Война с "областью допустимых значений"

Размещено на http: //www. allbest. ru/

муниципальное бюджетное общеобразовательное

учреждение «Школа № 178 » городского округа Самара

XVI школьная конференция

Тема итогового проекта

Секция математика

Война с "областью допустимых значений"

Выполнили: обучающийся 8 Бкласса

Чикунов Андрей

Научный руководитель:

Кабанова Е.С., учитель математики

Самара, 2020

Содержание

Введение

1. История возникновения ОДЗ

1.1 ОДЗ при решении уравнений

1.2 Опасность ОДЗ

1.3 ОДЗ - есть решение

1.4 ОДЗ в ОГЭ

2. Практическая часть

2.1 Исследование

Заключение

Список литературы

Введение

Математика - это одна из важнейших наук. Она даёт необычное значение в жизни человека, в связи с прогрессом науки. Каждому человеку приходилось встречаться с расчётами, работать с вычислительной техникой, использовать разные формулы, но человек изредка учитывает все условия, на влияющий итог. Из-за этого появляется условие ОДЗ (область допустимых значений).

Данная тема меня заинтересовала, тем, что я почти не обращал на важность ОДЗ, благодаря этому у меня возникла «война» с ОДЗ.

При решении некоторых типов уравнений, задач и неравенств я столкнулся с, тем, что есть условия, которые не подходят, либо появляются определённые значении и в дальнейшем я понял то, что есть какая-то область, в которой есть допустимые значении подходящие под условие некоторых задач и типов уравнений.

Уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, может быть поэтому люди часто делают ошибки при вычислении таких уравнений, уделив почти всё время на их вычисления, забыв при этом об ОДЗ.

Моя тема заостряет внимание на том, что люди не обращают внимания на мелкие условия. Можно привести аналогию с вычислением определённых заданиях, там, где не учитываются условия ОДЗ, а это может влиять на результат решения.

Цель

Уметь анализировать ситуацию и делать логически корректные выводы в примерах, где нужно учесть ОДЗ.

Задачи

1. Изучить теоретический материал

2. Прорешать множество уравнений:

а) дробно-рациональных;

б) иррациональных;

3. Применить изученные материалы в ситуации, которая отличается от стандартной

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ОГЭ, учебников, справочников) я систематизировал решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению

· иногда при решении примера ОДЗ приводит к посторонним корням

1. История возникновения ОДЗ

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция -- это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797--1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной x». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него. математике иррациональный неравенство допустимый

Областью определения (допустимых значений) функции у называется совокупность значений независимой переменной х, при которых эта функция определена, т.е. область изменения независимой переменной (аргумента).

1.1 ОДЗ при решении уравнений

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.

2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

2.1. Простейшие иррациональные уравнения имеют вид

.

Возведя обе части уравнения в квадрат, мы избавимся от иррациональности. Но обратим внимание на то, что возведение в квадрат, вообще говоря, не равносильное преобразование, и при возведении в квадрат мы можем получить лишние корни. Если корни получились целые, то несложно произвести проверку. Но в некоторых случаях производить проверку неудобно. Тогда используют сведение данного уравнения к равносильной системе:

.

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: .

2.2. Решением уравнения вида

является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства

,

можно включить неравенство

,

и естественно, надо выбирать из них наиболее простое.

1.3 Опасность ОДЗ

Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ???, мы можем прийти к неверным решениям. Вот примеры решений уравнений:

1.

Перенесем из правой части в левую, приведем подобные члены уравнения и получим, что х=0. Однако 0 не входит в ???.

2

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов, и придем к уравнению

Отсюда х = 1 или х = -1. При х = -1, не существует. Однако ответ: х=1 неполный, а потому неверен.

3. .

Возведем обе части уравнения в квадрат - в данном случае вроде бы безобидное действие, основанное на очевидном соображении: число равно нулю тогда и только тогда, когда его квадрат равен нулю. Получим (х+1)2*х=0. Однако полученное уравнение имеет корень -1, которого нет у исходного уравнения.

4.

Сократим дробь в левой части и получим . Отсюда х=1, что не выходит из ???.

1.4 ОДЗ - есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ??? позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений.

1)

2. В ??? находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2)

В ??? находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.

3) >

В ??? находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.

Эффективно может использоваться ??? в сочетании с анализом самого выражения.

4) < ???:

Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

5)

Из ОДЗ следует, что, откуда имеем . Из рассмотрения правой части уравнения видим, что . Поэтому необходимо равенство а=0, после чего решение ясно.

3. ОДЗ используется вместе с анализом функций, входящих в пример.

1)

Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.

2)

Из ОДЗ имеем:. Так как справа стоит положительное выражение, то

>, а значит, .

Решая последнее неравенство, получим х<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

3) ОДЗ: . Так как, то

С другой стороны,

.

Равенство возможно только тогда, когда каждая часть уравнения равна 0, т. е. при х=1. После подстановки этого значения х убеждаемся, что решений нет.

4)

ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).

На нем выполняются такие неравенства

и , поэтому

и решений нет. При функции и строго возрастающие, и потому каждое свое значение принимают только один раз. Значит, уравнение не может иметь больше одного корня. А один корень виден «невооруженным глазом» - это 1. Поэтому ответ: х=1.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахождения ОДЗ.

1.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной.

Поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому.

1..

ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.

2. .

ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положительному числу.

3. .

ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

4.

ОДЗ не нужна, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным.

5.

ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

6.

Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

7.

ОДЗ не нужна, так как положительность трёхчлена следует из условий системы неравенств.

1.4 ОДЗ в ОГЭ

Ежегодно выпускники при сдаче ОГЭ допускают ошибки при из-за недочёта ОДЗ. Приведу несколько примеров.

1) Умение применять стандартные методы для решения иррациональных уравнений (например,

)

продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.

2) Наиболее характерные ошибки и недочеты, допущенные при решении уравнения

1. Неверное возведение в квадрат обеих частей, в результате чего получается уравнение:

x2 - 20x + 100 + 3x2 - 28x - 31 = (10 - x)2.

Корни этого уравнения 10 и -1. Некоторые учащиеся в результате проверки корней получают верный ответ (-1) при грубейшей ошибке в ходе решения.

2. Выпускники верно преобразуют к виду

.

После этого некоторые ученики допускают грубую ошибку . Далее они получают

x - 10 +; .

Решая это уравнение и учитывая условие

,

выпускники делают вывод - уравнение не имеет решений.

4. Сдающие верно преобразовывают уравнение к виду

и рассматривают два случая: x 10 и x < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором - корнями являются числа -1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

2. Практическая часть

Надо ли искать ОДЗ? нужна ли проверка? и совершенно в стороне остается главный вопрос: а как же правильно решать уравнение?

Методы решения уравнений и при их обсуждении попутно даются ответы на эти второстепенные вопросы.

Все уравнения можно условно разделить на простейшие, средней сложности, большой сложности.

Для решения простейших уравнений надо только твердо знать формулы, задающие их корни.

Для решения уравнений средней сложности надо преобразовать каждое из них так, чтобы оно свелось к одному или нескольким простейшим.

Для решения уравнений большой сложности надо уметь и преобразовывать их, и решать простейшие уравнения, и применять специальные приемы решения.

Существуют только три способа применения указанных преобразований:

переход к уравнению-следствию,

переход к системе (уравнения и неравенств), равносильной исходному уравнению.

переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению,

Практически каждое уравнение можно решать любым из этих трех способов.

Переход к уравнению-следствию

Пример 1. Решим уравнение

= х + 1. (1)

Возведя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение

3х + 7 = (х + 1)2, (1')

являющееся следствием уравнения (1).

Уравнение (1') имеет два корня х1 = 3 и х2 = -2.

Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (1). Подставляя каждое из них в левую и правую части уравнения (1), получим:

= 4, х1 + 1 = 4, т. е. = х1 + 1,

= 1, х2 + 1 = -1, т. е. ? х2 + 1.

Это означает, что число х1 является корнем уравнения (1), а число х2 -- нет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень х1.

Ответ: 3.

Пример 2. Решим уравнение

x2 - 6x + = - 8. (2)

Перенося все члены уравнения (2) в одну сторону, приводя подобные, получим уравнение

x2 - 6x + 8 = 0, (2')

являющееся следствием уравнения (2).

Уравнение (2') имеет два корня х1 = 4 и х2 = 2.

Проверка показывает, что число х1 является корнем уравнения (2), а число х2 -- нет, так как х2 - 3 = -1 < 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (2) имеет единственный корень х1.

Ответ: 4.

Пример 3. Решим уравнение

= 1. (3)

Освобождаясь в уравнении (4) от знаменателя, получим уравнение

2(x - 7) = x2 - 6x - 7, (3')

являющееся следствием уравнения (3).

Уравнение (3') имеет два корня х1 = 1 и х2 = 7.

Проверка показывает, что число х1 является корнем уравнения (3), а число х2 -- нет, так как = 0, а делить на нуль нельзя. Следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень х1.

Ответ: 1.

Пример 4. Решим уравнение

= 2. (4)

Применяя формулу , получим уравнение

= 2. (4')

являющееся следствием уравнения (4).

Уравнение (4') имеет два корня х1 = 6 и х2 = 1.

Проверка показывает, что число х1 является корнем уравнения (4), а число х2 -- нет, так как х2 - 2 = -1 < 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (4) имеет единственный корень х1.

Ответ: 6.

Подводя итог, можно сказать, что при переходе к уравнению-следствию (не важно, какое преобразование при этом проводилось) не надо искать ОДЗ, но надо знать, что проверка найденных корней является обязательным элементом решения уравнения.

Переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению

Уравнение

= g (x)

равносильно уравнению

f (x) = g2 (x)

на множестве М тех х, для каждого из которых обе части исходного уравнения определены и неотрицательны.

Уравнение

f (x) + = g (x) +

 равносильно уравнению

f (x) = g (x)

на множестве М тех х, для каждого из которых определена функция .

Уравнение

равносильно уравнению

на множестве М тех х, для каждого из которых не обращается в нуль ни функция , ни функция .

Уравнение

= h (x)

равносильно уравнению

= h (x)

на множестве М тех х, для каждого из которых обе функции f (x) и g (x) неотрицательны.

Пример 5. Решим уравнение

6 = 3х + 1. (5)

Обе части уравнения (8) определены и неотрицательны на множестве М тех х, для каждого из которых одновременно выполняются неравенства

х + 1 0 и 3х + 1 0, т. е. М = [-.

На множестве М уравнение (8) равносильно уравнению

36(х + 1) = (3х + 1)2, (5')

имеющему два корня х1 = и х2 = . Так как х1 М и х2 М, то уравнение (5') имеет на множестве М единственный корень х1. Он и является единственным корнем уравнения (5).

Ответ: .

Пример 6. Решим уравнение

= 3. (6)

Так как на множестве М = [4; +) обе функции у = и
у = неотрицательны, то уравнение (6) равносильно на множестве М уравнению

= 3, (6')

имеющему два корня х1 = 5 и х2 = -5. Так как х1 М, а х2 М, то уравнение (6') имеет на множестве М единственный корень х1. Он и является единственным корнем уравнения (6).

Ответ: 5.

Подводя итог, можно сказать, что при переходе к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве М, проверка найденных корней подстановкой их в исходное уравнение не является обязательным элементом решения, но надо обязательно отобрать из всех полученных корней те, которые принадлежат множеству М.

Также очевидно, что можно не искать ОДЗ уравнения, надо лишь найти то множество М значений неизвестной х, на котором применяемое преобразование приводит к уравнению, равносильному на этом множестве исходному уравнению.

2.1 Исследование

Я провел исследовательскую работу для выяснения, как часто ученики учитывают ОДЗ при решении задач, уравнений, неравенств и т. д. Для этого я подобрал 4 задания и решил их сам, затем предложил их 35 восьмиклассникам, в первых трех из которых не обязательно было учитывать ОДЗ, а в четвертом - обязательно. Целью исследовательской работы являлось доказательство того, что люди не уделяют должного внимания ОДЗ.

1) Из пункта А в пункт Б выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час вслед за ним в пункт Б выехал автомобиль, и через 4 часа догнал автобус в пункте Б (Приехали одновременно). Какая скорость у автомобиля?

2) (х+3)2+10=(х-2)2 3)1/(х-2) = х-4

4)

При проверке данных заданий я обнаружил, что решения можно разделить по некоторым критериям.

Критерии отбора решений и количество входящих в них человек:

Справились со всеми заданиями - 5 человек; написали ОДЗ в 4 задании, но допустили ошибку в 1 задании - 2 человека, в 2 примерах - 8 человек, в 3 примерах - 3 человека; Не писали ОДЗ в 4 примере - 17 человек. Основные ошибки:

1. Забывают о своем ОДЗ (написали, но забыли учесть);

2. Неправильно составили ОДЗ;

3. Неправильно до множили уравнения;

4. Не используют подходящие формулы сокращенного умножения;

5. Путают знаки (*, +, -,:);

6. Делают не все примеры.

7. Забывают о смене знаков, при переносе через равно;

И я пришел к тому, что около половины учеников 9-х классов, к сожалению, не учитывали, либо неправильно записали ОДЗ в представленных заданиях, вследствие чего допустили ошибки.

Где встречается ОДЗ в реальной жизни

Мы, на самом деле, очень часто встречаемся с условиями ОДЗ, что их просто не видим. Например, при покупке чего-либо; с определением действий, при различной температуре на улице.

Пример № 1 из исследования может быть моделью реальной ситуации, но слишком обобщенной. Вот более подходящий пример:

Нам дали 150 рублей на корм коту, который стоит 13 рублей за пакетик, и буханку белого, по стоимости 29 рубля. Нужно рассчитать, сколько рублей мы потратим на корм. Возьмем за X - количество пакетиков с кормом.

ОДЗ: х ? 0,

x = (150-29)/18,

x = 6 (остаток 13).

Значит, мы купим 6 пакетиков корма с остатком равным 13 рублей, что соответствует нашему ОДЗ.

Необязательность ОДЗ

Как я убедился на собственном опыте, ОДЗ, зачастую, необязательно указывать в примерах, хотя именно указание ОДЗ требуют задания в ОГЭ и ЕГЭ, иначе получишь меньше баллов. Это можно увидеть на примере 1 и 2 заданий из исследования. И действительно, при решении этих номеров мы замечаем, что область допустимых значений можно не указывать, так как ее отсутствие никак не повлияет на ответ. Но очень часто в таких случаях хорошо сделанную работу оценивали на тройку.

Примеры-ловушки

Есть ещё задание ловушки это задание когда ОДЗ может сыграть злую шутку. Известно, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, мы можем прийти к неверным решениям. Можно привести пример 3 и 4 заданий из исследовательской работы, но вот еще 1 пример таких уравнений:

Можно привести пример 3 и 4 заданий из исследовательской работы, но вот еще 1 пример таких уравнений:

Из ОДЗ имеем х ? 5. Так как справа стоит положительное выражение, то

а значит, x - 5 > 2x - 1.

Решая последнее неравенство, получим x < -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

Заключение

Подводя некоторый итог всей исследовательской работе, я с уверенностью могу сказать, что некоторые условия ОДЗ для уравнений и неравенств - схожи. ОДЗ, как я доказал, встречается в реальной жизни, притом очень часто; также я показал, что универсального ответа на вопрос: «обязательно ли указывать ОДЗ во всех примерах?» в школьном курсе нет.

Также я доказал свою гипотезу, которая звучала так: «ОДЗ, в действительности, - это следствие возникновения различных условий в функциях, задачах, неравенствах и уравнениях».

Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает вопрос: а какой способ решения лучше всего выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я полагаю, что в ходе своей работы частично ответил на этот вопрос.

Причина учета ОДЗ кажется очевидной, но люди все равно будут противиться тому, чтобы лишний раз записать ОДЗ. И сколько бы ни было различных презентаций, пояснений в учебниках и объяснений со стороны учителей, «война», несмотря ни на что, еще не завершилась и даже не собирается завершаться, что и подтверждает актуальность и важность данной темы.

Но я бы хотел посоветовать всем, всегда учитывать ОДЗ, так как сразу сказать, что в какой-то определенной задаче нет подвоха, удается далеко не всегда.

Список литературы

1. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002.

2. Газета «Математика» №46,15. 1998.

3. Газета «Математика» №15. 2002.

4. Газета «Математика» №17. 2002.

5. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Справочник «Алгебра и элементарные функции» Киев: «Наукова думка»; 1976.

6. Л.Д. Лаппо, А.Н. Филонов ЕГЭ «Математика» типовые текстовые задания. М.: «Экзамен», 2004.

7. И.Г.Алексеев. «Математика, подготовка к ЕГЭ», Саратов: «Лицей», 2005,

8. ЕГЭ «Математика» контрольные измерительные материалы, М.: «Просвещение», 2006.

9. «Избранные вопросы школьного курса математики», выпуск 3, Самара: Самарский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования, 2001.

10. В.И. Рыжик. «25000 уроков математики»., М.: «Просвещение», 1993.

11. А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Мнемозина», 2002.

12. Г.И. Глейзер. «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982.

Размещено на Allbest.ru