Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ

1.1 Побудова таблиці істинності

1.2 Подання булевої функції в ДНФ, КНФ, ДДНФ, ДКНФ методом рівносильних перетворень

1.3 Знаходження ДДНФ, ДКНФ табличним способом

1.4 Знаходження мінімальних ДНФ і КНФ булевої функції методами Квайна та Мак-Класкі

РОЗДІЛ 2. ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ ЗНАХОДЖЕННЯ МІНІМАЛЬНОГО ШЛЯХУ

2.1 Знаходження мінімального шляху без обмеження числа дуг

2.2 Знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 3 дуги

2.3 Знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 4 дуги

2.4 Знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 5 дуг

РОЗДІЛ 3. ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЕНЬ

3.1 Правило висновку - стверджуючий модус

3.2 Правило заперечення - негативний модус

3.3 Правила ствердження-заперечення

3.4 Правила заперечення-твердження

3.5 Правило транзитивності (спрощене правило силогізму)

3.6 Правило контрапозиції

3.7 Правило складної контра позиції

3.8 Правило перерізу

3.9 Правило імпортації (об'єднання посилок)

3.10 Правило експортації (роз'єднання посилок)

3.11 Правила дилем

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Розв'язування завдань, які стоять сьогодні перед Україною як самостійною державою, вимагає нового економічного мислення не лише від представників влади, не лише від господарників, а від всіх суб'єктів господарської діяльності. І в першу чергу це стосується студентів, майбутніх спеціалістів в галузі економіки, а саме економістів, бухгалтерів , менеджерів, маркетологів й т.д.

Для кращого розуміння багатьох управлінських ситуацій фахівцеві необхідно володіти засобами конструктивного аналізу ситуацій, засобами моделювання. Але економічні ситуації, які потребують вирішення, не завжди мають бути описані за допомогою апарату класичної математики. Крім того, широке розповсюдження сучасної обчислювальної техніки, її інтенсивне використання у всіх галузях, в економіці тощо, як засіб автоматизації інтелектуальної діяльності людини, яке сприяло вивченню процесів прийняття рішень, надало додатковий імпульс застосуванню методів аналізу формалізації процесів прийняття рішень в реальних управлінських ситуаціях, для реальних економічних процесів та систем. До таких методів формалізації відносяться методи дискретної математики, апарат якої все більше розширює сферу прикладних досліджень.

Курсове проектування є завершальним етапом вивчення студентами дисциплін «Дискретні структури» та «Методи дискретного аналізу», передбачених навчальним робочим планом спеціальності 6.030502 - «Економічна кібернетика». Задачами курсового проектування є закріплення, систематизація, розвиток теоретичних знань і практичних навичок, отриманих студентами в процесі вивчення дисципліни «Дискретні структури», а також придбання ними практичних навичок самостійного творчого вирішення загальнотеоретичних, методичних і практичних питань дискретної математики.

Основною метою курсового проектування є вивчення, аналіз та вирішення питань, пов'язаних з різними аспектами булевої алгебри, теорії графів та логіки висловлень; формування навичок самостійної творчої роботи і закріплення теоретичних знань, отриманих при вивченні курсу, а також суміжних загальнотеоретичних і спеціальних дисциплін, розвиток технічного мислення студента.



РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ

1.1 Побудова таблиці істинності

Таблимця імстинності -- математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

Під «логічною функцією» (також логічною операцією) в даному випадку розуміється функція, у котрої значення змінних (параметрів функції) і значення самої функції виражають логічну істинність.

Для заданої булевої функції знаходимо таблицю істинності (табл. 1.1).

Таблиця 1.1 Таблиця істинності

F(a,b,c,d)	cd	bcd		ab
0000	0	0	1	0	0	1	1
0001	0	0	1	0	0	1	1
0010	0	0	1	0	0	1	1
0011	1	1	0	0	0	0	1
0100	0	1	0	0	0	0	1
0101	0	1	0	0	0	0	1
0110	0	1	0	0	0	0	1
0111	1	1	0	0	0	0	1
1000	0	0	1	0	0	1	1
1001	0	0	1	0	0	1	1
1010	0	0	1	0	0	1	1
1011	1	1	0	0	0	0	0
1100	0	1	0	0	0	0	0
1101	0	1	0	1	0	0	0
1110	0	1	0	1	1	1	1
1111	1	1	0	1	1	1	1



1.2 Подання булевої функції в ДНФ, КНФ, ДДНФ, ДКНФ методом рівносильних перетворень

Логічний добуток будь-якої кількості різних змінних (символів), що входять із запереченням або без нього, називається елементарною кон'юнкцією. Якщо функцію подано формулою у вигляді диз'юнкції елементарних кон'юнкцій, то кажуть, що її подано диз'юнктивною нормальною формою (ДНФ).

Знаходимо ДНФ для заданої булевої функції :

,

Досконалою диз'юнктивною нормальною формою (ДДНФ) формули, що містить різних змінних, називається ДНФ, яка має такі властивості:

1) в ній немає однакових доданків;

2) жоден із доданків не містить двох однакових співмножників;

3) жоден із доданків не містить змінну разом з її запереченням;

4) в кожному окремому доданку є як співмножник або змінна або її заперечення для будь-якого .

Знаходимо ДДНФ для заданої булевої функції :

,

Логічна сума будь-якої кількості різних незалежних змінних, що входять із запереченням або без нього, називається елементарною диз'юнкцією. Якщо яку-небудь функцію задано формулою у вигляді кон'юнкції елементарних диз'юнкцій, то функцію задано її кон'юктивною нормальною формою (КНФ).

Знаходимо КНФ для заданої булевої функції :

,

Будь-яка логічна функція, за виключенням рівної константі 1, може бути задана і своєю довершеною кон'юктивною нормальною формою (ДКНФ). ДКНФ логічної функції називається її КНФ, що задовольняє такі умови:

1) в ній немає двох однакових співмножників;

2) жоден зі співмножників не містить двох однакових доданків;

3) жоден зі співмножників не містить якої-небудь змінної разом з її запереченням;

4) кожен співмножник містить як складову або для будь-якого .

Знаходимо ДКНФ для заданої булевої функції :



,

1.3 Знаходження ДДНФ, ДКНФ табличним способом

Знаходимо ДДНФ та ДКНФ за «одиницями» та «нулями» заданої булевої функції (табл. 1.2):

Таблиця 1.2 Таблиця ДДНФ та ДКНФ

F(a,b,c,d)		ДДНФ	ДКНФ
0000	1
0001	1
0010	1
0011	1
0100	1
0101	1
0110	1
0111	1
1000	1
1001	1
1010	1
1011	0
1100	0
1101	0
1110	1
1111	1	аbcd

ДДНФ: abcd

ДКНФ:

1.4 Знаходження мінімальних ДНФ і КНФ булевої функції методами Квайна та Мак-Класкі

При мінімізації за методом Квайна передбачається, що початкова функція задається в ДДНФ. Використовується перетворення ДДНФ за допомогою операцій неповного склеювання і поглинання.

Метод Квайна виконується в декілька етапів:

1) Етап склеювання:

1. Провести в ДДНФ функції всі можливі операції неповного склеювання конституент одиниці. У результаті утворяться добутки - мінтерми -го рангу (кон'юнкція -го рангу). Потім проводять операцію поглинання.

2. Провести можливі склеювання членів -го рангу, потім поглинання. Отримують кон'юнкцію -го рангу.

3. Виконати операції склеювання членів з числом літер -го рангу. Отримуємо кон'юнкцію -го рангу і т.д.

2) Розставляння міток. На етапі розставляння міток складається таблиця, число рядків якої дорівнює числу отриманих первинних імплікант функції, що мінімізується. Число стовпців співпадає з числом мінтермів ДДНФ. Якщо в деякий мінтерм ДДНФ входить яка-небудь з первинних імплікант, то на перетині відповідного стовпця і рядка ставиться мітка.

3) Знаходження істотних імплікант. Якщо в якому-небудь з стовпців складеної таблиці є тільки одна мітка, то первинна імпліканта, що стоїть у відповідному рядку, називається істотною імплікантою. Істотна імпліканта не може бути виключена з правої частини початкового рівняння, оскільки без неї не буде отримане покриття всієї множині мінтермів даної функції. Тому з таблиці міток виключаються рядки, відповідні істотним імплікантам, і стовпці мінтермів, що покриваються цими істотними імплікантами. При переході до наступного етапу ці мінтерми можуть бути викреслені.

4) Викреслювання зайвих стовпців. Досліджується таблиця, отримана після 3-го етапу. Якщо в ній є 2 стовпці, в яких є мітки в однакових рядках, то один з них викреслюється. Це можна зробити внаслідок того, що покриття стовпця, що залишився, будемо здійснювати покриттям викинутого мінтерма.

5) Викреслювання зайвих первинних імплікант. Якщо після викидання деяких зайвих стовпців на 4-ому етапі в таблиці з'являються рядки, в яких немає жодної мітки, то первинні імпліканти, відповідні цим рядкам, виключаються з подальших розглядів, оскільки вони не покривають ті мінтерми, що залишилися в розгляді.

6) Вибір мінімального покриття максимальними інтервалами. Досліджується отримана таблиця. Вибирається така сукупність первинних імплікант, яка виключає мітки у всіх стовпцях (принаймні по одній мітці в кожному стовпці). При декількох можливих варіантах такого вибору віддається перевага варіанту покриття з мінімальним сумарним числом літер в простих імплікантах, створюючих покриття.

Ідея Мак-Класкі полягає в наступному. Якщо записати мінтерми у вигляді їх двійкових номерів, то всі номери можна розбити по числу одиниць в цих номерах на непересічні групи. При цьому в i-ую групу увійдуть всі номери, що мають в своєму двійковому записі рівно i одиниць. Попарне порівняння можна робити тільки між сусідніми за номером групами, оскільки тільки ці групи відрізняються для тих мінтермів, що входять в них, в одному розряді. При створенні мінтермів з рангом вище нульового, в розряди, відповідні виключеним змінним, пишеться знак тире. Така модифікація, крім того, на практиці надзвичайно зручна, оскільки дозволяє уникнути виписування громіздких мінтермів і імплікант, замінюючи їх виписування їх двійковим номером. Подальша мінімізація за методом Мак-Класкі співпадає з мінімізацією за методом Квайна. Знаходимо мінімальну ДНФ методом Квайна (табл. 1.3-1.6).

Таблиця 1.3 Таблиця склеювання до 3-ох змінних

	1
		1
			1
				1
					1
						1
							1
								1
									1
										1
											1
												1
abcd													1

Таблиця 1.4 Таблиця склеювання до 2-ох змінних

	1
		1
			1
				1
					1
						1
							1
								1
									1
										1
											1
												1
													1
														1
															1
																1
																	1
																		1
																			1
																				1
																					1

Таблиця 1.5 Таблиця склеювання до 1-єї зміної

	1
		1
			1
				1
					1
						1
							1
								1
									1

Таблиця 1.6 Таблиця вибору мінімального покриття максимальними інтервалами

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Мінімальна ДНФ

1.

2.

Знаходимо мінімальну КНФ методом Квайна (табл. 1.7-1.8).

Таблиця 1.7 Таблиця склеювання до 3-ох змінних

	1
		1
			1

Таблиця 1.8 Таблиця вибору мінімального покриття максимальними інтервалами

	+
		+	+

Мінімальна ДНФ

Знаходимо ДНФ методом Мак-Класкі (табл. 1.9-1.14).

Таблиця 1.9 ДНФ за «одиницями» таблиці істиності

F(a,b,c,d)
0000	1
0001	1
0010	1
0011	1
0100	1
0101	1
0110	1
0111	1
1000	1
1001	1
1010	1
1110	1
1111	1

Таблиця 1.10 Таблиця групування

0 група	0000'
1 група	0001', 0010', 0100', 1000'
2 група	0011', 0101', 0110', 1001', 1010'
3група	0111', 1110'
4група	1111'



Таблиця 1.11 Таблиця склеювання до 3-ох змінних

0 група	000-`, 00-0', 0-00', -000'
1 група	00-1', 0-01', -001', 001-`, 0-10', -010', 010-`, 01-0', 100-`, 10-0'
2 група	0-11, 01-1', 011-`, 1-10', -110'
3 група	-111, 111-

Таблиця 1.12 Таблиця склеювання до 2-ох змінних

0 група	00--`, -00-, -0-0, 0--0', 0-0-`,
1група	0--1', 0-1-`, --10, 01--`
2група	-11-

Таблиця 1.13 Таблиця склеювання до 1-єї змінної

0 група	-00-, -0-0,
1група	0---, --10
3група	-11-

Таблиця 1.14 Таблиця вибору мінімального покриття максимальними інтервалами

F(a,b,c,d)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Мінімальна ДНФ

1.

2.



Знаходимо мінімальну КНФ методом Мак-Класкі (табл. 1.15-1.18).

Таблиця 1.15 ДНФ за «одиницями» таблиці істиності

F(a,b,c,d)
1011	0
1100	0
1101	0

Таблиця 1.16 Таблиця групування

2 група	1100'
3група	1011, 1101'

Таблиця 1.17 Таблиця склеювання до 3-ох змінних

3група	110-

Таблиця 1.18 Таблиця вибору мінімального покриття максимальними інтервалами

F(a,b,c,d)
	+
		+	+

Мінімальна ДНФ



РОЗДІЛ 2. ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ ЗНАХОДЖЕННЯ МІНІМАЛЬНОГО ШЛЯХУ

2.1 Знаходження мінімального шляху без обмеження числа дуг

Знаходимо мінімальний шлях без обмеження числа дуг (табл. 2.1-2.2).

Таблиця 2.1 Таблиця знаходження мінімального шляху

	?	?	2	?	7	9	?	?
	6	?	?	?	?	?	?	3
	?	?	?	?	3	?	1	?
	?	1	4	?	6	?	?	?
	?	?	?	?	?	4	6	?
	?	?	?	3	?	?	?	?
	?	9	?	?	?	4	?	12
	?	?	?	3	1	?	?	?

Таблиця 2.2 Таблиця знаходження мінімального шляху без обмеження числа дуг

I=1	0	0	0	0	0	0	0	0
I=2	?	?	?	12	12	11	11	11
I=3	?	2	2	2	2		2	2
I=4	?	?	12	12	10	10	10	10
I=5	?	7	5	5	5	5	5	5
I=6	?	9	9	7	7	7	7	7
I=7	?	3	3	3	3	3	3	3
I=8	?	?	?	15	15	15	14	14

Мінімальний шлях:, довжина шляху дорівнює 14.



2.2 Знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 3 дуги

Знаходимо мінімальний шлях, що містить не більше ніж 3 дуги (табл. 2.3).

Таблиця 2.3 Таблиця знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 3 дуги

I=1	0	0	0	0
I=2	?	?	?	12
I=3	?	2	2	2
I=4	?	?	12	12
I=5	?	7	5	5
I=6	?	9	9	7
I=7	?	3	3	3
I=8	?	?	?	15

Мінімальний шлях: довжина шляху дорівнює 15.

2.3 Знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 4 дуги

Знаходимо мінімальний шлях, що містить не більше ніж 3 дуги (табл. 2.4).

Таблиця 2.4 Таблиця знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 4 дуги

I=1	0	0	0	0	0
I=2	?	?	?	12	12
I=3	?	2	2	2	2
I=4	?	?	12	12	10
I=5	?	7	5	5	5
I=6	?	9	9	7	7
I=7	?	3	3	3	3
I=8	?	?	?	15	15

Мінімальний шлях: довжина шляху дорівнює 15.

2.4 Знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 5 дуг

Знаходимо мінімальний шлях, що містить не більше ніж 5 дуг (табл. 2.5). математичний висловлення транзитивність імпортація

Таблиця 2.5 Таблиця знаходження мінімального шляху, що містить не більше ніж 5 дуг

I=1	0	0	0	0	0	0
I=2	?	?	?	12	12	11
I=3	?	2	2	2	2	2
I=4	?	?	12	12	10	10
I=5	?	7	5	5	5	5
I=6	?	9	9	7	7	7
I=7	?	3	3	3	3	3
I=8	?	?	?	15	15	15

Мінімальний шлях: довжина шляху дорівнює 15.



РОЗДІЛ 3. ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЕНЬ

3.1 Правило висновку - стверджуючий модус

„Якщо істинне, що з висловлення випливає висловлення і висловлення істинно, то істинно й висловлення ”.

,

1. Якщо ціна на товар підвищилась, то пропозиція також підвищилась. Ціна на товар підвищилась. Отже, пропозиція підвищилась.

А - ціна на товар, В - пропозиція.

2. Якщо дохід зростає, то попит підвищується. Дохід зростає. Отже, попит підвищується.

А - дохід, В - попит.

3. Якщо зростає собівартість, зростає ціна. Собівартість зростає. Отже, ціна підвищується.

А - собівартість, В - ціна.

4. Якщо зростає чисельність вибулих, то зростає коефіцієнт обороту за вибуттям. Чисельність вибулих зростає. Отже, зростає коефіцієнт обороту за вибуттям. А - чисельність вибулих, В - коефіцієнт обороту за вибуттям.

5. Якщо трудові ресурси знижуються, то знижується продуктивність праці. Трудові ресурси знижуються. Отже, знижується продуктивність праці.

А - трудові ресурси, В - продуктивність праці.

3.2 Правило заперечення - негативний модус

Якщо з випливає істинно, але висловлення хибне (істинне ), то хибне (істинне )”:



,

1. Якщо ціна на товар підвищується, то пропозиція також підвищується. Ціна не підвищується. Отже, пропозиція не підвищується.

А - ціна на товар, В - пропозиція.

2. Якщо дохід зростає , то попит підвищується. Дохід не зростає. Отже, ціна не підвищується.

А - дохід, В - попит.

3. Якщо зростає собівартість, то зростає ціна. Собівартість не зростає. Отже, ціна не підвищується.

А - собівартість, В - ціна.

4. Якщо зростає чисельність вибулих, то зростає коефіцієнт обороту за вибуттям. Чисельність вибулих не зростає. Отже, не зростає коефіцієнт обороту за вибуттям.

А - чисельність вибулих, В - коефіцієнт обороту за вибуттям.

5. Якщо трудові ресурси знижуються, то знижується продуктивність праці. Трудові ресурси не знижуються. Отже, не знижується продуктивність праці

А - трудові ресурси, В - продуктивність праці

3.3 Правила ствердження-заперечення

„Якщо справедливо або висловлення , або висловлення (у розділовому змісті) і істинно одне з них, то інше хибне”

,

1. Підприємства бувають малі або великі. Підприємство мале. Отже, воно не велике.

А - малі підприємства, В - великі підприємства.

2. Показники планування бувають натуральні або вартісні. Отже, якщо показники натуральні, то вони не вартісні.

А - натуральні показники, В - вартісні показники.

3. Планування буває перспективним або поточним. Отже, якщо планування перспективне то воно не поточне.

А - перспективне планування, В - поточне планування.

4. Робітники бувають основні або допоміжні. Отже, якщо робітники основні то вони не допоміжні.

А - основні робітники, В - допоміжні робітники.

5. Керівники бувають лінійні або функціональні. Отже, якщо керівники лінійні то вони не функціональні.

А - лінійні керівники, В - функціональні керівники.

3.4 Правила заперечення-твердження

А) „Якщо істинно або , або (у розділовому змісті) і хибне одне з них, то істинне інше”

,

1. Підприємство може розширювати або звужувати товарний асортимент. Отже, якщо підприємств не розширює товарний асортимент, то воно його звужує.

А - підприємство розширює товарний асортимент, В - підприємство звужує товарний асортимент.

2. Продуктивність праці вимірюють за трудомісткістю або за виробітком. Отже, якщо продуктивність праці вимірюють не за трудомісткістю то за виробітком.

А - продуктивність праці за трудомісткістю, В - продуктивність праці за виробітком.

3. Чинники зростання продуктивності праці бувають зовнішні або внутрішні. Отже, якщо чинники зростання продуктивності праці не зовнішні, то вони внутрішні.

А - зовнішні чинники зростання продуктивності праці, В - внутрішні чинники зростання продуктивності праці

4. Діяльність може бути звичайна або надзвичайна. Отже, якщо діяльність не звичайна, то вона надзвичайна.

А - звичайна діяльність, В - надзвичайна діяльність.

5. Припинення діяльності може здійснюватися шляхом реорганізації або ліквідації. Отже, якщо діяльність не здійснюється шляхом реорганізації, то воно здійснюється шляхом ліквідації.

А - припинення діяльності шляхом реорганізації, В - припинення діяльності ліквідації.

Б) „Якщо істинно або (у нерозділовому змісті) і хибне одне з них, то істинне інше"

,

1. Витрати бувають постійні або змінні. Отже, якщо витрати не постійні, то вони змінні.

А - постійні підприємства, В - змінні підприємства

2. Підприємства бувають унітарні і корпоративні. Отже, якщо підприємство не унітарне, то воно корпоративне.

А - унітарні підприємства, В - корпоративні підприємства

3. Підприємство може мати пряму або зворотну інтеграцію. Отже, якщо підприємство не має прямої інтеграції, то воно має зворотну інтеграцію.

А - пряма інтеграція, В - зворотна інтеграція.

4. Підприємство може створюватися на невизначений термін або як тимчасове. Отже, якщо підприємство не створюється на невизначений термін, то воно створюється як тимчасове.

А - створюється на невизначений термін, В - створюється як тимчасове.

5. Методи управління поділяються на загальні або спеціальні. Отже, якщо методи управління не спеціальні, то вони загальні.

А - спеціальні методи управління, В - загальні методи управління

3.5 Правило транзитивності (спрощене правило силогізму)

„Якщо з випливає , а з випливає , то з випливає ”

,

1. Якщо збільшити дохід, то збільшиться попит. Якщо збільшиться попит, то зростуть ціни. Тобто, якщо збільшиться дохід, то зростуть ціни.

А - дохід, В - попит, С - ціни.

2. Якщо початкові інвестиції збільшиться, то чистий дисконтований дохід також збільшується. Якщо чистий дисконтований дохід збільшується то збільшиться індекс прибутковості. Тобто, якщо початкові інвестиції збільшуються, то збільшиться індекс прибутковості.

А - початкові інвестиції, В - чистий дисконтований дохід, С - збільшиться індекс прибутковості.

3. Якщо вартість чистих грошових потоків збільшиться, то збільшиться індекс дохідності. Якщо збільшиться індекс дохідності, то збільшаться інвестиції. Тобто, якщо збільшиться вартість чистих грошових потоків, то збільшаться інвестиції.

А - вартість чистих грошових потоків, В - індекс дохідності, С - інвестиції.

4. Якщо зменшиться виробіток, то зменшиться валовий прибуток. Якщо зменшиться валовий прибуток, то зменшиться чистий дохід. Тобто, якщо зменшиться виробіток, то зменшиться чистий дохід.

А - виробіток, В - валовий прибуток, С - чистий дохід.

5. Якщо прямі витрати зменшилися, то зменшилася виробнича собівартість. Якщо зменшилась виробнича собівартість, то зменшиться повна собівартість. Тобто, якщо прямі витрати зменшилися, то зменшиться повна собівартість.

А - прямі витрати, В - виробнича собівартість, С - повна собівартість.

3.6 Правило контрапозиції

„Якщо істинне, що з випливає , то істинне, що з випливає ”

,

1. Якщо у робітника зростає заробітна плата, то збільшується дохід. Отже, якщо дохід не збільшується, то заробітна плата не зростає.

А - заробітна плата, В - дохід.

2. Якщо собівартість зменшиться, то зменшиться ціна. Отже. якщо собівартість не зменшиться, то не зменшиться ціна.

А - собівартість, В - ціна.

3. Якщо зменшаться витрати, то зменшиться собівартість. Отже, якщо не зменшаться витрати, то собівартість не зменшиться.

А - витрати, В - собівартість.

4. Якщо збільшиться попит, то збільшиться пропозиція. Отже, якщо не збільшиться попит, то не збільшиться пропозиція

А - попит, В - пропозиція.

5. Якщо збільшиться трудомісткість, то збільшиться потужність. Отже, якщо трудомісткість не збільшиться, то не збільшиться потужність.



3.7 Правило складної контра позиції

„Якщо істинне, що з і впливає , то з и випливає ”

,

1. Якщо збільшити якість продукції та знизити собівартість, то доходи підприємства зростуть. Отже, якщо збільшиться якість та не знизяться доходи, то собівартість не підвищиться.

А - якість продукції, В - собівартість, С - доходи підприємства.

2. Якщо зменшиться собівартість та зменшиться прибуток, то зменшаться доходи. Отже, якщо зменшиться собівартість та не зменшаться доходи, то прибуток не зменшиться.

А - собівартість, В - прибуток підприємства, С - доходи підприємства.

3. Якщо тарифна ставка зменшиться та зменшиться кількість відпрацьованого часу, то зменшиться заробітна плата. Тобто, якщо тарифна ставка зменшиться та не зменшиться заробітна плата, то не зменшаться кількість відпрацьованого часу.

А - тарифна ставка, В - кількість відпрацьованого часу, С - заробітна плата. Якщо кількість товару збільшиться та виручка збільшиться, то ціна збільшиться. Тобто, якщо кількість товару збільшиться і ціна не збільшиться, то не збільшиться виручка.

А - кількість товару, В - виручка, С - ціна

4. Якщо виробіток збільшиться та плановий випуск товару збільшиться, то збільшиться виробництво продукції. Тобто, якщо збільшиться виробіток та плановій випуск продукції не збільшиться то не збільшиться виробництво продукції.

А - виробіток, В - плановий випуск товару, С - виробництво продукції.



3.8 Правило перерізу

„Якщо істинне, що з випливає , а з і випливає , то з і випливає ”

,

1. Якщо збільшиться рівень цін, то збільшиться пропозиція. Якщо збільшиться пропозиція і зменшиться попит виникне профіцит. Отже якщо збільшиться рівень цін і зменшиться попит, то виникне профіцит продукції.

А - рівень цін, В - пропозиція, С - попит, D - профіцит.

2. Якщо збільшиться обсяг продукції, то збільшиться чисельність робітників. Якщо збільшиться чисельність працюючих та збільшиться обсяг використовуваних матеріалів? то збільшиться собівартість. Тобто, якщо збільшиться обсяг продукції та збільшиться обсяг використовуваних матеріалів, то збільшиться собівартість.

А - обсяг продукції, В - чисельність робітників, С - обсяг використовуваних матеріалів, D - собівартість.

3. Якщо збільшиться кількість відпрацьованих змін, то збільшиться коефіцієнт змінності. Якщо коефіцієнт змінності та кількість обладнання збільшаться, то зменшиться кількість обладнання що працює в зміну. Тобто, якщо збільшаться кількість відпрацьованих змін та кількість обладнання, то зменшиться кількість обладнання що працює в зміну.

А - кількість відпрацьованих змін, В - коефіцієнт змінності, С - кількість обладнання, D - кількість обладнання що працює в зміну.

4. Якщо прямі витрати знизяться, то знизиться виробнича собівартість. Якщо виробнича собівартість та непрямі витрати знизяться, то знизиться повна собівартість. Тобто, якщо знизяться прямі та непрямі витрати, то знизиться повна собівартість.

А - прямі витрати, В - виробнича собівартість, С - непрямі витрати, D - повна собівартість.

5. Якщо піднімуться податки, то підвищиться ціна. Якщо підвищиться ціна та підніметься собівартість, то дохід підприємства знизиться. Тобто, якщо піднімуться податки та підвищиться собівартість, то дохід підприємства знизиться.

А - податки, В - ціна, С - собівартість, D - дохід підприємства.

3.9 Правило імпортації (об'єднання посилок)

Правило імпортації (об'єднання посилок) має наступний вигляд:

,

1. Якщо попит зростає, то з того що більшість покупців обирає певну продукцію випливає підвищення ціни на продукцію. Отже, якщо попит зростає або більшість покупців обирає певну продукцію, то підвищується ціна цієї продукції.

А - попит, В - більшість покупців обирає певну продукцію, С - ціна.

2. Якщо збільшуються доходи виробництва, то якщо збільшується прибуток, то збільшується капітал підприємства. Отже, якщо збільшується дохід виробництва або збільшується прибуток, то збільшується капітал підприємства.

А - доходи, В - прибуток, С - капітал підприємства.

3. Якщо заробітна плата робітників збільшиться, то якщо витрати на оплату праці збільшаться, то прямі витрати збільшаться. Тобто, якщо зарплата робітників або витрати на оплату праці збільшаться, то збільшаться прямі витрати.

А - заробітна плата, В - витрати на оплату праці, С - прямі витрати.

4. Якщо підприємство вводить інновації, то якщо воно розвиває технічну базу, то підприємство інноваційно активне. Тобто, якщо підприємство вводить інновації або розвиває технічну базу, то підприємство інноваційно активне.

А - введення інновацій, В - розвиток технічної бази, С - інноваційно активне підприємство.

5. Якщо оборотні кошти збільшуються, то якщо збільшуються оборотні фонди, то збільшується оборотний капітал. Тобто, якщо оборотні кошти збільшуються або збільшуються оборотні фонди, то збільшується оборотний капітал.

А - оборотні кошти, В - оборотні фонди, С - оборотний капітал.

3.10 Правило експортації (роз'єднання посилок)

Правило експортації (роз'єднання посилок) має наступний вигляд:

,

1. Якщо попит зростає або більшість покупців обирає продукцію, то підвищується ціна продукції. Отже, якщо попит зростає,то якщо більшість покупців обирає певну продукцію, то підвищується ціна на продукцію.

А - попит, В - більшість покупців обирає певну продукцію, С - ціна.

2. Якщо збільшується дохід виробництва або збільшується прибуток, то збільшується капітал підприємства. Отже, якщо збільшуються доходи виробництва, то якщо збільшується прибуток, то збільшується капітал підприємства.

А - доходи, В - прибуток, С - капітал підприємства.

3. Якщо зарплата робітників або прямі витрати збільшаться, то збільшаться прямі витрати. Тобто, якщо заробітна плата робітників збільшиться, то якщо витрати на оплату праці збільшаться, то прямі витрати збільшаться.

А - заробітна плата, В - витрати на оплату праці, С - прямі витрати.

4. Якщо підприємство вводить інновації або розвиває технічну базу, то підприємство інноваційно активне. Тобто,якщо підприємство вводить інновації, то якщо воно розвиває технічну базу, то підприємство інноваційно активне.

А - введення інновацій, В - розвиток технічної бази, С - інноваційно активне підприємство.

5. Якщо оборотні кошти збільшуються або збільшуються оборотні фонди, то збільшується оборотний капітал. Тобто, якщо оборотні кошти збільшуються, то якщо збільшуються оборотні фонди, то збільшується оборотний капітал.

А - оборотні кошти, В - оборотні фонди, С - оборотний капітал.

3.11 Правила дилем

Правила дилем мають наступний вигляд:

,

1. Якщо збільшити дохід, то збільшиться пропозиція. Якщо зростуть ціни, то збільшиться пропозиція. Збільшується дохід або зростають ціни, отже пропозиція збільшується.

А - доходи, В - ціни, С -. пропозиція.

2. Якщо початкові інвестиції збільшаться, то чистий дисконтований дохід також збільшується. Якщо збільшиться індекс прибутковості, то чистий дисконтований дохід збільшується. Тобто, якщо початкові інвестиції збільшуються або збільшиться індекс прибутковості, отже чистий дисконтований дохід збільшується.

А - початкові інвестиції, В - індекс прибутковості, С -. чистий дисконтований дохід.

3. Якщо вартість чистих грошових потоків збільшиться, то збільшиться індекс дохідності. Якщо збільшаться інвестиції, то збільшиться індекс дохідності. Тобто якщо збільшиться вартість чистих грошових потоків або збільшаться інвестиції, отже збільшиться індекс дохідності.

А - вартість чистих грошових потоків, В - інвестиції, С -. індекс дохідності.

4. Якщо зменшиться виробіток, то зменшиться валовий прибуток. Якщо зменшиться чистий дохід, то зменшиться валовий прибуток. Тобто якщо зменшиться виробіток або зменшиться чистий дохід, отже зменшиться валовий прибуток.

А - виробіток, В чистий дохід, С -. валовий прибуток.

5. Якщо прямі витрати зменшилися, то зменшилася виробнича собівартість. Якщо зменшиться повна собівартість, то зменшилась виробнича собівартість. Тобто, якщо прямі витрати зменшилися або зменшиться повна собівартість, отже зменшилась виробнича собівартість.

А - прямі витрати, В - повна собівартість, С -. виробнича собівартість.

,

1. Якщо збільшити дохід, то зростуть ціни. Якщо збільшити дохід, то збільшиться пропозиція. Ціни не зростають або пропозиція не збільшується, отже дохід не збільшується.

А - доходи, В - ціни, С -. пропозиція.

2. Якщо початкові інвестиції збільшаться, то збільшиться індекс прибутковості. Якщо початкові інвестиції збільшаться,то чистий дисконтований дохід збільшиться. Якщо не збільшиться індекс прибутковості або чистий дисконтований дохід не збільшується, отже початкові інвестиції не збільшуються.

А - початкові інвестиції, В - індекс прибутковості, С -. чистий дисконтований дохід.

3. Якщо вартість чистих грошових потоків збільшиться, то збільшаться інвестиції. Якщо вартість чистих грошових потоків збільшиться, то збільшиться індекс дохідності. Якщо не збільшаться інвестиції або не збільшиться індекс дохідності, отже не збільшиться вартість чистих грошових потоків.

А - вартість чистих грошових потоків, В - інвестиції, С -. індекс дохідності.

4. Якщо зменшиться виробіток, то зменшиться чистий дохід. Якщо зменшиться виробіток, то зменшиться валовий прибуток. Якщо не зменшиться чистий дохід або не зменшиться валовий прибуток, отже не зменшиться виробіток.

А - виробіток, В чистий дохід, С -. валовий прибуток.

5. Якщо прямі витрати зменшилися, то зменшиться повна собівартість. Якщо прямі витрати зменшилися, то зменшилась виробнича собівартість. Якщо не зменшиться повна собівартість або не зменшилась виробнича собівартість, отже прямі витрати не зменшилися.

А - прямі витрати, В - повна собівартість, С -. виробнича собівартість.

1. Якщо збільшиться рівень цін, то збільшиться пропозиція. Якщо зменшиться попит, то виникне профіцит. Збільшується рівень цін і зменшується попит. Отже збільшуться пропозиція та виникає профіцит продукції.

А - рівень цін, В - пропозиція, С - попит, D - профіцит.

2. Якщо збільшиться обсяг продукції, то збільшиться чисельність робітників. Якщо збільшиться обсяг використовуваних матеріалів то збільшиться собівартість. Збільшується обсяг продукції та збільшується обсяг використовуваних матеріалів Тобто, збільшується чисельність працюючих та збільшується собівартість.

А - обсяг продукції, В - чисельність робітників, С - обсяг використовуваних матеріалів, D - собівартість.

3. Якщо збільшиться кількість відпрацьованих змін, то збільшиться коефіцієнт змінності. Якщо кількість обладнання збільшиться, то зменшиться кількість обладнання що працює в зміну. Збільшується кількість відпрацьованих змін та кількість обладнання. Тобто, коефіцієнт змінності зменшується та кількість обладнання що працює в зміну зменшується.

А - кількість відпрацьованих змін, В - коефіцієнт змінності, С - кількість обладнання, D - кількість обладнання що працює в зміну.

4. Якщо прямі витрати знизяться, то знизиться виробнича собівартість. Якщо непрямі витрати знизяться, то знизиться повна собівартість. Знижуються прямі та непрямі витрати. Тобто, виробнича собівартість знижується та знижується повна собівартість.

А - прямі витрати, В - виробнича собівартість, С - непрямі витрати, D - повна собівартість.

5. Якщо піднімуться податки, то підвищиться ціна. Якщо підніметься собівартість, то дохід підприємства знизиться., Піднімаються податки та підвищується собівартість. Тобто, підвищується ціна та дохід підприємства знижується.

А - податки, В - ціна, С - собівартість, D - дохід підприємства

1. Якщо збільшиться рівень цін, то збільшиться пропозиція. Якщо зменшиться попит, то виникне профіцит. Не збільшується пропозиція і не виникає профіцит продукції. Отже, не збільшуться рівень цін та не зменшується попит.

А - рівень цін, В - пропозиція, С - попит, D - профіцит.

2. Якщо збільшиться обсяг продукції, то збільшиться чисельність робітників. Якщо збільшиться обсяг використовуваних матеріалів то збільшиться собівартість. Не збільшується чисельність працюючих та не збільшується собівартість Тобто, не збільшується обсяг продукції та не збільшується обсяг використовуваних матеріалів.

А - обсяг продукції, В - чисельність робітників, С - обсяг використовуваних матеріалів, D - собівартість.

3. Якщо збільшиться кількість відпрацьованих змін, то збільшиться коефіцієнт змінності. Якщо кількість обладнання збільшиться, то зменшиться кількість обладнання що працює в зміну. Коефіцієнт змінності не зменшується та кількість обладнання що працює в зміну не зменшується. Тобто, не збільшується кількість відпрацьованих змін та кількість обладнання що працює в зміну.

А - кількість відпрацьованих змін, В - коефіцієнт змінності, С - кількість обладнання, D - кількість обладнання що працює в зміну.

4. Якщо прямі витрати знизяться, то знизиться виробнича собівартість. Якщо непрямі витрати знизяться, то знизиться повна собівартість. Виробнича собівартість не знижується та не знижується повна собівартість. Тобто, не знижуються прямі та непрямі витрати.

А - прямі витрати, В - виробнича собівартість, С - непрямі витрати, D - повна собівартість.

5. Якщо піднімуться податки, то підвищиться ціна. Якщо підніметься собівартість, то дохід підприємства знизиться. Не підвищується ціна та дохід підприємства не знижується. Тобто, не піднімаються податки та не підвищується собівартість.

А - податки, В - ціна, С - собівартість, D - дохід підприємства



ВИСНОВОК

Виконуючи курсовий проект, було розглянуто, досліджено та проаналізовано такі розділи дискретної математики: булева алгебра, теорія графів, логіка висловлень.

Булева алгебра полягає в застосуванні алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач. Було розглянуто різні типи логічних функцій, що приймають значення 0 або 1, було виконано операції над функціями, використовуючи основні властивості булевої алгебри, знайдено різні нормальні форми за допомогою засобів зведення будь-якої логічної формули до них.

Теорія графів надає дуже зручний математичний апарат для опису програмних та багатьох інших моделей. Величезна кількість задач, які постають в різних сферах наук, можуть бути вдало представлені, а потім і вирішені засобами теорії графів. Особливо важливим є наявність графічної інтерпретації поняття графа, що надає ще більшої зручності, а відтак, і привабливості цій теорії. Було розглянуто навантажений орграф, та методи знаходження його мінімальних шляхів.

Логіка висловлень вивчає відношення між висловлюваннями, на підставі чого визначають значення їх істинності. Було розглянуто системи числень висловлювань, схеми логічно правильних умовиводів, які дозволяють формально вірно, із збереженням логічного слідування, отримувати нові результати із вже існуючих даних.

Сьогодні дискретна математика є не тільки фундаментом математичної кібернетики, а й важливою ланкою математичної освіти. Вона є однією з основних дисциплін у програмах вузів для спеціальностей, що мають відношення до математики, кібернетики, обчислювальної техніки і багатьом іншим областям сучасної науки і техніки. Застосування дискретної математики складають основу сучасних комп'ютерних наук та інформатики.

Тепер для того, щоб бути сучасною людиною, здатним існувати в «комп'ютерному» світі, в якому доведеться шукати кращі рішення і найкоротші шляхи в лабіринті можливостей, випускник вузу повинен не тільки знати елементи дискретної математики, а й уміти думати на мові дискретних моделей. З обчислювальною технікою практично пов'язаний будь-яка людина XXI століття: або як творець нових ЕОМ та їх математичного забезпечення, або як розробник алгоритмів і програм, або як звичайний користувач стандартних пакетів на своєму робочому місці або в побуті. Добре знання дискретної математики полегшить будь-якій людині освоєння комп'ютера і застосування його для вирішення практичних завдань.

Отже, необхідність вивчення дискретної математики або дискретного аналізу стає більш зрозумілою, якщо врахувати, що практично всі соціально-економічні процеси є дискретними. Навіть якщо такий процес розвивається неперервно, то інформація потрапляє до дослідника дискретно.



СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Бардачов Ю.М., Соколова Н.А., Ходаков В.Є. Дискретна математика -К.: Вища освіта., 2002. - 287с.

2. Бардачов Ю.М., Соколова Н.А., Ходаков В.Є. Дискретний аналіз

3. Мельников В.Н. Логические задачи. - К. «Вища школа», 1989.

4. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. - М.: 1982.

5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 1986.

6. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973.

7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1976.

8. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1984.

9. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и уравнениях: Учебное пособие. - М.: Логос, 2001 - 240 с.

10. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: 1993.

11. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. - М.: Вузовская книга, 2000.

12. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. - М.: Наука. Физматлит, 2000.

Размещено на Allbest.ru