Математика у футболі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математика у футболі

Анотація

м'яч математичний футбольний

Гра у футбол змушує мислити, розраховувати всі варіанти поведінки м'яча. А вміння виконувати стандарти часто-густо приводить до перемоги команди. У статті «Математика у футболі» охарактеризовано теоретичну модель польоту футбольного м'яча при виконанні штрафних і кутових ударів. Цікавим є те, що футбольний м'яч можна розглядати не лише як спортивний інвентар, ай як геометричне тіло (як ікосаедр чи куб). У статті розкрито математичні секрети «класичного» та сучасного футбольних м'ячів.

Метою статті є визначення траєкторії польоту футбольного м'яча при виконанні основних футбольних стандартів та доведення того, що футбольний м'яч є многогранником.

Постановка проблеми. В ігрових видах спорту, особливо у футболі, можна спостерігати як м'яч рухається у повітрі по «незвичайній» траєкторії. Такі польоти м'яча зачаровують глядачів і знавців футболу. До класичних футбольних м'ячів вже звикли всі, але мало хто рахував шестикутники і п'ятикутники, з яких пошито м'яч. Це підштовхує до побудови теоретичної моделі поведінки футбольного м'яча та «підрахунку» многокутників, з яких можна скласти поверхню близьку до поверхні кулі.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. Французькі учені провели серію експериментів по вивченню руху м'ячика у воді. Це дало можливість систематизувати теоретичні дані моделі поведінки м'яча. Результати опублікували у журналі «New Journal of Physics» [3]. Вчені зауважили, що при вкиданні кульки у воду, вона проходить траєкторію кривої Архімеда і виринає на поверхню. Борис Бичков [3] дослідив принцип побудови многогранника, схожого на сферу і охарактеризував класичний футбольний м'яч, як сферу, складену з 20 шестикутників і 12 п'ятикутників, за умови склеювання трьох сторін многокутників. А Микола Андрєєв [1] довів, що вже шостий рік м'ячем офіційних турнірів ФІФА (фр. Fйdйration Internationale de Football Association) є куб.

Мета статті дослідити теоретичну модель поведінки футбольного м'яча, охарактеризувати футбольний м'яч як геометричне тіло, а саме як ікосаедр чи куб.

І. Виклад основного матеріалу

Все частіше різні явища зі світу спорту стають об'єктом дослідження вчених. Найбільш привабливими з наукової точки зору є спортивні ігри з м'ячем. Справа в тому, що через опір повітря, рух м'яча, в цілому, не є лінійним процесом. Нелінійну поведінку м'яча можна спостерігати, наприклад, під час трансляції футбольних матчів, особливо при виконанні стандартів.

Знавці футболу пригадують штрафний удар футболіста збірної Бразилії Роберто Карлоса. Цей стандарт було названо «неймовірним» і «фантастичним» через цікаву траєкторію польоту м'яча. 3 червня 1997 року під час гри між збірними Франції та Бразилії було виконано штрафний удар, про який говорять і який згадують вже два десятиліття. Удар наніс Роберто Карлос у ворота Фаб'єна Бартеза. При перегляді відео видно, що м'яч летить далеко від воріт вправо, однак потім напрям його руху різко змінюється і, на подив голкіпера Французької збірної, залітає прямісінько в правий кут воріт. Зауважимо, Роберто Карлос наносив удар лівою ногою з відстані 35 метрів і так звана «неймовірна» траєкторія польоту м'яча була всім очевидною (рис 1.). Вплив вітру виключено, оскільки була тиха і безвітряна погода.

Рис. 1. Удар Роберто Карлоса (ілюстрація з сайтуbbc.co.uk)

Група французьких вчених у статті [3] «Thespinningball spiral», опублікованій в журналі «New Journal of Physics» зауважили, що м'яч Роберто Карлоса летів по спіралі Архімеда (рис. 2) і, не влетівши у ворота, м'яч міг би ще очевидніше описати траєкторію кривої Архімеда.

Рис. 2. Схема удару Роберто Карлоса (ілюстрація з сайтуbbc.co.uk)

Причина руху м'яча по спіралі Архімеда відома - це сила Магнуса. При ударі м'яча внутрішньою стороною стопи виникає поперечна сила, яка діє на м'яч, що обертається в потоці повітря. Ця поперечна сила направлена завжди з тієї сторони тіла, на якій напрям обертання і напрям потоку протилежні, в ту сторону, на якій ці напрями збігаються [4; с. 45]. Ефектом Магнуса і пояснюються складна траєкторія польоту м'яча при кручених ударах у футболі. Знавці і любителі футболу такі вдалі удари називають «голами у стилі Роберто Карлоса». А математики бачать у таких голах спіраль Архімеда. Багато сучасних зірок футболу виконують подібні удари. Наприклад, півзахисник мадридського Реала Марко Асенсіо (2017 р.), шотландський півзахисника Джон Макгінн (2018 р.), бразильский захисник "Дніпра" Андерсон Піку (2016 р.), Андрій Якимів гравець української «Сталі» (2017 р.).

Ще один стандарт, який дає можливість спостерігати спіраль Архімеда ? це кутовий удар, або з математичної точки зору удар з 0°. Найвитонченіші кутові удари ? це удари названі «сухим листом». У футболі «сухим листом» [5] називають задання м'ячу обертання навколо похилої осі. Основною ознакою удару «сухий лист» є траєкторія польоту м'яча. Спочатку м'яч летить по складній дузі -- сумі обертальних рухів навколо вертикальної і поперечних осей -- і на останній ділянці траєкторії падає різко вниз (рис. 3).

Рис. 3. Удар «сухий лист» (ілюстрація з сайтуfootball24.ua)

Надати таку траєкторію м'ячу можна ударом носка, але класичним прийнято вважати удар зовнішньою стороною стопи. Вважається, що винахідником «сухого листа» з кутового удару був Валерій Лобановський. Прийом назвали «сухим листом» за тонкість, закрученість і складність польоту м'яча. Як це відбувалося: Лобановський пускав м'яч по дуже крутій траєкторії -- у результаті м'яч опускався за спиною воротаря під поперечину, якщо воротар зміщувався надто близько до передньої штанги (рис. 4). Якщо ж воротар відкривав ближній кут, Лобановський В. В. підкручував м'яч прямо у ворота (рис 5.) Цей удар довгий час ніхто не міг повторити [5].

Рис. 4. «Сухий лист» В. Лобановського за спину воротаря (ілюстрація з сайтуuk.wikipedia.org)

Рис. 5. «Сухий лист» В.Лобановського (ілюстрація з сайтуuk.wikipedia.org)

Бачимо, як м'яч летить по спіралі Архімеда. Приємно визнати, що математика так глибоко проникла у спорт, тим більше, у гру мільйонів ? у футбол. І, очевидно, що спіраль Архімеда «обрана» нашим Всесвітом.

Однак, неможна оминути увагою сам м'яч. М'ячі вважаються класичними, якщо вони складаються з 20 білих правильних шестикутників і 12 правильних п'ятикутників чорного кольору [3]. «Класичним» такий м'яч був не завжди: вперше покрій із 32 многокутників був використаний для офіційного м'яча на чемпіонаті світу 1970 року у Мексиці. Фірма Adidas виготовляла м'ячі Telstar аж до чемпіонату світу 2002 року.

З точки зору математики класичний футбольний м'яч є зрізаними ікосаедром.

Ікосаедр - один з п'яти правильних многогранників. Його назва походить від давньогрецьких слів «двадцять» і «грань». У ікосаедра 12 вершин, 20 граней - правильних трикутників, 30 ребер. Якщо зрізати вершини ікосаедра, відступивши від вершин таку відстань, щоб інші частини граней були правильними шестикутниками, тоді зрізи стануть правильними п'ятикутниками [2; с.165]. Це і буде зрізаний ікосаедр - один із напівправильних многогранників, який складається з 12 правильних п'ятикутників і 20 правильних шестикутників (рис. 6). Він має ікосаедричний тип поверхні. У кожній з вершин перетинаються 2 шестикутники і п'ятикутник. Кожен з п'ятикутників зусібіч оточений шестикутниками.

Рис. 6. Класичний футбольний м'яч як зрізаний ікосаедр (ілюстрація з сайтуmors.in.ua)

Залишилося накачати повітрям такий зрізаний ікосаедр і все - м'яч готовий. Насправді, 32 многокутники ? це не один варіант створення футбольного м'яча [6]. М'яч можна пошити і з більшої кількості шестикутників, але кількість п'ятикутників буде незмінною ? 12 штук. Це факт легко доводиться за теоремою Ейлера.

Поставимо собі питання: скільки потрібно взяти п'ятикутників, щоб зшити м'яч?

Нехай - кількість шестикутників, а - кількість п'ятикутників. Давайте застосуємо теорему Ейлера до нашого футбольного м'яча:

(1)

де В ? кількість вершин, Р ? кількість ребер, Г ? кількість граней. Оскільки, кожен з шестикутників дає по 6 вершин, а кожен з п'ятикутників - по 5, то всього буде вершин.

Однак зауважимо, що кожну з цих вершин ми порахували 3 рази, тому що склеїли по 3 многокутники в кожній вершині. Тому кількість вершин буде такою:

Аналогічно порахуємо ребра. Оскільки, кожне ребро рахується 2 рази, то кількість ребер дорівнює:

Очевидно, що кількість граней просто дорівнює кількості многокутників:

Отже, формули для кількості вершин, ребер і граней легко виходять з спостереження, що кожна вершина потрапляє на три грані, а по кожному ребру перетинаються тільки дві грані. Підставивши значення у формулу (1), отримаємо:

.

Змінна виключається з рівняння, тобто кількість шестикутників може бути яким завгодно.

З 2002 року розпочалися експерименти над виготовленням м'яча з більш вищим ступенем кулястості, і в 2014 році на чемпіонаті світу у Бразилії відбулася прем'єра нового офіційного м'яча, який одержав назву Brazuca.

Модель цього м'яча дійсно більш сфероподібна, ніж класична модель. Та при цьому Brazuca- куб! [1]. Як і куб, Brazuca складається з шести однакових плоских панелей, які мають по чотири кути. У цього м'яча вісім вершин, в кожній з яких сходиться по три панелі (рис. 7).

Рис. 7. Футбольний м'яч Brazuca (ілюстрація з сайту mors.in.ua)

Вигадані фірмою Adidas панелі дійсно можна склеїти у випуклу поверхню. Успіх гарантовано, оскільки виконується умова теореми Александрова: сума кутів панелей не перевищує 360°, довжини «сторін» панелей співпадають між кутами, а сума кривизни в точках склеювання додатна.

Отже, дослідивши теоретичну модель поведінки футбольного м'яча, стає очевидним, що при виконанні більшості футбольних стандартів, м'яч летить по спіралі Архімеда. А класичний футбольний м'яч насправді є зрізаним ікосаедром, тобто і тут математика «заховалася» у футболі. Приємно, що м'яч нового сучасного зразка Brazuca не підвів очікувань математиків і теж приховав у собі математичні поняття та теореми, адже Brazuca є кубом.

Література

1. Андреєв М. Математика футбольного м'яча. [Електронний ресурс] https://pikabu.ru/story/matematika_futbolnogo_myacha_6005221

2. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія 11 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Академічний і профільний рівні. К.: Генеза, 2011. - 336 с.

3. Бичков Б. Математика і футбол. [Електронний ресурс]https://elementy.ru/problems/1770/Matematika_futbolnykh_myachey

4. Кривчун С. Б. «Фізика у футболі» Журнал «ПостМетодика». - 2014. - №2 (117)

5. Лобановький Валерій [Електронний ресурс] https://uk.wikipedia.org/wiki

6. Футбольний м'яч і фулерени. [Електронний ресурс]http://it-ua.info/news/2017/01/19/futbolniy-myach-fulereni.html

Размещено на Allbest.ru