Палиндромы вокруг нас

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Ростова - на - Дону гимназия № 52

Научно-исследовательская конференция учащихся «НИКа-2019»

Палиндромы вокруг нас

Автор работы:

Перфильев Игорь, 6 «Б» класс

Руководитель:

Волкова Лариса Юрьевна,

учитель математики

Ростов - на - Дону

2019



Введение

палиндром математика симметрия цифра

Проблема: по дороге в школу или на тренировку я часто, чтобы не было скучно, в уме складываю цифры номеров проезжающих мимо машин. И, как-то раз, занимаясь этим увлекательным делом, я обратил внимание на номера, цифры которых читались как с одной, так и с другой стороны одинаково. Мне стало интересно есть ли определение у этого явления. Оказалось, что есть и это называется «палиндромом». Я решил изучить эту тему, в чём меня поддержала моя учительница по математике, сказав, что задачи с палиндромами нередко включаются в олимпиадные задания и в ЕГЭ.

Тема: палиндромы вокруг нас.

Цель: знакомство с новым понятием в математике, которое еще не изучали в школе.

Гипотеза: палиндромы в математике - основа изучения палиндромов в жизни.

Задачи: - узнать, что такое палиндром;

- рассмотреть различные виды палиндромов в математике, примеры решения задач;

- определить возможность использования понятия палиндрома в других сферах жизни.

Методы исследования:

- теоретический;

- анализ.



1. Основная часть

1.1 Определение понятия палиндрома

Палиндромм - от древне-греческого рЬлйн -- «назад, снова» и дсумпт -- «бег, движение», что дословно обозначает «вновь бегущий назад», пемревертень -- число, буквосочетание, слово или текст, одинаково читающееся в обоих направлениях.

1.2 История палиндромов

Отдельные палиндромические словосочетания и фразы известны с глубокой древности. Древнейшим из известных является SATOR из Геркуланума I века н. э., написан на латыни. Это фраза «Sator Arepo tenet opera rotas», что означает «Сеятель Арепо с трудом держит колёса». Как правило, этот палиндром, состоящий из пяти пятибуквенных слов, записывали в форме квадрата.

Рис. 1



В таком виде фраза читается четырьмя способами: по горизонтали, по вертикали, слева направо и справа налево.

Стоит сказать, что в древние времена палиндрому, «заточённому» в квадрат, приписывались удивительные свойства. Считалось, что он обладает магической силой и способен защитить от болезней и злых духов. Не случайно подобные «волшебные» фразы высекались на стенах храмов и дворцов у древних римлян, а в Средневековье -- и на фасадах христианских церквей.

1.3 Палиндромы в русском языке

Конечно же, каждому из нас известны слова, фразы в русском языке, читающиеся одинаково - как слева направо, так и наоборот. Просто некоторые не знают, что они называются языковыми палиндромами. Среди них различают:

А. БУКВЕННЫЕ

слова-палиндромы

* трёхбуквенные - самые короткие боб, дед, кок, око, пуп, шиш; (хотя среди географических названий встречаются палиндромы из двух букв, например, река Яя в Сибири);

* четырёхбуквенные - их мы можем встретить среди имён Анна, Алла;

* пятибуквенные - их больше всего заказ, довод, кабак, казак, комок, наган, потоп, ротор, топот, шабаш, шалаш;

* семибуквенные - ротатор, тартрат, некоторые фамилии Аникина, Водородов;

* девятибуквенные - самые длинные в русском языке - наворован, незаразен;

- предложения-палиндромы - чаще всего бывают игривые или шуточные; в старинные времена в России их называли «рачьими стихами», и, если фраза читалась слева направо, то это называлось «прямоходом», а если наоборот, то «ракоходом»; вот как выглядят фразы-палиндромы:

«Он дивен, палиндром, и ни морд, ни лап не видно...» (Кирилл Решетников)

«А лис, он умен -- крыса сыр к нему носила»

«А муза рада музе без ума да разума»

«Аргентина манит негра»

«Я иду с мечем судия» (Гавриил Державин).

Б. СЛОВЕСНЫЕ - когда в прямом и обратном порядке читаются слова, вот пример одного из них:

«Жестоко раздумье. Ночное молчанье качает виденья былого,

Мерцанье встречает улыбки сурово, страданье

Глубоко-глубоко!

Страданье сурово улыбки встречает... Мерцанье былого виденья качает...

Молчанье. Ночное раздумье жестоко»

(В. Брюсов).

Рис. 2



1.4 Числа - палиндромы

Но вернёмся к палиндромам в математике.

Числовой палиндром -- это натуральное число, выражение, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Ещё их иногда называют числами Шахерезады - это связано с названием сказок “1001 ночь”, где 1001 - число-палиндром. Палиндромами являются все однозначные числа, двузначные вида бб, такие как 11 и 99, трехзначные числа вида бвб, например 535 и так далее.

Сколько же существует однозначных, двузначных, трехзначных, четырехзначных и т.д. чисел - палиндромов?

Диапазон	0-9	10-99	100-999	1000-9999	10000-99999	100000-999999
Кол-во палиндромов	10	9	90	90	900	900
Вероятность встретить палиндром	1	0.1	0.1	0.01	0.01	0.001

Диапазон	1000000-9999999	10000000-99999999	100000000-999999999	1000000000-9999999999
Кол-во палиндро-мов	9000	9000	90000	90000
Вероят-ность встретить палиндром	0.001	0.0001	0.0001	0.00001

Можно увидеть определенную закономерность в количестве палиндромов в диапазонах чисел, начиная от 100.

Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи (последовательность чисел, в которой каждое последующее число - сумма двух предыдущих) -- 8, 55 (6-й и 10-й члены последовательности); чисел Смита (составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей) -- 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит (натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые) - например 555555 и, в частности, репьюнит (натуральное число, записанное с помощью одних только единиц) - 1111111.

1.5 Способы получения числовых палиндромов

Числа - палиндромы найти довольно легко, можно составить их из цифр, просто зная их определение.

Но есть другой интересный способ их получения. В книге «Есть идея!» Мартина Гарднера описана «гипотеза о палиндромах». А суть гипотезы со стоит в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы получим палиндром.

Алгоритм получения чисел - палиндромов путем сложения можно представить следующим образом:

Рис. 3



Известно, что для того, чтобы получить палиндром для большинства чисел, нужно проделать шаги алгоритма от 1 до 6 раз.

Таблица примеров:

Таблица 1

1.	216+612=828
2.	39+93=132	132+231=363
3.	68+86=154	154+451=605	605+506=1111
4.	87+78=165	165+561=726	726+627=1353	1353+3531=4884

Но существуют исключения. Для числа 89 сложение необходимо применить 24 раза. А для числа 196 до сих пор так и не удалось найти числа - палиндрома, даже с привлечением компьютера и повторения сложения миллионы раз! Надо сказать, что до сих пор неизвестно, можно ли в десятичной системе счисления, которой мы пользуемся, получить из любого числа число - палиндром применением операции сложения с его взаимно обратным обозримое число раз. Для других систем счисления, например, двоичной, доказано, что существуют числа, из которых число - палиндром получить нельзя.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

v484 + ³v1331 = 22 + 11 = 33

212² - 121²= 44944 - 14641 = 30303

v12345678987654321 = 111111111

2 х 121 х 10201 = 2 х 11² х 101² = 22 х 112211 = 1111 х 2222 = 2468642

1.6 Интересная закономерность

А есть ли способ определить - получится ли из двузначного числа палиндром сразу, за один шаг или нет? Оказалось, что есть.

Рассмотрим число 34. Сложим его с обратным - 43. 34+43=77. Получили число - палиндром. Рассмотрим теперь число 39. Сложим с обратным - 39+93=132. Это число - не палиндром. При рассмотрении других чисел можно заметить, что, если сумма цифр в числе меньше 10 или равна 11, то получается число - палиндром, если больше - не получается.

Проверить и доказать это утверждение можно так: обозначим любое двузначное число AB, тогда число, обратное ему - BA. Сложим их: AB+BA=(A+B)(B+A), если A+B<10. Получили число - палиндром. Если A+B>9, то AB+BA=1(A+B-9)(A+B-10). Это число будет палиндромом, только если 1=A+B-10, или A+B=11.

Таким образом, мы выяснили, что при сложении любых обратных друг другу двузначных чисел, число - палиндром получается сразу с первого шага только, если сумма цифр исходного двузначного числа равна 11 или меньше 10.

1.7 Числовые палиндромные выражения

Палиндромами могут быть не только числа, но и целые примеры, числовые выражения. Примеры сложения:

76+34=43+67; 52+47 =74+25; 15+62=26+51.

Для двухзначных чисел, чтобы эти палиндромные равенства были верными, сумма первых цифр чисел каждой из сторон равенства должна быть равна сумме их вторых цифр. Это нетрудно доказать:

АВ + СД = ДС + ВА; (10А + В) + (10С + Д) = (10Д + С) + (10В + А);

9А + 9С = 9Д + 9В; А + С = Д + В.

Примеры вычитания:

32 - 14 = 41 - 23; 54 - 72 = 27 - 45; 61 - 25 = 52 - 16

Для выполнения этих равенств сумма цифр первого числа должна равняться сумме цифр второго, что следует из нижеприведённого доказательства:

АВ - СД = ДС - ВА; (10А + В) - (10С + Д) = (10Д + С) - (10В + А);

10А + В - 10С - Д = 10Д + С - 10В - А; 11А + 11В = 11Д + 11С;

А + В = Д + С

Примеры умножения:

63 • 48 = 84 • 36; 82 • 14 = 41 • 28; 26 • 31 = 62 • 13.

Для выполнения палиндромных равенств с умножением произведение первых цифр чисел каждой из сторон равенства должна быть равна произведению их вторых цифр:

AB x CD = DC x BA;

(10А + В) х (10С + Д) = (10Д + С) х (10В + А);

100АС + 10АД + 10ВС + ВД = 100ВД + 10АД + 10ВС + СА;

99АС = 99ВД; АС = ВД

Палиндромы умножения многозначных чисел:

20646 • 35211 = 11253 • 64602 203313 • 657624 = 426756 • 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Примеры палиндромных выражений в делении выглядят по-иному:

62 : 31 = 26 : 13 96 : 32 = 69 : 23

1.8 Сообщество простых палиндромов

Во множестве простых чисел имеются немало интересных экземпляров и даже целых семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные -- 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное -- 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей:

- Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр -- 11.

- Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7, 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5.

- Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

Аналогичная картина наблюдается и у больших простых чисел, например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.

- Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел: аbcba - 96269; ababa - 18181; aabaa - 33533; abbba - 79997;

Cреди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины -- в нём 1749 цифр:

Среди простых чисел-палиндромов есть числовой гигант:

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом - 5903 или 5.



1.9 Примечательные пары

Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3.

Таблица 2

131	313
313	131

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. В представленном квадрате сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях -- 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма -- палиндром.

А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 -- 31 и 113 -- 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 -- 961 и 12769 -- 96721.

Среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 -- 301, 1102 -- 2011, 11113 -- 31111 и др.

1.10 Года-палиндромы

Года-палиндромы встречаются очень редко, и далеко не каждому человеку даже один раз. Но нашим родителям повезло, так как им удалось застать сразу два таких года 1991 и 2002! И даже полный палиндром даты числа, месяца, года - 20.02. 2002. Нашему поколению вряд ли удастся застать следующий год палиндром, так как он будет только через 93 года, в 2112 году.



2. Практическая часть

Задача 1

Вычислить количество чисел - палиндромов, делящихся на 2

а) двузначных; б) трехзначных; в) четырехзначных; г) пятизначных

Решение: на 2 делится любое четное число, поэтому,

а) среди двузначных чисел - палиндромов четные - 22, 44, 66 и 88. То есть 4 числа.

б) у трехзначных чисел - палиндромов первая и последняя цифры одинаковые и должны быть четными. Четных цифр 4 (2, 4, 6 и 8). В середине может стоять любая из 10 цифр от 0 до 9. Поэтому, всего 4*10=40 трехзначных чисел - палиндромов.

в) у четырехзначного искомого числа должны быть четными одинаковые первая и последняя цифры - их 4. При этом одинаковые вторая и третья цифры могут быть любыми из десяти. Значит, четырехзначных чисел - палиндромов тоже 40.

г) у пятизначных чисел - палиндромов первая и последняя цифры одинаковы и четны, их может быть 4. При этом 2 и 4 цифры также одинаковы и их может быть 10. Третья цифра также может быть любой из 10. Поэтому, всего пятизначных чисел - палиндромов - 4*10*10=400.

Ответ: а) - 4; б) - 40; в) - 40; г) - 400.

Задача 2

Вычислить количество чисел - палиндромов, делящихся на 3

а) двузначных; б) трехзначных; в) четырехзначных; г) пятизначных

Решение: на 3 число делится, если сумма его цифр делится на 3.

а) среди двухзначных таких чисел 3: 33, 66 и 99.

б) в трехзначном числе - палиндроме на 1 и 3 месте могут стоять любые из 9 цифр от 1 до 9. Вторая цифра определяется условием делимости суммы цифр всего числа на 3. Выпишем все возможные сочетания для числа вида АВА в таблицу:

Таблица 3

А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
В	1, 4, 7	2, 5, 8	0, 3, 6, 9	1, 4, 7	2, 5, 8	0, 3, 6, 9	1, 4, 7	2, 5, 8	0, 3, 6, 9

Итак, всего чисел - палиндромов 3*4+6*3=30.

в) для четырехзначных чисел задача решается аналогично. Ответ 30.

г) Для пятизначных чисел - палиндромов вида АВСВА первую и последнюю цифры моно выбрать из 9 - от 1 до 9, вторую и предпоследнюю - из 10 - от 0 до 10. Третья цифра будет определяться необходимостью делимости суммы 2*А+2*В+С на 3. Набор возможностей аналогичен пункту б) и при В=0, С может принимать 3 или 4 значения. Таким образом, всего чисел - палиндромов 6*33+3*34=300.

Ответ: а) - 4; б) - 30; в) - 30; г) - 300.

Задача 3

Вычислить количество чисел - палиндромов, делящихся на 5

а) двузначных; б) трехзначных; в) четырехзначных; г) пятизначных

Решение: число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5, значит первая и последняя цифры это 5

а) среди двузначных чисел такое число только одно - 55.

б) на втором месте в трехзначном числе, делящемся на 5 может стоять любая из 10 цифр от 0 до 9, значит трехзначных чисел - палиндромов вида 5А5 всего 10.

в) четырехзначных чисел - палиндромов, делящихся на 5 также 10, т.к. вторая и третья цифры одинаковые и ими могут быть цифры от 0 до 10.

г) для пятизначных чисел количество чисел - палиндромов, делящихся на 5, первая и последняя цифра 5; 2 и 4 цифры также одинаковы и их может быть 10, третья цифра также может быть любой из 10. Поэтому, всего пятизначных чисел - палиндромов - 1*10*10 = 100.

Задача 4

Сколько четырехзначных чисел-палиндромов, которые делятся на 15.

Решение: искомое число имеет вид abba, по признаку делимости на 15 это число должно делиться на 3 и 5, соответственно первой и последней цифрами будет 5, а сумма цифр этого числа должна делиться на 3; соответственно получаем, что на 15 будут делиться 5115; 5445, 5775.

Ответ: 3 числа.

Задача 5

Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

Решение: Чтобы число делилось на 15, последняя цифра должна быть 0 или 5, вариант с 0 не подходит, соответственно получаем числа по форме 5aba5. Также это число должно делиться еще и на 3 (по признаку делимости на 15).

Очевидно, цифра b может быть от 0 до 9:

- для b=0, возможные варианты а: 1, 4, 7..

- для b=1, возможные варианты а: 2, 5, 8

- для b=2, возможные варианты а: 3, 6, 9.

И так далее. В итоге получаем 33 возможных варианта пятизначных палиндромов, делящихся на 15.

Ответ: 33.



3. Палиндромы в других областях

Вообще, если рассматривать палиндром как вариант зеркальной симметрии, то можно сказать, что мы окружены множеством палиндромов

3.1 Палиндромы в природе

Примеры палиндромов в природе можно привести множество. Большинство живых организмов подчинены симметрии.

Рис. 4

Да, и внешний вид самого человека можно назвать палиндромом



Рис. 5

3.2 Палиндромы в архитектуре

Как правило, большинство архитектурных сооружений подчинены симметрии, а значит и их можно назвать палиндромами:

Рис. 6

3.3 Палиндромы в биохимии

В структуре генов присутствуют участки нуклеотидов, которые повторяются и в обратной последовательности. Роль палиндромов в генах до конца не выяснена. Однако, можно предположить, что наличие палиндромов увеличивает возможность одновременной транскрипции одного и того же гена на ДНК (количество копий за единицу времени). Из-за своего свойства повторяемости в обратном порядке очень часто образуются крестообразные структуры в линейной молекуле ДНК, что также облегчает одновременную транскрипцию с соседних участков в пространстве.

Рис. 7

Классическим примером палиндрома является формула щавелевой кислоты:

Рис. 8

3.4 Палиндромы в изобразительном искусстве

Чаще всего это симметричные зарисовки в народе называют картинками - перевёртышами. Их нередко можно встретить в различных газетах и журналах



Рис. 9

3.5 Палиндромы в музыке

Первый музыкальный палиндром сочинил французский остроумец Гийом де Машо в 14 веке; в его рондо «Мой конец - мое начало» мелодия, отзвучав от начала к концу, повторяется - нота за нотой - в обратном порядке. Большим любителем пятящихся мелодий стал в 17 веке Иоганн Себастьян Бах. В его творчестве есть и «Крабий канон», и «Зеркальный канон» - и оба не закончены. Моцарт пошел еще дальше - свой скрипичный дуэт «Застольная мелодия для двоих» он написал в форме зеркального ракохода. Тут уж вообще непонятно, что в нотах является верхом, а что низом - их можно переворачивать как угодно. Поэтому два исполнителя должны стоять лицом к лицу, а между ними располагаются ноты, которые они читают с разных сторон, причем один играет произведение с начала, а другой - с конца. Вообще, исполняя музыкальные палиндромы, нужно сыграть произведение от начала до конца, затем ноты переворачиваются вверх тормашками, и пьеса исполняется вновь - в обратную сторону. Мелодия при этом ничуть не меняется, более того, речь идет о пьесе без финала: переворачивать ноты можно сколько угодно раз.

Рис. 9

3.6 Палиндромы в иностранных языках

О палиндромах в русском языке я уже упоминал ранее. В иностранных языках их тоже можно встретить.

- Английский язык: Dogma: I am God (Догма: я - Бог)

Madam, I'm Adam. (Мадам, я Адам)

- Испанский язык: Anita lava la tina (Анита моет корыто)

- Финский язык: saippuakauppias (продавец мыла) - вообще это самое длинное слово-палиндром, состоящий из 15 букв.

-Немецкий язык: Reit nie tot ein Tier (Никогда не гони животное до смерти)

- Латинский язык: Sum summus mus (Я -- сильнейшая мышь)

- Турецкий язык: Anastas kazak satsana (Анастас, продай свитер)

- Эсперанто: Ora trovo: vortaro (Золотая находка: словарь)



Заключение

В ходе моего исследования я познакомился с удивительными натуральными числами - палиндромами, узнал, что такое палиндром, как его можно рассчитать, ряд их свойств; мною рассмотрены различные виды палиндромов в математике, примеры решения задач; а также рассмотрены палиндромы, встречающиеся в других сферах жизни.

Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, и, занимаясь данной работой, я подумал о том, что, если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.



Литература, Интернет-ресурсы

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Палиндром.

2. https://doc4web.ru/matematika/innovacionnaya-issledovatelskaya-rabota-po-3.matematike-palindromi.html.

4. https://www.nkj.ru/archive/articles/17984/.

5. http://muz4in.net/news/matematicheskij_palindrom/2011-06-30-20676.

6. https://sites.google.com/site/mathdeti/article1.

7. https://infourok.ru/prezentaciya_po_matematike_palindrom_6_klass-537306.htm.

Размещено на Allbest.ru