Графічне розв’язування рівнянь

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

ЖДУ імені Івана Франка

Фізико-математичний факультет

Проект

з методики навчання математики

на тему

Графічне розв'язування рівнянь

студентки 31 групи

Макарчук Дар'ї

Графічне розв'язування рівнянь

Теоретичні відомості.

Існує 4 способи задавання функції

Табличний спосіб - функція задається таблицею.

Графічний спосіб - функція задається множиною точок координатної площини.

Аналітичний спосіб - функція задається формулою.

Областю визначення функції y = f(x), заданої формулою, називається множина значень x, при яких формула має зміст (усі дії, зазначені у формулі, можна виконати).

Розглянемо один із способів розв'язання рівнянь - графічний

Розв'язати:

1) х + 2 = х2;

2) х2 = ;

3) |х| = 4.

Щоб розв'язати дані рівняння, треба знайти таке значення х, при якому ліва частина рівняння буде дорівнювати правій.

Побудуємо в одній координатній площині окремо графіки лівої і правої частин рівняння. Ліву частину позначимо f(х), а праву g(х).

Одержимо

f(х) = х + 2, а g(х) = х2

Тепер треба знайти таке значення х при якому f(х) = g(х), тобто спільну точку, яка належить графіку функції f(х) і графіку функції g(х). Ця точка х буде точкою перетину побудованих графіків функції f(х) і g(х). Абсциса точки перетину буде розв'язком даного рівняння.

Приклад 1

х + 2 = х2

f(х) = х+2

Графіком є пряма для побудови якої потрібно знати 2 точки

Складаємо таблицю

х	1	2
у	3	4

g(х) = х2

графіком функції є парабола.

Складаємо таблицю значень

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	9	4	1	0	1	4	9

Абсциси точок перетину дорівнюють 2 і -1. Отже ці значення х і є розв'язком даного рівняння.

Приклад 2

х2 = ;

f(х) = х2

графіком функції є парабола

g(х) =

Графіком функції є гіпербола, х 0

Складаємо таблицю значень

х	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
у	-1	-2	-4	-8	8	4	2	1

Графіки мають тільки одну спільну точку отже рівняння має тільки один розв'язок

Алгоритм розв'язання рівнянь графічним способом

Будуємо в одній координатній площині окремо графіки лівої і правої частини рівняння.

Знайдемо точки перетину графіків.

Абсциси точок перетину являються розв'язками даного рівняння.

Приклад 3

|х| = 4

f(х) = |х| графік функції складається з двох частин:

якщо х < 0, то f(х) = -х

якщо, x > 0, то f(х) = х

якщо х = 0, то f(х) = 0.

g(х) = 4

Графіком є пряма лінія, яка паралельна осі ОХ і проходить через точку (0;4).

Абсциси точок перетину дорівнюють 4 і -4. Отже ці значення х і є розв'язком даного рівняння.

Рекомендуємо повторити.

Рівняння - це рівність, що містить позначене буквою невідоме число, яке потрібно знайти.

Корінь рівняння - це значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну рівність.

Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. Цю залежність позначають або f, або f(x), або y = f(x).

Змінна x називається незалежною змінною, або аргументом функції, а змінна y - залежною змінною, або функцією.

Областю визначення функції f (x) називається множина дійсних значень незалежної змінної x, для яких ця функція визначена (має зміст). Позначається так: D(f).

Областю значень функції y = f(x) називається множина всіх дійсних значень, яких набуває залежна змінна y при всіх значеннях аргументу з області визначення. Позначається так: E (f).

Якщо області визначення D (f) і значень E(f) функції - числові множини, то така функція називається числовою.

Кожній точці координатної площини відповідають два числа (координати), які записуються після точки в дужках (на першому місці координата по осі x - абсциса, на другому - координата по осі y - ордината). Для будь-якої пари чисел (x; y); існує лише одна точка, для якої абсцисою є число x, а ординатою - число y.

Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок площини з координатами (x; f (x)), де перша координата «пробігає» всю область визначення функції y = f(x), а друга координата - це відповідне значення функції в точці x.

Лінійна функція y = kx+b, k ?R, b ?R

Область визначення - R.

2. Область значень - R, якщо k ? 0; {b}, якщо k = 0.

Якщо k ? 0, b ? 0, то функція не є ні парною, ні непарною; якщо k = 0 - функція парна; якщо b = 0, k ? 0 - функція непарна; якщо k = 0, b = 0 - функція і парна, і непарна.

Якщо x = 0, то y b = ; якщо x b k = ?, функція y = 0

Якщо k > 0, то функція зростає на множині R (рис. 1); якщо k < 0, то функція спадає на множині R (рис. 2); якщо k = 0, то функція є сталою, y b = (рис. 3).

Графік лінійної функції - пряма, що утворює з віссю абсцис кут ?, тангенс якого дорівнює k.

Якщо b = 0, графік лінійної функції проходить через початок координат і є графіком прямої пропорційності.

Обернена пропорційність y = , k ?R, k ? 0

1. Область визначення - ( ??; 0)?(0; + ?).

2. Область значень - (??; 0) ?(0;+ ?).

3. Функція y = - непарна.

4. Якщо k > 0, то функція спадає на інтервалах (??; 0)і (0; + ?) (рис. 1).

Якщо k < 0, то на інтервалах ( ??; 0 ),(0; +?) функція зростає (рис. 2).

5. Графік функції y = не перетинає осі координат.

6. Якщо k > 0, x > 0 то функція є додатною; якщо k > 0, x < 0 - від'ємною.

Якщо k < 0, x > 0 то функція від'ємна; якщо k < 0, x < 0 - додатна.

7. Графік оберненої пропорційності - гіпербола.

Функція y = |х|

1. Область визначення - R.

2. Область значень - [0; + ?).

3. Функція парна.

4. Якщо x < 0, то функція спадає;

якщо x > 0, то функція зростає.

5. Графік функції - об'єднання двох променів: бісектрис першої та другої координатних чвертей (див. рис.).



Степенева функція y = хn

Властивості функції y = хn, де n?N

1. Область визначення - R.

2. Область значень - якщо n = 2k, k ?N, то [0; + ?); якщо n = 2k ? 1, k?N, то R.

3. Якщо n = 2k, k ?N, то функція парна; якщо n = 2k? 1, k ?N, то функція непарна.

4. Графік функції проходить через початок координат.

Графік функції є симетричним відносно осі Oy, якщо n k = 2, k ?N (рис. 1); симетричним відносно початку координат, якщо n = 2k?1, k ?N (рис. 2).

5. Якщо n = 2k, k ?N, то функція спадає на проміжку (??; 0] і зростає на проміжку [0; + ?). Якщо n = 2k?1, k ?N, то функція зростає на множині R

Базові завдання із розв'язаннями та відповідями.

Розв'яжіть рівняння графічно.

1. х + 2 = х2;

Розв'язок:



Відповідь: x1 = 2; x2 = -1.

2. х2 = ;

Розв'язок:

Відповідь: x = 2.

3. |х| = 4

Розв'язок:

Відповідь: 4 і -4

4. х2 + 3х - 4 = 0

Розв'язок:

Відповідь:1 і -4

5. 4х2 + 9х = 0

Розв'язок

рівняння табличний графічний координатний площина

Відповідь:0 і .

х2 = х + 2

Розв'язок

Відповідь: 2 і -1

6. х2 + 2х + 5 = 0

Розв'язок

Відповідь:немає коренів

7. х2 + х = 12

Розв'язок

Відповідь: 3 і -4

8. -5х2 + 8х + 8 = 8х + 3

Розв'язок

Відповідь:-1 і 1

9. (х + 3)(х - 4) = -12

Розв'язок

Відповідь: 0 і 1

10. 6х2 - (х + 2)2 = -4(х - 4)

Розв'язок

Відповідь: 2 і -2

11. х2 = 5х - 8

Розв'язок

Відповідь:немає коренів

12. 2х2 = 3х + 10

Розв'язок

Відповідь:; 0

13. х2 = 7 - х

Розв'язок

Відповідь: -2,87 і 4,87

14. х2 - х = - 12

Розв'язок

Відповідь:немає коренів

15. х2 + 1,5х - 2,5 = 0

Розв'язок

Відповідь: 1 і -2,5

16. х2 = 0,5х + 3

Розв'язок

Відповідь: 2 і -1,5

17. |х+1| = 10

Розв'язок

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Відповідь:-6 і 4

18. -x2 = 8x

Розв'язок

Відповідь:- 8 і 0

19. . Розв'язок

Відповідь: 4 і -1.

20. . Розв'язок

Відповідь: немає коренів

21. ||2x-1|-5| = 3 Розв'язок

Відповідь: -0,5;1,5;4,5;3,5.

Задачі для самостійного розв'язування

I. Установіть скільки коренів має рівняння?

1. х2 = 0,5х + 3.

2. 4х + 5 = -;

3.

4.| х - 4| = -2х +1

II. Розв'яжіть графічно рівняння:

4х2 + 4х - 15 = 0.

6х2 - 13х + 65 = 0.

2х2 = 9х - 10.

9х2 - 13х + 4 = 0.

6х2 - 5х - 6 = 0.

2х2 - 7х + 6 = 0.

6х2 - 12,5х + 6 = 0.

10х2 - 0,8х = 1,92.

6х2 - х - 1 = 0.

5х2 - 7 х + 2 = 0

2х2 + 3 х = 18.

х2 - 4х + 10 = 0.

|х+1| = 10.

||2x-1|-5| = 3.

х2 = .

-х2 + х + 2 = 0.

х2 = 5х - 8.

|x-3 = 2

|х| = 4.

|1-x| = 4

III. Побудуйте графік функції , склавши таблицю значень функції для значень аргументу -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8.

Побудуйте графік функції , склавши таблицю значень y для х = -12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12.

Не будуючи графік функції , знайдіть через які з точок він проходить.

Контрольна робота

Розв'яжіть графічно рівняння:9х2 + 6х + 1 = 0.

А	Б	В	Г	Д) Інша відповідь

Розв'яжіть графічно рівняння: х2 = ;

а) б) в) г)

А	Б	В	Г	Д)Інша відповідь

Знайдіть корені рівняння графічним способом: |x-3| = 2

А	Б	В	Г	Д)Інша відповідь
-6 і 4	2 і 3	1 і 5	-1 і 5

Знайдіть корені рівняння графічним способом:

х2 - 4х + 10 = 0.

А	Б	В	Г	Д) Інша відповідь
-4 і 2	2 і 5	2 і -5	1 і -4	Немає коренів

Установіть скільки коренів має рівняння?

4х + 5 = -;

А	Б	В	Г	Д) Інша відповідь
один	два	три	не має коренів

Установіть відповідність.

А) Табличний спосіб

1) функція задається множиною точок координатної

2) функція задається таблицею.

Б) Графічний спосіб площини. 3)функція, заданої формулою y = f(x )

В) Аналітичний спосіб 4)функція задається формулою.

Г) Областю визначення

Установіть відповідність.

А) 6х2 - (х + 2)2 = -4(х - 4) 1)не має коренів

Б) х2 - х = - 12 2)0 і 1

В) (х + 3)(х - 4) = -12 3)2 і -2

Г) х2 = ; 4)2

Установіть відповідність.

А) y = kx+b 1)парабола

Б) y = х2 2)об'єднання двох прямих

В) y = 3)пряма

Г) y = |х| 4)гіпербола

У чому полягає графічний спосіб розв'язання рівнянь?

Назвіть алгоритм розв'язання рівнянь графічним способом.

Відповіді до контрольної роботи на тему: «Графічне розв'язування рівнянь»

1	2	3	4	5	6	7	8
Г	В	В	Д	Б	А2; Б1; В4; Г3.	А3; Б1; В2; Г4.	А3; Б1; В4; Г2.

Відповідь: Суть графічного методу полягає в тому, що ліву й праву частини ми розглядаємо як функції. Нас цікавлять ті значення аргументу, при яких ці функції приймають однакове значення.

Відповідь:

1. Будуємо в одній координатній площині окремо графіки лівої і правої частини рівняння.

2. Знайдемо точки перетину графіків.

3. Абсциси точок перетину являються розв'язками даного рівняння.

Размещено на allbest.ru