Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Анализ произвольной функции, определенной на интервале от нуля до бесконечности. Свойства усредненной функции, ее первой и второй производных. Анализ их поведения в случае осциллирующих коэффициентов. Определение интегралов в числителе и знаменателе.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 26.02.2020 |
Размер файла | 137,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Содержание
Введение
§1. Свойства функции
§2. Свойства функции и ее производных.
2.1
2.2
2.3 где >0
2.4
§3. Поведение
3.1
3.2
3.3
3.4
§4. Поведение
4.1
4.2
4.3
4.4
Заключение
Литература
Введение
Пусть произвольная функция, определенная на , и при
Введем в рассмотрение функцию с помощью следующего равенства:
(1)
Назовем эту функцию усреднением функции
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
§1. Свойства функции
Если , при , то при Доказательство:
, , N >0, :
(2)
(3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
(4)
(5)
§2. Свойства функции и ее производных
I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :
2.1
2.2
2.3 где >0
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0.
Доказательство:
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при
Следовательно:
2.4
Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только . Ограничение №1
В тоже время
Становится бесконечно малым как только . граничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен быть очень малым при то есть
так как ограниченная функция, к 0 должен стремится .
Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .
функция осциллирующий интеграл
§3. Рассмотрим поведение функции для случаев:
3.1
3.2
3.3
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
=
=
рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член
Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции
(*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
=
(**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно, по формуле (2) получаем
3.4
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй производной
Для облегчения вычислений введем обозначения:
При этом формула для примет вид
(6)
4.1
Виду того, что d(x) очень мал то будет несравним с d(x) т.е.
4.2
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что
4.3
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
Вычисляя по формуле 6, получаем:
и
4.4
и
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэффициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Способы задавания функции: табличный, графический и аналитический. Область определения и область значений функции, промежутки ее знакопостоянства. Свойства постоянной функции. Множества значений функции y=arctgx. Основные свойства функции y=sinx.
реферат [799,4 K], добавлен 22.06.2019Определение пределов функции с помощью Mathcad. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Построение ее графика в окрестности указанной точки. Вычисление производных функции по определению в произвольной или фиксированной точке.
лабораторная работа [718,5 K], добавлен 25.12.2011Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Общие свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Параллелограммы периодов, основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка. Вычисление длины дуги эллипса, эллиптические координаты, сумма вычетов эллиптической функции.
курсовая работа [289,0 K], добавлен 26.04.2011Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.
лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
реферат [144,5 K], добавлен 23.08.2009Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015Определение констант нуля и установление эквивалентности линейных функций при помощи таблицы истинности. Нахождение минимальной дизъюнктивной нормальной формы функции с помощью метода неопределенных коэффициентов. Преобразование функции методом Квайна.
контрольная работа [335,2 K], добавлен 05.07.2014Определение функции Дирака. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака. Математическое определение дельта-функции. Применение функции Дирака. Разрывные функции и их производные. Нахождение производных разрывных функций.
дипломная работа [231,6 K], добавлен 08.08.2007