Перпендикуляр і похила до площини

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема. Перпендикуляр і похила до площини

Мета.

Навчальна. Сформувати поняття перпендикуляра до площини; похилої; проекції похилої на площину; відстань від точки до площини. Установити взаємозв'язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки до площини, і довжинами їхніх проекцій на площину.

Розвиваюча. Розвивати: вміння застосовувати здобуті знання до розв'язування задач; розпізнавати вивчені фігури на моделях і рисунках. Розвивати просторову уяву, логічне мислення, пам'ять.

Виховна. Виховувати активність, самостійність.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань, формування певних умінь (комбінований урок).

Наочність та обладнання. Конспект уроку «Перпендикуляр і похила до площини»; підручник.

Хід уроку

І. Організаційний момент (1 хв)

Привітання, перевірка присутніх на уроці. Контроль зовнішнього вигляду та робочих місць учнів. Налаштування учнів на роботу.

ІІ. Перевірка домашнього завдання (5 хв)

Оскільки задачі домашньої роботи відтворювали ситуації, аналогічні до розглянутих на попередньому уроці, то домашнє завдання перевіряється за готовими відповідями до задач.

Математичний диктант

Дано прямокутний паралелепіпед . - квадрат. Користуючись зображенням, запишіть:

а) площину, яка проходить через точку М прямої АМ і перпендикулярна до неї;

б) пряму, яка перпендикулярна до площини і проходить через точку ;

в) пряму, яка перпендикулярна до площини і проходить через точку ;

г) площину, яка перпендикулярна до прямої ;

д) прямі, які перпендикулярні до площини ;

е) площини, які перпендикулярні до прямої .

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності (1 хв)

Учитель. В житті ви мали змогу спостерігати, як кріпляться телевізійні вишки і антени, щогли вітрильників за допомогою тросів-відтяжок. Це наочні приклади перпендикулярів та похилих у просторі (до площини ґрунту, палуби).

Діти записують число, «Класна робота» та тему уроку «Перпендикуляр і похила до площини».

ІV. Актуалізація опорних знань та вмінь (10 хв)

Фронтальне опитування

1. Сформулюйте означення перпендикулярних прямих.

2. Дайте означення прямої, перпендикулярної до площини.

3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої та площини.

4. Пряма перпендикулярна до двох сторін трикутника. Чи можна стверджувати, що ця пряма перпендикулярна до площини трикутника?

5. Пряма а перетинає площину і перпендикулярна до прямої b, яка лежить у цій площині. Чи може пряма а не бути перпендикулярною до площини ?

6. Точка S лежить поза площиною ромба , причому , , (рис. 1). Які з наведених тверджень правильні, а які - ні:

а) пряма перпендикулярна до площини ;

б) пряма перпендикулярна до площини ;

в) пряма перпендикулярна до площини ;

г) пряма перпендикулярна до прямої .

Рис. 1

Повторення планіметричного матеріалу

1. Як називають відрізок АВ?

2. Як називають відрізок АС?

3. Як називають точку В, точку С?

4. Як називають відрізок ВС? (рис. 2)

Рис. 2

5. Скільки перпендикулярів можна провести з даної точки до даної прямої?

6. Скільки похилих можна провести з даної точки до даної прямої?

7. Скільки рівних похилих можна провести з даної точки до даної прямої?

8. Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похила, то що більше: перпендикуляр чи похила?

9. Якщо похилі, проведені з однієї точки до даної прямої, рівні, то що можна сказати про їх проекції?

10. Якщо проекції у похилих різні, то яка похила буде більша?

V. Сприйняття та первинне усвідомлення учнями нового матеріалу (30 хв)

Означення. Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.

Відрізок АС - перпендикуляр, опущений з точки А на площину . Точка С - основа перпендикуляра (рис. 3).

Означення. Довжина перпендикуляра називається відстанню від даної точки до площини.

Означення. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини.

Відрізок АВ - похила, точка В - основа похилої, СВ - проекція похилої АВ на площину (рис. 3).

Рис. 3

Запитання до класу. Чи існує залежність між довжинами перпендикуляра й похилої, похилої та її проекції?

Відповідь дає така теорема.

Теорема. Якщо з однієї точки, взятої поза площиною, проведені до цієї площини перпендикуляр і похилі, то:

1) Дві похилі, які мають рівні проекції, рівні;

2) З двох похилих та більша, проекція якої більша;

3) Перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.

Доведення.

Нехай АС - перпендикуляр, а , , - похилі до площини (рис. 4).

1) Якщо , то ( за двома катетами). Тому .

2) З прямокутних трикутників і маємо:

і .

Отже, якщо , то .

3) Перпендикуляр АС - катет, а будь-яка похила - гіпотенуза трикутника . Тому .

Теорему доведено.

Всі розглянуті властивості випливають із теореми Піфагора і, на відмінну від площини, де з даної точки до прямої можна провести тільки дві рівні похилі, у просторі з точки до площини можна провести нескінченну множину рівних похилих, основи яких утворюють коло.

Теорема про властивості перпендикуляра і похилої застосовується на практиці. Наприклад, якщо встановлюють щоглу на радіостанції, то стяжки беруть рівної довжини. Нижні кінці її закріплюють на однакових відстанях від основи щогли (рівномірно по колу). Це сприяє стійкості щогли.

площина проекція теорема перпендикуляр

Рис. 4

Теорема (про три перпендикуляри). Пряма, проведена на площині перпендикулярно до проекції похилої, перпендикулярна до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Доведення.

Нехай і - перпендикуляр і похила до площини (рис. 5). Якщо пряма лежить у площині , то . Якщо, крім того, пряма перпендикулярна до , то вона перпендикулярна до площини трикутника , а отже, і до прямої або .

Тобто: якщо , то ; якщо , то .

Теорему доведено.

З доведення випливає, що коли пряма не перпендикулярна до , то вона не перпендикулярна і до . Тому теорему можна сформулювати одним твердженням.

Твердження. Пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої тоді і тільки тоді, коли ця пряма перпендикулярна до проекції похилої.

Це твердження називають теоремою про три перпендикуляри: , , .

Рис. 5

VІ. Закріплення й осмислення нового матеріалу (35 хв)

Усні задачі

Задача 1. З точки М, що не належить площині, проведені дві похилі MB і MA та перпендикуляр МО.

1) Яка точка є проекцією точки М?

2) Назвіть відрізок довжина якого дорівнює відстані від точки М до площини .

3) Якщо см, см, то яка проекція буде більша?

4) Якщо см, см, то яка похила більша?

5) Якщо , то яка проекція буде менша?

Задача 2. Дано куб .

Укажіть проекцію діагоналі на площину:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Розв'язання письмових задач

Розв'язання найпростіших задач на похилу та її проекцію на площину зводиться до розв'язання прямокутного трикутника, сторонами якого є похила, її проекція на площину і перпендикуляр до площини.

Якщо такого трикутника немає на малюнку, то, щоб його утворити, проводимо допоміжні відрізки.

Якщо в задачі йдеться про дві похилі, проведені з однієї точки до площини, то розглядаємо два прямокутних трикутники, спільним катетом яких є перпендикуляр, опущений з даної точки на площину.

Якщо дано кілька рівних похилих, проведених з точки до площини, то їх кінці лежать на колі, центром якого є основа перпендикуляра, опущеного на площину зі спільної точки похилих.

Із двох похилих, проведених з однієї точки до площини, більша та, яка має менший кут нахилу до площини.

Задача 1. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 6 см, а проекція похилої на площину - 8 см.

Задача 2. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо довжина похилої становить 17 см, а її проекція на площину - 15 см.

Задача 3. З вершини квадрата проведено перпендикуляр до його площини. Знайдіть відстань , якщо дорівнює 6 см, а сторона квадрата - 4 см.

Задача 4. З точки до площини проведені дві похилі, які дорівнюють 10 см і 17 см, а їх проекції відносяться, як 2:5. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

Задача 5. З даної точки до площини проведено три рівні похилі довжиною 14 см. Відстані між кінцями похилих дорівнюють 9 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

Задача 6. Доведіть, що в правильному тетраедрі протилежні ребра перпендикулярні.

Задача 7. З точки М до площини проведено перпендикуляр МО і похилі МА та МВ. Знайдіть МО, якщо довжини похилих пропорційні числам 5 і 13, а їх проекції дорівнюють 4 см і см.

VІІ. Підбиття підсумків уроку та оцінювання результатів (5 хв)

Кросворд

1. Найкоротша відстань від точки до площини (перпендикуляр).

2. Похилі, які мають рівні проекції - … (рівні).

3. Трикутник - це геометрична … (фігура).

4. Кінець перпендикуляра, що лежить у площині (основа перпендикуляра).

5. Сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута (гіпотенуза).

6. Відрізок, який сполучає дану точку, з точкою площини, але не перпендикуляр (похила).

7. Відрізок, що сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки (проекція).

Ключове слово: ПІФАГОР (адже саме теорема Піфагора є основною в розв'язуванні задач з даної теми).

VІІІ. Повідомлення домашнього завдання (2 хв)

1. Вивчити теоретичний матеріал, розглянутий на уроці.

2. Розв'язати задачі.

Задача 1. З точки А проведено до однієї і тієї самої площини перпендикуляр см і похилу см. Знайдіть довжину проекції похилої.

Задача 2. З точки М до площини проведено перпендикуляр МО і похилі МА, МВ. , . Знайдіть довжини похилих, якщо проекція меншої похилої дорівнює а.

Задача 3. МВ - перпендикуляр до площини прямокутника . Доведіть, що трикутники і прямокутні.

Размещено на Allbest.ru