Сложение синусоидальных сигналов со сдвигом фаз

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Выполнение задачи №1 «Сложение синусоидальных сигналов со сдвигом фаз. Теорема косинусов»

Для начала сформулируем необходимые для работы определения.

Сигнал- физический процесс, отображающий сообщение в удобной для передачи по каналу связи форме.

Фаза колебаний -- аргумент периодической функции, {\displaystyle \sin(\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle \sin(\omega t+\beta x+\varphi _{0})}описывающей соответственно колебательный или волновой процесс.

Амплитуда колебаний -- это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Построим на оси времени две синусоиды и их суммирующую волну, при заданных значениях периода(T), времени(t) и фазы(?) (Рисунок1.2). В рисунке 1.1 представим начальные параметры.

Рисунок 1.1-начальные параметры

Рисунок 1.2 - две синусоиды и их суммирующая волна при фазе = 0

Заметим, что при фазе равной нулю амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 2 и что графики S1 и S2 принимают одинаковые значения (рисунок 1.2).

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 - две синусоиды и их суммирующая волна при фазе равной

Заметим, что при фазе равной амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 1.9 и что график S2 отстаёт от графика S1 из-за сдвига фаз(рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 - две синусоиды и их суммирующая волна при фазе = р



Сдвиг фаз- разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой.

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на р (Рисунок 1.4).

Заметим, что при фазе равной р амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 0, так как графики S1 и S2 находятся в противофазе (рисунок 1.3).

Противофаза - момент совпадения максимума одного колебания с моментом минимума другого.

Рис. 1.4 - две синусоиды и их суммирующая волна при фазе

Поэтому при сложении таких графиков получаем ноль.

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на (Рисунок 1.4) .

Заметим, что при фазе равной амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 1.6 и что график S2 отстаёт от графика S1 из-за сдвига фаз(рисунок 1.4).

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на 2 (рисунок 1.5).



Рисунок 1.5 - две синусоиды и их суммирующая волна при фазе 2р

Заметим, что при фазе равной 2р амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 2 и что графики S1 и S2 принимают одинаковые значения (рисунок 1.5).

Вывод: при построении графиков я заметил закономерность, что при фазе [0;р] амплитуда графика суммы двух синусоид уменьшается, а при фазе [р;2р] увеличивается.

Правило параллелограмма- если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор с=а+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b (рисунок 1.6). Причем начало вектора c совпадает с началом заданных векторов.

Рисунок 1.6 - правило параллелограмма

Для нахождения суммы векторов необходимо:

1) Отложить от точки A вектор АВ равный а и вектор АС равный b;

2) Достроить фигуру до параллелограмма и провести диагональ;

3) Диагональ параллелограмма- это сумма векторов.

Из правила параллелограмма следует теорема косинусов (рисунок 1.7):

Рисунок 1.7- теорема косинусов

Где ?-угол между A и B А и В- складываемые векторы

Если взять вектора а и b равными 1, то получим выражение(Рисунок 1.10):

Рисунок 1.10- выражение, полученное из теоремы косинусов

В полярных координатах построим график зависимости длины результирующего вектора от угла ?=0 . . 2р (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11 - график зависимости длины результирующего вектора от угла ?=0 . . 2р



Теперь сравним длины результирующего вектора и амплитуды суммы двух гармонических функций S3(t) при одинаковых углах ? (рисунок 1.12).

Рисунок 1.12- сравнение длины результирующего вектора и амплитуды суммы двух гармонических функций

Вывод: Длина результирующего вектора равна амплитуде суммы двух гармонических функций при одинаковых углах ?

2. Выполнение задания №3 «Получение периодической последовательности прямоугольных импульсов суммированием гармоник. Построение амплитудного спектра»

Для начала нужно дать определения понятиям спектр сигнала и ширина спектра.

Спектр- это совокупность гармоник со строгим углом, фазой и частотой равной одной единице в сумме, которая и даёт сам сигнал.

Ширина -- спектра это область частот, в пределах которой заключена основная часть энергии сигнала.

Выражение для гармоники разложения периодической последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье:



,

где T-период последовательности импульсов; N- отношение периода к длительности импульса; n- номер гармоники.

Построим на оси времени графики первых трёх гармоник и их суммы (Рисунок 3.1):

Рис. 3.1 - график трёх гармоник и их суммы

Рисунок 3.2 - блок-схема для программы суммирования числа гармоник

Берём гармоники только с нечётным номером, так как у чётных амплитуда равна нулю.

Теперь построим блок-схему для программы суммирования числа гармоник (Рисунок 3.2):

Далее напишем программу (Рисунок 3.3):

Рисунок 3.3- программа для суммирования числа гармоник

где k- количество гармоник.

Построим графики последовательностей, полученных при суммировании 5,10,100 гармоник.

При к=5 получим график (Рисунок 3.4):

Рисунок 3.4 - график суммы 5 гармоник

При k=10 получим график (Рисунок 3.5):

Рисунок 3.5 - график суммы 10 гармоник



При k=100 получим график (рисунок 3.6):

Рисунок 3.6 - график суммы при суммировании 100 гармоник

По графикам, изображённым выше можно понять, что последовательность из прямоугольных импульсов можно получить при помощи суммирования синусоид со всё более высокими частотами и всё более малыми амплитудами. И степень” прямоугольности” будет зависеть от количества суммируемых синусоид.

Построим амплитудный спектр последовательности в виде вертикальных, установленных в точках равных частоте гармоники (n/T), длина которых равна амплитуде соответствующей гармоники(Рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 - амплитудный спектр

Построим графики спектров при постоянной длительности импульсов (?=0.1 ) и разной скважности N=2,4,10.

При N=2 график примет вид (Рисунок 3.8):



Рисунок 3.8 - график амплитудного спектра при N=2

При N=4 график примет вид (Рисунок 3.9):

Рисунок 3.9 - график амплитудного спектра при N=4

При N=10 график примет вид (Рисунок 3.10):

Рисунок 3.10 - график амплитудного спектра при N=10



Из графиков, представленных выше, можно сделать вывод: 1) При увеличении скважности уменьшаются амплитуды гармоник, спектральные линии становятся гуще. 2) Так как энергия сигнала оставаясь неизменной, перераспределяется между возросшим числом гармоник, то доля каждой гармоники в общем сигнале падает. 3) Количество гармоник в лепестке равно скважности. Теперь построим графики спектров при одинаковой скважности (N=10) и разной длительности импульсов ? = 0.1, 0.2, 1 секунд.

При ?= 0.1 секунды получим график (Рисунок 3.11):

Рисунок 3.11 - график амплитудного спектра при ?= 0.1 сек.

При ?= 0.2 секунды получим график (Рисунок 3.12):

Рисунок 3.12 - график амплитудного спектра при ?= 0.2 сек.

При ?=1 секунде получим график (Рисунок 3.13):



Рисунок 3.13 - график амплитудного спектра при ?= 1 сек.

По этим трём графикам (рисунки 3.11, 3.12, 3.13) можно заметить, что ширина лепестка обратна пропорциональна длительности импульса.

Вывод: при переходе от периодического сигнала к непериодическому мы получаем в спектре такого сигнала вместо отдельных гармоник бесконечно большое число синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого такого колебания становится исчезающее малой, т.к. на его долю приходится бесконечно малая часть энергии сигнала.

3. Выполнение задания №4 «Генерация случайного двоичного массива и его визуализация на оси времени»

Для начала нам потребуется само определение массива.

Массив-структура данных в виде набора компонентов (элементов массива), расположенных в памяти непосредственно друг за другом.

Построим блок-схему генерации двоичного массива (Рисунок 4.1):

Теперь напишем программу генерации двоичного массива заданной длины с желаемой вероятностью появления единиц (Рисунок 4.2):



Рисунок 4.1 - блок-схема генерации двоичного массива

Рисунок 4.2 - программу генерации двоичного массива

n- количество элементов массива.

p- вероятность появления единиц.

Проверим частоту появления единиц в сгенерированных массивах при разных длинах массивов (10,100 и 1000 элементов) и одинаковой вероятности появления единиц (0.2):

При длине массива равной 10 элементам и вероятности появления единиц 0.2 получим (Рисунок 4.3):



Рисунок 4.3 - двоичный массив из 10 элементов

Частота появления единиц при заданных параметрах равна 0.2

Теперь изменим длину массива на 100 элементов (Рисунок 4.4):

Рисунок 4.4 - двоичный массив из 100 элементов

Частота появления единиц при заданных параметрах равна 0.26

Теперь изменим длину массива на 1000 элементов (Рисунок 4.5):

Рисунок 4.5 - двоичный массив из 1000 элементов



Частота появления единиц при заданных параметрах равна 0.204

Отсюда можно сделать вывод: при увеличении длины массива, увеличивается точность значения частоты появления единиц.

Повторим пункты 1 и 2 для массивов сгенерированных функцией rbinom. косинус прямоугольный импульс сигнал

Итак, сгенерируем двоичный массив длиной n=100 элементов и с вероятностью появления единиц p=0.2 (Рисунок 4.6):

Рисунок 4.6 - двоичный массив длиной n=100

Теперь проверим частоту появления единиц в массивах при разных длинах массивов (n=10,100 и 100 элементов) и при одинаковой вероятности появления единиц p=0.2 (Рисунок 4.7):

Рисунок 4.7 двоичный массив длиной n=10

Частота появления единиц при заданных параметрах равна 0.2

Изменим длину массива на 100 элементов (Рисунок 4.8):



Рисунок 4.8 - двоичный массив длиной n=100

Частота появления единиц при заданных параметрах равна 0.22

Изменим длину массива на 1000 элементов (Рисунок 4.9):

Рисунок 4.9 - двоичный массив длиной n=1000

Частота появления единиц при заданных параметрах равна 0.214

Визуализируем двоичный массив на оси времени (Рисунок 4.10):

Рисунок 4.10 - двоичный массив на оси времени



Вывод: 1) Функция rbinom выполняет те же задачи, что и программа для генерации двоичного массива, а это значит: что гораздо рациональнее будет использование функции rbinom, ведь она более экономична и затрачивает меньше времени на написание. 2) При визуализации двоичного массива на оси времени, график принимает вид прямоугольного импульса.

4. Выполнение задания №5 «Моделирование АМ, ЧМ и ФМ модуляторов и наложение шума»

Для начала нужно разобраться что же такое модуляция и для чего она нужна?

Модуляция -- процесс изменения одного или нескольких параметров высокочастотного (несущего) колебания по закону низкочастотного(информационного) сигнала.

Модуляция переносит спектр исходного сигнала на частоту несущей или в любую точку диапазона и зеркально отображает.

Сгенерируем случайный двоичный массив из 12 элементов с вероятностью единицы (p=0,5) (Рисунок 5.1):

Рисунок 5.1 - двоичный массив из 12 элементов

Составим блок-схемы и напишем программы для амплитудной(AM), частотной(CM) и фазовой(FM) модуляций.

Начертим блок-схему для амплитудного модулятора (рисунок 5.2):



Рисунок 5.2 - блок-схема для амплитудного модулятора

А теперь напишем программу для амплитудного модулятора (Рисунок 5.3):

Рисунок 5.3 - программа для амплитудного модулятора

Начертим блок-схему для частотного модулятора (рисунок 5.4):

Рисунок 5.4 - блок-схема для частотного модулятора



А теперь напишем программу для частотного модулятора (Рисунок 5.5):

Рисунок 5.5 - программа для частотного модулятора

Начертим блок-схему для фазового модулятора (рисунок 5.6):

Рисунок 5.6 - блок-схема для фазового модулятора

А теперь напишем программу для фазового модулятора (Рисунок 5.7):



Рисунок 5.7 - программа для фазового модулятора

На графике времени выведем двоичный массив и модулированный сигнал для каждого вида модуляции при :

В рисунке 5.8 представим начальные параметры.

Рисунок 5.8- начальные параметры

Для амплитудной модуляции (рисунок 5.9):

Рисунок 5.9 - двоичный массив и модулированный сигнал при амплитудной модуляции

Для частотной модуляции (рисунок 5.10):



Рисунок 5.10 - двоичный массив и модулированный сигнал при частотной модуляции

Для фазовой модуляции (рисунок 5.11):

Рисунок 5.11 - двоичный массив и модулированный сигнал при фазовой модуляции

Далее нам понадобиться функция генерации случайной величины, распределённой по нормальному закону rnorm(L,m,?).

rnorm(L,m,?)-вектор L независимых случайных чисел, каждое из которых имеет нормальное распределение.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса-Лапласа- распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности.

Добавим к каждому отсчёту модулированного сигнала случайную величину генератора rnorm(1,0,?) и выведем на графике.

? - величина среднеквадратического отклонения шума.

Шум-беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложностью временной и спектральной структуры.

Добавим шум к амплитудной модуляции (Рисунок 5.12):

Рисунок 5.12 - двоичный массив и модулированный сигнал при амплитудной модуляции с шумом

Добавим шум к частотной модуляции (Рисунок 5.13):

Рисунок 5.13 - двоичный массив и модулированный сигнал при частотной модуляции с шумом



Добавим шум к фазовой модуляции (Рисунок 5.14):

Рисунок 5.14 - двоичный массив и модулированный сигнал при фазовой модуляции с шумом

Вывод: Модуляция с шумом отображает условия, приближенные к реальным, ведь в обычной жизни передать сообщение без искажений невозможно, так как сществует огромное количество факторов создающих шум. Шум снижает качество передачи, так как сигнал в процессе искажается, а так же шум усложняет процесс приёма, потому что информационный сигнал гораздо сложнее выделить из модулированного колебания при присутствии шума.

5. Выполнение задания №6 «Применение многопозиционных сигналов»

Для определения скорости передачи информации используют формулу:

,



Где, I- количество информации приходящейся на один элемент, B- скорость модуляции.

Двоичные системы передачи имеют максимальную удельную скорость передачи 2 бит/с*Гц, которую иногда называют скоростью Найквиста. И тут возникает резонный вопрос, как же увеличить скорость? А сделать это можно за счёт использования многопозиционных сигналов, в этом случае один элемент линейного сигнала несёт информацию о большем числе символов данных, чем в двоичных системах. Но этот метод не идеален, так как при его использовании уменьшается помехоустойчивость.

Попробуем показать на примере как это работает, но для этого нам потребуется написать несколько программ.

Составим блок схему (Рисунок 6.1) и напишем программу преобразования двоичного числа в десятичное (Рисунок 6.2).

Рисунок 6.1 - блок-схема для программы преобразования двоичного числа в десятичное



,

Рисунок 6.2 - программа преобразования двоичного числа в десятичное

Составим блок-схему (Рисунок 6.3) и напишем программу преобразования двоичного массива в массив десятичных элементов для заданного значения количества информации, приходящегося на один элемент(I) (Рисунок 6.4) .

Рисунок 6.3 - блок-схема для программы преобразования двоичного массива в массив десятичных элементов



Рисунок 6.4 - программа преобразования двоичного массива в массив десятичных элементов

На одном графике визуализируем двоичный и десятичный массив при одинаковой длительности единичного элемента и при одинаковом времени передачи для (I=2,3,4).

На рисунке 6.5 представим начальные параметры.

Рисунок 6.5- начальные параметры

При I=2 получим график (Рисунок 6.6):

Рисунок 6.6 - график двоичного и десятичного массива при I=2

При I=3 получим график (Рисунок 6.7):

Вывод: При увеличении количества информации приходящейся на 1 элемент `I' , продолжительность сигнала уменьшается, а значит увеличивается скорость передачи `R'.



Рисунок 6.7 - график двоичного и десятичного массива при I=3

При I=4 получим график (Рисунок 6.8):

Рисунок 6.8 - график двоичного и десятичного массива при I=2

Выровняем максимальные амплитуды двоичного и десятичного сигнала и добавим к каждому отсчёту сигнала случайную величину генератора rnorm(1,0, ?).

График двоичного сигнала, при rnorm(1,0,0.4), примет вид (Рисунок 6.9):



Рисунок 6.9 - График двоичного сигнала, при rnorm(1,0,0.4)

График десятичного сигнала, при rnorm(1,0,0.4) и при I=3, примет вид (Рисунок 6.10):

Рисунок 6.10 - График десятичного сигнала, при rnorm(1,0,0.4)

Рисунок 6.11 - блок-схема для программы преобразования десятичного числа в двоичное

Вывод: При увеличении шума первоначальный сигнал становиться всё сложнее распознать, а значит шанс возникновения ошибок возрастает. И чем больше значение I, тем больше шанс возникновения ошибок.

Составим блок-схему (Рисунок 6.11) и напишем программу преобразования десятичного числа в двоичное (Рисунок 6.12) :

Рисунок 6.12 - программа преобразования десятичного числа в двоичное

Теперь составим блок-схему (Рисунок 6.13) и напишем программу преобразования десятичного массива в массив двоичных чисел (Рисунок 6.14):

Рисунок 6.13 - блок-схема для программы преобразования десятичного массива в массив двоичных чисел



Рисунок 6.14 - программа преобразования десятичного массива в массив двоичных чисел

Пример работы программы (Рисунок 6.15):

Рисунок 6.14 - массив десятичных чисел, преобразованный в массив двоичных

Здесь C- это десятичный массив, а BR- двоичный массив, преобразованный из десятичного.

Вывод: В данной работе мною было выявлено, что при увеличении количества информации приходящейся на 1 элемент `I' , продолжительность сигнала уменьшается, а значит увеличивается скорость передачи `R', но с увеличение значения I шанс возникновения ошибок возрастает и сигнал становиться малораспознаваемым. И получается что при применении многопозиционных сигналов платой за более высокую скорость является большая вероятность возникникновения ошибок.

6. Выполнение задания №7 «Шифрование текстового файла алгоритмом с симметричным ключом»

Шифрование -- это преобразование данных в вид, недоступный для чтения без соответствующей информации (ключа шифрования).

Создадим текстовый файл при помощи блокнота, запишем в него текст «мама мыла раму» и сохраним его на диске в формате Юникод, назначив имя «shifr».

Далее считаем наш файл в MathCAD командой READBIN (Рисунок 7.1):

Рисунок 7.1 - применение команды READBIN

Теперь преобразуем десятичные значения байтов всех символов в единый двоичный массив. Для этого напишем программу перевода десятичного числа в двоичное (Рисунок 7.2) и программу перевода массива десятичных чисел в массив двоичных (Рисунок 7.3):

Рисунок 7.2 - программу перевода десятичного числа в двоичное

Рисунок 7.3 - программу перевода массива десятичных чисел в массив двоичных



Теперь, когда у нас есть двоичный массив, нужно создать ключ длиной 4 элемента и зашифровать им двоичную последовательность.

Ключ у нас будет вот такого вида (Рисунок 7.4):

Рисунок 7.4 - ключ шифрования

Для того чтобы зашифровать двоичную последовательность нашим ключом, нужно создать программу, которая будет сравнивать каждые 4 элемента двоичного массива с ключом при помощи функции xor, которая работает по правилу (Рисунок 7.5):

Рисунок 7.5 - таблица истинности для строгой дизъюнкции

Рисунок 7.6 - программа шифрования двоичной последовательности



И так, напишем программу, которая зашифрует двоичную последовательность (Рисунок 7.6):

Теперь преобразуем зашифрованную двоичную последовательность в десятичные значения, учитывая формат представления (uint 16- два байта).

Для этого необходимо написать программу перевода двоичного числа в десятичное (Рисунок 7.7):

Рисунок 7.7 - программа перевода двоичного числа в десятичное

Далее напишем программу перевода массива двоичных чисел в массив десятичных (Рисунок 7.8):

Рисунок 7.8 - программа перевода массива двоичных чисел в массив десятичных

Теперь, когда у нас есть десятичный массив, мы можем преобразовать вектор десятичных чисел в строковые символы командой vec2str (Рисунок 7.9):

Рисунок 7.9 - применение команды vec2str



Далее запишем зашифрованный файл на диск командой WRITEBIN (Рисунок 7.10):

Рисунок 7.10 - применение команды WRITEBIN

Откроем файл «secret», который мы записали на диск (Рисунок 7.11):

Рисунок 7.11 - открытый файл «secret»

Теперь расшифруем наше сообщение, для этого нужно повторить все те действия что мы делали до этого:

1) Считаем файл «secret» в Mathcad при помощи команды READBIN;

2) Преобразовываем десятичные значения байтов всех символов в единый двоичный массив;

3) Только теперь уже не шифруем, а расшифровываем двоичную последовательность, применив тот же ключ, которым мы шифровали;

4) Преобразовываем расшифрованную последовательность в десятичные значения, учитывая формат представления;

5) Преобразовываем вектор десятичных чисел в строковые символы командой vec2str (Рисунок 7.12).

Рисунок 7.12 - применение команды vec2str



И вот мы уже видим расшифрованное сообщение.

6) Осталось только записать расшифрованных файл на диск командой WRITEBIN (Рисунок 7.13):

Рисунок 7.13 - применение команды WRITEBIN

Откроем файл «nesecret» и посмотрим, что в нём написано (Рисунок 7.14):

Рисунок 7.14 - открытый файл «nesecret»

А в нём храниться наше расшифрованное сообщение.

Вывод: в данной работе я обучился шифрованию текстового файла алгоритмом с симметричным ключом в среде Mathcad. Увидел как он работает на практике.

Размещено на Allbest.ru