Решение уравнений с корнем третьей степени

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

«Колледж автоматизации и информационных технологий № 20»

Исследовательская работа

Решение уравнений с корнем третьей степени

Автор

Демидов Данила, студент группы КСК112

Руководитель:

Филиппова З. М., преподаватель математики и физики

Москва 2018

Введение

кубический степень уравнение высший

Очень немногие из сегодняшних школьников, знакомясь с уравнениями, дискриминантами, производными, логарифмами, интересуются тем, когда, кем и при каких обстоятельствах впервые были введены эти понятия. Я считаю, что тема «Уравнения», в том числе кубические, очень важна для математики. Мне захотелось выяснить, как можно решить кубические уравнения аналитическим способом, какие существуют формулы для их решения и когда математики нашли эти формулы. Перед собой я поставил цель: узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, научиться их решать.

Проблема: отсутствие навыков решения уравнений высших степеней различными способами у учащихся мешает им успешно подготовиться к математическим олимпиадам и обучению в профильном математическом классе.

Перечисленные факты определили актуальность работы «Решение уравнений высших степеней».

Цель работы: изучить известный способов решения уравнений третьей степени для практического применения.

Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи:

-изучить литературу или Интернет-источники по данной теме;

-познакомить студентов со способами решения уравнений высших степеней;

-создать подборку уравнений для практического применения каждого из рассмотренных способов.

Объект исследования - уравнения третьей степени с одной переменной.

Предмет исследования - способы решения уравнений третьей степени.

Гипотеза: общего способа и единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов находить решения уравнений 3-ей степени, не существует.

Методы исследования: метод классификации, метод анализа

Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации способов решения уравнений третьей степени

Практическая значимость применяется в термодинамике, и большая часть изученных методов относится к разделу прикладной математике

Глава 1. Уравнение третьей степени

1.1 Понятие уравнений третьей степени

Кардано Джироламо - это Итальянский математик. Он также был философом, медиком и инженером. В честь своего имени он внес значительный вклад в области алгебры. Это был первый и удивительный человек в Европе, который стал использовать отрицательные корни уравнения. Надо заметить, что открытие дель Ферро произвело в свое время грандиозное впечатление на весь научный мир. Впервые ученый из Европы решил задачу, которая много веков не поддавалась лучшим математикам древней Греции и стран Востока. Дель Ферро, который родился в Болонье, окончил Болонский университет и до конца своих дней работал там профессором математики, после многолетних усилий сумел найти формулу решения неполного кубического уравнения вида

где p>0, q>0.Дель Ферро нигде не опубликовал свой метод решения, но сообщил его своему зятю Аннибалу Делла Наве и ученику Антонио Марио Фиоре

Определение 1. Уравнением 3-ой степени называется уравнение вида ax3+bx2+cx+d=0, где коэффициенты “b”, “c” и “d” могут равняться 0, то есть кубическое уравнение может иметь хотя бы один корень уравнения, а коэффициент перед переменой “x”, то есть “а” не должен равняться 0.

Для уравнений третьей и четвёртой степени существуют формулы Кардана и Феррари, выражающими корни этих уравнений через радикалы. Получается, что на практике ими редко пользуются. Таким образом, если n ? 3, а коэффициенты многочлена произвольные действительные числа, то поиск корней уравнения ? задача непростая. Тем не менее, во многих частных случаях эта задача решается до конца. Остановимся на одном из них.

1.2 Исторические факты решения уравнений высших степеней

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. С помощью уравнений высших степеней решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулу для n = 3. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени

занимались Сципион, Даль, Ферро и его ученики Фиори и Тарталья.

В 1545 году вышла книга итальянского математика Д. Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений.

Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й степени, дал Ф. Виет В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно множество способов решения уравнений n-ой степени

2. Решение уравнений третьей степени с целыми коэффициентами

2.1 Решение уравнений 3-ей степени. Формула Д. Кардана

Запишем формулу куба суммы:(x+y)3=x3+3x2y+3x*y2+y3; Рассмотрим уравнения вида ax3+bx2+cx+d=0. Преобразуем уравнение к удобному виду:

ax3+3bx2+3cx+d=0;

Теперь нам нужно коэффициент “a” добавить внутрь скобок. После добавления “a” во внутрь скобок, наше уравнение приобретает следующий вид:

Для следующего шага нам нужно сделать замену слагаемого в первых скобках, пусть и . Получим

Все это выражение поделим на a . Чтобы не нести страшные преобразования сделаем замену ; . Наше уравнение после замены приобретает следующий вид .

Сделаем третью замену

Замена будет иметь вид . Помножим на . И получим квадратное уравнение относительно четного коэффициента И это квадратное уравнение относительно . И по формуле четного коэффициента мы получаем что . Если мы нашли f, то и нашли y..

Общая формула выглядит так:

Формула Кардано позволяет найти корни неполного кубического уравнения на множестве действительных чисел при условии, что число. Поэтому условие не является критерием существования решений, а формула Кардано приобретает безусловный и общий смысл только тогда, когда p и q -- любые комплексные числа. Если коэффициенты p и q действительны, то число -- дискриминант уравнения -- тоже является действительным. По знаку этого числа можно определить тип корней:

D> 0 -- все три корня различны, причем один корень является действительным числом, а два других -- сопряженными комплексными числами;

D = 0 (p ?0, q?0) -- все три корня действительны, причем два из них равны между собой;

D = 0 (p=0, q=0) -- все три корня действительны, причем все они равны нулю;

D <0 -- все три корня действительны и различны между собой. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

Для вычислений корней найдем величины А и B:

и

Дискриминант уравнения будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения выражаются следующим образом:

;

Мы получили формулу для решения приведенного уравнения 3-й степени. Она носит имя итальянского математика Кардана

Заключение

Изучив учебную и научную литературу, Интернет-ресурсы в молодежных образовательных форумах по теме: «Уравнения третьей степени» мы выяснили, что современной науке известно много методов решения уравнений.

В ходе работы было отмечено, что не все способы удобны для решения, но каждый из них уникален.

Я считаю, что вы смогли выполнить поставленную перед собой цель работы, так как:1) изучили, описали алгоритм вычислений и проверили на практике 1 метод решения уравнений третей степеней; 2) представили результаты исследования учащимся с целью знакомства с методами решения уравнений высших степеней. Итогом моей работы является пособие для учащихся на тему: «Решения уравнений высших степеней» Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П. Задания по математике для подготовки к письменному Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.

Список литературы

1. Вавилов В.В., Олехник С.Н. Справочное пособие. М:Наука,1987

2. Бажова М.П., Сканави М.И., Решебник всех конкурсных задач по математике М.:Просвещение,1993

Приложение 1

1)Решить уравнение: x3-7x+6=0.

Здесь p=-7 и q=6

Имеем D<0 - уравнение имеет 3 действительных корня.

По формуле Кардано:

где: и

Находим

;

Тогда

Аналогично находим

; ;

Тогда

Проверяем

Значит

Ответ: -3; 1; 2

2)Решить уравнение:

Имеем р = 15 и q = 124, тогда используя формулу Кардано, вычислим корни данного уравнения

Ответ:-4

Вывод: данная формула хороша, но не подходит для решения всех кубических уравнений. Вместе с тем она громоздка. Поэтому на практике ею пользуются редко. Но тот, кто овладеет этой формулой, может пользоваться на ЕГЭ

Приложение 2

Практическая часть

Мне показался интересный метод Кардано для решений уравнений третьей степени. И ради этого, я хочу поделиться с друзьями несколькими уравнениями, чтобы они оценили способ решения.

Для этого я подготовил уравнения:

1) Ответ: -5; 2; 3

2) Ответ: -4; 2

3) Ответ: 1

Размещено на Allbest.ru