Учебно-методические примеры построения радикалов колец

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учебно-методические примеры построения радикалов колец

Понятие радикала алгебраической системы играет важную роль в современной алгебре. Впервые это понятие возникло в исследованиях Ф.Э. Молина, Э. Картана, Дж. Ваддерберна о конечно порожденных ассоциативных алгебрах. Впоследствии появились различные обобщения классического радикала, а в середине XX века возникла общая теория радикалов колец и алгебр. Радикал - это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен [1].

Теория радикалов помогает понять структуру алгебраических систем путем разбиения их на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. Разработка структурной теории алгебраических систем является актуальной темой современных исследований. В настоящее время опубликованы тысячи работ о построении и исследовании свойств различных радикалов, нашедших многочисленные применения в разных областях современной теории колец и алгебр.

Согласно рабочим программам [2, 3] дисциплин, направленных на изучение актуальных проблем фундаментальной и компьютерной алгебры, наибольшее внимание уделяется таким радикалам колец, как радикал Джекобсона и первичный радикал.

Для ассоциативного кольца R радикал Джекобсона J(R) определяется как множество элементов из R, аннулирующих все неприводимые R-модули, если они существуют, или само кольцо R, если неприводимых R-модулей не существует. Другими словами, J(R)=?A(M), где M пробегает все неприводимые R-модули или J(R)=R, если неприводимых R-модулей не существует [4, с. 16].

Для построения примеров радикалов колец можно использовать следующую теорему [4, с. 17]: , где пробегает непустое множество N всех максимальных регулярных правых идеалов или J(R) = R, если N пусто.

Понятие первичного радикала вводится через первичные идеалы ассоциативного кольца.

Идеал P ассоциативного кольца R называется первичным, если P - собственный идеал и для любых идеалов A и B кольца R из включения следует, что либо , либо [5, с. 94].

Первичный радикал P(R) ассоциативного кольца R определяется как пересечение всех первичных идеалов кольца R [5, с. 96].

Рассмотрим учебные примеры, демонстрирующие поиск радикала Джекобсона и первичного радикала колец. Практика освоения студентами основных понятий теории алгебраических систем показала, что начинать работу с идеалами и радикалами колец удобнее на конечных множествах. Одним из наиболее исследованных студентами на других дисциплинах конечных колец является кольцо классов вычетов.

Найдем радикал Джекобсона и первичный радикал кольца классов вычетов , используя теоретические сведения, изложенные в работах [4-5].

Так как в кольце с единицей каждый правый идеал является регулярным, то радикал Джекобсона коммутативного кольца с единицей равен пересечению всех его максимальных идеалов.

Найдем идеалы кольца вычетов. Рассмотрим каноническое разложение числа m:

.

Несобственными идеалами кольца являются идеалы следующего вида:

, , .

Максимальными идеалами кольца будут идеалы , ,…,. Тогда радикал Джекобсона .

Например, несобственными идеалами кольца являются множества:

радикал методический пример

Тогда идеалы и являются максимальными регулярными и .

Для коммутативного кольца известно, что пересечение всех простых идеалов является первичным радикалом [5, с. 53]. Каждый максимальный идеал коммутативного кольца прост [5, с. 53]. Тогда .

В качестве следующего примера найдем радикал Джекобсона и первичный радикал кольца булевых функций от двух переменных.

Будем рассматривать задание булевых функций в виде полинома Жегалкина. Множество булевых функций от двух переменных состоит из следующих элементов: 0, 1, , , , , , , , , , , , , , .

Для этого построим несобственные идеалы кольца булевых функций:

Заметим, что , , , , , . Максимальными идеалами кольца являются , , . Кольцо является коммутативным с единицей. Тогда радикал Джекобсона . Аналогично находится и первичный идеал кольца булевых функций, то есть .

В качестве примера поиска радикалов некоммутативного кольца рассмотрим кольцо матриц второго порядка над полем .

Правыми идеалами кольца являются следующие идеалы:

Тогда радикал Джекобсона .

Для построения первичного радикала нам понадобится таблица умножения идеалов , и кольца (таблица 1).

Таблица 1. Таблица умножения идеалов

Согласно определению первичными идеалами кольца являются , и . Тогда первичный радикал .

В заключение отметим, что построение радикалов конечных колец помогает обучающимся лучше понять структуру радикала и его предназначение. Приведенные примеры позволяют проиллюстрировать такие понятия как идеал, максимальный идеал, первичный идеал, радикал Джекобсона, первичный радикал. Кроме того, дискретность и конечность приведенных в статье колец позволяет автоматизировать процесс построения основных алгебраических структур с помощью разработки компьютерных программ.

Список литературы

радикал методический пример

1. Пихтильков, С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли / С.А. Пихтильков. - Оренбург, ОГУ. - 2013. - 171 с.

2. Рабочая программа дисциплины «Б.1.В.ДВ.4.1 Актуальные проблемы фундаментальной и компьютерной алгебры» / сост. О.А. Пихтилькова, А.Н. Благовисная. - Оренбург: ОГУ, 2018.

3. Рабочая программа дисциплины «А.1.В.ОД.2 Математическая логика, алгебра и теория чисел» /сост. С.А. Пихтильков, Е.В. Мещерина - Оренбург: ОГУ, 2017.

4. Херстейн, И. Некоммутативные кольца / И. Херстейн. - М.: Мир, 1972. -192 с.

5. Ламбек, И. Кольца и модули / И. Ламбек. - М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2005. - 283 с.

Размещено на Allbest.ru