Матрицы и их применения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Гусиноозерский энергетический техникум»

Практическая работа

по дисциплине: «Математика»

на тему: «Матрицы и их применения»

Выполнил: Курмазов Е.А.

специальность: ЭССиС

группы: 28-1Б, 2 курс

Гусиноозерск, 2019

Содержание

Введение

1. Применение Матрицы в Математике и Физике

2. Применение Матрицы в Экономике

3. Применение Матрицы в жизни

4. Применение матрицы в Биологии

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Термин « матрица » имеет много значений. Например, в математике матрицей называется система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы, в программировании матрица - это двумерный массив, в электронике - набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Покерные фишки также имеют непосредственное отношение к матрице. Фишки для покера изготавливаются из высококачественного композиционного материала, зачастую с металлической сердцевиной. В свою очередь композиционный материал или композит имеет матрицу и включенные в нее армирующие элементы (исключение составляют слоистые композиты).

Матрица в фотографии - это интегральная микросхема (аналоговая или цифро-аналоговая), которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов). Благодаря светочувствительной матрице происходит преобразование спроецированного на нее оптического изображения в электрический сигнал аналогового типа, а при наличии в составе матрицы АЦП, то преобразование происходит в поток цифровых данных.

Матрица - основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы видеонаблюдения.

1. Применение Матрицы в Математике и Физике

Матрицы широко применяются в математике и физике для компактной записи и решения систем линейных алгебраических уравнений и систем дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов -- количеству неизвестных величин. Матричный аппарат позволяет существенно упростить решение СЛАУ сведя его к операциям над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. матрица алгебраический уравнение дифференциальный

Так же матрицы используются в квантовой механике и называются матричной механикой. Матричная механика - математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гайзенберга, Максом Борном и Паскуалем Иордана в 1925. В матричные механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантово-механической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел

а каждому физическому величине A, которые можно наблюдать в эксперименте соответствует определенная матрица

Реальным физическим величинам соответствуют самоспряжених матрицы, для которых . Комплексные величины задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определенном состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое.

Теория случайных матриц -- раздел математической статистики, изучающий свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом, она имеет множество применений в физике, в особенности в приложениях квантовой механики к изучению неупорядоченных и классически хаотических динамических систем. Дело в том, что гамильтониан хаотической системы нередко можно представлять себе как случайную эрмитовуили симметричную вещественную матрицу, при этом уровни энергии этого гамильтониана будут представлять собой собственные значения случайной матрицы.

2. Применение Матрицы в Экономике

Матричная алгебра является неотъемлемой часть в изучении экономики и дальнейшей её работе. Поясняется и трактуется это тем, что матричный вектор позволяет в доступной форме изложить экономическую ситуацию, также использование матрицы позволяет персоналу в различных сферах деятельности видеть результативность своей работы в целом. И также обратить минусы в неэффективности своей работы и сделать дальнейшие корректировки. С помощью вектора очень удобно записывать разные экономические закономерности и зависимости, ведь это очень компактно и удобно. На практике матрицы могут быть представлены в совершенно различных формах и иметь самое различное содержание.

3. Применение Матрицы в жизни

Мы рассмотрим применения матриц в повседневной жизни. Пусть частный предприниматель имеет жилое (44м2) и офисное помещения (71м2). Каждый месяц ему необходимо оплачивать коммунальные услуги, вычислим значения платежей по каждому виду и общую сумму. Тарифы по предоставляемым услугам жилищной компанией для жилых помещений: холодное водоснабжение составляет 16,2 руб. за 1м3, горячее водоснабжение -117 руб., электроэнергия - 2,81 руб. за 1кВт.ч., отопление - 1389 руб. за 1Гкал. Для офисных помещений с владельцев взимается оплата в размере двойного тарифа от жилого фонда. Потребляемые ресурсы по данным помещениям представлены в таблице 1.

Таблица № 1

Чтобы предприниматель мог ежемесячно знать сколько ему нужно оплатить в общем, он вводит только новые значения по потреблению в матрицу , в случае изменения тарифов также легко вносятся новые значения в матрицу . Предложенный способ позволяет предпринимателю быстро и безошибочно рассчитывать сумму ежемесячных коммунальных платежей.

При решении практических задач матрицы являются хорошими помощниками, так же они используются в решении экономических задач в сферы планирования и управления с помощью линейного программирования.

4. Применение матрицы в Биологии

Мы привыкли к делению наук на естественные и гуманитарные. При этом в первую очередь к естественным наукам относят математику. Но это не вполне справедливо. Математика скорее занимает некое промежуточное положение, будучи связана с изучением как окружающей природы, так и различных форм человеческой деятельности. Математика -- это язык, пригодный для описания самых различных явлений. Но это язык, подчиненный весьма жестким и строгим логическим правилам. И научиться говорить на математическом языке о том или ином круге вопросов подчас весьма сложно. Мы лучше всего умеем говорить на нем о механических и физических явлениях, но в принципе этот язык универсален. В последнее время мы все чаще говорам на математическом языке и о биологии.

Введём так называемую биологическую или миграционную матрицу От места М: К месту

Каждая точка в этой матрице представляет ту часть населения, в процентах, которая перемещается с одного места на другое за единицу времени. Эти части умножаются на значения ( число людей или ещё чего-либо) в местах А, В, С и в результате получаются значения А, В и С спустя единицу времени:

Это матричное уравнение для миграции (переселения). Если эту операцию повторять несколько раз мы увидим как миграция, представленная матрицей М сказывается на значениях в местах А, В и С по пришествии нескольких промежутков времени.

По мере увеличения числа умножений матриц, эти величины всё меньше зависят от их начальных значений, и некоторое время спустя они начинают зависеть, лишь от миграционной матрицы М. Покажем это на примере: Пусть имеется матрица

M =

для движениями между двумя популяциями,содержащими соответственно 54 и 108 особей, то есть возьмём

n =

После миграции новые численности популяций представляются элементами вектора n', где: n' = M Ч n = Ч =

Следовательно, - собственный вектор матрицы М, соответствующий собственному значению 1. Отсюда следует, что любая симметричная картина миграции, представленная элементами матрицы М, не изменяет численности двух популяций, как только последние становятся равны.
Проведённое исследование показало, что алгебра матриц применима к решению большого круга важных задач, она упрощает процедуру решения и облегчает понимание процесса. И хотя в нашей работе этот метод к очень упрощённым, утрированным биологическим проблемам, стало ясно, что он может быть использовать и в решении реальных задач генетики, биологии популяций, систематики.

Заключение

Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и ее приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений.

Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике и др.

Список использованной литературы

1. Ахмедханова А.И., Комемякина В.А., Мамаев И.И. Применение матриц в экономике/ А.И Ахмедханова., В.А Комемякина., И.И.Мамаев // Международный студенческий научный вестник. 2015. - С.454-456.

2. Асатрян Е.А. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ.

3. Смит Дж. Математические идеи в биологии.? М.: Mиp,2001.

Размещено на Allbest.ru