О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств

В.Л. Чечулин

Аннотация

Описано свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств: если самопринадлежащее множество принадлежит некоторому второму множеству, то и все объекты, принадлежащие этому самопринадлежащему множеству, тоже принадлежат второму множеству. Это свойство используется для доказательства непротиворечивости теории множеств.

Ключевые слова: множества с самопринадлежностью; отношение принадлежности; транзитивность принадлежности; диалектика единого и многого.

Введение© Чечулин В.Л., 2012

Свойства множеств с самопринадлежностью описаны ранее в работах [1, 2]. Очевидно вытекающее из диалектики единого и многого свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств требует более подробного описания.

Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью.

1. Алгебра скобок единого и многого

Диалектика единого и многого, являющаяся основанием рассуждения о множествах, указана в табл. 1, 2 [1, 2].

Единое, многое и едино-многое в их комбинациях образуют формально выразимую алгебру скобок [.] и {.}, описанную в левом столбце табл. 1.

Пусть множество А самопринадлежаще, АА, и пусть А принадлежит В, АВ, тогда в записи посредством скобок:

В = {… [А]} = (раскрытие квадратных скобок, табл. 1) = {… А} = (замена самопринадлежащего А его содержимым А={… А}) =

= {… {ai … А}} Где а_iA. = (раскрытие скобок {.}, "многое во многом есть многое") =

= {…, ai, … А}}.

Пример. А={a, b, A}, B={c, d, A}. Тогда B = {c, d, A} = (замена А={… А}) =

= {c, d, {a, b, A}} = (раскрытие скобок) =

= {c, d, a, b, A} = (те же замены, что и ранее) =

= {c, d, a, b, a, b, A} = (вычёркивание повторений) = {c, d, a, b, A}.

Таблица 1. Диалектика единого и многого

Таблица 2. Отношение части и целого

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 1 (О транзитивности принадлежности). Объекты, принадлежащие самопринадлежащему объекту А, который принадлежит В, принадлежат объекту В.

АА, АВ аiA аiB.

2. Приложение к доказательству непротиворечивости

Теорема 2 (О недополнимости объекта в М). М - множество всех множеств. Для любого существующего объекта в М не существует дополнения. множество транзитивность теорема

Доказательство. Пусть А - объект, АМ, возможны случаи:

1. А = , тогда А - не объект ( означает несуществование, но не существующий объект).

2. А и МА. Попытаемся построить дополнение В к А в М, т. е. попытаемся собрать все объекты, не принадлежащие, "внешние" по отношению к А, в одно множество В. В = {[х]М | х или хА}.

МА значит МВ, т. е. по теореме 1 (о транзитивности принадлежности) В = М и АВ. Дополнение "поглощает" дополняемый объект. Попытка неудачна. Утверждение теоремы доказано.

3. А = М, очевидно,

В = {[х]М | х или хА} = , что означает не существование дополнения к М в М.

Следствие. Множество всех объектов М невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся объектов. М неделимо на части. ?

Теорема 3 (О непротиворечивости). Пусть М - множество всех множеств. Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты, - непротиворечива.

Доказательство.

Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме 2 (о недополнимости) это невозможно, следовательно высказывания об объектах из М непротиворечивы. ?

Заключение

Таким образом, транзитивность принадлежности для самопринадлежащих множеств основывается на содержательной диалектике единого и многого (алгебре скобок единого и многого). Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств Автор благодарит за конструктивное обсуждение содержания статьи А.А.Волочкова..

Список литературы

1. Чечулин В.Л. О множествах с самопринадлежностью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. C. 133-138.

2. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Пермь, 2010. 100 с.

Размещено на Allbest.ru