Расчет матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет матрицы

1. Найти матрицу D=AB-2C

	-3	0		В =	4	3			-2	1
А =	0	1	,		1	-2	,	С =	0	3
	1	0							0	-1
	-3	0		4	3		-12	-9
А*В=	0	1	*	1	-2	=	1	-2
	1	0					4	3
	-12	-9		-2	1		-12	-9		-4	2		-8	-11
АВ-2С=	1	-2	-2*	0	3	-	1	-2	-	0	6	=	1	-8
	4	3		0	-1		4	3		0	-2		4	5

2. Найти обратную матрицу A^-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что А*А^-1=Е, где Е-единичная матрица

	0	1	1
A=	2	?2	?4
	1	1	1
Вычислим определитель матрицы A :
	0	1	1
Д=	2	?2	?4	=	?2
	1	1	1
Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:
A11=(?1)1+1*	?2	?4	=	2
	1	1
A12=(?1)1+2*	2	?4	=	?6
	1	1
A13=(?1)1+3*	2	?2	=	4
	1	1
A21=(?1)2+1*	1	1	=	0
	1	1
A22=(?1)2+2*	0	1	=	?1
	1	1
A23=(?1)2+3*	0	1	=	1
	1	1
A31=(?1)3+1*	1	1	=	?2
	?2	?4
A32=(?1)3+2*	0	1	=	2
	2	?4
A33=(?1)3+3*	0	1	=	?2
	2	?2
Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:
A?1=	A11	A21	A31	,
	Д	Д	Д
	A12	A22	A32
	Д	Д	Д
	A13	A23	A33
	Д	Д	Д
где Aij ? алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Д ? определитель матрицы A.
Используя формулу обратной матрицы, получим:
A?1=	2	0	?2	=
	?2	?2	?2		-2	0	1
	?6	?1	2		3	1/2	-1
	?2	?2	?2		-2	-1/2	1
	4	1	?2
	?2	?2	?2

3. Решить системы линейных уравнений с тремя неизвестными

	x+y+2z=1
	2x-y+2z=-2
	4x+y+4z=2
Выражаем из уравнения 1 переменную x:
	x=-y-2z+1
	2x-y+2z=-2
	4x+y+4z=2
Подставляем переменную х=-y-2z+1 в уравнение 2:
	x=-y-2z+1
	2(-y-2z+1)-y+2z=-2
	4x+y+4z=2
Упрощаем уравнение 2:
	x=-y-2z+1
	-3y-2z=-4
	4x+y+4z=2
Подставляем переменную х=-y-2z+1 в уравнение 3:
	x=-y-2z+1
	-3y-2z=-4
	4(-y-2z+1)+y+4z=2
Упрощаем уравнение 3:
	x=-y-2z+1
	-3y-2z=-4
	-3y-4z=-2
Выражаем из уравнения 2 переменную y:
	x=-y-2z+1
	y=	-2z+4
		3
	-3y-4z=-2
Подставляем переменную y= (-2z+4)/3 в уравнение 3:
	x=-y-2z+1
	y=	-2z+4
		3
	-3	(-2z+4)-4z=-2
	3
Упрощаем уравнение 3:
	x=-y-2z+1
	y=	-2z+4
		3
	-2z=2
Выражаем из уравнения 3 переменную z:
	x=-y-2z+1
	y=	-2z+4
		3
	z=-1
Подставляем переменную z=-1в уравнение 2:
	x=-y-2z+1
	y=	2+4
		3
	z=-1
Упрощаем уравнение 2:
	x=-y-2z+1
	y=2
	z=-1
Подставляем переменную z=-1в уравнение 1:
	x=-y-2+1
	y=2
	z=-1
Упрощаем уравнение 1:
	x=3-y
	y=2
	z=-1
Подставляем переменную y=2 в уравнение 1:
	x=3-2
	y=2
	z=-1
Упрощаем уравнение 1:
	x=1
	y=2
	z=-1
Ответ:
	x=1
	y=2
	z=-1

4. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А(-2;2), В(-8;-5), С(4;0)

Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки М пересечения меридиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Даны координаты вершин треугольника: A(-2,2), B(-8,-5), C(4,0).

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i

здесь X,Y координаты вектора; x_i, y_i - координаты точки А_i; x_j, y_j - координаты точки А_j

Например, для вектора AB

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁

X = -8-(-2) = -6; Y = -5-2 = -7

AB(-6;-7)

AC(6;-2)

BC(12;5)

2) Длина сторон треугольника

Расстояние d между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) определяется по формуле:

8) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:

или

или

y = ⁷/₆x + ¹³/₃ или 6y -7x - 26 = 0

Уравнение прямой BC

Каноническое уравнение прямой:



или

или

y = ⁵/₁₂x ^-5/₃ или 12y -5x +20 = 0

5) Площадь треугольника

Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

	x1-x3 y1-y3 x2-x3 y2-y3

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

x1-x3 y1-y3 x2-x3 y2-y3	=	-2 - 4 2 - 0 -8 - 4 -5 - 0	=

-6 2 -12 -5	= -6(-5) - (-12)*2 = 54

По формуле получаем:

7) Уравнение медианы треугольника

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

M(-2;^-5/₂)

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(-2;2) и М(-2;^-5/₂), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

или

или

x +2 = 0 или x = -2

Найдем длину медианы.

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.



M(1;1)

Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(-8;-5) и М(1;1), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

или

или

y = ²/₃x + ¹/₃ или 3y -2x - 1 = 0

Найдем точку пересечения медиан.

Имеем систему из двух уравнений:

x = -2

3y -2x - 1 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = -2

y = -1

9) Уравнение высоты через вершину A

Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:



Найдем уравнение высоты через вершину A

y = ^-12/₅x - ¹⁴/₅ или 5y +12x + 14 = 0

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой BC.

Уравнение BC:

y = ⁵/₁₂x ^-5/₃, т.е. k₁ = ⁵/₁₂

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.

Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:

⁵/₁₂k = -1, откуда k = ^-12/₅

Так как перпендикуляр проходит через точку A(-2,2) и имеет k = ^-12/₅,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).

Подставляя x₀ = -2, k = ^-12/₅, y₀ = 2 получим:

y-2 = ^-12/₅(x-(-2))

или

y = ^-12/₅x - ¹⁴/₅ или 5y + 12x +14 = 0

Найдем точку пересечения с прямой BC:

Имеем систему из двух уравнений:

12y -5x +20 = 0

5y + 12x +14 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = ^-68/₁₆₉

y = ^-310/₁₆₉

D(^-68/₁₆₉;^-310/₁₆₉)

Найдем уравнение высоты через вершину B

y = 3x + 19 или y -3x - 19 = 0

Найдем точку пересечения высот.

Имеем систему из двух уравнений:

5y +12x + 14 = 0

y -3x - 19 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = ^-109/₂₇

y = ⁶²/₉

9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(-2;2) и прямой BC (12y -5x +20 = 0)

Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(-2;2) и точкой D(^-68/₁₆₉;^-310/₁₆₉).

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

5. Даны координаты точек А(-2;2), В(-8;-5), С(4;0), D(3;2;6)

Найти:

1) найти длину ребра АВ;

2) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, и С;

3) уравнение высоты опущенной из точки D на плоскость АВС;

4) площадь грани АВС;

5) объем пирамиды АВСD.

Даны координаты пирамиды: A₁(0,2,4), A₂(4,-1,2), A₃(5,1,-3), A₄(3,2,6)

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;

Например, для вектора A₁A₂

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁

X = 4-0; Y = -1-2; Z = 2-4

A₁A₂(4;-3;-2)

A₁A₃(5;-1;-7)

A₁A₄(3;0;2)

A₂A₃(1;2;-5)

A₂A₄(-1;3;4)

A₃A₄(-2;1;9)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

4) Площадь грани.

Площадь грани можно найти по формуле:



где

Найдем площадь грани A₁A₂A₃

Найдем угол между ребрами A₁A₂(4;-3;-2) и A₁A₃(5;-1;-7):

Площадь грани A₁A₂A₃

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i j k 4 -3 -2 5 -1 -7	=

=i((-3)*(-7)-(-1)*(-2)) - j(4(-7)-5(-2)) + k(4(-1)-5(-3)) = 19i + 18j + 11k

5) Объем пирамиды.

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

	X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

	4 -3 -2 5 -1 -7 3 0 2

где определитель матрицы равен:

? = 4*((-1)*2-0*(-7))-5*((-3)*2-0*(-2))+3*((-3)*(-7)-(-1)*(-2)) = 79

8) Уравнение плоскости.

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1	= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

x-0 y-2 z-4 4 -3 -2 5 -1 -7	= 0

(x-0)((-3)*(-7)-(-1)*(-2)) - (y-2)(4(-7)-5(-2)) + (z-4)(4(-1)-5(-3)) = 19x + 18y + 11z-80 = 0

9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A₁A₂

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:

l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀) = 0

Координаты точки A₃(5;1;-3)

Координаты вектора A₁A₂(4;-3;-2)

4(x - 5) + (-3)(y - 1) + (-2)(z - (-3)) = 0

Искомое уравнение плоскости:

4x - 3y - 2z-23 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄(3,2,6).

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 19x + 18y + 11z-80 = 0

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(3,2,6).

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 19x + 18y + 11z-80 = 0



Основная литература

матрица математика уравнение треугольник

1. Хусаинова, Г.В. Основы высшей математики: прямая на плоскости. Элементарные свойства кривых второго порядка : конспект лекций / Г.В. Хусаинова, Д.З. Хусаинов, Т.Д. Колобова ; Министерство образования и науки Российской Федерации. - Екатеринбург : Архитектон, 2017. - 32 с. : ил. - Библиогр.: с. 30. ; То же [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=481979 (27.11.2018).

2. Краткий курс высшей математики : учебник / К.В. Балдин, Ф.К. Балдин, В.И. Джеффаль и др. ; под общ. ред. К.В. Балдина. - 2-е изд. - Москва : Издательско- торговая корпорация «Дашков и К°», 2017. - 512 с. : табл., граф., схем., ил. - Библиогр. в кн. - ISBN 978-5-394-02103-9 ; То же [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=450751 (27.11.2018).

Дополнительная литература

1. Туганбаев, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев : учебное пособие / А.А. Туганбаев. - 6-е изд., стер. - Москва : Издательство «Флинта», 2017. - 401 с. - ISBN 978-5-9765-1403-4 ; То же [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115143 (27.11.2018).

2. Харитонова И. В.Основы теории принятия управленческих решений: учебник - Архангельск: САФУ, 2015. - Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436414&sr=1

3. Балдин, К.В. Математика : учебное пособие / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - Москва : Юнити-Дана, 2015. - 543 с. - Библиогр. в кн. - ISBN 5-238-00980- 1 ; То же [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=114423 (27.11.2018).

Размещено на Allbest.ru