Розв’язування тригонометричних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розв'язування тригонометричних рівнянь

Мета уроків:

v формування в учнів навичок та вмінь розв'язувати тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних відносно тригонометричних функцій; однорідних тригонометричних рівнянь І та ІІ степеня відносно синуса і косинуса; рівнянь, під час розв'язування яких, зручно користуватися формулами пониження степеня, розкладання на множники;

v розвивати логічне мислення учнів, культуру математичного мовлення;

v виховувати самостійність і допитливість.

Урок № 1 (інформативний)

- Актуалізація опорних знань.

1) формули подвоєного аргументу, пониження степеня (учень пише на дошці).

2) (усно). Які з рівнянь :

а) sin2x+sinx+3=0; б) cos2x-sinx+1=0; в) m2-3m-4=0; г) tg2x-3tgx+5=0;	д) е)

є алгебраїчними ? знайдіть корені рівняння в), д). Як можна звести рівняння а), б), г), е) до алгебраїчних ?

3) записати формули коренів квадратного рівняння для випадків парності або непарності другого коефіцієнту. Пригадати, які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями?

- Мотивація навчання.

На практиці часто зустрічаються тригонометричні рівняння, які містять у собі тригонометричні функції в різних степенях або різні тригонометричні функції одного й того самого (різного) аргументу. Спеціального алгоритму розв'язування тригонометричних рівнянь не існує. Але більшість зводиться до найпростіших шляхом тотожніх перетворень виразів, в чому ви впевнились на початку уроку.

- Новий матеріал. Розв'язування рівнянь.

Тригонометричні рівняння можна розбити на декілька груп за способами розв'язання. І першу групу ви вже можете назвати...

Тригонометричні рівняння, що розв'язуються алгебраїчними способами :

зводяться до квадратних.

Хтось з учнів записує квадратні рівняння відносно sin x, cos x, …

asin2x+bsinx+c=0…

Учитель доповнює ще рівняннями виду :

acos2x+bsinx+c=0…

або

mtg2x+ntgx+k=0…

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння.

sin2x+4sinx-5=0

Розв'язання.

(учень пропонує ввести ново зміну і розв'язує. В цей час учитель записує іншу форму запису)

(учні порівнюють записи і виконують їх у зошитах).

Учитель звертає увагу, що обидві форми запису можливі, але більш сильні учні обирають другий спосіб.

Приклад 2.

4sin2x-4cosx-1=0.

Обговорюється з такими записами: sin2x=1-cos2x.

Після перетворень - квадратне відносно cosx.

Приклад 3.

cos2x+sinx=0.

(учні самі помічають, що в рівнянні функції різні та ще й з різними аргументами. Чи можна привести до одного аргументу?...функції?).

Розв'язання.

Використовуємо формулу 1-2sin2x=cos2x .

2sin2x-sin-1=0,

D=9,

sinx=1,

sinx=-0,5 k+1

В:

k+1

Рівняння, що розв'язуються розкладанням на множники.

Учитель просить, щоб діти самі навели приклади таких рівнянь. І є результат - неповні квадратні рівняння. Це правильно, але ця група рівнянь набагато ширша.

Наприклад:

1) sin4x-cos4x=,

2) cosx-cos5x=sin3x,

3) sin3x-cos3x=sinx-cosx.

(Доцільно провести невелике обговорення щодо розв'язання цих рівнянь).

При розв'язання таких рівнянь важливо, при можливості, об'єднати отримані групи коренів в одну.

Однорідні рівняння, або які до них зводяться.

Однорідні рівняння - це рівняння, що мають вигляд:

Asinx+Bcosx=0 I степеня

Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=0 II степеня.

(учитель може запропонувати записати рівняння ІІІ степеня і т.д.)

Щоб “розпізнати” однорідне рівняння треба користуватися такими правилами :

1) функції одного аргументу;

2) сума показників степенів кожного доданку - однакова (k). Ця сума (k) називається степенем однорідного рівняння.

Спосіб розв'язання :

поділити обидві частини рівняння на coskx (sinkx) , де k - степінь однорідного рівняння. Це можливо, бо одночасно sinx i cosx дорівнювати 0 не можуть, тобто cosx().

Приклад 4.

2sinx-3cosx=0

Розв'язання.

(ясно, що для такого рівняння )

.

В: .

мислення математичний мовлення

Після невеликих міркувань учні приходять до висновку, що однорідні рівняння І і ІІ степеня можна звести до квадратних або лінійних відносно tgx (або ctgx).

Рівняння що зводяться до однорідних:

1) Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=D,

Спосіб розв'язання : D=D*1=D*(sin2x+cos2x).

2) Asinx+Bcosx=C, - лінійне рівняння.

Одним із способів розв'язання такого рівняння скористатися формулами подвійного кута і умовою С=С*1=... .

Отримаємо : 2222

Після перетворень матимемо однорідне рівняння ІІ степеня.

Рівняння, що розв'язуються за допомогою формул пониження степеня.

Наприклад.

1) cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2,

2) 4sin2x+sin22x=3,

3)

Але рівняння такого типу ми розв'яжемо на наступному(них) уроці(ках).

- Підсумок.

- Над якою темою працювали?

- Рівняння яких типів розглянуто?

- Як їх розрізняти?... розв'язувати?

Дійсно, ми познайомились с деякими типами тригонометричних рівнянь. Але це далеко не повний список типів і способів розв'язування тригонометричних рівнянь. І ми, по-можливості, ще розглянемо інші різновиди рівнянь.

- Домашнє завдання.

Вдома ви розв'яжете лише рівняння тих типів які було розглянуто на уроці. Використаємо приклади с підручника “Алгебри і початку аналізу” А.Н. Колмогоров.

І гр. № 164-166 (б,в), 169 (б).

ІІ-ІІІ гр. № 166-168 (б,в), 169.

Надалі, клас поділено по рівнях на три групи (учні можуть переходити з однієї групи в іншу, відчуваючи в цьому потребу - за своїми можливостями).

І гр. - початковими знаннями (~ 4-6 б.)

ІІ гр. - середніми знаннями (~ 6-9 б.)

ІІІ гр. - з високими показниками (~ 9-12 б.)

Урок №2 (закріплення знань).

- Актуалізація опорних знань.

Визначити тип рівняння і скласти план його розв'язання :

1) 2cos2x+7sinxcosx-9sin2x=0;

2) 2cos2x+7sinx-5=0;

3) 2cos2x+7sinxcosx-9sin2x=2;

4) 2cos2x+7cosxsinx=0;

5) 2cos2x+7sinx+3=0;

6) 4sin2x-2=0.

- Перевірка д.з. (учні працюють в той час, коли йде актуалізація...)

1) № 166 (в) - учень ІІ гр. (4cosx=4-sin2x),

2) № 167 (б) - учень ІІІ гр. (tgx-2ctgx+1=0),

3) № 168 (б) - учень ІІ або ІІІ гр. (4cos2x-3=0),

4) для двох - трьох учнів І гр. завдання аналогічні домашнім.

Наприклад № 1 2cos2x+5sinx-4=0,

№ 2 2cos23x-cos3x-1=0,

№ 3 2sin2x+5sinx-4=0.

Д.з. коментується для всього класу крім 4). Останні приклади коментуються лише для І гр. (в той час коли інші розпочали роботу).

- Розв'язування рівнянь.

1. Робота відбувається по групах (15-20 хв.)

І гр. № 168 (а) 2cos2x+cosx=0,(7б)

№ 167 (б) 2ctgx-3tgx+5=0,(8б.)

№ 171 (в) sinx+cosx=0.(7б.)

Завдання виконують на дошці з коментарями

ІІ гр. - ІІІ гр. № 170 (б) cos2x=2cosx-1,(9б.)

№ 170 (г) sin2x=1-4cos2x,(8б.)

№ 171 (б) tgx-ctgx=2,(9б.)

№ 172 (б) sin4-cos4=.(10б.)

Завдання також виконуються на дошці.

Останнє завдання 172 (б) коментується після розв'язання для всього класу.

На протязі цієї роботи отримати можуть оцінку не лише діти біля дошки, а і на місцях за принципом - “виконати раніше, ніж на дошці”. Причому, якщо на місці учень розв'язав завдання з помилкою і отримав оцінку нижчу, ніж на ту, яку сподівався, то може відмовитись від оцінювання, або допрацювати на кращу.

2. Робота всього класу.

№ 1.

cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2. (12,б)

Розв'язання. Користуємось формулами пониження степеня :

cos2x=

,

1+cos2x+1+cos4x+1+cos6x+1+cos8x=4,

cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0,

(Складається проблемна ситуація. Але після питання : “Коли нуль в одній з частин рівняння “допомагає” його розв'язати ?” здогадуються, що інша частина повинна бути перетворена або в добуток, або в частку).

(cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0,

2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0,

cos5x(cos3x+cosx)=0,

2cos5xcos2xcosx=0.

cos5x=0, x=;

cos2x=0, x=;

cosx=0; x=.

В. ; ; .

№ 2.

cos2x+sin2x=(12б.)

Розв'язання.

cos2x-sin2x+2sinxcosx=(sin2x+cos2x),

(1-)cos2x+2sinxcosx-sin2x(1+)=0,

cosx.

(1+)tg2x-2tgx-(1-)=0,

D1=1,

tgx=1,x=

tgx=2-; x=arctg(2-)+

В. arctg(2-)+

Учитель задає питання : “Чи легко було розв'язати дане рівняння?”

Відповідь : “Досить складно.”

Учитель : “ Існує інший спосіб який полегшує розв'язання даного рівняння.”

Розв'язання заготовлено на дошці і учні під коментар учителя записують його.

В. :

Учні можуть задати питання : “Чому не співпадають відповіді?”.

Пояснення таке : розв'язки в другому способі об'єднали два розв'язки в першому способі.

- Підсумки.

- Д.з. І гр. № 168 (б,г), 167 (в), 170 (г), 169 (г)

ІІ гр. № 170 (а,в), 171 (а), 172 (а,в,г), 173 (а)

ІІІ гр. № 171 (а), 172 (а,в,г), 173 (а,г),

Урок № 3.

- Самостійна робота (15 - 20 хвилин).

Розв'язати рівняння :

В цей час працюємо з І гр. на дошці.

№ 169 (в) (9sinxcosx-7cos2x=2sin2x),

№ 171 (г) (tgx=3ctgx),

№ 172 (г) (1-cosx=2sin).

- Робота з усім класом.

1. На дошці один з учнів розв'язав з домашнього завдання рівняння

(розв'язано зрозуміло “класичним” способом : розкрив модуль)

А як можна по-іншому розв'язати це ж рівняння? Для цього пригадайте властивості модуля. “Еврика!”

а2=a2

Отже піднесіть до квадрату обидві частини рівняння. Розв'язують :

cos23x=

(а далі формули пониження степеня)

cos6x=0,

6x=

В. :

2. Дробове рівняння.

№ 173 (в)

звернути увагу на те, що серед отриманих розв'язків потрібно буде “відкинути” групу коренів, яка не входить в ОДЗ, але над цим питанням ми будемо працювати на наступному уроці.

3. При розв'язанні наступних рівнянь запам'ятайте ще два “закони”, які сформулюємо і запишемо так :

перший закон: “побачив суму - перетворюй у добуток”;

другий закон: “ побачив добуток перетворюй у суму”.

1) sin7x cos5x=sin11x cos9x

Розв'язання :

sin12x=sin20x,

sin12x-sin20x=0,

cos16x sin4x=0

cos16x=0, x=x=

sin4x=0;

В.:

2) № 174 (г) cos3x+cosx=4cos2x

- Підсумки можна провести по готових прикладах, що записані на дошці: розпізнати тип рівняння та скласти план розв'язання.

- Д.з.

І гр. № 172 (в), 170 (а,в), 174 (а,в)

ІІ гр. № 173 (б), 174, sinx+cosx=

III гр.. № 174, 1)

2)

3)

Размещено на Allbest.ru