825 0.7739383738489795 0.03866720266316449 0.6676493610264771 -0.8411132688360475 0.4052843008193604 0.04964040090544838 -0.01638821266147812 -0.8162542832003147 -0.8944149364979572 -0.6453937516738721 -0.7575096935657769 -0.8001996894172448 -0.8041307928496843 -0.7778421998387383 -0.49061217229770165 -0.7328694749698564 -0.5492753553686857 -0.8506227489574081 -0.4717605270809031 0.7227918794208043 0.5814802874443689 0.8144132965262475 0.7788620597469198 0.5852417483629363 0.876343950003402 -0.55084949123312 0.11656800129399988 -0.8265130380449413 0.5901749710386411 -0.8390531077005865;

20. 0.18175869300869307 -0.26848057884695986 -0.04998529089162265 0.05395867917458333 0.8337143492491901 0.9022852434250145 0.6727282552277346 -0.6980635072922411 0.6546586212914677 -0.46230426068718705 -0.8539284574170825 1.0 0.6450286059738541 -0.7161888503449563 0.19245903624189736 0.8655797978056533 0.8918120081295908 0.42603574104591824 0.8551552371951722 0.8707211644677872 -0.6858338115635352 -0.0871616352430539 -0.6764593998134961 0.8048828091061176 -0.4490866949387792 -0.07218549062872134 0.2941981805979403 0.9095930757945694 0.9437112878266696 0.5705143069854287 0.849717370506264 0.8051690980147017 0.7430852876829893 0.7118283420979424 0.5526064134604418 0.7358556890883805 0.5842079046875794 0.9487962357120235 0.5014906824046875 -0.6229218865366423 -0.45407072710623697 -0.7758162565966303 -0.6925320661028456 -0.5789402516787967 -0.8161712864439359 0.6694384735304882 0.003292133726180623 0.7862050382555064 -0.5313789101031088 0.8291020524414462;

21. -0.34871474191929114 -0.4907354914247383 0.10970795851395435 0.2579320118858664 0.6110848315066317 0.5321452679323031 0.6791583854941139 -0.24644417363030888 0.3759381059135233 -0.13361443278425264 -0.6579731719510626 0.6450286059738541 1.0 -0.25648723918002864 0.0890360351235502 0.48643739208076087 0.47936888073669354 0.000584210844355103 0.4333232249594746 0.5585080020266553 -0.408736288179181 -0.1073793149498603 -0.11281886808952095 0.38840951772837007 0.16977796839658657 -0.5953867201186013 0.2626201998044791 0.6622859744348892 0.7184768849101569 0.08166722813786231 0.829349055984347 0.3972455878762209 0.49252889796675414 0.3824251424466229 0.2523841229730625 0.8409501575419677 0.09420414897071339 0.6057125648802427 -0.03534739272385971 -0.16356881158190217 -0.07093038838854399 -0.2807025489442869 -0.36828524791744566 -0.24520942346796173 -0.5598789037147551 0.19787159414256772 -0.17367263285251777 0.560057691866568 -0.38068970552689363 0.5154724386129322;

22. -0.1342360821653816 0.3239221310532368 0.2852127684563238 0.3183858825152628 -0.7906645615540191 -0.8113083053953809 -0.5245302416235416 0.620304878764959 -0.6770481927858347 0.4512215665963065 0.7699432331831564 -0.7161888503449563 -0.25648723918002864 1.0 -0.052096861615482534 -0.6724649769135799 -0.8111043267422462 -0.5547452314357679 -0.86360126227404 -0.6969049241056569 0.7301203766386951 0.1407515274408846 0.8927324223711288 -0.8846005572695813 0.548162758890417 -0.396961196118032 -0.01317187229703771 -0.6426198691429257 -0.6648097683733467 -0.8206687871460459 -0.4727490761999664 -0.8446810402928249 -0.7856087253985274 -0.7196184245777941 -0.3827251764892845 -0.3184180243605808 -0.7323942937693648 -0.7580514911307107 -0.7527855748155223 0.8188094022243886 0.6857439704844612 0.9290654812210571 0.735103198830934 0.5586996257934018 0.8228810357495007 -0.6574201577542506 -0.08852656961078917 -0.702248083000251 0.6529757921449781 -0.8170554181878835;

23. 0.40489536189017655 0.1370961415046379 0.08279658821869301 0.3783099714970756 0.060143203119427745 0.044513536819400616 -0.19184383630114338 -0.36476410422102473 -0.2295970006985888 0.22863196326458052 -0.04686009818832572 0.19245903624189736 0.0890360351235502 -0.052096861615482534 1.0 0.1955941003915341 0.212696673377043 -0.005979493154541774 0.03380301157015368 0.137055742793825 0.27441024750921256 0.06741414977076067 -0.015455506622101392 -0.03835745842615175 -0.052978743388420305 0.059706256412410716 0.4792444334075514 0.17759151803246556 0.044130689502818655 -0.1947943746911306 0.15314356525330688 0.1096243323044512 -0.15611451582989644 -0.19904373366825676 0.04436617828876419 0.18216036652920742 -0.28233368763262634 0.13306712214208197 -0.24185996012987804 0.23420825057611652 0.43029474583850486 0.04487028616138359 0.08948355207355237 0.11483179120879743 -0.17942026256146243 0.0015703589305495831 -0.44068294364596866 -0.16533259782918086 0.17446130311669544 -0.059902512645132196;

24. 0.260063797670438 -0.010665514016118465 -0.2424204386140238 -0.12812236627379806 0.7150411075293192 0.89513726208298 0.48221337429655475 -0.7546357409812899 0.45689380276052927 -0.535809863729071 -0.7469511643387945 0.8655797978056533 0.48643739208076087 -0.6724649769135799 0.1955941003915341 1.0 0.9283851560912522 0.5129869582134184 0.7637018155569694 0.9169225655110785 -0.6307543983643766 -0.32152416522229654 -0.5879103922483004 0.7621152385842741 -0.46368153966636355 0.10741654786497667 0.4108629400706019 0.7411264531799348 0.8384052810566438 0.5865885749924686 0.798196374863698 0.731468646627823 0.5571520851269782 0.6638600988050213 0.37729567805053316 0.5594403326532275 0.5598332914252182 0.8648198426159932 0.466442777958323 -0.5743921023084202 -0.4964874278095865 -0.7164950354443484 -0.7319791220413088 -0.6654500142379491 -0.667111567752517 0.7367822153785166 -0.03837701487839759 0.6663485659469947 -0.44704124220207364 0.7770193461659242;

25. 0.2548499854932075 -0.11581464912395888 -0.3023946429878101 -0.15473684063202123 0.8096558906226151 0.9414524707182306 0.5324073806059051 -0.7317341634068543 0.5537268903447857 -0.5886322553254439 -0.8154584671215852 0.8918120081295908 0.47936888073669354 -0.8111043267422462 0.212696673377043 0.9283851560912522 1.0 0.5228916346303607 0.8656748035811654 0.9006438436738192 -0.7231661899181707 -0.17097443345238636 -0.7555634685162782 0.8637649126015051 -0.48859080189061743 0.197254635335096 0.3311215333235794 0.8119979523504667 0.8532043277492978 0.6656493645908447 0.7821280009273364 0.8632997806844196 0.6725160760531906 0.7457723784101566 0.37626579348352396 0.5643581324492944 0.6311895042176882 0.8985832978524437 0.590070407043017 -0.670854777157395 -0.5342864237869748 -0.821009187462985 -0.7717190856423708 -0.6780471539950416 -0.7744139835976069 0.7263572441726331 -0.053328786932721466 0.7358532579825505 -0.5460306438553018 0.8307406791898616;

26. 0.29532475281709664 -0.050804209625297685 -0.40013704336394545 -0.2697865603640341 0.3394573064094056 0.5044793133225134 0.19133760945577818 -0.5172205312947072 0.32102840714160874 -0.3221261043897046 -0.348766733766984 0.42603574104591824 0.000584210844355103 -0.5547452314357679 -0.005979493154541774 0.5129869582134184 0.5228916346303607 1.0 0.5218898304629899 0.4203687066584794 -0.3916891162085567 -0.2632164381925258 -0.5476400993980653 0.5214648532548741 -0.4592174705867809 0.40073481495916985 0.09718985132797849 0.2801565587197058 0.35451132878041963 0.5883994083965097 0.20082203078250097 0.4885198631905997 0.42922815830956773 0.4218211072474565 0.1711711636090847 0.05265585581642852 0.5834395638724452 0.4764495437395343 0.48899352238127264 -0.5709419132009648 -0.562622411609708 -0.5472432814957525 -0.43195507347622014 -0.4954176167234475 -0.30630038213101096 0.5180627566604261 0.1982977979948732 0.40852921511485196 -0.36358560515818883 0.5761845676473248;

27. 0.08139420182318309 -0.3082513350985703 -0.19684702621295103 -0.2808556453689714 0.8534016358235347 0.9204440775197781 0.6945410092599472 -0.6129965213414632 0.7751545390989869 -0.4688331811478582 -0.8322777006964144 0.8551552371951722 0.4333232249594746 -0.86360126227404 0.03380301157015368 0.7637018155569694 0.8656748035811654 0.5218898304629899 1.0 0.8324896914126372 -0.7913582898937485 -0.06878568304294314 -0.846780920683045 0.8983897085208034 -0.4769051063843788 0.1695837161082024 -0.0038056373840691126 0.8244615003870295 0.8581663510066119 0.8328597030693564 0.6972775868614463 0.8817721451341727 0.8878698253041551 0.8110836034433648 0.5174044821575212 0.5561111461466776 0.8327503517389234 0.9121416967916761 0.7755958034313449 -0.855933464286049 -0.6768808611921164 -0.9115706152255258 -0.7079218628900875 -0.7005432144371432 -0.79740386095317 0.7544270373055798 0.24280333537564516 0.8800697814778186 -0.7269164361145732 0.9099674574423138;

28. 0.0723879441020065 -0.11871076449764302 -0.1807210138766501 -0.18716028968328746 0.8049419469419031 0.9117114740814513 0.579626960562211 -0.6217393014894486 0.5599208686846732 -0.5183347661828519 -0.7816826607791825 0.8707211644677872 0.5585080020266553 -0.6969049241056569 0.137055742793825 0.9169225655110785 0.9006438436738192 0.4203687066584794 0.8324896914126372 1.0 -0.7226812506060326 -0.2969619157527333 -0.6303158113201183 0.8233904844489743 -0.390256052532281 0.07899928807124783 0.29414177516364287 0.7989420897908548 0.8904873285989438 0.638913655120063 0.8389982631251441 0.760395415574222 0.6715669218973682 0.7524876593295697 0.39529578374920604 0.6577414277734168 0.6325260051578578 0.90767165502 0.5752019649240958 -0.6371447382740755 -0.5334665626246389 -0.7544074943612791 -0.7273066078416954 -0.6509538729122447 -0.7288886671758752 0.6882364424546127 0.1256085008906956 0.760467350839902 -0.518530793279248 0.8203827949219864;

29. 0.14464560368345275 0.33540482870335275 0.31202808173806323 0.45126529939525867 -0.7974293610950415 -0.8453221627021947 -0.6114320461778822 0.4036538282306985 -0.7164584241532858 0.7774496412444644 0.7739383738489795 -0.6858338115635352 -0.408736288179181 0.7301203766386951 0.27441024750921256 -0.6307543983643766 -0.7231661899181707 -0.3916891162085567 -0.7913582898937485 -0.7226812506060326 1.0 0.06732520628924156 0.708438611861699 -0.872023934371628 0.4808890473089833 -0.17117182967713726 0.08789299266724253 -0.6787349457752773 -0.7590442273757805 -0.7649659649569769 -0.5981180049836134 -0.711343996359434 -0.7344825913156234 -0.8440621336595941 -0.2694463348275879 -0.46112833375805085 -0.7856063105306601 -0.7214595325293789 -0.7424437829411102 0.8150068587944582 0.7264742827347792 0.7877234218765384 0.7593013647678363 0.7200364464070392 0.6708111847812291 -0.6071284039577223 -0.24401583692518158 -0.8091181729710225 0.6391619747186505 -0.788031202565023;

30. 0.06312533983311353 -0.19763045258584208 0.1970176251480292 0.32290087932426137 0.0306019402444824 -0.1632381820751957 0.017580770213575122 0.14454499190830816 0.11826323347859431 -0.013017307319593583 0.03866720266316449 -0.0871616352430539 -0.1073793149498603 0.1407515274408846 0.06741414977076067 -0.32152416522229654 -0.17097443345238636 -0.2632164381925258 -0.06878568304294314 -0.2969619157527333 0.06732520628924156 1.0 -0.03143827139231957 -0.08244379747751922 -0.08239319371544256 0.02081071349819146 -0.27628391305364286 0.07861708375294485 -0.1296659781862191 -0.1718331928118077 -0.19813715220454203 0.00630034373997067 -0.010343048949729079 -0.17562352516122487 0.11798413600001319 -0.10546791985945637 -0.08152066331399495 -0.1807738015397793 -0.03490947681048245 0.04115528382405511 0.2724327219118413 0.12626841129909747 0.2289048180215436 0.12605076317802982 0.053049036051189324 -0.15302560103471982 -0.11208243482802947 -0.07348600755610393 0.0007919722923224609 -0.22594471554724388;

31. -0.305092931720633 0.1430593539367036 0.24300842889410987 0.25752941678280117 -0.6999261603269422 -0.7631210452112223 -0.44349065575539237 0.5444799379458836 -0.6919306187208663 0.5364900033244916 0.6676493610264771 -0.6764593998134961 -0.11281886808952095 0.8927324223711288 -0.015455506622101392 -0.5879103922483004 -0.7555634685162782 -0.5476400993980653 -0.846780920683045 -0.6303158113201183 0.708438611861699 -0.03143827139231957 1.0 -0.8459605189535324 0.618647878616764 -0.49551537266895246 0.00669720021748356 -0.6602489300459916 -0.6190911133192003 -0.7820680908083198 -0.3835063121925194 -0.8276237257774597 -0.7520151724430731 -0.7587945888675309 -0.3932910487286702 -0.2814332097090458 -0.7676007261005146 -0.7075188971090717 -0.8592850359917276 0.8317344511253073 0.6722628165128159 0.929680653066158 0.6699615680627554 0.4995051756923252 0.758671168384664 -0.5785689157298564 -0.16924728576564804 -0.7002292256328049 0.5472071839464567 -0.7279216576904707;

32. 0.019354875832787697 -0.3129835880301045 -0.29613532695569156 -0.3606474451954933 0.9061851316159119 0.9191255688427585 0.6039826560162879 -0.5615721272053228 0.7391919622779003 -0.6118209691855105 -0.8411132688360475 0.8048828091061176 0.38840951772837007 -0.8846005572695813 -0.03835745842615175 0.7621152385842741 0.8637649126015051 0.5214648532548741 0.8983897085208034 0.8233904844489743 -0.872023934371628 -0.08244379747751922 -0.8459605189535324 1.0 -0.5774300782393216 0.32612355449604596 0.04039307835884949 0.7446847294159191 0.7985106956861496 0.8431389778859126 0.6071288010838832 0.8524652668862883 0.8074297157710691 0.847588107890137 0.3602320687032365 0.49274562543698136 0.8042687481629764 0.8346947128194034 0.7825409885831607 -0.866299880147498 -0.7299160328615889 -0.9108936000521388 -0.8137433229842562 -0.6959054249789032 -0.8020638755632411 0.6821253635035321 0.16626975540176217 0.8003914687227348 -0.6380888734497725 0.8703490092121895;

33. -0.4423264379020519 -0.06643125022733737 0.14769298774278458 0.2087708631338578 -0.38737549556416684 -0.517000663620482 -0.09343911031518108 0.6767868924052948 -0.4324978463570861 0.5276395775570745 0.4052843008193604 -0.4490866949387792 0.16977796839658657 0.548162758890417 -0.052978743388420305 -0.46368153966636355 -0.48859080189061743 -0.4592174705867809 -0.4769051063843788 -0.390256052532281 0.4808890473089833 -0.08239319371544256 0.618647878616764 -0.5774300782393216 1.0 -0.5345604018950679 -0.027550896770418744 -0.3843436790065466 -0.36208627839156254 -0.5650676920828273 -0.09315215268810498 -0.486172679062897 -0.34496184503476884 -0.5010093433811508 -0.3005951068201925 -0.029586166637518778 -0.5722007072897389 -0.41264952677024497 -0.5961864609450273 0.6107240045707026 0.5115831082172511 0.5918475260498087 0.47034437757119857 0.4603838919340626 0.350466596329266 -0.4735078140885141 -0.03482380350295913 -0.37901655503666365 0.18385629246032484 -0.43067278925045654;