Г. П. Бочкарев

Размещено на http://www.allbest.ru/

24

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика. Механика. Информатика Вып.2(39)

1

Пермский государственный технический университет

Вариационные задачи в свете современной теории функционально-дифференциальных уравнений

Математика

УДК 517.972.5

Г. П. Бочкарёв

614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Аннотации

Рассматривается ряд задач, либо непосредственно являющихся вариационными, либо решаемыми с помощью вспомогательных вариационных задач. Многие из этих задач решаются при более слабых условиях, чем это возможно в рамках классического вариационного исчисления.

Variational problems under contemporary theory of functional differential equation

G.P. Botschkaryov

Perm State Technical University, 614990, Perm, Komsomolskiy pr., 29

There are considered raw of problems, that is variational problems or being desided with help of variational problems. Many problems are solved under more weak condition than it is possible in classic theory.

1. Критические обороты двухопорного вала

Пермский семинар предложил новый подход к решению задач классического вариационного исчисления. Этот подход применялся к оценке критической силы сжатия стержня и прогиба балки под действием распределенной силы, перпендикулярной оси балки [1]. Суть подхода заключается в рассмотрении задачи в гильбертовом пространстве и сведении задачи к оценке спектрального радиуса.

Продолжая упомянутые исследования, мы предлагаем новый способ решения классической задачи оценки числа критических оборотов вала. Классические методы решения этой задачи требуют, чтобы функция, выражающая осевую линию вала, была четырежды непрерывно дифференцируема, в то же время известно, что третья производная ее терпит разрыв [2].

Задача ставится следующим образом. Имеется вал, расположенный на двух опорах. Проведём ось t через центры концов вала и поместим один из них в начало координат, тогда второй будет находиться в точке t = b. Вал вращается с частотой n, его упругая линия описывается функцией x(t), которая в силу вариационного принципа механики доставляет минимум функционалу F при нулевых краевых условиях:

(1.1)

где n - частота вращения вала, (E - модуль Юнга материала вала, - момент инерции его поперечного сечения относительно центра этого сечения), j(t) - кусочно абсолютно непрерывная функция, j >d >0, j--О L₂, |j(t)|<?. T_j : Hⁿ > L₂ - линейные ограниченные отображения; Hⁿ - пространство функций, n-1-е производные которых абсолютно непрерывны, а n - элемент пространства L₂ функций, суммируемых с квадратом, J - конечное множество индексов. В рамках сопротивления материалов принято считать, что первое слагаемое имеет смысл потенциальной энергии, второе - кинетической. Операторы T_j принимают различный вид в зависимости от того, какого рода вал является объектом задачи: безмассовый с точечной нагрузкой, массивный с точечной нагрузкой, массивный с распределённой нагрузкой и т.д.

Задачу удобно решать в пространстве H². Выбор этого пространства ясен из изоморфизма H² @ R² Ч L₂, наличия двух данных краевых условий. Очевидно, если F ограничен снизу, то x(t)=0 является решением задачи с функционалом (1). Если решение единственно, то состояние вала можно считать стабильным. Найдем, когда это условие нарушается.

В рамках метода принято рассматривать вспомогательную задачу, которая позволит установить соответствие между подмножеством пространства H² и пространством L₂ и одновременно привести задачу к более удобной для исследования форме. В качестве вспомогательной задачи найдем решение дифференциального уравнения (z О L₂)

jx'' = z, x(0) = x(b) = 0.

Решением задачи будет

.(1.2)

Здесь

- функция Грина задачи x'' = z, x(0) = x(b) = 0, где z О L₂. Мы свели задачу на условный минимум в H² к задаче на безусловный минимум в L₂. После проведения W-подстановки (1.2) в (1.1) имеем

Удобно обозначить Q_j = T_jL - линейное непрерывное преобразование L₂. Используя для F₁ равенство (Af, Bg) = (B*Af, g), где f, g - элементы гильбертова пространства, A, B - линейные преобразования в нем, получаем

(1.3)

Здесь (Kz)(t)= - самосопряженный линейный оператор, определенный в L₂ .

Необходимым условием того, что z₀ - минимум функционала F₁ (а соответствующее ему значение x₀ - минимум F), является то, что оно обращает уравнение Hz=0 в тождество. Поэтому следует решить уравнение

(I - K₀)z = 0

(I - тождественный оператор, K₀ = n² • K). Это уравнение, очевидно, разрешится неоднозначно, если единица - собственное значение оператора K₀. Найдем теперь такие скорости вращения вала, что собственным числом соответствующего им оператора K₀ будет единица. Тогда, если соответствующее решение будет доставлять минимум функционалу F₁, скорость вращения будет критической.

Отметим, что собственные значения операторов K и K₀ (соответственно l и l₀) находятся во взаимно однозначном соответствии l n² = l₀. Следовательно, для того чтобы l₀=1, необходимо, чтобы l > 0, так как, согласно физическому смыслу задачи, n>0. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Критические частоты вращения вала взаимно однозначно соответствуют положительным собственным значениям оператора K согласно формуле

n----= l₀^-1/2. (1.4)

Пример 1. Рассмотрим частный случай невесомого вала, у которого в точке t--О (0, b) размещена сосредоточенная масса m. Тогда задача (1.2) примет вид

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его спектр состоит из двух чисел, причем ненулевое собственное значение l₀ и критические обороты вала n_кр находятся по формулам

,

.

Достаточное условие отсутствия критических оборотов:

.

Пример 2. Обратимся теперь к другому частному случаю: на валу расположены 2 массы: m₁ - в точке t₁, m₂ - в точке t₂. Функционал (1) имеет вид

при условиях x(0) = x(b) = 0 (t_j О [0, b]).

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его ненулевые собственные значения положительны и определяются выражением

,

(доказательство положительности собственных значений может быть получено при помощи неравенства Гёльдера), а критические обороты вала соответственно

.

Достаточное условие единственности минимума:

.

Пример 3. Наконец, рассмотрим цилиндрический весомый вал с распределением массы; q² = q²(t) - распределение массы. Функционал задачи примет вид

при условиях x(0) = x(b) = 0.

Обозначим j = ||j(·)||, q = ||q(·)|| (норма j вычислена в пространстве L_?, норма q -- в пространстве L₂).

Оператор

имеет невырожденное ядро вида Q*Q, поэтому его спектр здесь не будет точно рассчитываться. Однако оценка числа оборотов вала, при которых система стабильна, может быть получена из условия ||K₀||_S(L2) < 1. Учитывая равенства ||Q|| = ||Q*|| и неравенства ||K₀|| Ј ||Q*|| ·||Q|| и ||Q|| Ј--r(Q), положив r(Q)<1 (что приводит в силу транзитивности отношения частичного порядка к требуемому условию) и переходя в пространство H², получим задачу на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка. Из ее решения имеем оценку:

.

2. Задача о критических оборотах вала, опоры которого расположены в двух его точках, не обязательно на концах

Применим вышеописанную методику для исследования критических скоростей вращения вала, чьи опоры расположены не обязательно на концах. Зададим систему координат так, что левый конец вала соответствует началу координат, правый будет иметь координату b, левая опора - a, правая - b по оси t. Таким образом:

0 ? a < b ? b.

Обозначим за x функцию, выражающую осевую линию вала, тогда, согласно вариационным принципам механики, она доставляет минимум функционалу F из соотношений (1.1) (при условиях x(a) = x(b) = 0 (t О [0, b])).

Решать задачу

Fx > min, x(a) = x(b) = 0 (2.1)

будем методами, разработанными на Пермском семинаре [3]. Будем полагать, что x - элемент пространства H²[0, b] функций, чья первая производная абсолютно непрерывна, вторая производная принадлежит пространству L₂[0, b] функций, суммируемых с квадратом. В качестве модельной задачи возьмем

jx'' = z, x(a) = x(b) = 0.

Ее решением будет

. (2.2)

Здесь G(t,s) - функция Грина задачи x'' = z, x(a) = x(b) = 0 - выражается следующим образом:

(2.3)

Подстановка (2.2) в (2.1) называется W-подстановкой, она приводит к задаче на безусловный минимум в L₂ с функционалом (1.3). Проводя рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем пункте, получим, исходя из исследования необходимого условия на минимум функционала Hz=0, условия l₀ = 1, гарантирующего нарушение единственности минимума, соотношение между критическими скоростями вала n и собственными значениями l оператора K:

n----= l^-1/2,

аналогичное (1.4).

Таким образом, имеет место следующая теорема, аналогичная рассмотренной выше.

Теорема 1*. Критические частоты вращения вала взаимно однозначно соответствуют положительным собственным значениям оператора K.

Пример 1. Рассмотрим частный случай невесомого вала, у которого в точке t--О [0, b] размещена сосредоточенная масса m. Тогда задача (2.1) примет вид

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его собственное значение l и критические обороты вала n_кр соответственно равны

Достаточное условие отсутствия критических оборотов:

.

Представляет интерес частный случай консольного вала, когда одна из опор находится на конце вала, а на другом, ни на что не опирающемся конце расположен груз массой m. Не ограничивая общности, можно считать, что указанная опора находится на левом конце в точке 0, груз - в точке b. Исходный функционал приобретет вид

Решая ту же модельную задачу, что и в общем случае, получим

.

Здесь

- функция Грина задачи x'' = z, x(0)= x(b) = 0.

Оператор K₀ имеет вид

.

Здесь

При n < механическая система, содержащая вал, стабильна (отсутствуют критические обороты).

Пример 2. Обратимся теперь к другому частному случаю: на валу расположены 2 массы: m₁ в точке t₁, m₂ - в точке t₂. Получим цепочку соотношений, аналогичную той, что имелась для подобного случая в предыдущем пункте. Функционал (1) примет вид

при условиях x(a) = x(b) = 0 (t_j О [0, b]).

Оператор K₀ - вырожденный:

.

Его ненулевые собственные значения положительны и определяются выражением

,

Рассмотрим случай, когда на массивный вал с распределением в плотности q²(t) воздействует сосредоточенная (в точке t) нагрузка. Функционал (1) имеет вид

Здесь

Оператор невырожденный, поэтому критические скорости могут быть найдены только приближенно.

При сравнении двух случаев - массивный вал и его замена на немассивный с точечной нагрузкой в точке, соответствующей центру масс первого - находим, что погрешность такой замены может превышать 10%.

3. Многоопорные системы

Будем рассматривать задачу о критических скоростях вращения многоопорного круглого вала, т.е. о таких частотах его вращения, при которых система приходит в неустойчивое состояние.

Пусть вал покоится на N>2 опорах, на двух из них расположены его концы. Зададим систему координат таким образом, что левый конец вала будет соответствовать началу координат, правый - иметь координату b. Координаты опор обозначим через a_i. Не ограничивая общности, будем считать

0 = a₁ < a₂ < … < a_N = b.

Обозначим через x функцию, выражающую осевую линию вала (в качестве x возьмем элемент пространства Hⁿ функций, (n - 1)-я производная которых абсолютно непрерывна, а n-я принадлежит L₂, пространству функций, суммируемых с квадратом), тогда она, согласно вариационным принципам механики, доставит минимум функционалу (при условиях lx = 0):

- для случая, когда массы m_j сосредоточены в точках t_j (дискретный случай),

- для случая массы, распределенной по валу с линейной плотностью q²(t) (непрерывный случай), где j = (E - модуль Юнга материала вала, I - момент инерции его поперечного сечения относительно центра этого сечения), n - частота вращения вала. Граничное условие суть функционал l: Hⁿ > R^N, представимый в виде lx = {l₁x, l₂x, …, l_Nx} = {x(0), x(a₂), … , x(b)} = {0, …, 0}. Исходя из вариационных принципов механики видно, что осевая линия вала - функция, дающая минимум этому функционалу.

Решать задачу

Fx > extr, lx = 0 (3.1)

будем методами, разработанными на Пермском семинаре. Наиболее подходящим является метод двойной W-подстановки. Положим, что x - элемент H²[0, b]-пространства дважды абсолютно непрерывных функций, вторая производная которых принадлежит L₂[0, b]. В качестве вспомогательной задачи возьмем

jx'' = z, x(0) = x(b) = 0. (3.2)

Ее решение описано выше. Подставим его в выражение для F, получим функционал в L₂:

,

- в дискретном и непрерывном случае соответственно.

Используя для каждого слагаемого в F₁ формулу, устанавливающую равенство скалярного произведения двух элементов гильбертова пространства, выражающихся с помощью линейных операторов, (Ax, By) = (B*Ax, y) (B* - сопряженный к B оператор), находим

(3.3)

Здесь K - самосопряженный линейный оператор соответственно для дискретного и непрерывного случая:

,

Функционал (3.3) поглотил два краевых условия. Оставшиеся в пространстве L₂ обретут вид

, i = 2, … , N-1. (3.4)

Используя теорему Рисса [5], найдем, что функционалу l'_i взаимно однозначно соответствует элемент L₂ такой, что l_(i)(s) = G(a_i, s)/j(s). Следовательно, решение z должно быть ортогонально этому элементу, а поскольку это верно для любого i = , оно ортогонально линейной оболочке элементов l_(i) (обозначим ее Y). Проектор на ортогональное дополнение Y^{^} к этому подпространству задается следующим образом:

y(t) = = ((I-P)z)(t).

Здесь m_ij - элементы матрицы, обратной матрице скалярных произведений {(l_{(i )}, l_{(j )})}.

Данное выражение и есть вторая W-подстановка, сводящая задачу в подпространство L₂, с тем лишь отличием, что проектор применяется к H, а не H применяется к нему.

Нам следует исследовать оператор Ay = (I-P)Hz = [I - (I-P)K₀]z : Y^{^}>Y^{^} Поскольку P - проектор на Y, то PI есть нулевой элемент в пространстве Y^?.. Необходимым условием минимума F₁ является Ay = 0. Это - уравнение Фредгольма второго рода, следовательно, если единица - собственное значение l' оператора (I - P)K₀, оно разрешится неоднозначно. Значит, функционал F будет иметь неединственный минимум. Соответствующее собственному значению l' значение скорости вращения вала получается из выражения

n = l^-1/2,

где l - собственное значение оператора (I - P)K.

Таким образом, доказана теорема 1**.

Теорема 1**. Собственные значения оператора A однозначно определяют критические обороты вала.

Для примера рассмотрим вал, размещающийся на трех опорах, на двух из которых расположены его концы (дискретный случай). Поместим левый конец вала в точку, соответствующую началу координат, правый будет иметь координату b. Третья опора - в точке a О (0, b). Тогда функционал F имеет вид

при условиях x(0) = x(a) = x(b) = 0.

Решим задачу

Fx > extr, x(0) = x(a) = x(b) = 0

по вышеприведенной схеме.

Первая фаза решения такая же, как и в общем случае. В качестве вспомогательной задачи берем (3.2), ее решением будет (1.2); после подстановки этого решения в F и в оставшееся краевое условие получим задачу в L₂, где соответствующий оператор F₁ будет иметь вид (3.3), а оставшееся условие связи (3.4) перепишется в виде

,(3.5)

функционалу l₃' взаимно однозначно соответствует элемент L₂ l₍₃₎(s) = G(a,s)/j(s). Следовательно, решение должно быть ортогонально этому элементу. Проектор на ортогональное дополнение к этому элементу задается следующим образом:

y(t) == ((I-P)z)(t).

Нам следует исследовать оператор A = (I-P)Hz = I - (I-P)K₀ : Y^{^}>Y^{^}. Собственные значения оператора

где (Q_j z)(t) = , определяют критические обороты вала.

Для трехопорного вала можно использовать и другой метод решения при некоторых ограничениях.

Решать задачу

Fx > extr, x(0) = x(a) = x(b) = 0

будем следующим образом. Положим, что x - элемент H³[0, b] - пространства трижды абсолютно непрерывных функций, третья производная которых принадлежит L₂[0, b]. Проводя вышеописанные манипуляции с первой W-подстановкой, мы переведем задачу в H¹ с функционалом (3.3) и краевым условием (3.5).

В качестве второй вспомогательной задачи возьмем

z' = w, = 0, z О L₂.

Ее решением будет

z(t) (L₂w)(t) = ,

где s, t О [a, b],

- функция Грина второй вспомогательной задачи (здесь w О L₂).

Таким образом, рассматриваемый функционал приобретает вид

(здесь (R_jw)(t) = m (L₁ L₂ w)²(t_j)/b - линейные преобразования L₂[0, b]). Применяя к F₂ формулу для скалярного произведения элементов гильбертова пространства, выражающихся с помощью линейных операторов A и B (Ax, By) = (B*Ax, y), имеем

Здесь - самосопряженный линейный оператор, определённый в L₂.

В монографии [4] установлено, что уравнение Нw = 0 является необходимым условием того, что его решение - минимум функционала F₂, а его минимумы взаимно однозначно соответствуют минимумам функционала F. Поэтому необходимо решить уравнение (I - K₀)w = 0.

Оно, очевидно, разрешится неоднозначно, если единица - собственное значение оператора K₀ = I - H. Так как собственное число последнего зависит только от частоты вращения вала, то, приравняв его единице, мы найдём критические частоты.

Следовательно, критические скорости вращения вала взаимно однозначно соответствуют собственным значениям оператора K₀.

С формальной точки зрения уравнение Hw = 0 ((I-K₀)w = 0) - уравнение первого рода. Для его решения проводилась регуляризация.

4. Интегральные неравенства

Рассмотрим канонический функционал

Fx=

и задачу Fx > min, lx = 0 (l: Hⁿ > Rⁿ).

Минимум, если он существует, достигается на функции y(t) ? 0. Путем W-подстановки решаем задачу отысканием безусловного минимума в L₂ у следующего функционала:

F₁z = .

Тогда для функций x, удовлетворяющих краевым условиям lx =0, должно выполняться неравенство

? .

Это неравенство позволяет получить множество интегральных неравенств.

Для получения "неулучшаемых" неравенств следует иметь в виду, что для самосопряженного оператора K норма оператора равна его спектральному радиусу и оценка ||K||<1 необходима и достаточна для существования минимума.

В качестве примера рассмотрим неравенство Виртингера:

(4.1)

при условии = 0.

Здесь x О H¹, пространству функций, чья первая производная принадлежит L₂, пространству функций, суммируемых с квадратом.

Преобразуем неравенство к виду

? 0

и рассмотрим следующую вариационную задачу:

,

.(4.2)

Вариационную задачу (4.2) будем решать методом W-подстановки, разработанным Пермским семинаром. В качестве модельной задачи возьмем x' = z c условием исходной задачи, где zОL₂. Ее решением будет

x(t) = (Lz)(t) = .

Это выражение и есть W-подстановка. Здесь G(t, s) - функция Грина модельной задачи:

G(t, s) =

Совершив W-подстановку, мы получим задачу на безусловный минимум в пространстве L₂:

F₁z--=-->--min.

Применив ко второму слагаемому формулу (Ax, By) = (B*Ax, y), где B* - сопряженный к B оператор, получим

F₁z ==> min.

С целью доказательства исследуется более общая задача:

> min, =0,

где p(t) - суммируемая на [a,b] функция. Получив условия разрешимости этой задачи, можно проверить их для случая (1) и, таким образом, получить доказательство неравенства Виртингера. После редукции задачи (2) к задаче на безусловный экстремум в пространстве L₂ с помощью W-подстановки получаем

Fz = > min,

где - оператор умножения на p: (y)(t) = p(t) y(t).

Достаточным условием разрешимости этой задачи является неравенство ||G*G||?1. Используя свойства оператора G*, можно убедиться, что это неравенство сводится к неравенству

l_max<1, (4.3)

где l_max -- максимальное собственное значение задачи для дифференциального уравнения второго порядка: z"(t) = -z(t), z(a) = z(b) = 0.

Решая эту задачу на определение собственных значений, найдем l_max = -p. Следовательно,

и справедливо неравенство

.

Поскольку это числовое неравенство, при устремлении e > 0 получим

.

5. Зависимость параметра квадратичной вариационной задачи от числа краевых условий

Пусть имеется стержень длиной b, на один из концов которого вдоль стержня действует сила P, функция x, выражающая осевую линию стержня, доставляет согласно вариационному принципу механики минимум функционалу

Fx = ,

x(0) = x(b) = 0,

где j = E - модуль упругости,--j(t) - кусочно абсолютно непрерывная функция, j >d >0, j--О L₂, |j(t)|<?, E - модуль Юнга материала вала, - момент инерции его поперечного сечения относительно центра стержня. Будем полагать x О H².

Решать задачу будем методами Пермского семинара. В качестве модельной задачи возьмём (zОL₂)

x''(t) = z(t), x(0) = x(b) = 0.

Ее решение имеет вид

x(t) (Lz)(t) = .

Здесь G - функция Грина задачи x''(t) = z(t), x(0) = x(b) = 0 - имеет вид

G(t, s) = t, s О [0, b].

Осуществив W-подстановку, имеем задачу в пространстве L₂

,

G₁(t, s) = t, s О [0, b].

Применив равенство (Ax, By) = (B*Ax, y), получим F₁z = =.

Здесь оператор K имеет вид

(Kz)(t) = =(PK' z)(t).

Условие || K || < 1 гарантирует устойчивость стержня. Следовательно, критическая сила сжатия двухопорного стержня удовлетворяет условию P₀ > .

Пусть теперь мы имеем трехопорный стержень, дополнительное условие связи x(a) = 0 (a О--[0, b]) для исходного функционала и

l₍₃₎z = = 0 для F₁.

Применим метод двойной W-подстановки. Через l₃ обозначим ядро оператора l₍₃₎. Имеем ортогональный проектор на подпространство Y, определяемое функцией l₃(s),

.

Очевидно, из вида оператора R, ||R|| ? 1, следовательно, так как (I-R) является ортогональным проектором (на ортогональное дополнение Y), то ||I-R|| ? 1. Оператор H₃ для трёхопорного стержня выглядит так:

H₃ = (I-R)H = I - (I-R)K.

Оператор K, который требуется исследовать, имеет следующий вид:

K₃ = (I-R)K.

Используя свойства линейных операторов и вышеприведенное соображение, получаем вариационный вал квадратичный задача

|| K₃ || ? || I-R|| ||K || ? || K ||.

Следовательно, если ||K||?1, то и ||K₃|| ? 1. Пользуясь видом оператора K и линейностью проектора, имеем

K₃ = P K₃', где K₃' = (I-P)K'.

Из неравенства ||K₃|| ? ||K|| получим, что критическая сила трехопорного вала P₃₀ ? P₀.

В N-опорном случае мы получаем несколько дополнительных условий в пространстве L₂ c ядрами интегральных операторов l_i, i = 3, …, N. Проектор на их линейную оболочку имеет вид

(Rz)(t) = .

Здесь m_ij - элементы матрицы, обратной матрице скалярных произведений {(l_{(i )}, l_(j))}. Следует добавлять по одному условию, при этом согласно вышеприведенным рассуждениям получим на каждом шаге

P_{i+1 0} ? P_{i 0} .

Тем самым доказано, что при увеличении числа краевых условий критическое значение параметра увеличивается.

Список литературы

1. Цалюк В.З. Решение задачи об устойчивости стойки c несколькими дополнительными опорами // fde-perm.livejournal.com 2009.

2. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Ч.1. М., 1976. 608 с.

3. Азбелев Н.В., Култышев С.Ю., Цалюк В.З. Функционально-дифференциальные уравнения и вариационные задачи. М., Ижевск: РХД, 2006. 122 с.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений / Ин-т компьютерных исследований. М., 2002. 384 с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

Размещено на Allbest.ru