Размещено на http://allbest.ru

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Выпускная квалификационная работа

Анализ математических моделей безопасности при ограниченной информации о надежности системы защиты

по направлению 01.03.04 Прикладная математика

студент Копылов Михаил Валерьевич

Руководитель: В.А. Каштанов

д.ф.-м.н., ординарный проф.

Москва 2019



Аннотация

Безопасность является важным аспектом деятельности человека. Важность проблемы требует разработки математических моделей, которые позволяют сделать количественную оценку безопасности. В отличие от надежности, безопасность с математической точки зрения не так хорошо изучена. В данной работе исследуется модель безопасности, которая предусматривает наличие атак на систему, восстановительных работ двух типов, отсутствие индикации отказов.

Рассматривается задача выбора оптимальной стратегии управления, позволяющая максимизировать математическое ожидание времени до катастрофы. С помощью управляемых полумарковских процессов с катастрофами оцениваются характеристики безопасности системы. Анализируется ситуация в случае экспоненциального распределения функции безотказной работы системы. Рассматривается модель функционирования системы при неполной информации о характеристиках надежности. Для расчета оптимальных значений используются инструменты языка программирования Python.



Abstract

Security is an important aspect of human activity. The importance of the problem requires the development of mathematical models that can make a quantitative assessment of safety. In contrast to reliability, security, from a mathematical point of view is not so well studied. In this paper, we study the security model, which provides for the presence of attacks on the system, recovery work of two types, the absence of indication of failures.

The problem of choosing the optimal control strategy to maximize the mathematical expectation of the time before the disaster is considered. With the help of controlled semi-Markov processes with disasters, the safety characteristics of the system are estimated. There examines the situation in the case of exponential distribution function of failure-free operation of the system. The model of functioning of system at incomplete information on characteristics of reliability is considered. Python programming language tools are used to calculate optimal values.



Оглавление

Введение

1. Теория случайных процессов

1.1 Процессы восстановления

1.2 Марковские процессы

1.3 Полумарковские процессы

1.4 Управляемые полумарковские процессы

1.5 Стратегия управления

2. Теория надежности

3. Обзор моделей безопасности

4. Исследовательская часть

4.1 Описание задачи

4.2 Построение управляемого полумарковского процесса с катастрофами

4.3 Оптимизация функционала

4.4 Численный пример

4.5 Управление при неполной информации о характеристиках надежности

Заключение

Список литературы

Приложение



Введение

В современном мире обеспечение безопасности систем является крайне важной задачей, волнующая широкий круг специалистов. Проблема безопасности возникает без преувеличения во всех сферах жизни общества.

Рассматривают безопасность государства, безопасность технических систем, проблемы пожарной и энергетической безопасности, транспортной безопасности. И этот список можно легко продлить.

В каждой системе существуют угрозы безопасному течению процессов. Требуется научный подход для анализа поведение системы, который даст возможность предсказывать качество ее функционирования в будущем, позволит оценивать степень опасности, предпринять меры в случае неблагоприятного прогноза. Необходимы количественные оценки безопасности. В связи с этим возрастает важность разработки математических моделей.

На безопасность влияют различные факторы. Качество функционирования зависит от качества техники и аппаратуры, что обеспечивает надежность. Решения, которые принимает человек во время функционирования, также определяют безопасность системы. Накладывают свой отпечаток и случайные факторы. Учитывая все факторы, можно сказать, что эффективной моделью для рассмотрения данной проблемы является модель управляемых случайных процессов.

В настоящее время нет единого понимания проблемы, в частности, единой терминологии, которая послужила бы отправной точной для изучения моделей. Это приводит к разобщенности подходов для решения проблемы. В статье [1] предлагают определить безопасность как свойство функционирования системы. Этим определением я и буду пользоваться в данной работе.

В исследовательской части работы рассматриваю математическую модель безопасности системы. С помощью теории управляемых процессов с катастрофами анализирую поведение систему, оцениваю такую характеристику безопасности как математическое ожидание времени до катастрофы. математический полумарковский экспоненциальный катастрофа

Целью является определение оптимального управления, при котором это математическое ожидание максимально. Также анализируется случай неполной информации о надежности системы. В следующем разделе излагаются основные понятия и определения, которые, по моему мнению, важны для глубокого понимания темы исследования. Многие достижения теории надежности опираются на данный теоретический материал.



1. Теория случайных процессов.

1.1 Процессы восстановления

В теории случайных процессов широкое распространение получил класс процессов восстановления, у которых область значений - неотрицательные целые числа, а траектории есть неубывающие ступенчатые функции. Процесс восстановления определяется как число скачков, случившихся до момента . Его можно задать как совместное распределение случайной последовательности

интервалов между моментами соседних скачков. “Ступенчатый случайный процесс называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины взаимно независимы.” [2] “Чтобы задать поток с ограниченным последействием, достаточно задать последовательность функций распределения , для которых при .” [2] Простым процессом восстановления является поток с ограниченным последействием, у которого функция распределения любого интервала между скачками одинакова. Процессом восстановления с запаздыванием называют поток с ограниченным последействием, для которого распределение интервала времени до первого скачка отлично от распределения всех последующих интервалов.

Функцией восстановления принято называть среднее число восстановлений, произошедших до



Частным случаем процесса восстановления является простейший поток или Пуассоновский процесс. Это простой процесс восстановления, у которого интервалы между соседними скачками имеют экспоненциальное распределение c параметром .

Процесс Пуассона обладает некоторыми свойствами:

· Стационарность (число восстановлений не зависит от расположения интервала заданной длины);

· Отсутствие последействия (марковское свойство);

· Ординарность (вероятность того, что произойдет более одного скачка, стремится к нулю быстрее, чем длина интервала).

1.2 Марковские процессы

Случайный процесс называется Марковским, если произвольное будущее случайного процесса при известном настоящем не зависит от любого прошлого. То есть для любого набора , для любых состояний выполняется так называемое Марковское свойство:

Переходной вероятностью называется функция

где и .



Свойства переходной вероятности:

· ;

·

Однородным марковским процессом называют процесс Маркова, для которого переходная вероятность определяется лишь разностью величин :

1.3 Полумарковские процессы

Полумарковские процессы являются обобщением процессов Маркова.

Полумарковский процесс можно определить как однородную двумерную марковскую цепь:

В свою очередь однородная марковская цепь определяется переходными вероятностями, что в теории случайных процессов называют полумарковским ядром:

,

где , а также начальным распределением вероятностей



Считаем, что .

Полумарковское ядро для любых обладает следующими свойствами [2]:

· ;

· есть неубывающие функции по ;

·

· .

1.4 Управляемые полумарковские процессы

Часто в контексте полумарковских процессов рассматривают управляемые случайные процессы, в которых присутствует компонента управления. Это несколько расширяет область применений данного математического аппарата.

Управляемыми процессами можно описать некоторые задачи выбора стратегий.

Авторы книги [2] используют следующее определение. “Управляемый полумарковский процесс определяется однородной трехмерной марковской цепью или однородным управляемым процессом марковского восстановления:

Однородная марковская цепь определяется переходными вероятностями:



где , и начальным распределением” [2]

.

Далее следует важное предположение. “Предполагаем, что марковская цепь задается переходными вероятностями специального вида” [2]

Авторы делают предположение, что область определения функции по переменной зависит от . При имеем следующее соотношение:

Управляемый полумарковский процесс может быть задан такими объектами как: семейство матриц , множество мер и начальное распределение . Связь между полумарковским ядром управляемого полумарковского процесса с полумарковским ядром и семейством мер определяется соотношением:

Теорию полумарковских процессов часто применяют к задачам управления системами, с помощью полумарковских процессов анализируют процессы в моделях массового обслуживания, изучают надежность систем.



1.5 Стратегия управления

Стратегией управления принято называть некоторый критерий выбора моментов принятия решений, а также критерий выбора решений среди допустимых.

Говорят, что стратегия марковская, если в моменты принятии решений принимается во внимание информация только о настоящем процесса.

“Стратегия управления называется однородной, если правило принятия решений не зависит от календарного времени.

Стратегия управления называется рандомизированной, если в процесс принятия решений введем случайный эксперимент, который определяется некоторой вероятностной мерой, построенной на измеримом пространстве допустимых управлений.” [2]

В описанной выше модели управляемого полумарковского процесса подразумевается, что стратегии управления есть однородные Марковские рандомизированные стратегии [7].

Определенный интерес вызывает поиск оптимальной стратегии управления. Необходимо определить наборы вероятностных мер , принадлежащие множеству допустимых стратегий, на которых целевой функционал достигает экстремум (минимум или максимум).



2. Теория надежности

Теории надежности как самостоятельной науке нет и века. Ее становление началось в конце 50-х годов двадцатого века. Этому способствовала возрастающая сложность систем, большая ответственность принимаемых решений, серьезные последствия при некачественном выполнении задач, возложенных на систему. Теория надежности изучает различные объекты, функционирующие в течение определенного времени. Она устанавливает критерии надежности, исследует связь между показателями надежности, эффективности, а также экономичности. Это прикладная наука, использующая результаты теории вероятностей, математической статистики, случайных процессов, линейного и нелинейного программирования и др. Для оценки функционирования объектов с точки зрения теории надежности строятся математические модели систем, объектов.

Приведем базовые понятия в теории надежности, опираясь на материал из [6]. Одним из наиболее важных объектов является система. Система - это какой-либо технический продукт производства, удовлетворяющий некоторые потребности. Система состоит из неделимых частей - элементов, которые выполняют определенные функции. “Изделие - любой предмет или набор предметов на производстве” [6].

Объекты обладают определенными свойствами, которые интересны людям. Совокупность этих свойств определяет качество объекта. Качество включает в себя множество различных свойств, одно из которых особенно важно. Авторы книги [6] определяют надежность как “свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования.” [6] Авторы акцентируют внимание на том, что по выходу из строя в какой-то момент какого-либо объекта нельзя сказать, что этот объект не годен по надежности, потому что отказ есть случайное событие, и наши выводы имеют статистический характер.

Перейдем к основным понятиям в теории надежности. Прежде всего, это безотказность. Под безотказностью подразумевается способность изделия сохранять работоспособность определенное время в определенных условиях [5]. Отказом принято называть потерю некоторых свойств изделий, которая существенно снижает способность системы исправно функционировать или вовсе приводит к полной утрате работоспособности [5]. Отказы делятся на постепенные, внезапные и самоустраняющиеся. Постепенные отказы характеризуется довольно медленным изменением параметров качества объекта. Примером такого поведения может служить старение изделия. При внезапном отказе параметры качества изделия резко изменяются.

Еще одним важным понятием является долговечность. Долговечностью элемента считают способность элемента к длительному функционированию при должном техническом обслуживании. Долговечность определяется временем, объемом произведенной работы, а также числом циклов.

Третье понятие - ремонтопригодность. Оно связано со способностью проведения восстановительных работ. Ремонтопригодность изделия - это способность изделия к предупреждению, обнаружению и устранению отказов.

Определим еще одно понятие. В случае, когда проблема обеспечения должного уровня надежности не может быть решена с помощью применения более надежных элементов, используют модель резервирования. Резервированием называют способ достижения необходимого уровня надежности путем поиска определенных ресурсов, которые являются избыточными в определенном смысле. Стоит отметить, что резервирование требует дополнительных затрат. Существует два вида резервирования. Резервирование без восстановления характеризуется тем, что нельзя восстановить отказавшие элементы без нарушения функционирования системы. А резервирование с восстановлением, напротив, допускает восстановление отказавших элементов без последствий для работоспособности системы.

Определив основные понятия, необходимо увязать их с количественными характеристиками надежности. Эти характеристики введены и проанализированы в книге [5]. Автор отмечают, что важным моментом в теории надежности систем является проявление свойств с течением времени, а время является случайной величиной.

Рассмотрим показатели безотказности. Вводится такая случайная величина как время безотказной работы или наработка на отказ. Основной характеристикой безотказности считают вероятность безотказной работы объекта - вероятность того, что за время отказ не произойдет:

Эту вероятность называют функцией надежности. Другой показатель безотказности - это интенсивность отказов. “Интенсивность отказов - это плотность условной вероятности возникновения отказа объекта, при условии, что до рассматриваемого момента отказ не возник.” [5] Она определяется следующим образом

При известной функции интенсивности на интервале можно найти функцию надежности на том же интервале. Интенсивность отказов и время безотказной работы связаны соотношением



Еще одним показателем безотказности считают среднее время безотказной работы или средняя наработка на отказ. Это математическое ожидание времени до первого отказа

где есть плотность распределения случайной величины .

Перейдем к рассмотрению показателей ремонтопригодности. Авторы книги [6] вводят величину времени восстановления, характеризующую продолжительность восстановления объекта.

Вероятность восстановления есть вероятность, что время восстановления не больше определенного значения

Также используют такой показатель как среднее время восстановления - математическое ожидание времени восстановления.

Существуют комплексные показатели безотказности и ремонтопригодности.

Одним из таковых является коэффициент готовности объекта. “Коэффициент готовности - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых переходов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается.” [5]

Наиболее простым и понятным является стационарный коэффициент готовности.

Он отражает долю времени на большом интервале, где элемент находился в работоспособном состоянии

Рассмотри классический вид функции интенсивности отказов. Опыт статистических испытаний и эксплуатации показал, что, как правило, кривая имеет вид:

Рис. 1

Кривая характеризуется тремя основными участками. На первом участке интенсивность отказов довольна высока. Это объясняют тем, что существуют элементы с дефектами, которые отказывают довольно быстро. На втором участке интенсивность довольно низка. Бракованные элементы ушли, идет нормальное функционирование системы. Третий участок характеризуется старением. С течением времени элементы «изнашиваются», приходят в негодность по причине различных физических, химических процессов.



3. Обзор моделей безопасности

Термин «надежность» тесно связан с безопасностью. Если надежность определяется совокупностью некоторых свойств элемента, то безопасность может быть охарактеризована последствиями проявления этих свойств. На сегодняшний день надежность с математической точки зрения изучена достаточно хорошо, чего нельзя сказать о безопасности. Этому есть причины. Существуют проблемы с определением понятия безопасность. Можно найти множество различных трактовок этого понятия. Федеральный закон определяет безопасность как некоторое «состояние защищенности», что вызывает сложности при построении моделей. Нет единой системы, от которой можно отталкиваться, в связи с чем возникают сложности в разработке математических моделей безопасности и их интерпретации.

В работах В.А. Каштанова и его соавторов [1,4] предлагается рассматривать безопасность как свойство функционирования системы. В статье [1] исследуется модель безопасности системы защиты. Для этого авторы строят управляемый полумарковский процесс с катастрофами. Рассматривается такая характеристика безопасности как математическое ожидание времени до катастрофы. Модель предусматривает два вида восстановительных работ: профилактическая и аварийная работа. Целью является нахождение оптимальной периодичности проведения профилактик с целью максимизации среднего времени до катастрофы. Особенностью модели является то, что отказ системы проявляется сразу и в таком случае, если отказ произошел до момента начала профилактики, немедленно начинается аварийная восстановительная работа. Определено, что математическое ожидание времени до катастрофы есть дробно-линейный функционал относительно распределений, определяющих периодичность восстановительных работ. Также авторы рассмотрели случай неполной информации о характеристиках надежности. Применяя минимаксный подход, авторы определили гарантированное значение показателя безопасности.

В другой статье [4] изучается похожая, но более сложная модель безопасности. Авторы дополнительно учитывают время на «взлом» системы, за которое можно нанести невосполнимый ущерб, и это время есть случайная величина. Вводится случайная величина времени индикации отказа. Целью также является определение оптимальной стратегии управления (проведения профилактических работ), рассматривая среднее время до катастрофы в качестве характеристики безопасности.



4. Исследовательская часть

4.1 Описание задачи

Пусть есть некоторая система защиты, состоящая из одного элемента. Время ее безотказной работы имеет распределение

},

Предположим, что система подвергается атакам согласно процессу Пуассона. Как известно, в таком процессе интервалы между атаками имеют экспоненциальное распределение с параметром :

}.

Система начинает исправно работать, и в момент старта осуществляется назначение времени начала планового предупредительного обновления системы с распределением

.

Особенностью данной модели является предположение, что отказ системы не проявляется самостоятельно. Мы узнаем об отказе только тогда, когда наступит момент начала профилактики. Если к моменту система не отказала, начинается плановая восстановительная работа (восстановительная работа 1-го типа) продолжительностью , распределенная следующим образом:



.

Если же отказ произошел до назначенного момента, то в момент стартует аварийная восстановительная работа (восстановительная работа 2-го типа) длительностью :

.

Так как отказ самостоятельно не проявляется, неработоспособность системы обнаружится только в назначенный момент начала профилактики.

Теперь необходимо увязать термин «катастрофа» с определенным событием. Когда система исправно функционирует, она способна отражать атаки. Но если система находится в неработоспособном состоянии, она уязвима перед внешними угрозами.

Неработоспособными состояниями являются состояния, когда проводятся восстановительные работы обоих типов. Также неработоспособным является состояние так называемого «скрытого отказа», когда система отказала, но еще не наступил назначенный момент начала профилактики.

Будем считать катастрофой событие, состоящее в том, что поступила атака в период неработоспособности системы.

После выполнения восстановительных работ происходит полное обновление системы, весь процесс повторяется заново.

Задача состоит в том, чтобы найти такую характеристику безопасности как математическое ожидание времени до катастрофы и проанализировать получившееся выражение.



4.2 Построение управляемого полумарковского процесса с катастрофами

Далее построим управляемый процесс с катастрофами. Для его построения необходимо выполнить определенную процедуру действий:

· Определить пространства состояний, Марковских моментов;

· Определить пространства управлений, стратегий управления;

· Построить полумарковске ядро управляемого полумарковского процесса;

· Получить выражения для математического ожидания времени до катастрофы. [1]

Опишем состояния первой компоненты управляемого полумарковского процесса с катастрофами:

· , если последний Марковский момент до есть момент окончания плановых или аварийных работ, что является моментов полного обновления системы;

· , если плановая профилактика системы началась в ближайший Марковский момент, предшествующий ;

· , если аварийное восстановление системы началось в ближайший Марковский момент, предшествующий ;

· , если катастрофа произошла до момента .

В нашем случае моменты начала и окончания проведения работ есть Марковские моменты. Заметим, что состояние является поглощающим. Если катастрофа произошла, нас не интересует дальнейшее развитие процесса.

Определив состояния, опишем пространство состояний:

.



Исходя из описания процесса, понятно, что мы управляем системой, когда она находится в работоспособном состоянии (, причем решение принимается в моменты полного обновления системы: мы разыгрываем случайную величину момента начала предупредительной профилактики. Следовательно, пространство управлений есть

,

а стратегии определяется выбором вероятностной меры .

Выпишем полумарковское ядро управляемого полумарковского процесса. По определению

.

Рассмотрим переход из состояния в другие состояния.

Переход из состояния 0 в 1 за время невозможен, он может произойти только в назначенный момент с вероятностью .

Чтобы в момент u началось аварийное восстановление системы, необходимо, чтобы отказ системы произошел до () и за оставшееся от момента отказа до время не пришло атак ().



Переход из работоспособного состояния в состояние катастрофы происходит, когда отказ системы случается раньше, чем и атака приходит во время пребывания системы в состоянии скрытого отказа, то есть .

Рассмотрим переход в состояние из других состояний.

Для успешного завершения восстановительной работы за время достаточно выполнения неравенств и , то есть во время восстановительной работы типа не произойдет катастрофы и время этой работы меньше .

На восстановительной работе произойдет катастрофа до , если верны неравенства и .

Другие переходы невозможны:

.



Несложно проверить следующее соотношение, справедливое для всех

Теперь можно получить полумарковское ядро стандартного полумарковского процесса, проинтегрировав равенства по мере .

при , так как в равенствах для полумарковского ядра управляемого полумарковского процесса нет зависимости от управления.

Устремив к бесконечности, получим переходные вероятности вложенной цепи Маркова:



Заметим, что сохраняется равенство при

Согласно терминологии, введенной в [1], состояния есть опасные состояния, а состояние - состояние катастрофы. В таком случае математическое ожидание времени до катастрофы существует и конечно [1].

Введем обозначение. Пусть - математическое ожидание времени до катастрофы при условии старта процесса из состояния

Тогда по формуле полного математического ожидания получаем систему алгебраических уравнений:

где есть математическое ожидание времени непрерывного пребывания процесса в состоянии :

Выпишем выражения для всех



Поясним выражение. Разбиваем интеграл по на два интеграла: от 0 до и от до бесконечности, выписываем подынтегральную функцию в соответствии с элементами ядра , .

Можно заметить, что в последних двух равенствах интегралы есть математическое ожидание минимума двух независимых случайных величин :

Действительно, находясь в состоянии восстановительной работы системы, мы выйдем из него, если придет атака (случится катастрофа) или восстановительная работа завершится.

Теперь вычислим математическое ожидание времени до катастрофы. Предположим, что процесс стартует из состояния что логично. Решим систему алгебраических уравнений. Для этого воспользуемся формулой Крамера. Математическое ожидание времени до катастрофы при старте из состояния , выраженное через известные характеристики, имеет вид:



Подставляя исходные характеристики, получим выражение для математического ожидания времени до катастрофы, зависящее от вероятностной меры

где

Опишем структуру функционала . Функционалы и есть линейные функционалы относительно распределения . Следовательно, - дробно-линейный функционал относительно меры .

4.3 Оптимизация функционала

Теперь стоит задача поиска такой стратегии управления системой, которая позволила бы получить оптимальное течение процессов. Будем искать оптимальное управление, на котором достигается максимум математического ожидания времени до катастрофы. - дробно-линейный функционал. Воспользуемся фактом [3], что если максимум дробно-линейного функционала существует, то он достигается на множестве вырожденных распределений. Следовательно, максимум можно искать на множестве детерминированных стратегий управления:

Тогда задача упрощается и заключается в нахождении максимума функции:

и точки экстремума, на которых достигается максимум.

Рассмотрим случай экспоненциального распределения времени безотказной работы системы. Пусть имеет экспоненциальное распределение с параметром

.

Заметим, что имеют физический смысл: это вероятности того, что на восстановлении типа не произойдет катастрофы:

причем так как в среднем аварийная восстановительная работа выполняется дольше, чем профилактика.

Заметим также, что среднее время пребывания в состояниях связано с соотношением:



Тогда математическое ожидание времени до катастрофы при выражается в следующем виде:

Если же , то выражение принимает иной вид:

Проанализируем результаты. Если не проводить профилактики (), то .

Это можно объяснить следующим образом. Если не проводить профилактик, то катастрофа наступит тогда, когда система откажет и в состоянии скрытого отказа придет атака. Таким образом, катастрофа произойдет через время . Среднее время до катастрофы .

Если , то это означает, что система постоянно находится в неработоспособном состоянии, в этом случае .

Найти значение оптимального управления, то есть такого управления, при котором достигается максимум математического ожидания до катастрофы, аналитически не представляется возможным. Подставляя различные параметры (), получил следующие результаты. Есть комбинации параметров, при которых оптимально будет не проводить восстановительных работ ().

Но существуют и такие наборы параметров, при которых оптимальным решением будет проводить предупредительные профилактики через конечное время . Для нахождения оптимальных значений при различных параметрах и построения графиков я использовал инструменты языка программирования Python: библиотеки scipy, sympy, matplotlib.

Приведу несколько графиков зависимости математического ожидания времени до катастрофы от управления при определенных параметрах. Над графиками указаны оптимальные значения управления и математического ожидания при этом оптимальном управлении:

Рис. 2

Рис. 3



Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6



Рис. 7

4.4 Численный пример

Рассмотрим один пример поиска оптимальной стратегии управления при известных исходных данных более подробно.

Зададим следующие характеристики:

· Времени безотказной работы имеет экспоненциальное распределение . Интенсивность отказов: ;

· Интенсивность атак.

· Длительность профилактики системы имеет экспоненциальное распределение с параметром ;

· Длительность аварийного восстановления также распределена экспоненциально с параметром .

Выпишем величины - математическое ожидание времени пребывания в состоянии :



Подставляя известные значения, получаем:

Отсюда найдем величины

Тогда математическое ожидание времени до катастрофы

Ниже представлен график этой зависимости.

Рис. 8

Оптимальное время, через которое нужно производить профилактики, В этом случае среднее время до катастрофы .



4.5 Управление при неполной информации о характеристиках надежности

В реальной жизни редко, когда нам полностью известны характеристики надежности системы. Обычно в результате статистических испытаний получаем оценки неизвестных характеристик.

Надежность системы известна лишь частично. Поэтому мы знаем только часть функции распределения, в отдельных точках. Работать приходится с неполными данными и это несколько изменяет постановку задачи.

Проанализируем структуру функционала относительно распределения . Теперь он зависит не только от меры, но и от распределения Заметим, что

Последнее равенство получили, используя формулу интегрирования по частям.

Выпишем функционал относительно распределения , с учетом равенства .

Для этого преобразуем числитель и знаменатель

Учитывая, что , получаем:

Теперь выпишем :

Отсюда найдем и :

Заметим, что Поделив числитель и знаменатель выражения на , получаем:

Имеем дробно-линейный функционал относительно вероятностных мер , и распределения . Пусть нам известны значения точек - времени безотказной работы системы, полученные с помощью статистических испытаний. Это значит, что известно точек распределения и значения функции распределения в этих точках. То есть в точках

известны значения функции распределения

Обозначим множество таких распределений как

Для справедливы соотношения:

Сформулируем математическую задачу. Будем считать, что (принадлежит множеству распределений). Необходимо определить оптимальное распределение , которое определяет периодичности проведения восстановительных работ. В условиях неполноты информации применяют минимаксных подход, что дает гарантированное значение среднего времени до катастрофы [3]. Обозначим через множество распределений положительных случайных величин. Тогда задача состоит в том, чтобы найти

а также экстремальные распределения и , на которых достигается максимум.

Приступим к решению данной задачи. Будем искать минимум по при фиксированном . Воспользуемся следующим результатом [3]. Минимум дробно-линейного функционала

по , если он существует, достигается на множестве ступенчатых функций которые в каждом из полуинтервалов имеют не более одного скачка. То есть

Оптимальную точку () найти не представляется возможным, поскольку она зависит от распределения . Применим еще одну теорему. Пусть функция не убывает по для любого , а функция не возрастает по для любого . Тогда при фиксированном минимум по дробно-линейного функционала достигается на мажорирующем распределении [3]:

где для любого . Отсюда можно сделать следующее заключение. Если на множестве найдется распределение , которое мажорирует любое распределение из этого множества, то минимум будет достигаться на этом мажорирующем распределении.

Итак, находим, что также является дробно-линейным функционалом относительно меры Возвращаясь к нашей задаче, отметим, что в пространстве ) существует мажорирующее распределение

. У такого распределения скачки расположены в крайних левых точках каждого из интервалов . Максимум по распределению ищем среди детерминированных стратегий [3]. Таким образом, имеем равенство:

Функция не убывает по при любом , не возрастает по переменной для любого . Получаем,

Таким образом, восстановительные работы необходимо проводить через время . В таком случае последнее равенство дает гарантированное значение математического ожидания времени до катастрофы.



Заключение

В данном работе была рассмотрена математическая модель безопасности системы. С помощью теории управляемых случайных процессов удалось выявить закономерность между характеристикой безопасности (математическое ожидание времени до катастрофы) и показателями надежности системы.

Получено, что в случае экспоненциального распределения времени безотказной работы системы при определенных значениях параметров проводить профилактики нужно через конечное время. Для доказательства этого были приведены результаты вычислений, получившиеся при выполнении программы на языке программирования Python. Также проанализирован случай неполной информации о надежности системы.



Список литературы

1. Каштанов В. А., Зайцева О. Б. О минимаксных подходах в задачах безопасности. // Труды Карельского научного центра РАН. 2013. № 1. Вып. 4. С. 55-67.

2. Каштанов В. А. Элементы теории случайных процессов. Учебное пособие. М: Московский государственный институт электроники и математики, 2010. 113с.

3. Барзилович Е. Ю., Каштанов В. А. Организация и обслуживание при ограниченной информации о надежности системы. // Советское радио, 1975. 136 c.

4. Каштанов В. А., Длиннова Е. С. Об одной математической модели безопасности. // Труды Карельского научного центра РАН 2016. № 8. С. 34-44.

5. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности: Основные характеристики надежности и их статистический анализ. // Изд.2-е, испр. и доп. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017.

6. Каштанов В. А., Медведев А. И. Теория надежности сложных систем (теория и практика). // «Европейский центр по качеству». Москва, 2002. 470с.

7. Каштанов В. А., Зайцева О. Б. Исследование операций. Линейное программирование и стохастические модели. Учебник. // Изд.: Курс, 2016. ISBN: 978-5-906818-78-2



Приложение

Текст программы

from sympy import *

from scipy.optimize import *

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

%matplotlib inline l = Symbol('l')

u = Symbol('u')

y = Symbol('y')

t = Symbol('t')

m1 = Symbol('m1')

m2 = Symbol('m2')

p01 = Symbol('p01')

p02 = Symbol('p02')

m0 = Symbol('m0')

a1 = Symbol('a1')

a2 = Symbol('a2')

l = 1 # mu

m = 2 # lambda

a1 = 3/4

a2 = 2/3

m0 = integrate(exp(-m*t) + exp(-l*t) * integrate(exp(l*y)*m*exp(-m*y),(y,0,t)),(t,0,u))

m1 = (1 - a1)/l

m2 = (1-a2)/l

p01 = exp(-m*u)

p02 = exp(-l*u) * integrate(exp(l*y)*m*exp(-m*y),(y,0,u))

mm = (m0 + m1*p01 + m2*p02)/(1-p01*a1-p02*a2)

p = plotting.plot(mm,(u,0,2),title='u = 0.29, M = 1.70', xlabel='u',ylabel='M(u)',show = False)

for n, line in enumerate(p, 2):

line.label = '$\lambda$={}\n$\mu$={}\na1={}\na2={}'.format(l,m,a1,a2)

p.legend=True

p.show()

limit(mm,u,np.inf)

Размещено на Allbest.ru