Тригонометрические уравнения и их системы. Методы решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова»

Факультет физико-математического и технологического образования

Кафедра методики математического и информационно-технологического образования

Курсовая работа по теме:

Тригонометрические уравнения и их системы. Методы решения

Выполнила:

студентка группы МИ-13-2

Федосеева Мария

Научный руководитель:

к. п. н., доцент

Столярова Ирина Викторовна

Ульяновск, 2016



Оглавление

Введение

Глава 1. Методы решения тригонометрических уравнений

1.1 Тригонометрические функции числового аргумента

1.2 Простейшие тригонометрические уравнения

1.3 Метод замены переменной

1.4 Метод разложения на множители

1.5 Метод решения однородных тригонометрических уравнений

1.6 Метод решения тригонометрических уравнений с использованием универсальной подстановки

1.7 Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

1.8 Отбор корней

Глава 2 Методы решения систем тригонометрических уравнений

2.1 Метод подстановки

2.2 Метод введения новой переменной

2.3 Метод алгебраического сложения и вычитания уравнений

Глава 3 Типология упражнений по решению тригонометрических уравнений и их систем

Заключение

Список литературы



Введение

Тригонометрическим уравнениям и их системам всегда уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук. Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.).

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 - 11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и их систем, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача - формировать у учащихся умения решать уравнения каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.

Проблема в недостаточности разработанности системы упражнений по решению тригонометрических уравнений и их систем

Цель исследования: обобщить и систематизировать теорию и практику, по теме: «Тригонометрические уравнения и их системы. Методы решения».

Объект исследования: тригонометрия, как основная содержательная линия школьного курса математики.

Предмет исследования: Теория и практика решения тригонометрических уравнений и их систем.

Гипотеза исследования: Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения.

Теоретическая значимость - требования к системе задач по решению тригонометрических уравнений и их систем.

Практическая значимость - разработанная система задач которая может быть использована студентами, учителями, при обучение учащихся по тригонометрии.

Под осознанным и качественным изучением тригонометрии понимается процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при реализации которого не допускается формальной передачи знаний, т.е. изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышление.



Глава 1. Методы решения тригонометрических уравнений

1.1 Тригонометрические функции числового аргумента

Для любого действительного числа x существует угол, радианная мера которого равна x. Далее будем говорить: для любого числа x существует угол в x радиан. При этом не будут различаться число x и угол в x радиан.

Функцию у=f(x)называют периодической, если существует числоH?0, такое, что для любого x из области определения функции у=f(x)числаx+Hиx-H также входят в область определения функции у=f(x)и выполняется равенство f(x+H)=f(x).

Число называют периодом функции у=f(x). Наименьший положительный период f(x)называют ее главным периодом.

Обычно рассматривают положительные периоды.

Из данного определения следует, что для любого x области определения функции у=f(x)справедливо равенство f(x-H)=f(x).

Действительно, функция у=f(x)определена в точке и поэтому f(x)=f((x-H)+H)=f(x-H)

Функция у=sinx

Если каждому действительному числу x поставлено в соответствие число у, равное синусу угла в x радиан, то говорят, что этим определена функция у=sinx, называемая синусом числового аргумента x.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел , область изменения -1 ?y ? 1

Отметим некоторые свойства функции у=sinx.

1. Функция у=sin x нечетная.

2. Функция у=sin x периодическая с главным периодом 2р.

3. Функция у=sin x непрерывная.

4. Функция у = sin x на отрезке [ ] возрастает, а на отрезке [] убывает.

График функции у = sinx называют синусоидой.

Рис. 1

Функция у = cos x

Если каждому действительному числу x поставлено в соответствие число у, равное косинусу угла в радиан x, то говорят, что этим определена функция у = cos x, называемая косинусом числового аргумента x.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел ,область изменения -1 ?y ? 1

Отметим некоторые свойства функции у = cos x

1. Функция у = cos x четная.

2. Функция у = cos x периодическая с главным периодом 2р.

3. Функция у = cos x непрерывная.

4. Функция у = cos x на отрезке [0;р ]убывает, а на отрезке [р; 2р] возрастает.

График функции у = cos x называют косинусоидой.

Рис. 2

Функция у = tg x

Если каждому действительному числу x, отличному от, где -k любое целое число, поставлено в соответствие число у, равное тангенсу угла в x радиан, то говорят, что этим определена функция у = tgx, называемая тангенсом числового аргумента x.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел , отличных от , где k, область изменения - интервал .

Отметим некоторые свойства функции у = tg x.

1. Функция у = tg x нечетная.

2. Функция у = tg x периодическая с главным периодом.

3. Функция у = tg x непрерывна на интервале ().

4. Функция у = tg x возрастает на интервале ().

График функции у = tg x называют тангенсоидой. Так как функция у = tg x не определена в точках, то тангенсоида имеет бесконечно много ветвей.

Рис. 3

Функция у = ctg x.

Если каждому действительному числу x, отличному от , где k, поставлено в соответствие число у, равное котангенсу угла в xрадиан, то говорят, что этим определена функция у = ctg x, называемая котангенсом числового аргумента x.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел x, отличных от , где k, областью изменения - интервал .

Отметим некоторые свойства функции у = ctg x..

1. Функция у = ctg x. нечетная.

2. Функция у = ctg x. периодическая с главным периодом.

3. Функция у = ctg x. непрерывна на интервале (0;р ).

4. Функция у = ctg x. убывает на интервале (0;р ).

График функции у = ctgx. называют котангенсоидой. Так как функция не определена в точках , где n, то котангенсоида имеет бесконечно много ветвей.

Рис. 4

1.2 Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Умение решать подобные уравнения своеобразная база в теме решения тригонометрических уравнений. Любое уравнение данной темы сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Рис. 5

Уравнение вида .

Если|а>1| то х

Eсли |а1| то х=

Графическое обоснование решения уравнения cos x = a представлено на рисунке 5.

Особые случаи.

cosx=1;

cosx=-1;

cosx=0;



Рис. 6

Уравнение вида .

Если |а>1| то х

Eсли |а1| то х=

Графическое обоснование решения уравнения sin x = a представлено на рисунке 6.

Особые случаи.

Рис. 7



Уравнение вида .

.

Графическое обоснование решения уравнения tg x=а представлено на рисунке 7.

Рис. 8

Уравнение вида ctgx = a.

Графическое обоснование решения уравнения ctg x=а представлено на рисунке 8.

Примеры:

Составим формулу решений:

Вычислим значение арккосинуса:

Подставим найденное значение в формулу решений:

Составим формулу решений:

Вычислить значение арккосинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решения уравнения оставим в полученном виде.

Cоставим формулы решений:

Вычислим значение арксинуса:

Подставим найденное значение в формулы решений:

, .

Составим формулы решений:

, 

Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем поэтому запись решений можно оставить в полученном виде или, учтя, что записать так:

,

Составим формулу решений:

Находим, что ; подставив найденное значение в формулу решений, получим:

Составим формулу решений:.

Вычислим :

Подставим найденное значение в формулу решений:



1.3 Метод замены переменной

Метод замены переменной универсальный прием, который применяется в любых уравнениях -- степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических. Для того что бы увидеть необходимость сделать замену, часто исходное уравнение сначала требуется преобразовать.

Алгоритм:

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Рассмотрим примеры:

Решить уравнение:

Преобразуем его, применим основное тригонометрическое тождество:

Заменим sinx на tи придем к квадратному уравнению:

Найдем корни уравнения:

Теперь возвращаемся к переменной x. Подставляя первый корень в уравнение , получаем уравнение Оно не имеет решений, так как -1? sinx ?1. Подставляя второй корень получаем уравнение sinx=1. Решаем его и получаем наш ответ

.

Ответ:

Рассмотрим еще один пример немного сложнее предыдущего.

Так как , есть смысл ввести новую переменную: , тогда получаем уравнение с новой переменной:

Преобразовываем уравнение:

Возвращаясь к переменной х, получаем два уравнения:

, .

Из первого уравнения находим: преобразуем и получаем

Из второго уравнения находим:, .

Ответ: .

1.4 Метод разложения на множители

Теперь поговорим о еще одном методе решения тригонометрических уравнений -- методе разложения на множители.

Решение уравнений, в которых в левой части стоит один или несколько множителей, а в правой части ноль достаточно просто, так, как нам известно, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из этих множителей равен нулю. В этом случае решение сводится к разбиению сложного уравнения на уравнения более простые. Иначе говоря, если уравнение f(x)=0удается преобразовать к виду , то либо либо .

Рассмотрим уравнение sin 2x = cos x.

Применяем формулу синуса двойного угла:2 sin x cos x = cos x

В подобных примерах многие школьники совершают одинаковую ошибку, начинают делить на сosx. Этого нельзя делать т.к. сosx может обратиться в ноль, и будут потеряны корни уравнения. Поэтому переносим всё в одну сторону, а общий множитель выносим за скобки:

2 sin x cos x ? cos x = 0,

cosx(2 sinx ? 1) = 0.

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cos x = 0 и 2 sin x ? 1 = 0. Решаем каждое из них и берём объединение множества решений.



Ответ:

Рассмотрим уравнение

sin 3x + sin 7x = 2 sin 5x.

Применим формулу суммы синусов, получаем:

2 sin 5x cos 2x = 2 sin 5x.

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

2 sin 5x cos 2x ? 2 sin 5x = 0,

2 sin 5x(cos 2x ? 1) = 0.

Решаем уравнение sin 5x = 0:.

Решаем уравнение cos 2x ? 1 = 0: .

Решение является более общим, т.к. если в этом решении число n кратно 5, то мы получим все решения

.

Ответ: .

Так же встречаются уравнения, для решения которых необходимо превратить произведение множителей в сумму или разность.

Решим уравнение: sin 2x sin 6x = cos x cos 3x.

Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть -- в сумму косинусов:

2 sin 2x sin 6x = 2 cos x cos 3x,

cos 4x ? cos 8x = cos 2x + cos 4x,

cos 2x + cos 8x = 0,

2 cos 5x cos 3x = 0.

И снова получаем два уравнение 2 cos 5x=0 и cos 3x = 0.

Решая их получаем

.

Ответ: .

Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:

Воспользуемся формулой понижения степени:

Получаем:

cos 4x + cos 6x = 0,

Воспользуемся формулой суммы косинусов и получим:

2сos5xcosx=0



Получаем два уравнения 2сos5x=0 и cosx=0

, .

Ответ:

1.5 Метод решения однородных тригонометрических уравнений

Рассмотрим уравнение:

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена -- это сумма степеней входящих в него сомножителей).

Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения -- деление обеих его частей на .Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Предположим, что cos x = 0. Тогда в силу уравнения и sin x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию, и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: и дальнейший ход решения трудностей не представляет.

Рассмотрим уравнение

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение



3(:

Поделим обе его части на и получим:

Заменим на w и получим квадратное уравнение:

Вернемся к переменной х и получим:

, ;

Ответ:

1.6 Метод решения тригонометрических уравнений с использованием универсальной подстановки

Универсальная тригонометрическая подстановка подразумевает выражение функций cos, sin, tg, ctg любого угла через тангенс половинного угла. Именно поэтому она и получила свое название - универсальная подстановка.

Рассмотрим эти формулы:

Данные формулы справедливы для всех углов a, при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы

Для формул синуса и косинуса имеют место для , т.к. при тангенс половинного угла не определен.

Формула тангенса имеет место для и т.к. при тангенс угла a не определен, а при не определен тангенс половинного угла.

Формула, выражающая котангенс через тангенс половинного угла, справедлива для a?т.к. приa=не определен котангенс, а при тангенс половинного угла не определен, а при a=знаменатель дроби обращается в нуль.

Разберем вывод формул для синуса и косинус

Представим синус и косинус по формулам двойного угла как

и

Теперь запишем правые части в виде дробей со знаменателем 1,как

и

Используя основное тригонометрическое тождество преобразуем

и



Далее делим и числитель и знаменатель дробей на (он отличен от нуля в том случае, когда ).

и

и

Рассмотрим примеры:

Решим уравнение sin 2x + tg x = 2

Выразим sin 2x, используя универсальную подстановку:

Делаем замену t = tgx

Получаем кубическое уравнение:

Уравнение имеет единственный корень t=1, т.к. квадратное уравнение не имеет решений. Возвращаясь к переменной x получаем:

Cужения ОДЗ в данном случае не было, т.к. уравнение с самого начала содержало tgx.

Рассмотрим уравнение: 6 + 6 cos x + 5 sin x cos x = 0

В этом случае использование универсальное подстановки будет сужать ОДЗ, поэтому сначала подставляем в уравнение и убеждаемся, что это решение.

Теперь обозначаем t=и применяем универсальную подстановку

ни при каких значениях не обращается в нуль, поэтому умножим обе части уравнения на , после простых алгебраических преобразований получаем:

Следовательно, =2и x=2arctg2+2рk

Ответ:

1.7 Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций и , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке , то при наличии у уравнения корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция ограничена сверху, причем , а функция ограничена снизу, причем , то уравнение равносильно системе уравнений

Решить уравнение

Преобразуем исходное уравнение к виду

и решим его как квадратное относительно . Тогда получим,

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции , приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке . На этом промежутке функция возрастает, а функция убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим .

Ответ. .

Решить уравнение

Пусть , и , тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения . Поскольку функция нечетная, то . В таком случае получаем уравнение .

Так как , и монотонна на , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , которое имеет единственный корень .

Ответ. .

Решить уравнение .

На основании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция убывающая (функция убывающая, возрастающая, убывающая). Отсюда понятно, что функция определенная на , убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня. Так как , то

Ответ. .

Решить уравнение .

Рассмотрим уравнение на трех промежутках.

а) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению . Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , , а . На промежутке исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. , а .

б) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению корнями которого на промежутке являются числа , , , .

в) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , а . На промежутке уравнение так же решений не имеет, т. к. , , а .

Ответ. , , , .

1.8 Отбор корней

При решении тригонометрических уравнений часто возникает проблема отбора корней, и она сильнее, чем в алгебраических уравнениях. В этом параграфе постараемся разобрать пример, в котором отобрать корни достаточно сложно.

Найти ближайший к числу корень уравнения



Подставляя последовательно в формулу вместо переменной x значения описанные выше, отыщем для каждой из них,а после сравним эти минимальные значения между собой.

а)

Ясно, что достигается приk=1, то есть .

б)

в) .

г) .

Выберем минимальное из чисел. Сразу ясно, что и что. Теперь необходимо сравнить и. Предположим, что



Наблюдаем что последнее неравенство верное, и все сделанные переходы равносильные. Отсюда делаем вывод, что и исходное неравенство верно. Теперь объясним равносильность (*) и (**).

В случае преобразования (*), достаточно заметить, что числа и расположен на участке монотонного возрастания функции sin x.

В случае перехода (**) формула справедлива, так как .

Ответ..



Глава 2. Методы решения систем тригонометрических уравнений

2.1 Метод подстановки

Приступая к решению тригонометрических систем, сначала следует проверить, нельзя ли из какого-либо уравнения данной системы выразить одну из переменных через другие и перейти к решению системы с меньшим числом уравнений или вовсе свести ее к одному уравнению. Такой метод решения называется методом подстановки.

Не всегда такой метод решения является оптимальным. Иногда сначала следует упросить каждое уравнение системы и только потом решать их в совокупности. В отдельных случаях следует вовсе отказаться от данного метода, и попытаться решать систему по-другому.

Рассмотрим примеры:

Решить систему:

Выразим из второго уравнения переменную y= и подставим в первое уравнение:



Ответ: (

Решить систему уравнений:

Из второго уравнения выразим и подставим в первое уравнение

Преобразуем:, то подставляя получаем:

Квадратный трехчлен относительно sinxне равен нулю как имеющий отрицательный дискриминант. Поэтому sinx=1.

Ответ:

Решите систему уравнений:

Первое уравнение системы равносильно уравнению:



Тогда наша система равносильна совокупности трех систем:

Первая система имеет решение только при k=0 (при других k модуль|x|>1), и ее решениями будут упорядоченные пары чисел (0,-1) и (0,1).

Аналогично находим решения для второй системы в виде упорядоченных пар чисел (-1, 0) и (1,0)

Третья система имеет решение только при k=0так как при других kмодуль |2| >6 и

|x|+|y|?|x+y|=|2|>6, следовательно



Ответ: {

2.2 Метод введения новой переменной

Следующий распространенный подход к решению систем тригонометрических уравнений - решение с помощью метода замены переменной.

Если система содержит несколько комбинаций тригонометрических функций или приводиться к системе такого вида, то следует проверить возможность сведения этой системы к более простой путем обозначения этих комбинаций новыми переменными.

Рассмотрим примеры:

Решить систему:

Замена приводит к алгебраической системе

Данная система решается легко, и после проверки остается единственное решение и после обратной замены, получаем два простейших тригонометрических уравнения:

Откуда получаем, что

Ответ: (

В записи ответа фигурируют два целочисленных параметра k иn.

В данном случае было бы ошибкой использовать лишь один целочисленный параметр и записать ответ в виде , это привело бы к потере бесконечного множества решений системы. Например потерялось бы решение (возникающее при k=1, n=0.

Решить систему уравнений:

Для начала преобразуем второе уравнение воспользовавшись формулами двойного угла и основного тригонометрического тождества:

Вводим замену:и получаем систему:

Решениями этой системы будут две пары:

Остается сделать обратную замену

или

Ответ:

Решить систему уравнений:

(1)

Заменим переменные:

sin(-2x)=, tg 5y=

Приводим систему к алгебраическому виду

(2)

Правые части уравнений равны, следовательно, имеем право приравнять левые части:

Cледовательно, система (2) равносильна совокупности двух систем.

Первая система:



Имеет два решения: и

Вторая система:

Не имеет решений, так как содержит квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

Следовательно, у системы (2) только два решения ( и ( причем

а

Т.к. то система (2) равносильна системе

Ответ: {,



2.3 Метод алгебраического сложения и вычитания уравнений

Метод алгебраического сложения и вычитания, так же как и метод подстановки заключается в том, что изначально из двух уравнений с двумя переменными нужно получить одно уравнение с одной переменной. Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере:

Решить систему

Cкладывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему:

А эта система в свои очередь равносильна совокупности двух систем:

или

Отсюда:

или 

Ответ: ,

Решить систему

Возведем в квадрат обе части уравнения, что бы избавится от квадратного корня:

Сложим полученные уравнения:

Это - следствие исходной системы; то есть, для всякой пары (х,у), являющейся решением системы, второе число этой пары будет иметь вид рnс некоторым целым n

Разбиваем у на две серии:

Подставляем в исходную систему:



Решением данной системы является серия

, k

(Следует обратить внимание, что теперь недостаточно было бы подставить в какое-то одно из уравнений системы. Подстановка в первое и второе уравнение системы приводит к системе двух разных уравнений относительно х).

Аналогично, подставляем в исходную систему

Отсюда:

, k

Ответ: ,



Глава 3. Типология упражнений по решению тригонометрических уравнений и их систем

Рис. 9

К методам решения простейших тригонометрических уравнений относятся:

Составим формулы решений:

,

Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем поэтомузапись решений можно оставить в полученном виде или, учтя, что записать так:



,

Составим формулу решений:

Находим, что ; подставив найденное значение в формулу решений, получим:

К методам решения тригонометрических уравнений методом замены переменной относится:

Решить уравнение:

Преобразуем его, применим основное тригонометрическое тождество:

Заменим sinx на tи придем к квадратному уравнению:

Найдем корни уравнения:

К методам решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители относится:

Воспользуемся формулой понижения степени: 

Получаем:

cos 4x + cos 6x = 0,

Воспользуемся формулой суммы косинусов и получим:

2сos5xcosx=0

Получаем два уравнения 2сos5x=0 и cosx=0

, .

Ответ:

К методам решения однородных тригонометрических уравнений относится:

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение 3(:

Поделим обе его части на и получим:

Заменим на w и получим квадратное уравнение:

Вернемся к переменной х и получим:

, ;

Ответ:

К методу решения тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки относится:

sin 2x + tg x = 2

Выразим sin 2x, используя универсальную подстановку:

Делаем замену t = tgx

Получаем кубическое уравнение:

Уравнение имеет единственный корень t=1, т.к. квадратное уравнение не имеет решений. Возвращаясь к переменной x получаем:

К методу решения функциональных тригонометрических уравнений относится:

Решить уравнение

Пусть , и , тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения . Поскольку функция нечетная, то . В таком случае получаем уравнение .

Так как , и монотонна на , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , которое имеет единственный корень .

Ответ. .

К решению тригонометрических систем методом введения новой переменной относится:

Решить систему уравнений

Решим первое уравнение системы



Поскольку t-неотрицательное число, то второй корень должен быть отброшен. Следовательно:

1 cлучай: , т.к. то в этом случае решений нет.

2 случай:

Ответ: (2,

К методам решения тригонометрических систем методом алгебраического сложения и вычитания относится:

Решить систему

Cкладывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему:



А эта система в свои очередь равносильна совокупности двух систем:

или

Отсюда:

или

Ответ: ,

К методам решения тригонометрических систем методом подстановки относится:

Решите систему уравнений:

Первое уравнение системы равносильно уравнению:

Тогда наша система равносильна совокупности трех систем:

Первая система имеет решение только при k=0 (при других k модуль |x|>1), и ее решениями будут упорядоченные пары чисел (0,-1) и (0,1).

Аналогично находим решения для второй системы в виде упорядоченных пар чисел (-1, 0) и (1,0)

Третья система имеет решение только при k=0так как при других k модуль |2| >6 и

|x|+|y|?|x+y|=|2|>6, следовательно

Ответ: {



Заключение

числовой аргумент множитель уравнение

Проработав много литературы по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения и неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.

С решением уравнений, в которых переменная входит под знак одной или нескольких тригонометрических функций, так или иначе связаны многие задачи тригонометрии, стереометрии, физики и др. Процесс решения таких задач как бы синтезирует в себе практически все знания и умения, которые учащиеся приобретают при изучении элементов тригонометрии. Поэтому учитель сталкивается с довольно сложной проблемой выделения тех идей изучаемого материала, которые лежат в основе способов решения рассматриваемых задач, с целью их последующего обобщения и систематизации. Это важно и для осознанного усвоения учащимися теории, и для овладения некоторыми достаточно общими способами решения математических задач. Следует также заметить, что решение тригонометрических уравнений не только создает предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных с материалом тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приемы преобразования тригонометрических выражений и т.д.), но и дает возможность установить действенные связи с изученным алгебраическим материалом (уравнение, равносильность уравнений, виды алгебраических уравнений, способы их решения, приемы преобразования алгебраических выражений и т.п.). В этом состоит одна из особенностей материала, связанная с изучением тригонометрических уравнений.

Другая особенность - в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, - в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.

Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений. Разработанная типология вполне может помочь преподавателю справится с этой задачей.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.



Список литературы

1. Гнездовский Ю.Ю. Тригонометрические системы/Ю.Ю. Гнездовский, В.Н. Горбузов.-222с.

2. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 - 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. - 335 с.: ил.

3. Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.

4. Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”:ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2000. - 336с.:ил.

6. Мордкович А.Г.Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.

7. Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г.

8. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.

9. Бородуля И. Т.Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для учителя.-- М.: Просвещение, 1989.-- 239 с: ил.

10. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26.

11. ШабунинМ. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13,1995г.

Размещено на Allbest.ru