Локально конечные непримарные группы с заданными ограничениями на пересечения неинвариантных подгрупп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Локально конечные непримарные группы с заданными ограничениями на пересечения неинвариантных подгрупп

С.И. Фаерштейн

И.С. Фаерштейн

Аннотация

Описываются все локально конечные непримарные группы, в которых пересечение всех неинвариантных подгрупп совпадает с единичной подгруппой, а пересечение всех неинвариантных подгрупп каждой собственной недедекиндовой подгруппы отлично от единичной подгруппы.

Ключевые слова: непримарные группы; пересечения неинвариантных подгрупп. непримарный единичный пересечение

© Фаерштейн С.И., Фаерштейн И.С., 2012Определение 1. НП-группой называется недедекиндова группа, в которой пересечение всех неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы.

Определение 2. -группой называется недедекиндова группа, в которой пересечение всех неинвариантных подгрупп совпадает с единичной подгруппой, а пересечение всех неинвариантных подгрупп каждой собственной недедекиндовой подгруппы отлично от единичной подгруппы.

Отметим, что все конечные НП-группы описаны в работе [1], все непериодические НП-группы - в работе [2], все 2-группы, являющиеся -группами, - в [3]. Поскольку для конечных НП-групп не существует, то p-группы (), являющиеся -группами, исчерпываются p-группами Миллера - Морено ().

Через обозначается число простых делителей порядка группы G. Остальные обозначения стандартны.

Лемма 1. Во всякой -группе имеется система образующих, состоящая из четырех элементов.

Доказательство. Пусть G - -группа и - такие ее неинвариантные циклические подгруппы, что . Пусть также и - такие элементы группы G, что , а . Рассмотрим подгруппу . Ясно, что и . Поскольку , то не является НП-группой, и, значит, . Лемма доказана.

Следствие. Всякая локально конечная -группа конечна.

Лемма 2. Пусть G - конечная непримарная -группа. Тогда:

1) в G имеется инвариантная силовская подгруппа;

2) . Если , то число инвариантных силовских подгрупп группы G равно двум.

Доказательство. Из [1] следует, что всякая конечная -группа сверхразрешима. Поэтому всякая истинная подгруппа группы G сверхразрешима. Согласно работе [4] всякая конечная группа, все истинные подгруппы которой сверхразрешимы, разрешима. Следовательно, группа G разрешима. Поэтому в ней имеется инвариантная подгруппа A простого индекса. Поскольку индекс является простым числом, то в A содержатся такие силовские подгруппы группы G, что у любых двух из них порядки взаимно простые. Так как подгруппа A либо дедекиндова, либо является НП-группой, то, следовательно, в A содержится не менее чем силовских подгрупп группы G, каждая из которых инвариантна в A. Поскольку подгруппа , то все ее инвариантные силовские подгруппы инвариантны также и в G. Поэтому в G имеется не менее чем инвариантных силовских подгрупп. Таким образом, если , то пункт 1 доказан.

Пусть .

Предположим, что в G нет инвариантной силовской подгруппы. Тогда силовская подгруппа P группы G, содержащаяся в A, в A неинвариантна. В силу того что - НП-группа и , каждая циклическая подгруппа из R инвариантная в A. Поскольку группа автоморфизмов всякой циклической 2-группы является 2-группой и , то R не является 2-группой. Поэтому согласно [1] силовская подгруппа T группы G, содержащая R, не является НП-группой и, значит, T - абелева группа. Рассмотрим . Поскольку и , то из [5] следует, что . Поэтому найдется элемент . Так как, согласно сделанному предположению, в G нет инвариантных силовских подгрупп, то подгруппа является НП-группой. Поэтому в ней инвариантна каждая циклическая подгруппа из T. Отсюда и из описания групп с циклическими силовскими подгруппами [5] вытекает, что каждая циклическая подгруппа из T порождается коммутатором. Следовательно, . Так как , , то . Однако это невозможно, так как по выбору группы A и фактор-группа абелева, и, значит . Таким образом, предположение о том, что в G нет инвариантной силовской подгруппы, приводит к противоречию и, следовательно, неверно. Пункт 1 леммы доказан.

Предположим, что в G имеются три инвариантные силовские подгруппы - . Согласно теореме Шура [6] подгруппа дополняема в G, т.е. .

В подгруппе R имеется неинвариантная в G циклическая подгруппа. Действительно, подгруппа является либо дедекиндовой группой, либо НП-группой. Поэтому если бы каждая циклическая подгруппа из R была инвариантной в G, то группа G являлась бы либо дедекиндовой группой, либо НП-группой. Это противоречило бы выбору группы G.

Обозначим через некоторую неинвариантную в G циклическую подгруппу из R, а через - некоторую неинвариантную в G циклическую подгруппу, имеющую с тривиальное пересечение. Поскольку каждая из подгрупп либо дедекиндова, либо является НП-группой, то, согласно [1], . Отсюда вытекает, что для любого элемента . Поэтому подгруппа принадлежит либо R, либо, без ограничения общности, . Пусть и . Легко проверить, что среди групп и найдутся такие две подгруппы, скажем и , что и . Очевидно, что

Но тогда подгруппа не является НП-группой, вопреки выбору группы G. Следовательно, сделанное нами предположение о существовании в группе G трех инвариантных силовских подгрупп неверно.

Таким образом, в G имеется не более двух инвариантных силовских подгрупп.

Итак, с одной стороны, в группе G имеется не более двух инвариантных силовских подгрупп, а с другой стороны, как отмечено при доказательстве пункта 1 леммы, в G имеется не менее чем инвариантных силовских подгрупп. Отсюда вытекает, что и, причем, если , то число инвариантных силовских подгрупп группы G равно двум. Лемма доказана.

Теорема 1. Локально конечные непримарные -группы исчерпываются группами следующих типов:

, где P - нециклическая элементарная абелева p-группа, являющаяся нормальным делителем группы G, :

;

, для любого элемента

;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. :

;

;

8. ;

9. .

Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что каждая из групп, указанных в условии теоремы, является -группой. Поэтому в доказательстве нуждается лишь необходимость условий теоремы.

Пусть G - произвольная непримарная локально конечная -группа. В силу следствия из леммы 1 G - конечная группа. Будем различать три случая.

Случай I.

Согласно пункту 1 леммы 2 в группе G имеется инвариантная силовская p-подгруппа. Обозначим ее через P. Пусть T - неинвариантная силовская q-подгруппа группы G. Рассмотрим две имеющиеся возможности.

В P имеется циклическая подгруппа , нормализатор которой не содержит T.

Здесь также имеются две возможности.

P - абелева группа.

Покажем, что P - элементарная абелева подгруппа. Пусть b - произвольный элемент из T, не содержащийся в . Так как и , то . Отсюда и из того, что P порождается всеми элементами группы G, сопряженными с a, и , то P - элементарная абелева группа.

Предположим, что . Тогда подгруппа является истинной подгруппой подгруппы P. Поэтому - истинная подгруппа группы G. Следовательно, b содержится в нормализаторе всякой подгруппы из . В частности, . Поэтому , где s - некоторое целое число, не кратное p. Отсюда и из того, что P - абелева группа, следует, что порядок элемента равен p. Поскольку и b содержится в нормализаторе всякой подгруппы из , то . Действительно, в противном случае элемент b не содержался бы в нормализаторе подгруппы . Поскольку и , то нетрудно проверить, что для любого натурального числа n . В частности, для

Поскольку и , то . Это противоречит тому, что .

Таким образом, предположение о том, что , приводит к противоречию и, значит, неверно. Следовательно , и поэтому P - элементарная абелева группа, причем P - нециклическая группа, так как , а .

Предположим, что P является минимальным нормальным делителем группы G. Ясно, что подгруппа является истинной подгруппой группы G. Если - абелева группа, то G является группой типа 1 а) теоремы. Пусть - неабелева группа. Тогда всякая подгруппа из P инвариантна в , и для любого элемента . Следовательно, , для любого элемента , где и . Таким образом, G является группой типа 1 б) теоремы.

Пусть P не является минимальным нормальным делителем группы G, и C - минимальный нормальный делитель группы G, содержащийся в P. Согласно теореме Машке [6] в P найдется такая инвариантная в G подгруппа D, что . Ясно, что каждая из подгрупп и является истинной подгруппой группы G. Поэтому для любого элемента , где , и для любого элемента , где . Поскольку в подгруппе P, согласно ее выбору, имеется подгруппа, неинвариантная в G, то . Так как , то подгруппа , где c - произвольный неединичный элемент из C, а d - произвольный неединичный элемент из D, неинвариантна в подгруппе . Ясно, что и . Следовательно, .

Очевидно, что по крайней мере одна из подгрупп и неабелева и, значит, является НП-группой. Если - НП-группа, то . Поэтому и . Аналогично, если подгруппа является НП-группой, то и .

Подгруппа является истинной подгруппой группы G. Поэтому каждая подгруппа из P инвариантна в . Отсюда вытекает, что .

Таким образом, группа G является группой типа 2 теоремы.

P - неабелева группа.

В виду того что P - неабелева группа, P является либо гамильтоновой 2-группой, либо одной из групп, указанных теоремой 1 из [1].

Предположим, что P - одна из групп, указанных теоремой 1 из работы [1]. Пусть - произвольная циклическая подгруппа из P, инвариантная в P, а b - произвольный элемент из T, не содержащийся в . Поскольку, согласно теореме 1 из [1], и является элементарной абелевой 2-подгруппой, то подгруппа абелева. Следовательно, всякая подгруппа, сопряженная с , содержит .

Поэтому, как легко следует из теоремы 1 из [1], подгруппа D, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с , отлична от P. Так как и, очевидно, , то . Поскольку - истинная подгруппа группы G, то b содержится в нормализаторе всякой подгруппы из D. Отсюда и из того, что группа автоморфизмов всякой циклической 2-группы является 2-группой, следует, что . В частности, . Таким образом, элемент b содержится в централизаторе всякой циклической подгруппы из P, инвариантной в P.

Пусть S - подгруппа группы P, порожденная всеми инвариантными циклическими подгруппами группы P. По доказанному выше . Если P является группой типа 3 теоремы 1 из [1], то . Отсюда и из того, что , следует, что стабилизирует ряд . Но тогда, в силу теоремы 3.2 из [7], , вопреки выбору b. Пусть P не является группой типа 3 из [1]. Тогда из теоремы 1 из [1] следует, что . Поэтому опять , вопреки выбору b. Следовательно, предположение о том, что P является НП-группой, неверно.

Пусть P является гамильтоновой 2-группой. Так как , то согласно теореме 3.2 из [7] не стабилизирует ряд . Отсюда и из того, что , следует, что фактор-группа неабелева.

Поскольку P является гамильтоновой 2-группой, то

-

нециклическая группа порядка 4. Отсюда вытекает, что b - 3-элемент.

Без ограничения общности можно полагать, что , где . Легко проверить, что подгруппа является подгруппой кватернионов и . Так как недедекиндова группа не является НП-группой, то она совпадает с группой G. Следовательно, группа G является группой типа 3 теоремы.

T содержится в нормализаторе каждой циклической подгруппы из P.

Предположим, что в P содержится циклическая подгруппа , неинвариантная в G. Тогда из того, что , следует, что . Поскольку , то из теоремы 1 из [1] следует, что P - 2-группа, а T - абелева группа. В силу того что P - 2-группа и T содержится в нормализаторе всякой циклической подгруппы из P, . Но тогда группа не является НП-группой. Это противоречит выбору группы G. Следовательно, всякая циклическая подгруппа из P инвариантна в G.

Предположим, что в P найдется такой элемент a, а в T такой элемент b, что . Тогда . Нетрудно убедиться в том, что и . Отсюда и из того, что подгруппы и являются истинными подгруппами группы G, вытекает, что , где . Следовательно, группа G является группой типа 4 теоремы.

Пусть теперь для любого элемента и любого элемента . Пусть также - некоторая циклическая подгруппа из T, неинвариантная в G, - некоторая неинвариантная в G циклическая подгруппа, имеющая с тривиальное пересечение. В виду того что каждая подгруппа из P инвариантна в G и для любого элемента , то можно полагать, что . Поскольку и , то по крайней мере одна из подгрупп или инвариантна в T. Пусть для определенности . Поскольку и , то в P найдется элемент a, неперестановочный с d.

Без ограничения общности можно полагать, что элементы a и также неперестановочны. Действительно, если элементы a и перестановочны, то элемент заменим элементом . Ясно, что элементы a и неперестановочны. Отсюда следует, что . Поэтому необходимо только показать, что . Покажем это. Поскольку элементы a и перестановочны и элемент содержится в нормализаторе всякой циклической подгруппы из P, то . Ввиду того что и . Поскольку , а , то согласно теореме 1 из [1] , что и нужно было показать. Итак, можно полагать, что .

Рассмотрим подгруппу

.

Так как элементы a и d, a и неперестановочны, то и . Отсюда и из того, что , следует, что . Вследствие того что подгруппа является истинной подгруппой группы G, и, значит, , где , и , где . Подгруппа является истинной подгруппой группы G и, следовательно, является НП-группой. Поэтому и . Из последнего равенства следует, что . Кроме того, если элементы d и перестановочны, то, согласно [1], . Подгруппа также является НП-группой. Поэтому, аналогично, и, если элементы d и перестановочны, то .

Таким образом, если элементы d и перестановочны, то из неравенств и следует, что .

Следовательно, если элементы d и перестановочны, то группа G является группой типа 5 теоремы.

Пусть элементы d и неперестановочны. Тогда, согласно [1], подгруппа T является 2-группой.

Поэтому

.

Поскольку элементы и a; и a перестановочны, то . Следовательно, группа G является группой типа 6 теоремы. Случай I рассмотрен.

Случай II.

Предположим сначала, что в группе G имеется силовская подгруппа P, выделяющаяся прямым множителем: . Если хотя бы одна из групп P, T, скажем T, была бы дедекиндовой группой, то группа G, вопреки ее выбору, была бы дедекиндовой группой, если подгруппа P дедекиндова, или НП-группой, если подгруппа P является НП-группой. Следовательно, каждая из подгрупп P и T является НП-группой. Если бы какая-нибудь из подгрупп P и T, скажем P, содержала бы истинную недедекиндову подгруппу , то недедекиндова подгруппа не являлась бы НП-группой, вопреки выбору группы G. Следовательно, в каждой из подгрупп P и T все истинные подгруппы дедекиндовы. Теперь из описания непримарных НП-групп [1] следует, что

В свою очередь примарные НП-группы, все истинные подгруппы которых дедекиндовы, исчерпываются обобщенной группой кватернионов порядка 16 и группой, представимой в виде полупрямого произведения двух циклических групп порядка 4 [1]. Следовательно, P является одной из этих групп, а группа G является соответственно группой типа 7 а) или типа 7 б) теоремы.

Пусть теперь в группе G не имеется силовской подгруппы, выделяющейся прямым множителем. Согласно пункту 1 леммы 2 в G имеется инвариантная силовская p-подгруппа. Обозначим ее через P. По теореме Шура [6] подгруппа P дополняема в G: . Пусть R и Q - силовские подгруппы взаимно простых порядков из подгруппы T. Поскольку в G нет силовской подгруппы, выделяющейся прямым множителем, то по крайней мере одна из групп P, Q, скажем Q, не содержится в . Поэтому подгруппа является НП-группой, в которой инвариантна всякая циклическая подгруппа из P. Следовательно, всякая циклическая подгруппа из P инвариантна также и в G. Рассмотрим две имеющиеся возможности.

.

Предположим, что . Выше отмечалось, что всякая циклическая подгруппа из P инвариантна в G. Поскольку , то, аналогично, каждая циклическая подгруппа из R инвариантна в G. Следовательно, каждая циклическая подгруппа из подгруппы инвариантна в G. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что для всякого элемента и для всякого элемента . Отсюда и из того, что пересечение всех неинвариантных циклических подгрупп группы G совпадает с единичной подгруппой, следует, что в Q найдутся неинвариантные в группе G циклические подгруппы и , пересекающиеся по единичной подгруппе. Поскольку , то без ограничения общности можно полагать, что . Так как и , то или . Пусть для определенности . Тогда подгруппа является НП-группой с неинвариантной подгруппой . Поскольку , то . Следовательно, и . Поэтому . Поскольку подгруппа является НП-группой с неинвариантной абелевой силовской подгруппой и с неинвариантной циклической подгруппой , то, согласно [1], . Так как и , то . Следовательно, подгруппа является НП-группой с неинвариантной абелевой силовской подгруппой и неинвариантной циклической подгруппой . Поэтому, согласно [1], . Итак, с одной стороны, , а с другой стороны, как отмечено выше, . Ясно, что неравенства и одновременно выполняться не могут. Следовательно, предположение о том, что , приводит к противоречию и, значит, неверно.

Предположим, что . Тогда каждая циклическая подгруппа из Q инвариантна в T. Поэтому в R содержится элемент, неперестановочный ни с каким неединичным элементом из Q. Отсюда и из описания группы с циклическими силовскими подгруппами [5] вытекает, что каждая циклическая подгруппа из Q порождается некоторым коммутатором. Поэтому . Выше отмечалось, что каждая циклическая подгруппа из P инвариантна в G и .

Пусть - такая циклическая подгруппа из P, что . Поскольку и , то . Вследствие того что , .

В силу того что , факторгруппа неабелева. С другой стороны, фактор-группа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы, а группа автоморфизмов циклической группы - абелева.

Следовательно, предположение о том, что , также приводит к противоречию.

Таким образом, подгруппа R не может быть ни инвариантной, ни неинвариантной в подгруппе T. Это значит, что возможность 1 не имеет места.

.

Пусть a - произвольный неединичный элемент из P. Так как каждая из подгрупп и является НП-группой, то в R найдется такой элемент b, а в Q найдется такой элемент c, что и . Кроме того, поскольку подгруппа T является НП-группой, то без ограничения общности можно полагать, что .

Предположим, что . Тогда, согласно строению группы с циклическими силовскими подгруппами [5], . Следовательно, . Поэтому и, значит, фактор-группа неабелева. Однако это невозможно, так как фактор-группа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы, а группа автоморфизмов циклической группы абелева. Следовательно, .

Рассмотрим подгруппу . Очевидно, что подгруппы и в ней инвариантны. Поэтому .

Пусть . Подгруппа является истинной подгруппой группы G. Отсюда вытекает, что . Каждая из подгрупп и также является истинной подгруппой группы G.

Поэтому

Таким образом, группа G является группой типа 8 теоремы. Случай II рассмотрен.

Случай III. .

Поскольку , то, согласно пункту 2 леммы 2, , и число инвариантных силовских подгрупп группы G равно двум.

Пусть P и Q - инвариантные силовские подгруппы группы G. По теореме Шура [6] . Поскольку , то .

Пусть R и S - силовские подгруппы взаимно простых порядков из подгруппы T. Так как подгруппы R и S неинвариантны в группе G, то каждая из них неинвариантна, по крайней мере, в одной из следующих подгрупп: или . Пусть для определенности и подгруппа является НП-группой, тогда . Следовательно, , , то подгруппы P и S, R и Q, S и R поэлементно перестановочны.

Поскольку подгруппы R и S поэлементно перестановочны, то и . Отсюда и из того, что и , следует, что , а .

Пусть a - произвольный элемент из P, не содержащийся в ; c - произвольный из R, неперестановочный с a; b - произвольный элемент из Q, не содержащийся в , и d - произвольный элемент из S, неперестановочный с b. Поскольку подгруппы R и S, P и S, R и Q поэлементно перестановочны, то и . Кроме того, , где и - некоторые целые числа. Ясно, что пересечение подгрупп и тривиально и каждая из них неинвариантна в подгруппе

.

Следовательно, .

Пусть .

Поскольку каждая из подгрупп

.

является НП-группой, то

Следовательно, группа G является группой типа 9 теоремы.

Рассмотрены все случаи.

Теорема доказана.

Сообщение о результатах этой статьи (без доказательств) сделано в работе [8].

Список литературы

1. Blackburn N. Finite groups in which the nonnormal subgroups have nontrivial intersection // J. Alg. 3, 1, 1996. P.30-37.

2. Фаерштейн С.И. Непериодические группы, в которых нетривиально пересечение всех неинвариантных циклических подгрупп / Сб. науч. тр. Перм. политехн. ин-та. 1975. № 170. С.146-149.

3. Фаерштейн С.И. 2-группы, у которых нетривиально пересечение всех неинвариантных подгрупп каждой истинной недедекиндовой подгруппы // Сб. науч. тр. Перм. политехн. ин-та.1973. № 138. С.98-102.

4. Huppert B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlicher Gruppen // Math. J. 1954. 60. P.403-434.

5. Холл М. Теория групп. М.; Л., 1962.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории группы. М.: Наука, 1972.

7. Gorenstein D. Finite groups. Harper and Row. N.Y., 1968.

8. Фаерштейн С.И. Об одном классе непримарных групп. Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб. тез. Пермь, 2010. С. 231.

Размещено на Allbest.ru