Непрерывное оптимальное управление в динамических системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Непрерывное оптимальное управление в динамических системах

Рассмотрим задачу оптимального управления как задачу регулирования линейной динамической системы с квадратичным функционалом, которую можно решать до конца.

Требуется минимизировать критерий качества

при ограничениях

где, как и прежде ,,

а A, F,Ф,C и R могут быть как постоянные так и переменные матрицы размера , и соответственно. Будем предполагать, что матрица R симметрическая и положительно определённая, а матрицы Ф,С симметрические и положительно полуопределённые .

Не теряя общности , можно положить tиtt=T.

Для задачи (1), (2) канонические условия являются не только необходимыми, но также и достаточными и имеют вид

,

задача динамический управление

Решая (6) относительно u(t) и подставляя решение в (3), находим, что

должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений

, ,

где Отметим , что B- симметрическая и положительно полуопределённая матрица, и кроме этого матрицы С, B, Ф в своей внутренней структуре содержат знак минус, что сделано для удобства дальнейших преобразований.

Пусть для будет матрицей перехода размером

, определяемой уравнением

,

где I - единичная матрица размера

Разобьём матрицу перехода на четыре блока размера каждый :

Тогда для любого

Далее, в силу (9)

и, следовательно, для

при условии, что матрица, обратная к

существует для всех определим матрицу равенством

(получаем и, значит, (7) принимает вид

Далее, из (17) имеем

.

Дифференцирование обеих частей равенства (20) по t даёт

.

Матрица перехода удовлетворяющая сопряжённому дифференциальному уравнению имеет вид

, ,

Разобьём матрицу перехода на четыре блока размером каждый:

После подстановки (23) в (22) и матричного перемножения, получим

Таким образом, с учётом (24) получим из (21) соотношение

=

,

которое после приведения подобных членов и умножения обеих частей на (см.(16)) приводит к уравнению

, . (26)

Выведем из матриц знак минус ( смотри замечание к формулам (7-9)) и введём значение в формулу (26), получим привычный вид матричного дифференциального уравнения типа Риккати :

 (27)

, с граничными условиями .

Все векторы и матрицы в значениях (1-27) могут быть как постоянные так и переменные функции зависящие от времени и обладать вполне определёнными внутренними качествами :

фазовый вектор состояния ;

вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых координат;

матрица, представляющая линейный оператор преобразования вектора состояния фазовых координат, в вектор функций, указывающим скорость их изменения ;

матрица стабилизационного преобразования параметров вектора управления в дополнительный вектор функций скорости изменения фазовых координат;

вектор управления;

функция целевого функционала, которая представляет собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления;

матрица формирования целевого терминального граничного условия;

матрица формирования допустимых максимальных значений параметров фазового пространства на интервале интегрирования;

матрица ограничений на параметры управления;

функция Гамильтона , которая определяется как сумма подинтегральной функции целевого функционала и скалярного произведения вектора сопряжённых переменных и вектора функций, указывающих скорость изменения фазовых координат. Эта функция мысленно подразумевается.

начальный момент процесса управления ;

конечный момент процесса управления ;

вектор сопряжённых переменных ;

индекс, указывающий транспонирование матрицы или вектора ;

текущее реальное время процесса управления ;

матрица формирования допустимых оптимальных значений параметров фазового пространства процесса управления на всём интервале интегрирования ;

область допустимых решений ;

Библиографический список

1. Брайсон А., Хо Ю - Ши . Прикладная теория оптимального управления.

- М.: Мир, 1972. - 544 с.

2. Полак Э. Численные методы оптимизации. - М.: Мир, 1974.- 376 с.

3. Портер У. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука,

1971. - 556 с.

Размещено на Allbest.ru