С. В. Поляков

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика. Механика. Информатика Вып. 1(5)

4

Ярославский государственный университет

О тензорных квадратах неприводимых представлений почти простых групп с цоколем, изоморфным L₂(q)

Математика

УДК 512.54

С. В. Поляков SVPUniyar@yandex.ru; 8(920)130-04-20

Россия, 150000, Ярославль, ул. Советская, 14

Аннотации

Доказано, что среди почти простых групп с цоколем, изоморфным группе L₂(q), только группы PGL₂(q) обладают тем свойством, что квадрат любого их неприводимого представления разлагается в сумму остальных неприводимых представлений с кратностями, не превосходящими двух.

Ключевые слова: группа; почти простые; представление.

On tensor squares of irreducible representations of almost simple groups with socle L₂(q)

S. V. Polyakov

Yaroslavl State University, Russia, 150000, Yaroslavl, Sovetskaya st., 14

SVPUniyar@yandex.ru; 8(920)130-04-20

It's proved in this work than among all almost simple groups with socle PSL₂(q), only in group PGL₂(q) tensor square of any it's irreducible representation is decomposed into the sum of all irreducible representation with multiplicities not bigger than two.

Key words: group; almost simple; representation.

Введение

Определение. Конечная группа называется SM_r-группой, если квадрат любого ее неприводимого представления разлагается в сумму остальных неприводимых представлений с кратностями, не превосходящими r.

В работе исследуются почти простые группы с цоколем L₂(q) на принадлежность к классу SM₂-групп.

Напомним, что почти простой группой называется такая группа G, что L? G ? Aut(L), где L - простая группа. Мы будем рассматривать простые группы .

Основной результат работы

Теорема. Пусть G - почти простая SM₂-группа с цоколем, изоморфным группе L₂(q), q ? 4. Тогда

Доказательство теоремы будет разбито на несколько лемм. Для доказательства нам также понадобятся результаты, касающиеся характеров групп L₂(q) и PGL₂(q), а также одна из основных теорем теории Клиффорда.

Утверждение 1. Пусть K - нормальная подгруппа конечной группы X с разрешимой фактор-группой X/K и пусть ш - неприводимый характер K. Тогда , где , e_i делят |I_X(ш)/K|, , где ш_j - сопряженные характеры к характеру ш = ш₁, l = |X : I_X(ш)| и . Если и [ч|_K, ш] ? 0, то ч = ч_i для некоторого i ? s.

Доказательство. См. [4], гл. 6.

Утверждение 2. (Закон взаимности Фробениуса). Для любых характеров ч группы G и и ее подгруппы H справедливо равенство

.

Доказательство. См. [6], теор. 15, стр.74.

Утверждение 3. 1) Пусть ц_i - неприводимый характер группы PGL₂(q) (q нечетно) степени q+1, 1 ? i ? (q-5)/4 и D - подгруппа индекса 2 в PGL₂(q) (изоморфная L₂(q)). Тогда ц_i|_D - неприводимый характер группы D.

2) Пусть г - автоморфизм группы PGL₂(q), индуцированный автоморфизмом поля , и q ? 4, 5 или 9. Тогда г имеет точную орбиту на множестве характеров группы L₂(q) со степенью q+1.

Доказательство. См. [3], лемма 20, стр. 27.

Характеры групп L₂(q) и PGL₂(q)

Приведем таблицы характеров групп L₂(q) и PGL₂(q), их можно найти, например, в [1] и [2], стр. 259-263.

Рассмотрим характер группы У группы L имеется единственный линейный характер 1_G. Кроме того, есть характер Стейнберга St степени q. Семейство характеров ц_i состоит из (q-2)/2 характеров степени q+1, а семейство характеров ж_j степени q-1 состоит из q/2 характеров. При этом размеры классов сопряженных элементов следующие: |u^G| = q²-1, |(a^r)^G| = q(q+1), r пробегает целые значения от 1 до q/2-1, (b^s)^G | = q(q-1), s пробегает целые значения от 1 до q/2.

Таблица 1. Таблица характеров группы

	1	u	a	B
1	1	1	1	1
St	q	0	1	-1
		1		0
		1	0

Примечание: б - корень степени q-1 из единицы, в - корень степени q+1 из единицы.

Нам понадобятся значения двух неприводимых характеров группы L₂(q) для нечетных q (табл. 2). При q = 4k+1 размеры классов сопряженных элементов у a^r следующие: |u^G| = |v^G| = (q²-1)/2, при 1 ? r ? k-1 размер |(a^r)^G| = q(q+1), а |(a^k)^G| = q(q+1)/2. Если q = 4k+3, то размеры классов сопряженных элементов a^r, 1 ? r ? k равны |(a^r)^G| = q(q+1). Порядки |u^G| и |v^G| такие же, как и в случае q = 4k+1. скалярный кратность сумма

Таблица 2. Фрагмент таблицы характеров группы L₂(q), q=4k+1

	1	u	v	a	b
St	q	0	0	1	-1
		1	1		0

Примечание: порядок б равен (q-1)/2.

Отдельно рассмотрим таблицу характеров группы PGL₂(q) для нечетного q = 2k +1. В таблице имеются два характера степени 1: главный характер и характер Sgn. Кроме того, есть характер Стейнберга St и характер SgnSt степени q. Семейство характеров ц_i состоит из (q-3)/2 характеров степени q+1, а семейство характеров ж_j, каждый степени q-1, состоит из (q-1)/2 характеров. При этом размеры классов сопряженных элементов |u^G | = q²-1,

|(a^r)^G| = q(q+1), 1 ? r ? (q-3)/2,

|(b^s)^G| = q(q-1), 1 ? s ? (q-1)/2,

|(z-)^G| = q(q+1)/2, |(z₊)^G| = q(q-1)/2.

Таблица 3. Таблица характеров группы PGL₂(q), q-нечетное

	1	u	ar	z-	b	z+
1	1	1	1	1	1	1
Sgn	1	1
St	q	0	1	1	-1	-1
SgnSt	q	0
		1			0	0
		-1	0	0

Примечание: б - корень степени q-1 из единицы, в - корень степени q+1 из единицы.

Доказательство теоремы

Лемма 1. Группа является SM₂-группой.

Доказательство. Заметим вначале, что при четных значениях q группа L₂(q) изоморфна PGL₂(q), так что утверждение леммы верно и для нее.

Чтобы выяснить, с какой кратностью неприводимый характер ч входит в разложение характера ш², вычислим скалярные произведения [ш², ч] для каждой из таких пар.

При подсчете скалярных произведений нам понадобятся суммы значений е_i(r) и д_j(s). При 1 ? r ? q/2-1 a^ir и a-^ir пробегают все возможные значения степеней, за исключением a⁰ и a^q-¹, поэтому сумма Аналогично получаем, что Для дальнейшего использования посчитаем

;

Таким же образом будем вычислять суммы в доказательстве остальных лемм.

Рассмотрим необходимые скалярные произведения:

,

,

,

,

.

Осталось рассмотреть еще два скалярных произведения: [ц_i², ц_k] и [ж_i², ж_l].

,

Где

Если 2i+k = q-1 или 2i+k = q-1, то

и тогда [ц_i²,ц_k] = 2. Если же 2i ± k ? q-1, то S³ = -4, и в этом случае [ц_i², ц_k] = 1.

Теперь рассмотрим скалярное произведение [ж_i², ж_l]:

Где

Действуя аналогичным образом, получаем, что при 2i ± k = q-1, T³ = 3-q и [ж_i², ж_l] = 0. В остальных случаях T³ = -4 и [ж_i², ж_l] = 1.

Как мы видим, наибольшее значение скалярного произведения будет равно 2. Это и доказывает лемму.

Лемма 2. Группа L₂(q) для нечетных q не является SM₂-группой.

Доказательство. Заметим, что в случае нечетного q порядок L₂(q) равен q(q²-1)/2.

Пусть q = 4k+1. Обратившись к таблице 2, вычислим

где

а поскольку порядок б равен (q-1)/2 = 2k, то

Отсюда 2S+T = q-5 и [ц_i², St] = 3.

Если q = 4k+3, то получаем

где а значит, [ц_i², St] = 3.

Мы получили, что в группе G существует пара характеров ц_i и St таких, что кратность вхождения характера St в ц_i² равна 3. То есть группа L₂(q) для нечетных q не является SM₂-группой. Лемма доказана.

Лемма 3. Группа PGL₂(q) - SM₂-группа.

Доказательство. Если q - четное, то и, следовательно, является SM₂-группой.

Пусть q = 2m+1, тогда (q-1)/2 = m, а (q-3)/2 = m-1. Обратимся к таблице 3 и вычислим необходимые скалярные произведения.

Для дальнейших вычислений понадобятся значения . Несложно убедиться, что S = T = 0, если i, j нечетные и S = -2, а T = 2 при четных i и j.

Нам также понадобятся значения

Вычислим скалярные произведения

и

Далее,

Несложно увидеть, что и для четного и для нечетного i [St², ц_i] = (q-1)/(q-1) = 1.

Также при любом j получаем [St², ц_i] = 1,

где

При q = 4k+1 получаем I = -1, J = 0 и

При q = 4k+3 получаем I = 0, J = 1 и

Рассмотрим скалярное произведение

где

Если 2i+k = q-1 или 2i-k = q-1, то

а и тогда S³ = q-9.

Значит, [ц_i², ц_k] = (q+q-9+7)/(q-1) = 2.

Если же 2i ± k ? q-1, то S³ = -8, и в этом случае [ц_i², ц_k] = (q-8+7)/(q-1) = 1.

Теперь рассмотрим

Где

Действуя аналогичным образом, получаем T³ = 7-q при 2j+l = q-1 или 2j-l = q-1, что дает [ж_i², ж₁] = 0. Для четных l в остальных случаях T³ = 8, а если l нечетное, то T³ = 0. Несложно убедиться, что при таких T³ значение [ж_i², ж₁] = 1.

Осталось рассмотреть два скалярных произведения: [ц_i²,St] и [ж_i²,St].

Где

Поскольку б - элемент порядка q-1, то (-1)^r = б^r(q-^1)/2 = б-^r(q-^1)/2, откуда

Если q = 4k+3, то S₁² = 0. Если же q = 4k+1, то S₁² = -4. В каждом из этих случаев получаем [ц_i², SgnSt] = 1.

где

Поскольку в - элемент порядка q+1, то

(-1)^s = в^s(q+1)/2 = в ^-s(q+1)/2, откуда

Если q = 4k+1, то T₁² = 0. Если же q = = 4k+3, то T₁² = 4. В каждом из этих случаев получаем [ж_i², SgnSt] = 1. Лемма доказана.

Мы убедились, что среди групп L₂(q) и PGL₂(q) SM₂-группой будет только PGL₂(q).

Наша задача теперь - доказать, что среди остальных почти простых групп с цоколем L₂(q) не существует других SM₂-групп.

Заметим, что если q - нечетное простое число, то единственной почти простой группой кроме L₂(q) будет PGL₂(q), что и доказывает теорему.

Пусть q = p^t, где p - нечетное простое число, и

Из утверждения 3 следует, что для любого автоморфизма г порядка e группы L₂(q), индуцированного автоморфизмом поля , в группе L найдутся e неприводимых сопряженных характеров ц_i степени q+1 таких, что группа PGL₂(q) будет группой инерции для каждого из них.

Пусть . Автоморфизм г имеет точную орбиту на множестве характеров ц_i, следовательно, по утверждению 1, ц_i^G = ч, где ч - неприводимый характер группы G степени (q+1)e.

Пусть теперь . Рассуждая таким же образом, мы получаем, что в группе G найдется неприводимый характер ч степени (q+1)e такой, что ч = ц_i^G, где ц_i Irr(PGL₂(q)) - сопряженные характеры степени (q+1).

Если q = 2^t, то . Рассуждения здесь аналогичны тем, что приведены выше.

Выясним, с какой кратностью характер ч входит в разложение ч². Для этого рассмотрим скалярное произведение [ч², ч] = [ч², ц_i^G]. По теореме взаимности Фробениуса и утверждению 1 находим

.

Для оценки числа значения [ч², ч] мы будем вычислять значения [ц_i², ц₁] для группы L, где или PGL₂(q).

Утверждение 3 не верно, когда q = 4, 5 или 9, поскольку у групп L₂(4) и L₂(9) неприводимый характер степени q+1 всего один, а у группы L₂(5) такого характера нет.

Известно, что , поэтому единственной почти простой группой кроме L₂(5) здесь будет только группа PGL₂(5).

Доказательство теоремы для группы L₂(9) будет рассмотрено в конце работы.

Лемма 4. Пусть Тогда G не является SM₂-группой.

Доказательство. Вычислим значение [ц_i², ц₁], пользуясь таблицей 1:

[ц_i², ц₁] = (q+3+S)/(q-1),

Где

Рассмотрим ситуацию, когда 2i+1 = q-1 или 2i-1 = q-1. В первом случае i = (q-2)/2, а -i = = q-1-i = q/2. Если же 2i-1 = q-1, то i = q/2, а-i = q-1-i = (q-2)/2. То есть такая ситуация возможна только в одном случае, когда i = q/2. Тогда

и [ц_i²,ц₁] = (q+3+q-5)/(q-1) = 2.

Если же i не равно ± q/2, то S³ = -4, и тогда [ц_i², ц₁] = (q-3+4)/(q-1) = 1.

Таким образом, одно из слагаемых в сумме равно 2, а остальные e-1 равны 1, следовательно, значение суммы равно e+1. Заметим, что e+1 > 2, т. е. G - как минимум, SM₃-группа. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть q = p^t. Тогда G не является SM₂-группой.

Доказательство. Вычислим значение [ц_i²,ц₁], пользуясь таблицей 3:

[ц_i², ц₁] = (q+S₁-1)/(q-1),

где

Поскольку числа 2i+1, 2i-1, 1 нечетные, то каждая из трех сумм будет равна 0, и тогда [ц_i²,ц₁]=1.

Таким образом, сумма что при e > 2 доказывает лемму.

Пусть теперь e = 2. Тогда

[(ц₁₊ц₂)², ц₁] = [ц₁², ц₁]+[ц₂², ц₁]+2[ц₁ц₂, ц₁].

Значение [ц₁ц₂, ц₁] определяется так же, как и ранее:

[ц₁ц₂, ц₁] = (q+S₁-1)/(q-1),

Где

Характеры ц₁ и ц₂ сопряжены, поэтому i = p. По условию леммы p - нечетное число, поэтому S₁ = 0 и, следовательно, [ц₁ц₂, ц₁] = 1.

Мы получили, что скалярное произведение [ч², ц_i^G] = 4, то есть G не является SM₂-группой. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть где q - нечетное. Тогда G не является SM₂-группой.

Доказательство. Пусть q = 4k+1. Вычислим значение [ц_i², ц₁], пользуясь табл. 2:

где

Порядок б равен (q-1)/2 = 2k, поэтому б^k = -1, следовательно, е_t(k) = -1 для t ? (q - 1)/2. Если 2i+1 = (q-1)/2, то i = (q-3)/4 = k-1/2, что невозможно. Если 2i-1 = (q-1)/2, то i = k+1/2, что также невозможно.

Таким образом, T = -8, а S₁ = 0, и тогда

Мы получили, что все слагаемые в сумме равны 2, следовательно, значение суммы равно 2e > 2.

Пусть теперь q = 4k+3. Тогда

где .

Значит, [ц_i², ц₁] = (q-1)/((q-1)/2) = 2, и тогда сумма , т.е. G, как минимум, SM₃-группа. Лемма доказана.

Пусть теперь . Докажем, что ни одна группа G, L < G ? Aut(L) не является SM₂ -группой.

Мы будем использовать систему компьютерной алгебры GAP [5]. Если , то G может быть одной из групп: M₁₀, S₆, PГL₂(9), PGL₂(9). Вычислив в GAP по таблице характеров этих групп скалярные произведения [ч², ч], где ч - неприводимый характер максимальной степени группы G, мы получили, что M₁₀ - SM₅, S₆ - SM₅, PГL₂(9) - SM₄-группа. Группа PGL₂(9), как уже было показано, является SM₂-группой.

Список литературы

1. Bierbrauer J. The uniformly 3-homogeneous subsets in PGL₂(q), J. Algebraic Combinatoric, 4 (1995). P.99-102.

2. Белоногов В.А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990.

3. Казарин Л.С., Янишевский В.В. О конечных просто приводимых группах // Алгебра и анализ. 2007. Т.19, № 6. С.86-116.

4. Isaacs I.M. Character theory of finite groups. N.Y.: Acad. Press, 1976.

5. The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10, Aachen, St. Andrews, 2008; http://www.gap-system.org.

6. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. М.: Наука, 1976.

Размещено на Allbest.ru