С каждым годом исследование и использование космического пространства за пределами атмосферы Земли получает всё больше внимания и интереса. Происходит не только исследование далеких звезд и галактик в целях поисков ответов на глобальные вопросы о происхождении Вселенной и наличии в ней иных форм жизни, но и активное использование в коммерческих или же военных целях. Использование космоса получает более широкое финансирования со стороны частных компаний, а также всё больше интереса со стороны государств и военных организаций.

Пространство вблизи Земли особенно интересно, поскольку при его использовании можно получить определенные преимущества, которые невозможно достичь на Земле. Одним из самых заметных плюсов использования околоземных орбит является прямая видимость поверхности планеты. Спутник связи или же метеорологический зонд, который видно с поверхности, может принести огромную пользу, обеспечить связью две удаленных друг от друга точки пространства Земли или относительно легко получить данные об окружающей атмосфере на высоте, измеряемой сотнями километров. Военные спутники могут в кратчайший срок увидеть запуск ракеты и передать экстренную информацию службам противовоздушной обороны.

В 1957 году на орбиту Земли впервые был выведен искусственный спутник - "Спутник-1" - советский космический аппарат. На сегодняшний же день, количество объектов в окрестности Земли измеряется тысячами. Среди этого числа как и активные спутники, так и космический мусор, нерабочие спутники, ступени использованных ракет. Каждый месяц на околоземные орбиты выводятся десятки телевизионных спутников, спутников навигации, исследовательских спутников. Проблема их управления и поддержания на заданной орбите актуальна как никогда раньше.

Орбиты в окрестности Земли можно разделить на три вида.

Высокие орбиты (от 35 786 км). Космический аппарат на высоте около 36 тысяч километром над поверхностью планеты попадает в пространство, где его скорость вращения вокруг Земли равна скорости вращения Земли вокруг собственной оси вращения. Период обращения спутника на такой орбите будет равен одним сидерическим суткам. Подобные орбиты называют геосинхронными. Частным же случаем геосинхронных орбит является геостационарная орбита - геосинхронная орбита в плоскости экватора. Космический аппарат на геостационарной орбите неподживен, или же почти не подвижен, при наблюдении с поверхности Земли. Геосинхронные обриты особенно актуальны для метеорологических, телефонных спутников, теле- радиосвязи. Спутники на орбитах в окрестности точек Лагранжа (L1 и L2) также можно считать спутниками на высоких орбитах.

Средние орбиты (от 2000 км до 35 786 км). На расстоянии ближе к поверхности Земли период обращения космического аппарата уменьшается. Однако, с уменьшением расстояния также уменьшается и время, за которое сигнал доходит от поверхности Земли до аппарата и обратно. Среди средних орбит можно выделить полусинхронную орбиту, период обращения на которой равен ровно половине сидерических суток. Иными словами, космический аппарат на полусинхронной орбите будет пролетать над одним местом два раза за день. На средних орбитах преимущественно размещены навигационные спутники и системы спутников связи.

Низкие орбиты (от 200 км до 2000 км). Низкие орбиты имеют наименьшее время достижения сигнала до Земли, а также наименьшее искажение среди выделенных типов орбит. Однако, космическому аппарату на такой орбите нужно двигаться с большой скорость, а сопротивление атмосферы планеты особенно сильно влияет на траекторию движения. Период обращения на низкой орбите может опускаться ниже 90 минут.

Цель работы

Для спутника, находящегося на орбите, которую относят к низким орбитам Земли, поставим задачу об изменении относительной орбиты. Движение космического аппарата по орбите описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Качество переходного процесса и его завершение будем определять из вектора ошибки траектории, который построим как разность текущих координат и целевых. Будем оценивать время перехода на целевую орбиту, а также факт поддержания целевой орбиты после перехода на неё. В уравнении движения также учтем сопротивление атмосферы, сопутствующее движению по низким орбитам Земли.

Решим задачу при помощи синтеза управления на основе линейно-квадратичного регулятора, что обеспечит минимизацию функционала качества, который будет зависеть от отклонения от целевой траектории

Будем использовать метод построения управления на основе уравнения Рикатти, которое, зависит от своих параметров состояния. Такое уравнение в литературе встречается под названием State Dependend Ricatti Equasion, или же сокращенно - SDRE. Первым делом преобразуем исходную нелинейную систему дифференциальных уравнений в систему с линейной структурой. Затем, зададим к системе квадратичный функционал качества, описывающий качество переходного процесса. Всё это вместе позволит нам использовать встроенные в программный продукт MATLAB функции для синтеза гарантирующего управления нелинейным объектом.

Глава 1. Постановка задачи

Определение 1.1. Представление системы (1.1) в виде

будет являться эквивалентным при условии, что матрицы будут образовывать управляемые пары, а матрицы - наблюдаемую пару при любой комбинации Таким образом, мы приведем исходную систему дифференциальных уравнение (1.1) к линейному векторному виду (1.7). В дальнейшем, подобное представление поможет в решении задачи.

Определение 1.2. Представление нелинейной управляемой системы (1.1) в виде (1.7) в дальнейшем будем называть SDC-представлением (State Dependent Coefficient-представлением). С введением уравнения Рикатти, связанным с SDC представлением системы дифференциальных уравнений, мы сможем получить управление и для нашей системы.

Предположение 1.4. - матрицы в действительных переменных.

Предположение 1.5. SDC-представлением нелинейной системы (1.7) является управляемым в области , если пары управляемы для , то есть:

Это означает, что для всех существуют положительно определенные матрицы и , которые являются решениями уравнений Ляпунова:

Предположение 1.6. SDC-представление нелинейной системы (1.7) будет наблюдаемым и детектируемым в области в том случае, если пара наблюдаема для , а именно

Это означает, что для всех существует положительно определенная матрица , которая является решением уравнения Ляпунова. Запишем его ниже:

Критерии, которые были приведены в Предположениях 1.5 и 1.6, аналогичны критериям наблюдаемости и управляемости по Калману для линейных стационарных систем. Запишем их в следующем виде:

Важным будет отметить, что в настоящий момент задачи исследования управляемости и наблюдаемости нелинейных систем вида, подобного уравнению (1.7), а именно систем с параметрами, которые зависят от состояния, общего решения не имеют. Для решения подобных задач можно ограничиться проверкой выполнения условий наблюдаемости и управляемости по точечно. В каждый момент времени решения задачи, а также в к каждой точке необходимо проверять выполняемость этих условий.

При рассмотрении скалярных систем, параметризация SDC для любого , т.е.

Далее, введем в рассмотрение следующую детерминированную нелинейную систему:

где:

- состояние системы;

- множество возможных начальных условий системы;

- вывод системы;

- управление, подлежащее нахождению;

- неизвестное возмущение;

- действительные и непрерывные матрицы.

Предполагается, что для всех (x) система (1.8) управляема и наблюдаема, . Помимо этого, предполагается, что функции достаточно гладкие для прохождения через любые точки только одного решения уравнения (1.8) и был бы только единственных соответствующий выход системы .

Помимо прочего, предполагается, что возмущение, представляемое w(t), имеет следующее ограничение: , где для каждого . В каждый момент времени возмущающее управление не превосходит некоторой положительной величины, то есть, можно считать, что оно ограничено. Подобное предположение необходимо и без него решить задачу о синтезе управления невозможно. При рассмотрении задачи, в которой возмущающее воздействие будет максимально на протяжении всех моментов t, то есть , можно будет считать, что решается задача о синтезе гарантирующего управления. В случае, если управление справится с наихудшим возмущением , то и при более "слабых" возмущениях управление будет решать поставленную задачу и являться оптимальным. Это же условие можно записать следующим образом:

(1.9)

Исходя из всех предположений, описанных в Главе 1, при использовании SDC-линеаризации изначальная нелинейная система (1.8) может быть приведена в виде линейной наблюдаемой и управляемой системе

где .

Мы привели нашу задачу к линейно-векторному виду, который будем решать при помощи SDRE-метода.

Будем рассматривать возмущение в качестве действия другого игрока, который пытается противодействовать успешному выполнению задачи управления . Будем рассматривать задачу управления как игру двух игроков: и . Управления и будем организовывать при помощи использования принципа обратной связи по состоянию.

Функционал качества дифференциальной игры двух игроков введем следующим образом:

Важно, чтобы компонента, связанная с управлением , использовалась в функционале качества со знаком "-".

Задача сводится к построению оптимального управления с обратной связью для двух игроков и . Необходимо найти такое управляющее воздействие , которое будет минимизировать функционал вида (1.11) на объекте (1.10), учитывая при этом противодействие управлению .

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 1.1. В общем случае (при n > 1) оптимальное управление нелинейным объектом вида

с функционалом качества

определяется необходимыми условиями оптимальности

Где

(1.14)В таком случае, оптимальные управления для игроков и , которые будут описывать управление с обратной связью по времени через определенные функции текущего состояния системы, определяются следующим образом:

На данном этапе отметим, что найти управление, которое будет минимизировать функционал вида

с вычислительной точки зрения намного проще, чем найти матрицу S для решения (1.13) и минимизации функционала (1.11).

В дальнейшем, перейдем от системы (1.10) к эквивалентной линейной системе следующего вида:

с функционалом качества

Матрицу зададим удобным для решения задачи образом, например, единичной матрицей. Матрицу зададим таким образом, чтобы удовлетворялось следующее выражение:

(1.15)

После этого, для системы (1.14) можно будет найти управление как решение SDRE уравнения. Управление выразим следующим образом:

Полученное управление можно использовать для решения задачи (1.14), которая будем эквивалентна решению (1.10). Также, матрицу S, полученную как решение SDRE уравнения, можно использовать в (1.13) для решения системы (1.10).

Глава 2. Метод синтеза управлений для нелинейных объектов

Движение космического аппарата удобно рассматривать не в абсолютной и неподвижной системе координат, связанной, например, с центром масс Солнца, а в относительной, вращающейся системе координат. Это также упрощает и расчет самой орбиты, поскольку уравнения движения в подобной системе координат имеют более простой вид. Рассматривается движение спутника по околокруговой орбите в гравитационном поле Земли в пределах высот, относящихся к низким.

Спутник, рассматриваемый в данной задаче, состоит из центральной части формы параллелепипеда и двух боковых солнечных пластин. Параметры задаются в главе 3 "Синтез управления".

Зададим относительную систему координат с центром в точке , состоит их трех осей, которые определим следующим образом:

· ось направлена по вектору скорости движения космического аппарата по круговой орбите,

· ось направлена от центра масс Земли к точке ,

· ось дополняет тройку векторов до правой.

Можно считать, что центр системы координат, точка , находится на круговой орбите Земли. Высота круговой орбиты - . Угловая скорость при этом определяется из уравнения

,

где - гравитационный параметр Земли, то есть гравитационная постоянная умноженная на массу Земли. На рисунке 1 наглядно представлено расположение относительной системы координат, Земли и спутника.

Рис. 1. Система координат, связанная со спутником.

Далее будем рассматривать движение космического аппарата в относительной системе координат. Вектор состояния спутника определим следующим образом:

Движение космического аппарата будем рассматривать как систему следующих дифференциальных уравнений:

Система имеет аналитическое решение. Запишем его:

Теперь выразим все константы интегрирования через начальные условия

следующим образом:

Движение спутника в относительной системе координат будет происходить по замкнутой траектории только тогда, когда константа . В дальнейшем, это условие будет использовано для определения вектора начальных состояний замкнутой орбиты, а именно начальную координату через скорость по оси .

Добавим возмущение в виде аэродинамической силы сопротивления - неотъемлемой части движения на низкой орбите, которая будет зависеть от угла между направлением набегающего потока и вектора нормали к боковой поверхности спутника. В зависимости от положения спутника в пространстве эта сила будет оказывать большее или меньшее влияние на траекторию движения, а также синтезируемое управление. Переопределим наши уравнения движения спутника, записанные в относительной системе координат, при этом учтем аэродинамическую силу сопротивления атмосферы на низкой орбите Земли:

где

Распишем более подробно каждую из компонент введенной формулы:

· - плотность воздуха на высоте над поверхностью Земли,

· - скорость движения аппарата по абсолютной орбите, то есть, скорость, с которой молекулы воздуха сталкиваются с космическим аппаратом,

· - общая площадь пластин спутника,

· - максимальная площадь сечения центральной части,

· - угол между вектором нормали к боковой поверхности рассматриваемого спутника и направлением набегающего потока воздуха,

· - коэффициент сопротивления набегающему потоку.

В зависимости от высоты плотность атмосферы разная, как и необходимая для поддержания орбиты скорость. В таблице ниже приведены значения плотности воздуха для разных высот над поверхностью Земли:

Таблица 1 "Плотность воздуха для разных высот"

Для дальнейшего удобства, запишем исходные уравнения движения в виде линейной системы. Отсюда и далее будем рассматривать дифференциальную игру двух игроков с управлениями и :

 (2.3)

Где

Будем интерпретировать величину управления как косинус угла , введенного ранее в данном разделе в формуле (2.2). Величина управления должна лежать в отрезке , так как косинус может принимать значения только в пределах . Вне этого отрезка управление не имеет физического смысла.

Построим управление объектом (2.3) на основе линейно-квадратичного регулятора. В дальнейшем будем рассматривать только этот метод построения управления. Линейно-квадратичный регулятор удобен тем, что позволяет минимизировать некоторый функционал, являющийся функцией стоимости, который будет зависеть от управления и положения космического аппарата в пространстве.

Построим вектор ошибок траектории и будем синтезировать управление таким образом, чтобы минимизировать этот вектор. Перепишем систему (2.3), приведя её к следующему виду:

(2.4)

где

- вектор ошибок состояния.

- вектор требуемого состояния.

Целевой (желаемый) вектор состояний определен в каждый момент времени решения задачи. Будем определять целевую траекторию как решение следующей системы:

где матрица равна той же матрице линейной системы (2.3). Будем воспринимать (2.4) как задачу без возмущения и без управления.

Задача управления системы (2.3) - вывести космический аппарат на целевую траекторию, а также поддерживать её в дальнейшем. В расчет необходимо принимать возмущение со стороны противодействующего игрока, а именно поворот спутника по отношению к направлению набегающего потока для увеличения сопротивления на пластины, а также действие набегающего потока на центральную часть, которое не зависит от поворота космического аппарата в пространстве и является константным возмущением в задаче.

Отклонение целевой траектории от желаемой траектории в момент времени определим следующим образом:

(2.6)

Помимо того, что управление должно решать поставленную задачу о нивелировании ошибки траектории, оно должно также минимизировать функцию стоимости, также называемую функционалом качества. Функция стоимости показывает, насколько синтезируемое управление качественно. Определим функционал качества системы (2.3):

где в этой формуле матрицы являются неотъемлемыми атрибутами объекта, они заранее заданы и обязательно положительно определены. Матрица можно интерпретировать как матрицу штрафов за ошибки вектора состояния, а матрицы и P - матрицы расхода ресурса управления.

Управления двух игроков будет находиться из следующих уравнений:

где матрица является решением SDRE:

где

Матрицу при такой постановке задачи найти не просто. Для решения поставленной задачи построим эквивалентную систему решения дифференциальной игры:

 (2.10)

где матрицу зададим следующим образом:

Функционал качества управления новой эквивалентной системы будет иметь следующий вид:

А управление является решением уравнения:

где матрица является решением SDRE:

где .

Для решения первоначальной задачи через эквивалентную необходимо обеспечить такую матрицу , чтобы в уравнениях (2.9) и (2.13) были равны между собой. После определения матрицы можно возвращаться к решению первоначальной задачи. В дальнейшем, в каждый момент времени будем определять матрицу как решение уравнения (2.13) и использовать её для определения управлений и в системе (2.4).

Вернемся к вектору ошибки траектории . Предположим, что устройство, определяющее величину вектора ошибки, неисправно и не учитывает одно из состоянии системы, а именно - :

В таком случае, придется управлять объектом с учетом того, что одно из шести состояний системы не определено в момент вычисления отклонения от целевого состояния.

Решим задачу о переходе и поддержании относительной орбиты с разными параметрами, а именно:

1. = 1 в каждый момент времени . Равенство управления единице будем интерпретировать как "наихудшее" состояние системы, а именно сопротивление набегающему потоку воздуха максимально, поскольку косинус угла между нормалью к боковой поверхности спутника и направлением потока равен единице, что эквивалентно тому, что угол равен нулю.

Решение зачади при таком условии обеспечит синтез гарантирующего управления.

2. . В этом случае, второй игрок противодействует решению задачи и его действия можно воспринимать как шум. В качестве физической интерпретации, можно представить, что космический аппарат равномерно вращается вокруг своей оси, и сила сопротивления пластинам изменяется по синусоиде.

3. . Решение задачи о переходе и поддержании обриты при противодействии управления .

Выдвинем критерий решения задачи - определим условие, при достижении которого задачу можно считать решенной, а синтезированное управление - правильным:

Для каждой из трех задач будем оценивать величину ошибки траектории:

отклонение траектории по каждой из осей:

величину функционала качества:

Глава 3. Синтез управления

Для моделирования решения использовался программный продукт MATLAB с использованием функционала пакета SIMULINK. Для решения дифференциальных уравнений целевой и контролируемой траекторий космического аппарата использовалось решающее устройство дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка. Данный метод хорош тем, что он позволяет изменять шаг интегрирования, что, в свою очередь, помогает определить вектор состояния космического аппарата через определенные, заранее заданные промежутки времени.

В каждый момент времени вектор состояний целевой траектории определен и однозначен. На целевую траекторию не действуют возмущения в виде сопротивления атмосферы.

В рассматриваемой задаче осуществляется переход с одной относительной орбиты на другую. Целевая и контролируемая траектории определяются вектором начальных состояний.

Вектор начальных состояний для требуемой орбиты в относительной системе координат:

Вектор начальных состояний управляемого спутника, для которого мы находим величину управления:

(3.2)

Рассмотрим задачу движения спутника по относительной околокруговой орбите на высоте 700 километров над поверхностью Земли. Будем полгагать, что на протяжении всего полета молекулярная плотность воздуха одинакова и равна (табл. 1). Это будет означать, что влияние, оказываемое атмосферой, на движение космического аппарата по орбите постоянно и зависит только от площади соприкосновения пластин спутника и набегающего потока воздуха. Коэффициент сопротивления , набегающему потоку воздуха, положим равным 2. Общая площадь двух спутника . Максимальная площадь сечения центральной части , то есть всегда будем рассматривать наихудшее расположение спутника относительно набегающего потока. Для удобства вычислений, массу спутника положим равной одному килограмму. Чтобы космический аппарат поддерживал свою орбиту на высоте в 700 километров, ему необходимо развить первую космическую скоростью. Вычислим её по следующей формуле:

где - расстояние над поверхностью Земли (700 км), - радиус Земли (6371 км), - гравитационный параметр Земли ().

Из (2.3) определим величину . При управлении с заданными параметрами высоты и молекулярной плотности коэффициент равен . Величина при этом окажется равной .

Теперь зададим матрицы , матрицы штрафов таким образом, чтобы управление, синтезируемое в задаче, переводило объект на целевую орбиту за конечное время, а также не нарушало физический смысл задачи, а именно :

Матрицы не зависят от времени и состояния системы. Определим их с учетом ранее заданных параметров орбиты:

После инициализации всех параметров, необходимо смоделировать дифференциальные уравнения. Уравнения представляются в виде схемы, где система (2.5) является изолированной, значения рассчитанных элементов вектора состояния передаются на модуль определения ошибки. Основная часть системы (2.3) идентична системе (2.5), однако, имеет другое начальное условие. Значения с системы (2.3) и (2.5) подаются на вектор определения ошибки. На основании ошибки строится матрица S в соответствии с (2.13). Матрица S используется для определения управления в соответствии с (2.8). Синтезируемое управление подается на управляемую систему (2.3), после чего процесс повторяется.

Параллельно моделировались движение спутника под действием управление, целевая орбита, определялся вектор ошибки состояния системы в каждый момент времени, а также строился вектор управления u. Задача управления - перевести космический аппарат на требуемую относительную орбиту и поддерживать её неограниченное время, при этом учитывать сопротивление атмосферы, влияние второго, противодействующего, а также тот факт, что одно из состояний системы не учитывается в определении вектора отклонения от целевой орбиты - вектора ошибки состояний системы.

Задача о синтезе управления решалась 3 раза для разных параметров , в соответствии с Главой 2:

1. .

2. .

3. .

На схеме ниже приведен рисунок системы, используемой для решения задачи о переходе и поддержании орбиты. Известную орбиту будем вычислять решение системы (2.5) с заданным начальным условием . Управляем системой (2.3), зададим начальное условие . При помощи вектора ошибки текущего вектора состояния относительно целевого вектора состояния будем определять величину управления для использования в (2.3). Вектор ошибки определяется в соответствии с (2.14).

Глава 4. Результаты моделирования

В Главе 4 будут предоставленны результаты моделирования, проведенные для системы. Результаты, не вошедшие в основной текст работы, можно найти в Приложении 1.

Интегрирование производилось до = 25000 сек. Шаг интегрирования составлял 5 секунд.

В первой секции приведены результаты моделирвоания гарантирующего управления, соответствующего решению поставленной задачи при условии, что возмущающее управление постоянно и максимально.

На рисунке 2 представлено отклонение траектории космического аппарата, для которого синтезировалось управление, от целевой траектории.

Рис. 2. Ошибка траектории в зависимости от времени.

Через пять часов после начала выполнения маневра отклонение космического аппатара от целевой орбиты по всем осям не превышает одного метра.

На иллюстрациях ниже (рис. 3-7) приведены графики зависимости управлений с момента начала маневра :

Рис. 3. График компоненты управления .

Рис. 4. График компоненты управления .

Рис. 5. График компоненты управления .

Рис. 6. График компоненты управления .

Рис. 7. График компоненты управления .

На иллюстрациях с 8 по 10 приведены значения координат в каждый момент времени маневра для требуемой траектории и траектории спутника.

Рис. 8. Координата во время маневра.

Рис. 9. Координата во время маневра.

Рис. 10. Координата во время маневра.

Сходимость координат траектории по оси занимает наибольшее время. На рисунке ниже приведены графики ошибки по каждой из трех координат:

Рис. 11. Ошибка координат по трем осям в зависимости от времени.

График изменения функционала качества можно увидеть на рисунке 12. В определенный момент увеличение величины функционала качества происходит исключительно за счет борьбы с сопротивлением атмосферы. Переход на орбиту произведен оптимально.

Рис. 12. Величина функионала качества в зависимости от времени.

Во второй секции приведены результаты моделирвоания управления, соответствующего решению поставленной задачи при условии, что возмущающее управление меняется во времени по зкаону косинуса:

Рис. 13. Ошибка траектории в зависимости от времени.

Управление при этом изменяется по закону косинуса:

Рис. 14. Величина управления в зависимости от времени.

На рисунке ниже приведены графики ошибки по каждой из трех координат:

Рис. 15. Ошибка координат по трем осям в зависимости от времени.

Величина функционала качества также c определенного момента продолжает расти только из-за борьбы с сопротивлением атмосферы:

Рис. 16. Величина функионала качества в зависимости от времени.

В третьей секции приведены результаты моделирвоания управления, соответствующего решению поставленной задачи при условии, что возмущающее управление также синтезируется, как и управляющее воздействие:

Рис. 17. Ошибка траектории в зависимости от времени.

Управление :

Рис. 18. Величина управления в зависимости от времени.

На рисунке ниже приведены графики ошибки по каждой из трех координат:

Рис. 19. Ошибка координат по трем осям в зависимости от времени.

Величина функционала качества:

Рис. 20. Величина функионала качества в зависимости от времени.

Заключение

Приложение 1.

Сравнение управляемой и целевой траекторий космического аппарата

Рис. 1.1. Проекция управляемой и целевой орбит на плоскость .

Рис. 1.2. Проекция управляемой и целевой орбит на плоскость .

Рис. 1.3. Проекция управляемой и целевой орбит на плоскость .

Рис. 1.4. Целевая и управляемые орбиты.

Приложение 2.

Программная реализация

В связи с тем, что реализация проводилась с использованием пакета Simulink, где происходит авто генерация кода на основании построенной схемы, предоставить всю реализацию к работе как текст не возможно. Поэтому, вся программная реализация выгружена одним архивом на Google-диск. Документация отсутствует, так как целью работы не было разработка программного продукта, а реализация на MATLAB выкладывается как приложение к тексту работы. Ссылка для скачивания ниже:

https://drive.google.com/open?id=1n28sXVvqXEhJRdkqundgDwbbL-PXSR96

Размещено на Allbest.ru