Аналитическое исследование проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта в схеме регенерации
Определение регенерирующего процесса и его основные свойства. Экстремальная задача для дробно-линейного интегрального функционала. Утверждение о представлении стационарного стоимостного показателя эффективности управления с нововведенным фактором.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.12.2019 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова
Выпускная квалификационная работа
Аналитическое исследование проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта в схеме регенерации
Волкова Анастасия Алексеевна
Москва 2019
Аннотация
Цель проведенной дипломной работы состоит в рассмотрении модели управления запасом с введенным в неё новым фактором, теоретическом и аналитическом её исследовании и способе решения проблемы оптимизации управления. Метод решения заключается в доказательстве основного утверждение о представлении стационарного показателя в форме дробно-линейного функционала и нахождения его функций в явном виде. Также, на основе теоремы о дробно-линейном функционале описан подход к решению задачи управления. Также, результаты аналитического и теоретического исследования заключаются в доказательствах леммы о непрерывности функции прибыли, теоремы о достаточных условиях непрерывности главной функции стоимостного функционала и теоремы о существовании решения оптимального управления запасом с помощью сведений из математического анализа и функционального анализа. Во всех доказательствах учитывается появление нового фактора. Модель помогает упростить и грамотно спланировать процесс практически любой торгово-сбытовой системы в целом.
Работа содержит 39 страниц, 1 графическую иллюстрацию, а также 11 использованных источников в качестве базовых материалов.
The aim of the thesis is to consider the model of stock management with the new factor introduced in it, its theoretical and analytical research and the way to solve the problem of management optimization. The solution method consists in proving the main statement about the representation of a stationary indicator in the form of a fractional-linear functional and finding its functions in an explicit form. Also, on the basis of the theorem on a linear fractional functional, an approach to solving the control problem is described. Also, the results of analytical and theoretical research are in the proofs of the lemma on the continuity of the profit function, the theorem on sufficient conditions for the continuity of the main function of the value functional and the theorem on the existence of a solution to optimal stock management using information from mathematical analysis and functional analysis. All evidence takes into account the emergence of a new factor. The model helps to simplify and competently plan the process of almost any trading and marketing system as a whole.
The work contains 39 pages, 1 graphic illustration, as well as 11 used sources as basic materials.
Оглавление
Введение
1. Теоретические сведения
1.1 Определение регенерирующего процесса и его основные свойства
1.2 Управление регенерирующим процессом и проблема оптимизации
1.3 Вспомогательные результаты из математического анализа
1.4 Экстремальная задача для дробно-линейного интегрального функционала
Глава 2. Анализ проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта
2.1 Математическая модель системы в форме управляемого регенерирующего процесса
2.2 Утверждение о представлении стационарного стоимостного показателя эффективности управления с нововведенным фактором
2.3 Постановка задачи оптимального управления и её решение
2.4 Аналитически достаточные условия существования детерминированного оптимального управления
Заключение
Список литературы
Введение
Выбор правильной стратегии управления запасами для бизнеса - не простая задача. Многие производства нуждаются в квалифицированном и грамотном решении вопроса оптимального управления. Инвентарь, хранящийся на складе, лежит в основе всех растущих брендов. Для малого и среднего бизнеса, управление им по нескольким каналам, нескольким местоположениям и нескольким категориям продуктов - важнейший процесс. Чем быстрее растет производство, какого-либо продукта или сырья, тем сложнее становится. Проблема логистики, на сегодняшний день, как никогда является актуальной в современном, быстроразвивающемся и технологически продвинутом мире. Управления поставками на склады необходимо для грамотного функционирования заводов. Неспособность эффективно управлять запасами может дорого обойтись любому бизнесу, это огромная и трудоемкая проблема. Оптимизация управления запасами требует планирования, тщательного анализа и постоянного улучшения, чтобы оставаться впереди конкурентов. Это помогает гарантировать увеличение продаж и сокращение расходов на необходимые ресурсы. Результаты, полученные в ходе проведения нижеизложенной работы, могут быть применимы в различных видах маркетинговых исследований, экономических исследованиях, а так же других смежных областях.
В работе рассматривается математический подход к имеющейся логистической проблеме основанный на фундаментальных теоретических исследованиях. В частности, за основу берется интерпретация реальной ситуации оборота некоего сырья с имеющегося склада и строится математическая модель учитывающая факторы, влияющие на данный оборот. Данная модель включает в себя и элементы экономической сферы. Подробно расписывается значение характеристик функций для затрат и функций, связанных с ценой ресурса. Отличительной особенностью имеющегося исследования от предыдущих работ в заданной сфере, является ранее не рассматриваемая зависимость, некий уникальный фактор. Учитывая этот фактор, можно построить вариант абсолютно новой, еще теоретически и аналитически не исследованной математическо-экономической модели оптимального управления запасами.
Новая модель строится на основании результатов анализа существующих решений рассмотренных ранее в [1],[2],[3]. Приведенные работы представляют собой трудоемкие выводы, сделанные П.В. Шнурковым и его коллегой Р.В. Мельниковым в исследуемой мной области. В данных источниках представлена общая модель управления запасами в циклическом процессе. Задаются базовые параметры модели, в частности - скорость потребления, объем имеющегося хранилища для продукта, временные соотношения, скорость пополнения и т.д. Рассматривается процесс пополнения и потребления ресурсов с некоего склада, используемого для хранения определенного вида какого-либо сырья. Склад имеет фиксированный максимальный объем. За детерминированную величину - выступает задержка, которая зависит от объема потребленного продукта. В определенный момент, ресурсы, хранящиеся на складе - заканчиваются, следовательно, необходимо сделать заказ на поступления новой партии продукции для пополнения запаса. После совершения заказа наступает период задержки, который длится от момента заказа до момента непосредственного пополнения. Задача заключается в определение такого момента времени, спустя которое нужно сделать очередной заказ для пополнения продукции. Для этого нужно проанализировать формулу стационарного стоимостного показателя эффективности управления. Определить явные представления математического ожидания прибыли (математическое ожидание приращения стоимостного функционала) и условного математическом ожидании длительности периода регенерации. Эти факторы нужно рассмотреть для различных соотношений временных параметров. Более подробно основные обозначения, с помощью которых будет задаваться новая модель, будут описаны в отдельном параграфе далее.
Соответствующее исследование было проведено в статье Е.Ю. Пименовой и П.В. Шнуркова [4]. В новой получившейся модели, представляющей из себя управляемый регенерирующий процесс, мы вводим условие, заключающееся в зависимости детерминированной длительности задержки поставкиот объема потребления продукта, благодаря чему исследование становится отличным от перечисленных работ выше.
Основной целью выполненной работы является построение новой модели управления запасом, с учетом введенного нового фактора, а также основательный теоретический и аналитический анализ такой модели. Приводится подробное доказательство новой теоремы о представлении показателя эффективности управления (средней удельной прибыли) в форме дробно-линейного интегрального функционала в рассматриваемой схеме регенерирующего процесса в общем виде. Подынтегральные функции числителя и знаменателя представлены в явном виде.
Далее в работе предложено теоретическое решение поставленной проблемы управления имеющимися ресурсами, базирующееся на трудах В.А. Каштанова [5] (теорема о достижении максимума дробно-линейного функционала). Однако упомянутая выше теорема носит довольно ограничительные условия. Позднее, П.В. Шнурковым в его работе [6] была предложена новая теорема, усиливающая итоги [5]. На основании чего приводится итог решения поставленной экстремальной задачи на неком вероятностном распределении, сконцентрированный в некой точке.
В работе получены некоторые аналитические условия при которых существует решение поставленной задачи, в частности, доказывается лемма о непрерывности функции прибыли данной модели. В свою очередь, доказываются теоремы, включающие в себя условие первоначальной леммы. Первая теорема посвящена существованию некоего конечного предела, а также существованию достаточных условиях непрерывности основной функции имеющегося стоимостного функционала. Вторая теорема - существованию и достижению решения исследуемой задачи в точке детерминированного управления на неком множестве. В [9,10, 11] изложены все необходимые утверждения из математического и функционального анализа необходимые для доказательства теорем и леммы, содержащихся в проведенной работе.
1. Теоретические сведения
1.1 Определение регенерирующего процесса и его основные свойства
Для грамотного понимания работы системы заданной математическо-экономической модели введем понятие регенерирующего процесса и объясним его суть. Данное определение будем брать из учебного пособия В.В. Рыкова и Д.В. Козырева [7].
Зададим случайный процесс является множеством действительный чисел) на вероятностном пространстве где пространство элементарных событий, множество наблюдаемых событий ( алгебра), символ вероятности.
Множество состояний (Е, ?) такого процесса будет измеримо. Е - является множеством состояний процесса , ? - является алгеброй системы подмножества Е. Введем обозначение алгебры событий, как .
Для процесса за марковский момент обозначим случайную величину . При условии, что событие , то есть если известно по истории процесса до момента наступления времени .
За момент регенерации будет приниматься марковский момент случайного процесса , при условии что данный момент , таким образом для ? фиксированного произвольного подмножества?:
,
Можно утверждать что существует последовательность моментов , моменты в которые процесс возвращается в свое первоначальное состояние, за счет того что обуславливается смещением и отклонением траекторий а также тем, что конечный момент регенерации будет существовать с вероятностью 1. Также, стоит отметить, что таким образом случайные моменты образуют простой процесс восстановления.
Следственно, под понятием однородного регенерирующего процесса будем подразумевать соотношение формул:
,
То есть случайный процесс в каждый момент регенерации свое прошлое и такой заданный процесс развивается, стохастически не изменяясь.
Теперь перейдем к понятию периода регенерации. Временные промежутки и длины данных временных промежутков, обозначим их за , где , будем определять как периоды регенерации.
Стоит отметить, что моменты регенерации будут образовывать некий точечный процесс. Предположим, что задана некая точка начального отсчета , и далее последовательно задаются моменты наступления событий: …, нумерующиеся в возрастающем порядке. Таким образом, на временной оси задается точечный процесс.
1.2 Управление регенерирующим процессом и проблема оптимизации
Представим стоимостный аддитивный функционал в данном регенерирующем процессе следующей формулой [8]:
,
Данный функционал выражает, например, среднюю удельную прибыль в стационарном режиме функционирования или же, средние удельные затраты (т.е. отнесенные к единице времени).
Распишем более подробно значения в данной формуле:
1. На периоде регенерации приращение аддитивного функционала имеет вид:
2. Случайная длительность периода регенерации:
3. Математическое ожидание приращения стоимостного аддитивного функционала в момент времени :
4. Математическое ожидание приращения стоимостного аддитивного функционала (прибыль за период [0,t]):
5. Математическое ожидание длительности периода регенерации:
И учитываем, что:
Стационарный стоимостный показатель выступает в роли целевого функционала следующего вида:
,
Где, - является вероятностным распределением (управляющим) и в каждый моменты на пространстве осуществляется какое-либо принятие решения .
При условии что на периоде регенерации будет осуществлено решение условное математическое ожидание приращения аддитивного стоимостного функционала представимо в виде следующей формулы:
,
При таком же условии, условное математическое ожидание длительности периода является:
,
Таким образом, задача оптимального управления сводится к решению экстремальной задачи:
,
,
стационарный стоимостный аддитивный функционалпринимает значение целевого функционала
- множество всех управляющих вероятностных распределений неотрицательных случайных величин.
1.3 Вспомогательные результаты из математического анализа
Обратимся к научным трудам Кудрявцева Л.Д [9] и Фихтенгольца Г.М. [10], из которых приведем информацию, изложенную ниже, необходимую для аналитического изучения и теоретического доказательства леммы и двух теорем рассмотренных в параграфе 2.4. Изучению курса математического анализа посвящено немало различных сборников, однако, выбор пал именно на эти издания. В силу своих грамотно составленных, четко выделенных вопросов и понятий из математического анализа, а так же благодаря наиболее понятному уровню изложения предложенного материала.
Первое предложенное сведение посвящено свойству определенного интеграла по верхнему пределу. Дадим определение интеграла с переменным верхним пределом [9,(467с.)]:
Предположим, что имеется некая интегрируемая на интервале [a;b] функция f(x). Также существует величина x, такая, что a ? x ? b, x ? [a,b]. Тогда на интервале [a,x] функция f(x) также будет интегрируема. То есть может быть предложен следующий вид интеграла:
определена на всем промежутке [a,b]. Тогда, является определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1.1
Если на интервале [a;b] функция f(x) - интегрируемая, то на промежутке [a;b] функция, задаваемая выражением непрерывная.
Дадим определение точки сгущенияРассмотрим некое множество Х = {x}. Допустим, что существует точка а, причем различные величины x ? Х , отличны от а в каждой её окрестности. Тогда точка а будет являться точкой сгущения множества Х. Учтем, что допустимы два варианта положения данной точки относительно множества Х: a ? Х либо a ? Х.
Рассмотрим характер поведения функции f(х) заданной на области Х. Учтем, что а будет являться точкой сгущения на Х. [10,(116c.)]
Если для ? ?>0 найдется значение д> 0, где
и
Причем х ? а. Тогда, , будет являться неким пределом функции f(х). Запишем данное утверждение в следующем виде.
,
Допустим, что а - точка сгущения, как слева, так и справа на множестве Х. Рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы функции f(x). Условие, при котором выражение 1.9 существует, будет выглядеть следующим образом:
Причем, оба предела в выражении 1.8 существуют порознь.
Далее упомянем свойство функции, являющейся непрерывной в точке, выражающееся данной теоремой. [9,(119c.)]
Теорема 1.2
Предположим, что существуют непрерывные в точке сгущения функции f(x) и g(x). Тогда функции: (случае, когда ) - также будут непрерывными в точке сгущения.
Рассмотрим сведения из теории, касающейся функционального анализа. Для этого воспользуемся результатами приведенными в [11,(98c)]. Осветим факт, получивший обширную известность, как лемма Гейне-Бореля:
Из ? покрытия интервалами на промежутке [a,b] числовой прямой, можно выделить конечное подпокрытие.
Определим понятие компактности пространства. Если из ? открытого покрытия некоего топологического пространства Т (покрытия открытыми множествами) извлекается конечное подпокрытие, то такое пространство Т будет являться компактным пространством.
Сформулируем теорему о непрерывности числовой функции на компактных пространствах. Представленная теорема является модификацией теоремы Вейерштрасса
Теорема 1.3
Допустим, f - непрерывная числовая функция на компактном пространстве T. Тогда функция f - ограничена на данном компактном пространстве и достигает на нём верхней и нижней граней [11,(101c)].
1.4 Экстремальная задача для дробно-линейного интегрального функционала
Одной из основных задач работы является проблема теоретического обоснования нахождения глобального экстремума стоимостного функционала. Это необходимо для получения ответа на вопрос о решении оптимального управления запасами. По вопросу, освещаемому в выбранной мною теме, можно найти довольно много публикаций различных научных трудов. Далее, будут использоваться сведения из исследований В.А. Каштанова - теорема 1.4 [5] и П.В. Шнуркова- теорема 1.5. [6], позднее проанализировавшим заданную сферу и дополнившим исходную теорему В.А. Каштанова. Будем учитывать информацию ранее заданную в параграфе 1.2 о виде имеющегося целевого функционала.
Учтем основные параметры, используемые в формулировках теорем изложенных ниже. Распишем более подробно их значение:
Предположим, что на пространстве задается вероятностная мера некой функцией распределения. Будем обозначать такую функцию через . Также на введем некое множество управляющих распределений неотрицательных случайных величин, обозначим их за . Множество, состоящее из вырожденных вероятностных распределений, обозначим за . Исходя из смысла заданных параметров, отметим, что .
Теперь можно перейти к формулировкам упомянутых выше теорем:
Теорема 1.4
Пусть ограниченная функция и при , тогда, если существует максимум функционала (1.2) по множеству функций распределения, то он достигается на некоторой вырожденной функции распределения
,
Перейдем к следующей теореме. Вид целевого функционала, так же как и ранее, будет задаваться формулой:
,
Теорема П.В. Шнуркова формулируется следующим образом:
Теорема 1.5
Пусть задан дробно-линейный интегральный функционал , для которого функция удовлетворяет одному из условий: либо , либо . Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Если функция ограничена сверху или снизу и достигает глобального экстремума на множестве (максимума или минимума), то соответствующий экстремум дробно-линейного функционала на множестве существует и достигается на вырожденной вероятностной мере, сосредоточенной в точке, в которой функция достигает соответствующего экстремума, причем выполняются соотношения:
,
,
2. Если функция ограничена (сверху или снизу), но не достигает глобального экстремума на множестве , то дробно-линейный функционал также ограничен (сверху или снизу) и выполняются соотношения:
,
,
3. Если функция не ограничена (сверху или снизу), то функционал также не ограничен сверху или снизу и выполняются соотношения:
,
,
Отметим, что утверждения приведенные выше выполняются как по отдельности для одного из видов экстремума, так и совместно для обоих видов экстремума.
Что бы выразить решение следующей экстремальной задачи:
,
,
в виде итоговой теоремы 1.6, зададим обозначение для основной функции , числитель которой будет являться условным математическим ожиданием приращения целевого функционала, а знаменатель - условным математическим ожиданием длительности периода регенерации:
,
Учтем, факторы:
1)
2)
Итак, определим общий вывод в виде теоремы 1.3:
Теорема 1.6
Решение экстремальной задачи управления запасом существует и достигается в точке на
При условии, что в этой точке достигается глобальный максимум (экстремум) функци дробно-линейного функционала.
Глава 2. Анализ проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта
2.1 Математическая модель системы в форме управляемого регенерирующего процесса
Задаваемая модель максимально приближенна к реальной ситуации оборота сырья различных предприятий. Имеется некое основное хранилище, содержащее одинаковые или различные виды сырья. Его объем будем принимать за фиксированную величину, принадлежащую множеству действительных неотрицательных чисел Изначально, в момент времени, объем продукта на складе будет равен . Примем за объем, в различные моменты времени , содержащийся в основном хранилище. Величина непрерывна.
В описываемой регенерирующей системе, цикличность заключается в процессе неоднократного потреблении и пополнении запаса со склада. В начальный момент времени, уровень является максимальным, то есть принимается за . Начиная с этого момента, происходит период потребления с определенной скоростью, обозначим её за Продолжительность периода потребления заканчивается на моменте, когда делается заказ на поставку новой партии закончившегося сырья. Далее, восполнение запаса на склад может происходить с некой задержкой. Обозначим период задержки поставки продукции величиной . Заметим, что объем ресурса может быть равен отрицательной величине. Это будет означать, что продукт потребляется с запасного хранилища с той же скоростью, а в основном хранилище - запас равен нулю. То есть в приведенной модели существует, так называемый, дефицит ресурса на складе. Определим момент окончания продукции на складе, как объем деленный на скорость потребления .
Как говорилась ранее, одна из основных задач исследования - заключается в нахождении времени до момента заказа на новую партию. Для решения задачи оптимального управления необходимо вести величину обозначающую параметр управления . Зафиксируем данную величину и присвоим ей значение . Отметим, что функция распределение доставляющая глобальный максимум или минимум функционала и будет задаваться выражением .
После того как период задержки прошел, начинается процесс пополнения, принимаемый за величину. Параметр л, где л>0 обозначим скоростью пополнения сырья на склад и будем считать его неизменным. Таким образом, совершается пополнения объема до первоначального состояния . Затем, снова наступает период потребления и процесс повторяется.
Опишем более подробно определенные моменты времени, в которые происходят ключевые изменения состояний анализируемой системы. Так как модель носить циклический характер, обозначим за моменты регенерации параметры . Параметр - какая-либо различная величина времени, длящаяся от начала момента регенерации до момента запроса на пополнения склада.
Итак, выведем выражения для основных моментов:
Момент следующего другого заказа
Момент пополнения сырья:
Завершение пополнения или следующий момент регенерации:
,
Наглядно, регенерирующий процесс описываемой модели можно изобразить в виде графика:
Где,
x(t)= х(, ,
x(t)=, ,
u - фиксированный произвольный период времени до наступления момента заказа.
б - скорость потребления продукта от начального момента регенерации до момента поступление следующей поставки.
л - скорость пополнения на склад продукции от момента поступления продукции на хранилище до момента достижения объема .
- период задержки.
- период пополнения.
ф- лu=x - произвольный объем заказа ресурса.
Когда речь заходит об оптовиках и дистрибьюторах товаров длительного пользования, контроль уровня запасов может быть определен как процесс, заключающийся в грамотном поддержании компанией используемых запасов. Целью управления запасами является получение максимальной прибыли от наименьшего объема инвестиций в запасы без снижения удовлетворенности клиентов от обслуживания. Принцип, с которым осуществляется такой подход, состоит в правильном подборе параметра .
В предложенной экономико-математической системе предусмотрено описание некоторых видов функций расходов, которые необходимо предусмотреть в течение всего времени функционирования регенерирующего процесса. В дальнейшем, реализуем их для выражения основных функция стоимостного функционала в явном виде.
1) Функция, задающая расходы, относящиеся к хранению имеющегося запаса:
.
Где, при объеме, принимающем отрицательное значение функция будет приравниваться к нулю
1) Функция, задающая расходы, относящиеся к периоду убытка продукции в хранилище (период дефицита):
При объеме, являющемся положительной величиной функция .
2) Функция, относящаяся к издержкам доставки заказа для пополнения ресурса до изначального объема:
,
Где - израсходованный объем в один из циклов потребления.
Совокупность всех вышеперечисленных затрат при определенном зафиксированном задается следующим образом:
,
Далее, рассмотрим функции, характеризующие цену:
1) Функция, выражающая стоимость продукта, который находится в достатке на основном хранилище.
(x),,
Заметим, что при ;
2) Функция, выражающая стоимость сырья находящегося в нехватке на основном хранилище.
(x),
Учтем, что для ;
2.2 Утверждение о представлении стационарного стоимостного показателя эффективности управления с нововведенным фактором
Этот параграф будет посвящен утверждению в виде теоремы 2.1, которое представляет собой новый стохастический регенерирующий процесс с нововведенным условием зависимости, а так же доказательству данного утверждения. Введем в модель зависимость детерминированной длительности задержки поставки от объема потребления продукта . Сделаем предварительно следующее замечание, связанное с особенностями рассматриваемой математической модели:
- момент окончания ресурса в хранилище.
выражение периода длительности потребления.
.
объем ресурса в хранилище.
длительность периода пополнения.
Таким образом, будет справедливо равенство:
издержки, относящиеся к пополнению потребленного объема количеством
Предположим, что введенная функция . Определим следующие обозначения для множеств значений величины :
,
,
,
,
Теорема 2.1
В исходной задаче оптимизации управления стоимостной функционал управления является целевым функционалом (дробно-линейным) задаваемым равенством:
,
Где функции и определяются формулами:
Функция B(u) для выражается:
Доказательство
Обоснуем выведенное явное представление для функций дробно-линейного функционала (2.2),(2.3),(2.4),(2.5),(2.6) предложенного формулой (2.1). Примем во внимании, что в момент принимается решение
Проанализируем интервалы времени которым соответствуют определенные виды функции
1) На промежутке объем в хранилище не будет равен нулевой или же отрицательной величине, следовательно, запас будет иметься в наличии в период + Таким образом, будет уместно использовать функцию (x), связанную издержками на содержание имеющегося продукта в хранилище и функцию (x), определяющую стоимость данного продукта. Дополнительно, учитываются издержки на пополнение ресурса, выражающиеся в виде функции Следовательно, можно представить математическое ожидание приращения дробно-линейного функционала для предложенного интервала времени в виде равенства (2.2).
2) На интервале следует учитывать период, когда ресурсы находятся в убытке в основном хранилище, происходит это на временном отрезке, начинающемся с момента до +. То есть, вводится функция (), описывающая стоимость сырья с запасного склада и функция издержек для обозначения трат при нехватке на основном хранилище запаса. Но так же, следует принять во внимание и временной промежуток до момента , при котором ресурсы находятся в достатке. Получается, что необходимо также включить функции и () смысловое значение которых было приведено выше. Задается выражение (2.3)
3) Для случая , период дефицита длиться с момента до +. Присутствует и период достатка ресурса на складе. Рассуждения о применении тех или иных функция и (),() будут аналогичны варианту .
4) Рассмотрим равенство (2.5) для временного отрезка . Предположим, тогда заведомо , то есть к моменту окончания периода потребления запас будет израсходован. Следовательно, до момента окончания запасадоход будет определяться функцией а затраты, связанные с хранением, функцией От момента окончания запаса и до момента окончания периода потребления доход будет определяться функцией , а штрафы, связанные с дефицитом, функцией . При этом возникают дополнительные затраты, связанные с дефицитом на периоде пополнения, а также затраты, связанные с пополнением запаса, определяемые функцией . Выражения для задающиеся формулами (2.3),(2.4),(2.5) будут совпадать.
Функцию можно также представить в виде разности функций, где выражает доход на периоде регенерации, затраты на периоде регенерации, определяемые при условии, что управление принимает фиксированное значение.
Доход представим в следующем виде:
,
Отнимая значения полученных выражений (2.11-2.14) от (2.7-2.10) соответственно, выведем итог для представления в виде формул (2.15-2.18): регенерирующий дробный интегральный функционал
Из чего можно заключить, что равенства (2.15-2.18) и (2.2-2.5) идентичны.
Общий явный вид при условного математического ожидания периода регенерации :
Теорема доказана.
2.3 Постановка задачи оптимального управления и её решение
В предыдущем параграфе было доказано представление числителя и знаменателя основной функции целевого функционала в явном виде (2.2)(2.3)(2.4),(2.5),(2.6). Данный параграф будет посвящен теоретическому решению проблемы оптимального управления запасом в целом. С помощью данного вида функций и перейдем от поставленной задачи оптимального управления к классической задаче нахождения глобального максимума и минимума функции Напомним, что экстремальная задача формулируется следующим образом , ,
Г - множество распределений неотрицательных случайных величин на .
Для того, что бы воспользоваться теоремами П.В Шнуркова и В.А. Каштанова, предложенными в параграфе 1.2, а так же общей теоремой для решения задачи управления (теорема 1.6), необходимо проверить соответствует ли функция заданным условиям в приведенных факторах 1 и 2. В предложенной задаче:
,
То есть дробно-линейный функционал определен для ?
,
Следовательно, условия выполняются. Таким образом представленные теоремы применимы. Воспользуемся результатами, полученными П.В. Шнурковым и теоремой 1.6.
Допустим, в точке достигает некоего глобального минимума или максимума, тогда глобальный экстремум существует и достигается в этой же точке на
,
Где,вырожденное вероятностное распределение, находящееся в . Также, будет являться решением исходной проблемы управления оптимального запаса для целевого функционала (стоимостного показателя).
Следовательно, из теоремы 1.2 будет верно равенство
,
Получается, что задача сводится к виду:
Где решением, будет являться точка . Таким образом, решение исходной задачи оптимального управления существует и достигается на распределении которая устанавливает параметр управления.
2.4 Аналитически достаточные условия существования детерминированного оптимального управления
Рассмотрим и приведем доказательство леммы об утверждениях свойства непрерывности заданных функций прибыли для полученной ранее модели с учетом нового фактора.
Лемма 2.1
Допустим, что функции прибыли (x) непрерывна при ? , а функция прибыли (x) непрерывна при ? . Где(x)=(x)=0;
Также, (y) непрерывна при ?. Пусть, далее, функция непрерывна при любых
В таком случае, при выполнении вышеперечисленных условий функция математического ожидания приращения аддитивного стоимостного функционала определяемая соотношениями (2.2),(2.3),(2.4),(2.5) будет непрерывна при ? u.
Доказательство леммы 2.1
В первом случае зависимость задержки поставки от объема потребленного продукта меньше момента времени, в который был совершен заказ . Можно рассмотреть три промежутка времени для выражения функции математического ожидания и соответствующие им равенства: (2.2) для (2.3) для и (2.4) для
Рассмотрим более подробно функцию на интервале в случае (2.2). Такая функция будет являться непрерывной. Это следует из условий заданной леммы о непрерывность функций прибыли (x) и (y). Помимо этого из условий леммы следует, что подынтегральная функция первого интеграла в выражении (2.2):
, ,
тоже является непрерывной функцией. Кроме того, функция определяющая значение верхнего предела непрерывна при любых значениях u. Воспользуемся теоремой о непрерывности интеграла по переменному верхнему (нижнему) пределу [9,(467c.)]. Получаем, что функция непрерывна при ? u .
Далее, проанализируем второй промежуток времени где выражения функции математического ожидания (2.3). Как и в случае рассмотренного ранее промежутка, функция будет являться непрерывной на рассматриваемом в данный момент промежутке времени за счет практически аналогичных утверждений. Функции прибыли (x) и (y) по условиям леммы - непрерывны, а первый интеграл в данном выражении - константа:
,
Второй интеграл в данном выражении:
,
будет представлять собой непрерывную функцию по свойству упомянутому ранее [9,(467c.)].
Непрерывность функции на третьем промежутке времени доказывается аналогично предыдущему случаю.
Далее, необходимо доказать, что функция условного математического ожидание непрерывна в точке . Обозначим через точку, для которой выполняется равенство Заметим что, если - строго монотонная функция (возрастающая, положительная) то точка - единственная. Необходимо вычислить пределы вида (справа) и (слева).
Для выражения (2.2) проанализируем следующий предел
,
Для выражения (2.3):
,
,
Интеграл следующего вида будет равен нулю (в силу своего свойства)
,
Из (2.19) и (2.20) получим
,
Рассмотрим выражения (2.18) и (2.21). Заданные пределы являются конечными. Помимо этого, если аргументы функций прибыли будут равны нулю и, принимая во внимание изначальные условия леммы(x)=(x)=0, тогда выражения (2.18) и (2.21) будут одинаковыми. Тогда,
,
По утверждению из [10,(116c.)], если выполняется свойство (2.22), то функция является непрерывной в точке .
Во втором случае, рассмотрим неравенство . Тогда, будет выражаться (2.5). Непрерывность функции будет доказываться аналогично предыдущим рассмотренным случаям. В равенстве (2.5), первая составляющая имеющейся формулы, являющаяся интегралом - константа:
,
а вторая составляющая - непрерывная функция по u [9,(467c.)]:
,
Учитывая первоначальные условия леммы, можно утверждать, что оставшиеся составляющие (2.5) не заключенные под знак интеграла - также непрерывны по u. Таким образом, непрерывна при ? .
Оставим неизменными условия из вышеприведенной леммы и добавим некоторые новые факторы в неё. Сформулируем следующую теорему:
Теорема 2.2
Допустим, что функции прибыли (x) непрерывна при ? , а функция прибыли (x) непрерывна при ? . Где(x)=(x)=0;
Ф(y) непрерывна при ?. Пусть, далее, функция непрерывна при любых
Также, примем во внимание условия:
1. При ? :
,
2. Для функции затрат, характеризующей дефицит ресурса на складе объема x, в единицу времени введем неравенство
3. Для функция, характеризующей затраты, связанные с пополнением потребленного объема :
,
Тогда существует конечный предел для имеющейся основной функции:
,
и функция , выражающаяся (2.2)-(2.5), непрерывна при ? конечных значениях .
Доказательство теоремы 2.2
Для доказательства существования конечного предела основной функции необходимо вычислить
,
Рассматривая два случая соотношений параметров, таких как период задержки поставки продукта зависящий от объема потребления продукта и момент времени, в который продукция на складе заканчивается и можно заметить, что при функция выражается одинаково в случаях (2.3),(2.4),(2.5).
Для основной функции дробно - линейного функционала вычислим предел
Принимая во внимание, не зависящее от u неравенство:
,
Выражаем из (2.23):
Требуется вычислить полученное выражение. Для этого вернемся к формулировке теоремы 2.2. Обратим внимание на первую составляющую выражения (2.24). Рассмотрим условие 1:
,
Проанализируем вторую составляющую выражения (2.24):
,
Учтем пункт 2:
,
Тогда
,
Следственно, предел (2.26) существует и конечен.
Далее, учтем пункт 3:
,
С помощью вышеприведенного неравенства выразим третью составляющую (2.24):
<?
Все три составляющие (2.25), (2.28) и (2.30) правой части равенства (2.24) существуют и конечны. Следовательно, предел
,
также существует и конечен.
Теперь докажем непрерывность основной функции . Условия теоремы 2.2 включают в себя условия леммы 2.1. Из доказательства леммы 2.1 следует непрерывность функции при ? . Знаменатель основной функции, также будет являться непрерывным при ? за счет своей линейности.
Обратимся к сведениям из [9,(119c.)], где частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Из чего можно сделать вывод, что основная функция дробно-линейного функционала является непрерывной при ? конечных значениях .
Теорема доказана.
Последняя доказываемая теорема, затрагивает вопрос о нахождении решения для проблемы детерминированного оптимального управлении запасом.
Теорема 2.3
Обратимся к предыдущей лемме 2.1 и теореме 2.2. Допустим, что условия леммы 2.1 выполняются, также допустим, что выполняются все пункты (1,2,3) теоремы 2.2. Следовательно, решение исходной проблемы оптимального управления запасом существует и достигается на детерминированном управлении . Где, - является точкой глобального экстремума (максимума) основной функции дробно - линейного функционала на множестве .
Доказательство теоремы 2.3
Обратимся к итогам теоремы 2.2. На основании приведенного доказательства данной теоремы можно сделать вывод, что существует конечный предел для функции :
,
а так же данная функция, выражающаяся (2.2)-(2.5), непрерывна при ? конечных значениях . Исходя из этого утверждения, можно сделать вывод, что на основная функция дробно-линейного функционала непрерывна. Множество является расширенным множеством действительных чисел (вещественная прямая, дополненная элементом (+)), следовательно, имеющееся множество - компакт (топологическое сведение).
На основании этого, придем к заключению, что основная функция непрерывна на , множестве, представляющем из себя компакт.
Данное утверждение позволяет воспользоваться условиями теоремы Вейерштрассе [11,(101с.)]. Из чего следует ограниченность функции на и достижении основной функции на этом множестве верхней и нижней граней, а, следовательно, и глобального экстремума. Таким образом, на вещественной прямой в точке , которая является детерминированным управлением, основная функция достигает глобального максимума.
Отсюда следует, что решение проблемы управления существует и достигается в точке на вырожденном распределении.
Теорема доказана.
Заключение
Проведенное исследование, полученное с учетом приведенных сведений из параграфов 1.1-1.4 о регенерирующем процессе, о виде дробно-линейного функционала (стоимостного показателя), фундаментальных теорем о достижении глобального экстремума данного функционала и обобщающей теоремы о решении экстремальной задачи, а так же утверждений из математического и функционального анализа и позволяет сформулировать следующие выводы
Рассмотрен некий регенерирующий процесс, введены основные обозначения и стоимостные характеристики для точного описания функционирования модели в рамках заданного регенерирующего процесса. Введен фактор зависимости- (зависимости длительности задержки поставки от объема потребленного продукта), носящий отличительную черту от предыдущих исследований выбранной сферы. Таким образом построен абсолютно новый циклический процесс потребления и пополнения продукции в различных промышленных сферах. Экономическая сторона предложенной стохастической модели заключается во введении функция затрат и функций, касающихся ценовой политики для ресурсов. Исследование позволяет достичь нужных результатов в вопросе нахождения оптимальной функции распределения случайного параметра управления.
Приведено доказательство общего представления для функций условного математического ожидания продолжительности периода регенерации и приращения дробно-линейного функционала (показателя средней удельной прибыли) в явном аналитическом виде, задающим стоимостной функционал. Найденная основная функция стационарного стоимостного показателя в явном виде представляет собой совокупность довольно массивных формул включающих нововведенную зависимость
Теоретически обоснован подход к решению классической оптимальной задачи детерминированного управления о нахождении глобального максимума или минимума функций дробно-линейного функционала с учетом нововведенного фактора, базирующийся на исходных результатах основной задачи. Доказано, что глобальный экстремум некоторой вещественной функции, который она достигает - является решением задачи оптимального управления.
В заключительной главе сформулированы три достоверных доказательства предложенных утверждений:
· Лемма о непрерывности функции прибыли данной модели;
· Теорема о достаточных условиях непрерывности основной функции данного дробно-линейного функционала;
· Теорема о существовании детерминированного оптимального управления.
В качестве практической области заданной математическо-экономической модели, можно привести следующий перечень далеко не всех возможных отраслей: обеспечение сбыта и хранения продовольственного сырья, поставка данного сырья в продуктовые магазины и рынки, поставки на заводы древесины для дальнейшей переработки и дальнейшей поставки обработанной продукции в мебельные магазины, поставки минерального сырья и т.д. Модель помогает упростить и грамотно спланировать процесс практически любой торгово-сбытовой системы в целом..
Обобщая все вышесказанное можно утверждать, что в работе проведено достаточное теоретическое и аналитическое исследование заданной проблемы оптимального управления с учетом нового фактора.
Список литературы
1. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерации // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - №. 3. - С. 434-452.
2. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 10. - С. 93-113.
3. Мельников Р.В. Исследование проблем управления запасом непрерывного продукта в стохастической модели регенерации. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук - МГИЭМ, Москва, 2010 г. - 137 с.
4. П.В Шнурков., Пименова Е. Ю. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в схеме регенерации с детерминированной задержкой поставки и периодом реального пополнения - // Системы и средства информатики. - 2017 - Т. 27. - №. 4. - С. 80-94.
5. Каштанов В.А., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д., Коваленко И.Н., Барзилович Е.Ю., Ушаков И.А. Вопросы математической теории надежности. Под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: Радио и связь, 1983. - 376с.
6. Шнурков П.В. О решении задачи безусловного экстремума для дробно-линейного интегрального функционала на множестве вероятностных мер. Доклады академии наук - 2016г, том 470, № 4, 387-392с.
7. Рыков В.В., Козырев Д.В. Основы теории массового обслуживания. -М.: Инфра-М, 2016 - 223с.
8. Боровков А. А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 440
9. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. - М.: ВШ, 1981. - 687 с
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3ех томах). -М.: Физматлит , 2003.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Неравенство Маркова на индексационных классах и проблема моментов: экстремальная задача и доказательство теорем. Чебышевская экстремальная задача на бесконечности. Классы моментных пространств, матрицы индексационных функций и последовательностей.
контрольная работа [216,7 K], добавлен 27.07.2010Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).
презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013Управляемые линейные динамические объекты (ЛДО). Оптимальное управление ЛДО с фиксированным временем и терминальным критерием качества. Задача линейного предельного быстродействия. Линейная задача теории оптимального управления как проблема моментов.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 05.07.2010История зарождения и создания линейного программирования. Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды моделей. Методы составления начального опорного плана. Понятие потенциала и цикла. Задача, двойственная к транспортной.
курсовая работа [166,7 K], добавлен 17.07.2002Наличие некоторого динамического объекта, т.е. объекта, меняющегося во времени, характерного для задачи управления. Линейная задача быстродействия. Свойства экспоненциала матрицы. Линейные дифференциальные уравнения с управлением, пример интегрирования.
контрольная работа [547,7 K], добавлен 13.03.2015Описание газлифтного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Конечно-разностная аппроксимация производных функций и решение дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
статья [41,4 K], добавлен 17.10.2012Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Основные элементы теорий однородных и краевых задач Римана, Гильберта, Нетера. Использование различных способов регуляризации полных особых интегральных уравнений. Некоторые основные свойства особых союзных операторов. Уравнения Фредгольма и Пуанкаре.
курсовая работа [565,3 K], добавлен 17.02.2014Составление гамильтониан Н с учетом необходимых условий оптимальности для задачи Майера. Определение оптимального управления из условия максимизации. Получение конической системы уравнений и ее разрешение. Анализ необходимых условий оптимальности.
курсовая работа [113,1 K], добавлен 13.09.2010Определение коэффициентов элементарных функций: линейной, показательной, степенной, гиперболической, дробно-линейной, дробно-рациональной. Использование метода наименьших квадратов. Приближённые математические модели в виде приближённых функций.
лабораторная работа [253,6 K], добавлен 05.01.2015
